状态约束下具有奇异性的粘性特性

因此，接受期望会降低w（T）- τk，Xτk，Rτk）- w（T，X，R）=EZτk- wt（T）- s、 Xs，Rs）+Lbξw（T- s、 Xs，Rs）ds,通过使用（2.21），我们可以得到（3.13）Ew（T）- τk，Xτk，Rτk）= w（T，X，R）。上述相同的ar公式允许我们将k发送到实体，从中我们获得（3.14）Ew（T）- t、 Xt，Rt）= w（T，X，R）。类似地，上面相同的参数也允许我们设置t=t。等式（2.18）意味着我们必须有XT=0才能建立v（T，X，R）≥ EURT= Ew（0，0，RT）= w（T，X，R），其中第一个等式来自（2.18）。因此，我们证明了w≤ 五、利用（i）中建立的反向不等式，我们最终得到w=V。因此得出（X，R）=（Xξ*, Rξ*), 由于最优策略的唯一性（定理2.3）。此外，ξ*t=bξ（t- t、 Xξ*t、 Rξ*t） ，（P λ） -a.s.，这是证据的结论。3.3. 这是托雷的证明。14.至于经典案例，证明将分为两个命题。提议3.4。值函数V是初始条件为（2.12）的Hami l ton-Ja-cobiBellman方程（2.11）的粘性s upe rs解。证据我们必须为每个人展示这一点∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈[0，T[×Rd×R，当V- 在（T）处达到局部最小值- T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，wehave0≥ -νt（t）- T*, 十、*, R*) +十、*∑x*νrr（T）- T*, 十、*, R*) + b·x*νr（T）- T*, 十、*, R*)+ supξ∈研发部ξx k（T）- T*, 十、*, R*) - νr（T）- T*, 十、*, R*)f（ξ）=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*). （3.15）证明的思想与命题3几乎相同。1，但由于V不是必需的，我们现在不能应用它的^o公式。然而，我们可以使用一个测试函数φ代替，并按如下步骤进行：let（t*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R等于V- 在（T- T*, 十、*, R*).

此外，让η∈ Rd和ε>0使得t*+ ε<T，定义ξ∈˙XA（[t*, T]，x）作为ξs:=（η，如果s∈ [t]*, T*+ ε[,-十、-εηT-（t）*+ε） ，如果∈ [t]*+ ε、 [T]。我们考虑满足Xξt的相应过程（Xξs，Rξs）*= 十、*, Rξt*= R*, 并选择α>0，使最小值在区域[T]上是全局的- T*- α、 T- T*+ α] ×B（x）*, α） ×[r]*- α、 r*+ α]. 此外，我们还引入了以下停止时间序列τk:=infs>t*（s）- T*, Xξs，Rξs）/∈ [0，k[×B（x*, α） ×[r]*- α、 r*+ α].理论2。6意味着对于足够大的k，0≥ E[V（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- V（T）- T*, 十、*, R*)]≥ E[~n（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- ~n（T）- T*, 十、*, R*)]= EZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+ EZτkt*（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,结合它的^o引理，在第二个不等式中，我们使用了V的最小性质- 在（T）处- T*, 十、*, R*). 由于τ和f的定义，即期望中的项是真鞅，因此最后一个表达式消失了。因此，（3.16）EZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≤ 此外，由于被积函数的a.s.连续性（在s中），对于k largeenough，我们有τk=t+1/k，因此我们可以使用与命题3相同的参数s。1到getEkZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds-→K→∞-νt（t）- T*, 十、*, R*) + Lηη（T）- T*, 十、*, R*).结合（3.16）我们推断（3.17）- νt（t）- T*, x、 r）+Lη~n（T）- T*, 十、*, R*) ≤ 0.由于我们任意选择η，现在可以取η的上确界∈ Rd，由于η的连续性-→ Lη~n，它产生断言。提案3.5。值函数V是具有初始条件（2.12）的Hamilton-Ja-cobiBellman方程（2.11）的粘性底土。证据

我们必须为每个人展示这一点∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈[0，T[×Rd×R，当V- 在（T）处的局部最大值- T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，wehave0≤ -νt（t）- T*, 十、*, R*) +十、*∑x*νrr（T）- T*, 十、*, R*) + b·x*νr（T）- T*, 十、*, R*)+ supξ∈研发部ξx k（T）- T*, 十、*, R*) - νr（T）- T*, 十、*, R*)f（ξ）=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*). （3.18）与前面的命题一样，目前的证明与经典类似命题（命题3.3）的证明走的路线相同，但将其^o公式应用于t est函数^。让我们∈ C1,2,2（]0，T]×Rd×R）和（T）- T*, 十、*, R*) 使（3.19）V（T- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) < V（T）- t、 x，r）- ~n（T）- t、 x，r），代表（t）- t、 x，r）在（t）附近- T*, 十、*, R*), 通过与（3.18）相矛盾的方式假设（t，x，r）：=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*) < 0.进一步假设（3.19）的左边等于零，而不失一般性，如Remark2所述。13.回忆一下社区η=（t，x，r）|（t- T*, 十、- 十、*, R- R*) ∈ ] - η、 η[×B（0，η）×]- η、 η[和h（t，x，r）<0of（T）- T*, 十、*, R*) 来自命题3。3，第二组（3.20）2ε=最大值Nη（V）- 我们注意到ε>0，因为（3.19）。因为V的连续性- 以及v（T- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) = 0，必须存在（T- t、 x，r）∈ Nη这样的t（η）- V）（T）- t、 x，r）≤ -ε.现在，我们取ξ∈˙X2A（[t，t]，X）并引入停止时间τ：=inf{s>t|（s，Xξεs，Rξs）/∈ Nη}。由于状态过程的连续性，我们有（T- τ、 Xξτ，Rξτ）∈ Nη，这意味着（V- ν）（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）≤ 2ε，由于（3.20）。

因此，利用它的^o引理，我们得到了超高压T- τ、 Xξτ，Rξτ我- V（T）- t、 x，r）≤ 2ε+EhаT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i- ε≤ ε+EZτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+EZτt（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,其中，最后一项消失，因为整数和在随机区间[t，τ]上有界。而且,- ηt+Lξ（s，Xξs，Rξs）≤ 0在[t，τ]上，我们有v（t- t、 x，r）≥ -ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ-Zτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≥ -ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ.通过取ξ的上确界，我们结合定理2推断。6（因为ε不依赖于ξ）：V（T- t、 x，r）≥ -ε+supξ∈X2A（T，X）E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ= -ε+V（T）- t、 x，r），这与ε>0相矛盾。证据到此结束。3.4. 定理2.21的证明。Lemm a2的证明。20.我们只证明（我）。假设v full fill fill of the不等式（2.35）f或all（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和all（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）-t、 x，r）。拿∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）并考虑（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]使得（V- ν）（T）- t、 x，r）的局部最大值为（t*, 十、*, R*). 由于注释2.1.9中的（2.31），完整的填充物（2.25），这意味着v是粘度子溶液。假设v是一个粘性子解，且let（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）- T*, 十、*, R*). 如备注2所述。19.上文中，存在∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）使得(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) = （q，p，s，m）。通过使用（2.30）和（2.31），我们得到（T- T*, 十、*, R*) 是v的局部最大化子- φ. 因此，全填充（2.25），这证明了（q、p、s、m）全填充（2.35）。理论证明2。21.假设（2.38）为真，并通过存在（t）的矛盾来支持*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]使得（U- V）（T）- T*, 十、*, R*) > 0

自从你- 在[0，T]×Rd×R上连续，我们可以假设w.l.o.g是U的上确界- 紧子集上的V附加在（T）上- T*, 十、*, R*), i、 e.，（3.21）`m=supK[0，T[×Rd×R（U- V）（T）- t、 x，r）=（U- V）（T）- T*, 十、*, R*) > 0，其中K为紧凑型，内部非空。在下文中，我们将使用Kruˇzkov（1970）首次开发的变量加倍技术。对于任何ε>0，考虑函数Φε（t，t′，x，x′，r，r′）：=U（t，x，r）- V（t′，x′，r′）- νε（t，t′，x，x′，r，r′，（3.22）νε（t，t′，x，x′，r′）：=ε|T- t′|+|x- x′|+|r- r′|.（3.23）设[0，η]×B（0，r）×r*- α、 r*+ α]  K是（t）的紧凑邻域*, 十、*, R*), 式中0<η<T，0<α<r*, r>0。连续函数Φε在紧邻域[0，η]×B（0，r）×r上达到其最大值*- α、 r*+ α] ，用mε表示，在某些（T- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）。我们将证明（3.24）mεn→ \'m和（T）- tεn，t- t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn）→ 0，对于具有εn的序列（εn）→ 0.首先，注意\'m=Φε（T- T*, T- T*, 十、*, 十、*, R*, R*)= （U）- V）（T）- T*, 十、*, R*) - ε（T）- T*, T- T*, 十、*, 十、*, R*, R*)≤ U（T）- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）- ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）（3.25）=mε≤ U（T）- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。（3.26）自- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）ε>0属于紧集[0，η]×B（0，r）×r*-α、 r*+ α] ，我们可以找到一个序列（T- tεn，t- t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn），其中εn↓ 0，收敛到某个（T-~t，t-~t′，~x，~x′，~r，~r′），a s n→ ∞. 序列（U（T）的有界性-tεn，xεn，rεn）-V（T）-t′εn，x′εn，r′εnεn（T）-tεn，t-t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn）由于不平等（3.25），nis也有界（从上方）。因此，通过使用（3.23），我们必须-~t=t-~t′，~x=~x′，~r=~r′，以及`m=U（t-~t，~x，~r）- V（T）-~t，~x，~r），应用不等式（3.26）和m的定义。因此，我们可以假设w.l.o.g。

t这t=t*, ~x=x*, ~r=r*. 将εngo设为0 in（3.26），我们得到m≤ 画→∞mεn≤ （U）- V）（T）- T*, 十、*, R*) = μm，从而证明了（3.24）。此外，我们还有ε∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和（T）- tε，xε，rε）是（t，x，r）的局部最大值→ U（T）- t、 x，r）- ε（T）- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε，（3.27）分别。，（T）- t′ε，x′ε，r′ε）是（t′，x′，r′）的局部极小值→ V（T）- t′，x′，r′）+ε（t- tε，t- t′，xε，x′，rε，r′）。（3.28）我们现在的目的是使用公式（2.33）和（2.31）来确定J2、+U（T）的适当元素-tε，xε，rε）和J2，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。为此，我们计算了以下导数：（νε）t（t- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（tε- t′ε，（νε）r（t- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（rε）- r′ε），x（ε）（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（xε）- x′ε，（νε）rr（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε。因为ε-R*ε、 r′ε-R*ε→ 当εg为0时，由于（3.24），我们可以选择一个邻域[0，η]×B（0，r）×r*- αε，r*+ （t）的αε]*, 十、*, R*) 使得αεε→ 0，当ε变为0时。使用这个和（3.27），插入（t，x，r）7的导数→ ε（T）- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε）- tε，xε，rε）在（2.33）中，我们得到了u（t- t、 x，r）- U（T）- tε，xε，rε）≤ -ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）+νε（t- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε=-ε（tε）- t′ε）（t- tε）+ε（xε- x′ε）（x- xε）+ε（rε- r′ε）（r- rε）-3ε（r）- rε）（r- rε）+o（|t- tε|+| x- xε|）≤ -ε（tε）- t′ε）（t- tε）+ε（xε- x′ε）（x- xε）+ε（rε- r′ε）（r- rε）+2αε3ε（r- rε）+o（|t- tε|+| x- xε|+| r- rε|）。使用R emark2。19.我们由此证明（3.29）(-ε（tε）- t′ε），ε（xε- x′ε），ε（rε）- r′ε），2αε3ε）∈ J2，+U（T）- tε，xε，rε）。在下一步中，我们寻找J2的一个dequate元素，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。

为此，和之前一样，我们计算（t′，x′，r′）7的导数→ ε（T）-tε，t-t′，xε，x′，rε，r′）在（t-t′ε，x′ε，r′ε）。在（T）处插入- t′ε，x′ε，r′ε）到（2.31），我们结合（3.28）：V（t- t、 x，r）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）≥ ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）- ε（T）- tε，t- t′，xε，x′，rε，r′）=ε（t′ε）- tε）t- t′ε）-ε（x′ε）- xε）（x- x′ε）-ε（r′ε）- rε）（r- r′ε）+3ε（r′）- r′ε（r′）- r′ε）+o（|t′）- t′ε|+|x′- x′ε|+|r′- r′ε|）。≥ε（t′ε）- tε）（t- t′ε）-ε（x′ε）- xε）（x- x′ε）-ε（r′ε）- rε）（r- r′ε）-2αε3ε（r′）- r′ε）。+o（|t′）- t′ε|+|x′- x′ε|+|r′- r′ε|）。这显示了t（3.30）(-ε（tε）- t′ε），ε（xε- x′ε），ε（rε）- r′ε），-2αε3ε) ∈ J2，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε），多亏了Remark2。19.将引理2.20应用于粘度亚解U，我们得到0≤ -ε（tε）- t′ε）+βU（t- tε，xε，rε）+ε（rε- r′ε）b·xε+αεxε∑xε3ε+εsupξ∈研发部ξ（xε）- x′ε）- （rε）- r′ε）f（ξ）, （3.31）与（3.29）结合使用。类似地，利用引理2的粘性上解性质。V为20，以及（3.30），我们得到0≥ -ε（tε）- t′ε）+βV（t- t′ε，x′ε，r′ε）+ε（rε）- r′ε）b·x′ε-αεx′ε∑x′ε3ε+εsupξ∈研发部ξ（xε）- x′ε）- （rε）- r′ε）f（ξ）. （3.32）从（3.32）中减去（3.31），我们得到0≤ β（U（T- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε））+ε（rε- r′ε）b·（xε- x′ε）+αε3εxε∑xε+x′ε∑x′ε.现在将ε发送到0，并使用αεε，rε- r′ε，|xε- x′ε|→ 0，当ε→ 0，我们得到（3.33）0≤ β（U）- V）（T）- T*, 十、*, R*).因为β<0，（3.33）与（3.21）相矛盾。因此，我们已经证明≤ V on]0，T]×Rd×R。推论2的证明。22.设U是（2.11）的另一个解，初始条件（2.12）满足生长条件V（t，x，r）≤ U（t，x，r）≤ V（t，x，r），代表所有（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R。那么我们就有了极限→0U（t，x，r）- V（t，x，r）= 0表示固定的x，r∈ Rd\\{0Rd}×R，可以推广到Rd×R。因此，利用定理2.21，我们推导出U≤ 五、

由于U和V分别是粘性子解和上解，我们通过翻转递减不等式得出结论。参考资料。巴勒斯。介绍一阶Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论及其应用。在《汉密尔顿-雅可比方程：近似、数值分析和应用》数学课堂讲稿2074卷中。，第49-109页。斯普林格，海德堡，2013年。内政部：10.1007/978-3-642-36433-42。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36433-4_2.M.G.克兰德尔、石井和P.L.狮子。二阶偏微分方程粘性解用户指南。公牛艾默尔。数学Soc，27（1）：1-671992。W.H.弗莱明和H.M.索纳。受控马尔可夫过程和粘性解决方案，第25卷。斯普林格·维拉格，2006年。小池秀子和奥莉。具有梯度超线性项的退化椭圆偏微分方程无界粘性解的比较原理。J.数学。肛门。应用程序。，381(1):1 10–120, 2011.ISSN 0022-247X。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.03.009.S.N.克鲁兹科夫。具有多个自变量的一阶拟线性方程组。小地毯某人。（新南威尔士州），81（123）：228-2551970。拉兹格姆先生。状态约束期望效用最大化问题的正则性。预印本，可在arXiv网站在线获取。org，2015年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1510.03079.H.范。《金融应用的连续时间随机控制和优化》，《随机建模和应用概率》第61卷。斯普林格·维拉g，柏林，2009年。ISBN 9 78-3-540-89499-5。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-89500-8.R.罗卡费拉。凸分析。普林斯顿大学是数学界的里程碑。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西，1997年。1970年原版普林斯顿平装书的再版。A.席德和T.肖内伯恩。非流动性市场中的风险规避和最优清算策略动态。

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