状态约束下具有奇异性的粘性特性

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英文标题：
《Viscosity properties with singularities in a state-constrained expected
  utility maximization problem》
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作者：
Mourad Lazgham
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the value function originating from an expected utility maximization problem with finite fuel constraint and show its close relation to a nonlinear parabolic degenerated Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation with singularity. On one hand, we give a so-called verification argument based on the dynamic programming principle, which allows us to derive conditions under which a classical solution of the HJB equation coincides with our value function (provided that it is smooth enough). On the other hand, we establish a comparison principle, which allows us to characterize our value function as the unique viscosity solution of the HJB equation.
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中文摘要：
我们考虑了源于有限燃料约束下的期望效用最大化问题的值函数，并证明了它与具有奇异性的非线性抛物退化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的密切关系。一方面，我们基于动态规划原理给出了一个所谓的验证论证，它允许我们推导出HJB方程的经典解与我们的值函数一致的条件（前提是它足够光滑）。另一方面，我们建立了一个比较原理，它允许我们将我们的值函数描述为HJB方程的唯一粘度解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Viscosity_properties_with_singularities_in_a_state-constrained_expected_utility_.pdf (287 KB)

2022-5-9 07:11:25 上传

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关键词：maximization Mathematical Verification Quantitative mathematica

无状态约束期望效用最大化问题中具有奇点的粘性特性德国曼海姆大学数学系Mourad Lazgham摘要。我们考虑了源于具有有限燃料约束的期望效用最大化问题的值函数，并证明了其与具有奇异性的非线性抛物型退化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的密切关系。一方面，我们基于动态规划原理给出了一个所谓的验证参数，它允许我们推导出HJB方程的经典解与我们的值函数一致的条件（前提是它足够光滑）。另一方面，我们建立了一个比较原理，它允许我们将我们的值函数描述为HJB方程的唯一粘性解。1.导言本文的目的是研究与有限燃料约束下的预期效用最大化问题相关的价值函数，该问题或起源于por tfolio清算问题，以及具有奇异性的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的解之间的联系。更准确地说，我们将首先利用动态规划原理，在这个值函数（假设它足够光滑）和HJ方程的经典解之间建立等价性。特别是，我们将看到，价值函数和相应的优化策略与某个随机微分方程（SDE）的解相关联，这可能对数值计算有用（见备注2.10）。其次，我们将证明，在更一般的情况下，如果不采用光滑性假设，f函数的值可以被视为相应HJB-方程的（唯一）粘性解。这项工作概括了Schied等人提出的框架。

（2010）通过考虑具有有界Arrow-Pratt系数的效用函数。这种效用函数已经在一维框架中进行了有限时间范围内的研究，具有线性暂时性影响，无漂移；seeSchied和Sch¨oneborn（2009）以及Sch¨oneborn（2008），其中最优交易策略被描述为经典完全非线性抛物方程的唯一有界解。上述推导是因为，在考虑时间范围时，最优策略解决了一个经典抛物线偏微分方程，因为当时时间参数没有出现在方程中。在本文中，我们的目的是推导出相应的有限时间范围的哈米尔顿-雅可比-贝尔曼方程。因为考虑的等式现在考虑了时间关键字和短语。期望效用最大化问题，具有奇异性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，验证定理，粘性解，子喷射和超喷射。作者通过Grant SCHI 500/3-1感谢德国电信公司的支持。参数，而且据作者所知，迄今为止还没有以封闭形式给出经典解（与有限时间范围的情况相反），我们不能指望轻松推导出相应的经典解。然而，我们将通过引用粘性解的概念来克服这个困难，粘性解对应于值函数的弱局部特征。为了确定这种特征，我们必须使用动态编程原理，也称为贝尔曼原理。作为第一个主要结果，我们将在我们预期的效用最大化问题和HJB方程之间建立紧密联系，前提是价值函数是有效的。

更准确地说，我们将证明满足奇异初始条件的（光滑）值函数必须是关联的ed HJB方程的经典解。在下一步中，我们将推导一个验证定理，该定理说明（在某些条件下）如果HJB方程有经典解，这是唯一解，它等于值函数。将建立SDE的最优策略、值函数和解之间的关系，这可能对数值计算有用。证明的思想是经典的，但是有一些问题使我们不可能完全遵循经典的思想。在我们的策略中施加的有限燃料限制、初始条件的奇异性以及预期效用的指数级增长都需要进一步的技术来完成证明。我们的第二个主要结果涉及更一般情况下的值函数，在这种情况下，不需要平滑假设。通过比较原理，我们将看到值函数不仅是HJB方程的粘性解，而且是唯一的。在不使用Crandall-Ishii引理的情况下，仅通过在一些测试函数上应用泰勒展开来证明这个比较原理。值得一提的是，在Zgham（2015）中建立的价值函数的持续性将使我们能够克服我们将面临的一些困难。在第2.1节中建立了我们的框架并回顾了上述论文的主要结果之后，我们推导出了当值函数足够光滑时，由值函数（第2.2节）满足的HJB方程。在第2.3节中，我们陈述了一个验证定理，允许我们证明在这种情况下（在某些条件下），值函数是HJB方程的唯一经典解。

放弃平滑度假设，我们转向第2.4节和第2.5节中的粘度解。理论2。14确定值函数是HJB方程的粘性解，定理2。21建立了一个强有力的比较原则，而不需要诉诸著名的克兰德尔·石井引理。2.业绩报表2。1.建模框架(Ohm, F、 P）是一个过滤（Ft）为0的概率空间≤T≤t满足通常的条件。修正X∈ 让我们看看预期效用最大化问题（2.1）V（T，X，R）=supξ∈˙X2A（T，X）EhuRξTi、 其中，我们优化策略集（2.2）˙X2A（T，X）：=nξ∈˙X（T，X）E经验(-2ARξT≤ ξ先生*T（2A）+1o。给你，李先生*T（A）：=E经验(-ARξ*T是最优策略收益的矩母函数，˙X（T，X）=nξXξt:=X-ZtξsdsT∈[0，T]适应，T→ Xξt（ω）∈ Xdet（T，X）P-a.s.oTnξEZTXξtσXξt+|b·Xξt- f（ξt）|+|ξt|dt< ∞o、 带xdet（T，X）=X:[0，T]→ 绝对连续，X∈ Rd和XT=0andRξT=R+ZTXξtσdBt+ZTb·Xξtdt-ZTf(-˙ξt）dt。我们记得R∈ R是一个实常数，B表示初始值为0，漂移为B的标准m维布朗∈ Rd和波动率矩阵σ=（σij）∈ Rd×m，其中我们假设位移向量b与协方差矩阵的核∑=σ∑正交. 此外，非负严格凸函数f具有超线性增长，并验证了两个条件Lim | x|-→∞f（x）|x |=∞ f（0）=0，我们假设存在正常数Ai，i=1，2，这样（2.3）0<A≤ -u′（x）u′（x）≤ A对于所有x∈ R、 它给出了f或u的估计值（2.4）u（x）：=A- 经验(-（斧头）≥ u（x）≥ - 经验(-Ax）=:u（x），对于V，估计值（2.5）V（T，x，R）=EhuRξ*T我≥ V（T，X，R）≥ 埃胡Rξ*Ti=V（T，X，R），其中Vi，i=1，2，T对应的指数函数（也称为CARA值函数）和ξ*i、 i=1，2，对应的最优策略。

我们需要以下结果（摘自Lazgham（2015））。下面的引理给出了在给定的停止时间，过程（X，R）的指数效用函数的值函数的上界。引理2.1。LetV（T，X，R）=infξ∈˙Xdet（T，X）E经验(-ARξT）τ是一个停止时间，其值在[0，T]中，我们有（2.6）V（T）- τ、 Xζτ，Rζτ）≤ E经验(-ARζT）|Fτ每ζ的P-a.s∈˙X（T，X）。以下命题显示了V.命题2.2所满足的初始条件。最大化问题（2.1）的值函数满足（0，X，R）=limT↓0V（T，X，R）=（u（R），如果X=0，-∞, 否则（2.7）此外，我们将提到优化问题的存在性和唯一性。定理2.3。Let（T，X，R）∈ ]0, ∞[×Rd×R，则存在唯一的最优策略ξ*∈˙X（T，X）对于最大化问题（2.1），满足s（2.8）V（T，X，R）=supξ∈˙X（T，X）E[u（RξT）]=EhuRξ*Ti、 值函数的凹度属性（源于-f和u）和前面的结果，直接暗示：定理2.4。值函数在R中是连续部分可微的，我们有f o rmulaVr（T，X，R）=Eu′Rξ*T,ξ在哪里*是与V（T，X，R）相关的最优策略。理论2。3 lso意味着随后的结果。定理2.5。值函数V在[0]上是连续的，∞ [×Rd×R.为了得到这项工作中的大部分结果，我们将参考动态编程原理，如以下定理所述。定理2.6.（贝尔曼原理）Let（T，X，R）∈ ]0, ∞[×Rd×R，那么我们有（2.9）V（T，X，R）=supξ∈X2A（T，X）E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ,对于每个停止时间τ，取[0，T[.2.2]中的值。在续集中，我们揭示了V和哈米尔顿·雅可比·贝尔曼（HJB）方程之间的强大关系，这是通过经典启发式推导得到的。

我们首先假设V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。为了简化问题，让我们引入以下线性二阶算子或Lη，其中η∈ Rd，（2.10）Lηv（T，X，R）：=十、∑Xvrr+b·Xvr-ηxv+f(-η） 虚拟现实（T，X，R）。注意，由于f.经典启发式推导和命题2的连续性，该算子在η中是连续的。2.建议V应满足-Vt+supξ∈RdLξV=0，（2.11）V（0，X，R）=limT↓0V（T，X，R）=（u（R），如果X=0-∞, 否则（2.12）初始条件下奇点背后的直觉是，在给定时间段内不会导致投资组合完全清算的策略将受到严重惩罚。备注2.7。（i） Si nce f为正，lim | x|→∞f（x）=∞, 等式（2.11）使得每（t，x，r）的Vr（t，x，r）>0是合理的∈ ]0，T]×Rd×R。然而，这与T heorem2一致。4，这意味着值函数在其第三个参数中具有严格的正部分导数。（ii）让我们表示byf*（z） ：=supx（x·z）- f（x））f的芬切尔-勒让德变换，这是一个有限凸函数，由于f的假设（见洛克费拉（1997）中的定理12.2）。有了这个，等式（2.11）可以等价地写成（2.13）- Vt+b·XtVr+X∑XVrr+Vrf*xVVr= 0我们现在假设V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。下一个定理表明它是（2.11）的一个经典解。定理2.8。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的值函数。nv是f（2.11）的经典解，初始条件为（2.12）。验证定理。在下一步中，我们给出了满足（2.11）初始条件（2.12）的齿函数w与我们的值函数V重合的充分条件。这种所谓的验证论证基本上依赖于它的引理（更多细节见Touzi（2013）或Pham（2009）。

由于值函数V的最优控制的存在性和唯一性，我们只需要相关SD E的强解的存在性，以确保w=V。作为合适的生长条件，我们将一如既往地假设w位于两个CARA值函数之间。定理2.9。设T>0和w∈ C1,1,2（]0，T[×Rd×R）∩ C（]0，T]×Rd×R）是这样的，使得下面的不等式hold（2.14）V（T，x，R）≤ w（t，x，r）≤ V（t，x，r），其中Vi，i=1，2，如（2.5）所示。根据我们需要的其他假设，我们有以下两种说法。（i） 假设（2.15）为0≥ -wt（T）- t、 x，r）+supξ∈RdLξw（T）- t、 x，r）表示所有（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和（2.16）limt↓0w（t，x，r）=（w（0，0，r）≥ u（r），如果X=0-∞, 否则[0，T]×Rd×R.西北≥ 假设（2.17）0=-wt（T）- t、 x，r）+supξ∈rdt（ξ）- t、 x，r）表示所有（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和（2.18）limT↓0w（t，x，r）=（u（r），如果x=0-∞, 否则此外，ass ume（2.19）wr（T- t、 对于[0，t[×Rd×r.（a）上的所有t，x，r）>0，则连续函数bξ：]0，t]×Rd×r7-→ 定义为（2.20）bξ（t，x，r）：=F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）满足感-wt（T）- t、 x，r）+supξ∈RdLξw（T）- t、 x，r）=-wt（T）- t、 x，r）+Lbξ（t-t、 x，r）w（t）- t、 如果我们进一步假设SDE（2.22）存在一个强解（bX，bR），那么对于[0，t]×Rd×r.（b）上的每一个（t，x，r），x（2.21）=0dRt=（Xt）σdBt+b·Xtdt- f(-bξ（t，Xt，Rt））dt，dXt=-bξ（t，Xt，Rt）dt，R | t=0=Rand X | t=0=X，这样bξ（·，bX，bR）∈˙X2A（T，X），那么我们在[0，T]×Rd×R上有w=V。前面的SDE的解是唯一的，并且给定by（Xξ）*t、 Rξ*t） ，其中ξ*表示价值函数V（T，X，R）的最优清算策略f。此外，最优控制由ξ以反馈形式给出*t=bξ（t- t、 快速公交 λ） a.s.备注2.10。

（i） 在效用函数u是指数效用函数的凸组合的特殊情况下，即u（x）=λu（x）+（1- λ） 带λ的u（x）∈ ]0，1[andui，i=1，2，指数效用函数，可以很容易地证明（使用引理3.2）存在满足（2.15）的w以及边界条件Limt↓0w（t，x，r）=（w（0，0，r）=λu（r）+（1- λ） u（r），如果X=0-∞, 另外，关于[0，T]×Rd×R。然而，引理3中的第一个不等式。2在一般情况下是严格的，在l类中也是严格的。（ii）证明（2.22）强解的有效性（和唯一性）可能非常具有挑战性，因为F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）最多应该是连续的，不满足任何全局Lipschitz连续性，因为商项和F*可以是超线性的。（iii）通过公式（2.20），我们有一个数值计算op tim a l清算策略的方法。然而，这需要首先计算值函数的梯度，这通常不是一项容易的任务。此外，如上所述，SDE中的系数不满足任何（全局）Lipschitz条件，因此（据我们所知）没有已知的转换方法可用于求解SDE（2.22）。2.4. HJB方程的粘度解。到目前为止，我们已经在最大化问题（2.1）和HJB方程（2.11）的经典解之间建立了联系。不幸的是，只有当函数V的值足够平滑时，这种方法才有效，然而，即使在确定性的情况下，也可能无法满足这一点（参见Yong and Zho u（1999），第4章，示例2.3）。为了克服这个困难，我们将在下面使用粘度溶液的概念。由于我们的值函数是连续的，我们将把我们的框架限制为连续粘性解。

请注意，可以找到一个更一般的定义（在有界函数类中），例如拐点和Soner（2006）。然而，有了这个定义，强有力的比较原则将意味着tV再次是连续的。2.4.1. 该值函数是HJB方程的相对余弦解。让我们从介绍粘度溶液的抽象定义开始（参见Touzi（2013）或Fleming and Soner（2006））。考虑一个非线性二阶退化偏微分方程（2.23）F（T- t、 x，r，v（t）- t、 x，r），vt（t，x，r），xv（t，x，r），vr（t，x，r），vrr（t，x，r））=0，其中F是[0，t]×Rd×r×r×r×r×r×r的连续函数，取inR值，固定t>0和（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R。我们必须对F施加如下的交叉抽运。假设2.11（椭圆度）。适用于所有（t、x、r、q、p、s、m）∈ ]0，T]×Rd×R×R×R×Rd×Rand a，b∈ R、 我们假设（2.24）F（T）- t、 x，r，q，p，s，m，a）≤ F（T）- t、 x，r，q，p，s，m，b）如果a≥ b、 定义2.12。设v:]0，T]×Rd×R-→ R是一个连续函数。（1） 我们说t hat v是（2.23）的粘度亚溶液，如果对于每一个φ∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和very（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R，当v-在（T）处达到局部最大值-T*, 十、*, R*) ∈]0，T]×Rd×R，我们有（2.25）F（，v，νT，xа，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ≤ 0.（2）我们说v是（2.23）的粘度超解，如果对于每一个φ∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R，当v- 在（T）处达到局部最小值-T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，我们有（2.26）F（，v，νT，xа，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ≥ 0.（3）如果v是粘性下解和上解，我们说v是方程（2.23）的粘性解。备注2.13。