耦合重要性抽样和使用样本的多级蒙特卡罗

（2.5）对于n≥ nδ和θ使得|θ- θ?| ≥ ε、 我们可以从vn，Nn，Nn（θ）的凸性推导- vn，Nn（θ？）≥|θ - θ?|ε北卡罗来纳州θ?+ εθ - θ?|θ - θ?|- vn，Nn（θ？）≥|θ - θ?|ε五、θ?+ εθ - θ?|θ - θ?|- v（θ？）-2δ≥δ最后两个不等式来自（2.5）。如果我们对θ=θn，Nn应用这个不等式，我们得到了一个矛盾，因为vn，Nn（θn，Nn）- vn，Nn（θ？）≤ 因此，我们推导出alln≥ nδ，|θn，Nn- θ?| < ε. 因此，θn，nn收敛于θ？。如果我们把这个结果与vn，Nn对连续函数v的局部一致收敛性结合起来，我们可以推断vn，Nn（θn，Nn）收敛于v（θ？）。此外，我们通过方程（3.9）得到，对于所有K>0sup |θ|≤Kθ（j）ψ（XT）e-θ·WT+|θ| T≤ eKT/2ψ（XT）K+（eKW（j）t+e-千瓦（焦耳）吨qYi=1（eKW（i）t+e-千瓦（i）吨）。根据条件（h-2），r.h.s是可积的。因此，Ehsup |θ|≤Kθψ（XT）e-θ·WT+|θ| T我<+∞. 类似地，我们可以证明Ehsup |θ|≤Kθψ（XT）e-θ·WT+|θ| T我+∞. 然后，证明了控制θn，Nntoθ收敛的中心极限定理？，我们重现了[29，定理A2，第74页]的结论，它主要基于vn，nn，以及定理A.1.2.4第二阶段蒙特卡罗方法得出的渐近正态性。在本节中，我们旨在按照[23]的精神，在离散化扩散过程中建立自适应蒙特卡罗估计。我们的设置有所不同，主要是因为我们希望同时设置时间步数和样本数。渐近结果依赖于自适应重要抽样蒙特卡罗估计中涉及的三角形阵列的一致控制。第4节的技术结果将对提供此类控制非常有用。使用θ的估计量？在上一节中，我们根据方程（1.2）定义了E[ψ（XT）]的蒙特卡罗估计量。

我们引入由样本（Wi）i生成的σ-代数G≥1用于计算θ和θn，Nn。假设（~Wi）i.i.d.样本根据W定律，但不依赖于G。在G条件下，我们引入i.i.d.样本（~Xi（θn，Nn）），遵循X（θn，Nn）定律，使得每个i，~Xi（θn，Nn）都是由~Wi驱动的SDE的解。我们引入（~Gk）k>0由~Gk=σ（~Wi，1）定义的过滤≤ 我≤ k） G]k=G∨~Gk。对于每一个i>0，我们也考虑定义为Xi（θn，Nn）的欧拉离散化的Xni（θn，Nn）。基于这些新的样本集，我们定义n，Nn=NnNnXi=1g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i），其中函数g:Rq×Rd×Rq→ R由g（θ，x，y）定义= ψ（x）e-θ·y-|θ| T.（2.6）为了使接下来的证明更加清晰，可以方便地引入以下符号mn，Nn（θ）=NnNnXi=1g（θ，~XnT，i（θ），~WT，i）。注意Mn，Nn=Mn，Nn（θn，Nn）。定理2.5。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。然后，Mn，Nn-→ n时的E[ψ（XT）]a.s→ +∞.证据利用样本的条件独立性（~Xni（θn，Nn），~Wi）i，我们得到了E[g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）|g]=E[ψ（XnT）]= 执行所有i>0。让V Rqbe是θ？的紧邻域？。我们定义了序列i，n=g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）- EN{θn，Nn∈五} 其经验平均值Ym，n=mPmi=1Yi，对于所有m>0。显然，E[Yi，n]=0，并且使用条件独立性E[嗯，n] =我。E[|Y1，n |]≤ EhEh | g（θn，Nn，~XnT，i（θn，Nn），~WT，i）- 嗯|Gi{θn，Nn∈五} 我≤ Ehvn（θn，Nn）1{θn，Nn∈五} 我≤ supθ∈Vvn（θ）。我们知道VN是凸的，并且在点方向上收敛到v，v也是凸的和连续的。因此，vn局部一致收敛到v，这意味着对于所有紧集K Rq，limn→+∞supθ∈Kvn（θ）=supθ∈千伏（θ）。因此，supnsupθ∈Vvn（θ）<+∞. 应用命题4.1证明YNn，na。s-----→N→+∞当θn时，nn收敛于θ？∈ K、 这也意味着Limn→+∞Mn，Nn=E[ψ（XT）]a.s.定理2.6。

在定理2.5的假设下，如果条件（Hγ）成立，我们有pnn（Mn，Nn）- E[ψ（XT）]）==> N（Cψ（T，α），σ）当N→ +∞.式中σ=Ehψ（XT）e-θ?·WT+|θ|钛- E[ψ（XT）]。备注2.7。假设Euler方案中使用的时间步数固定为n=1，并考虑估计器M1，n（θ1，n）。然后，我们从[2，定理3.4]知道→ ∞,M1，N（θ1，N）-→ E[g（θ，XT（θ），WT）]a.s。√N（M1，N（θ1，N）- E[g（θ，XT（θ，WT）]）==> N（0，σ），其中σ=Ehψ（XT）e-θ·WT+|θ| Ti- E[ψ（XT）]。证据通过引入Mn，Nn（θ？），我们可以写出收敛结果的左侧pNn（Mn，Nn）- E[ψ（XT）]=pNn（Mn，Nn（θn，Nn）- Mn（θ？）+pNn（Mn，Nn（θ？）- E[ψ（XT）]r.h.s上最后一项的收敛性√Nn（Mn，Nn（θ？）-E[ψ（XT）]受欧拉蒙特卡罗中心极限定理的约束，该定理产生了公布的极限（见[12]）。我必须证明这一点√Nn（Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）概率收敛到零。设ε>0，α<，PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε= PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε ; NαN |θN，Nn- θ?| > 1.+ PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？|>ε ; NαN |θN，Nn- θ?| ≤ 1.= P（NαN |θN，Nn）- θ?| > 1） +PpNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|1{NαN |θN，Nn-θ?|≤1}> ε.根据定理2.4，P（NαN |θN，Nn- θ?| > 1） 当n变为单位时趋于零。设K>0s.t.对于所有足够大的n{θ∈ Rq:|θ-θ?| ≤ N-αn} B（0，K）。我们可以在r.h.s.上绑定第二个术语。

利用马尔可夫不等式pNn | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|1{NαN |θN，Nn-θ?|≤1}> ε≤NnεEh | Mn，Nn（θn，Nn）- Mn，Nn（θ？）|{θn，Nn∈B（0，K）}i≤εEh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}i≤εEh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i+εEh|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn）~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}i.我们分别处理这两个术语。首先，根据θn，Nn和| W之间的独立性，我们可以写出|g（θn，Nn，| XnT（θn，Nn），|WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i=E|ψ（XnT）- ψ（XT）|exp(-θn，Nn·WT+|θn，Nn | T）1{θn，Nn∈B（0，K）}≤ Eh |ψ（XnT）- ψ（XT）|2（1+η）i1+ηe1+2η2ηKT，对于某些η>0。依赖于性质（H-1）-ii和自ψ所保证的一致可积性∈ Hα，我们可以让n进入期望值内，以获得该极限→+∞Eh | g（θn，Nn，~XnT（θn，Nn），~WT）- g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）{θn，Nn∈B（0，K）}i=0。第二项，因为函数g是连续的，前两个参数是w.r.t，Xθ是连续的，参数是θ，limn→+∞g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）-g（θ？，~XnT（θ？），~WT）=0 a.s.为了得出结论，我们需要证明r.v.家族。|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}nis一致可积。首先，对于任何θ∈ Rqand 2（1+η）>a>2Eh | g（θ，~XT（θ），~WT）| ai=E|ψ（~XT）|ae-（a）-1） θ·WT+（a）-1） |θ| T≤ Eh |ψ（~XT）| 2（1+η）i2（1+η）aeC |θ|（2.7），其中C是一个仅依赖于a和T的常数。这就产生了，对于一些δ>0和一些常数C>0，与θ无关，Eh | g（θ，| XT（θ），|WT）| 2+δi<CeC |θ|。

然后，我们得到supneh | g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）| 2+δ{θn，Nn∈B（0，K）}i=supnEhEh | g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）| 2+δ|θn，Nni{θn，Nn∈B（0，K）}i≤ supnCEheC |θn，Nn |{θn，Nn∈B（0，K）}i≤ 切克。我们同样可以得到supneh | g（θ？，|XnT（θ？），~WT）| 2+δi≤ supnEh |ψ（XnT）| 2（1+η）i2（1+η）2+δeC |θ？|。这证明r.v.家族。|g（θn，Nn，~XT（θn，Nn），~WT）- g（θ？，~XnT（θ？），~WT）|{θn，Nn∈B（0，K）}nis一致可积，证明到此结束。3多级重要抽样蒙特卡罗近年来，许多研究表明，MLMC与离散化方案相结合时，将取代蒙特卡罗。然后，研究这种新方法如何与现有的方差减少技术，尤其是重要的抽样技术相结合，就变得很自然了。在本节中，我们研究了重要性抽样GMLMC估计量QL（^λ，…，^λL）的数学性质。首先，我们从证明^λ的存在性和唯一性开始，然后我们在第3.3.3.1节中证明了一个强大的大数定律和一个关于QL（λ，…，λL）的中心极限定理。我们的多级重要抽样估计器的一般框架是QL（λ，…，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））E-（W0，k，λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（~W`，k，λ`）。（3.1）对于任何固定∈ {1，··，L}，随机变量（~W`，k）1≤K≤N′是独立的，根据布朗定律分布。我们假设``∈ {1，··，L}，带\'6=\'，块（~W\'，k）1≤K≤N`and（~W`，k）1≤K≤他们是独立的。对于任何固定的∈ {1，··，L}和K∈ {1，…，N`}，变量Xm`T，`，k（λ`）（分别Xm`-1T，`，k（λ`）是X（λ`）与m`（分别为m）的欧拉模式的终值`-1） 使用相同的布朗路径W`，k构建时间步长。多级方法的关键是使用相同的布朗路径来计算Xm`T`，k（λ`）和Xm`-1T，`，k（λ`）。

两个不同级别中使用的随机变量块是独立的。根据这些假设，我们可以计算Var[QL]=N给出的多级估计量的方差-1σ（λ）+LX`=1N-1`（米）- 1） Tm`σ`（λ`），其中σ（λ）= Var[ψ（XmT（λ））E-（W，λ）]σ`（λ`）=m`（m- 1） TVarhnψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）oE-（W，λ`）i.通过应用（1.2），每个水平的方差`≥ 0可以写成σ`（λ`）=v`（λ`）- Ξ`with v（λ）= Ehψ（XmT）E+（W，λ）i，Ξ= Ehψ（XmT）i（3.2）v`（λ`）=m`（m- 1） TEψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）E+（W，λ`）, (3.3)Ξ`=sm`（m）- 1） ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）i（3.4）和E+（W，λ）= E-λ·WT+|λ| T。因此，全局方差由var[QL]=N给出-1（v（λ）- Ξ）+LX`=1N-1`（米）- 1） 商标`v`（λ`）- Ξ`.实际上最小化函数λ7-→ v`（λ），我们考虑N个样本v0，N（λ）的样本平均逼近=NNXk=1ψ（XmT，0，k）E+（W0，k，λ），v`，N`（λ`）=N`N`Xk=1m`（m- 1） Tψ（Xm`T，`，k）- ψ（Xm）`-1T，`k）3.2重要抽样参数的收敛性从引理2.1中，我们推导出v`，N`具有唯一的极小值λ`=arg minλ∈Rqv`，N`（λ）。定理3.1。假设b和σ是有界导数ψ的cw∈ 某些α的Hα≥ 1，ψ是Candψ具有多项式增长。然后，随机函数序列（v`，N`）：λ∈Rq→ v`，N`（λ））`局部一致收敛于强凸函数v:Rq→ Rdefined byv（λ）= 嗯(ψ（XT）·UT）E+（W，λ）i（3.5），dut=b（Xt）Utdt+qXj=1σj（Xt）UtdWjt-√qXij，=1σj（Xt）σi（Xt）dWi，jt（3.6），其中W是一个独立于W的布朗运动，其值为Rq×q。此外，bλ`将a.s.收敛到λ？= arg minλv（λ），当`→ +∞.证据让我们定义双索引序列yk，`（λ）=m`（m- 1） Tψ（Xm`T，k）- ψ（Xm）`-1T，k）E+（Wk，λ）。对于任何固定的`，序列（Yk，`（λ））kis i.i.d。

对于任何k，E[Yk，`（λ）]=y`（λ），其中y`（λ）=Em`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）E+（W，λ）.我们从命题A.4推断序列（y`）`逐点收敛到连续函数Eh(ψ（XT）·UT）E+（W，λ）i，从而满足假设（H-4）-i。序列（Yk，`（λ））kalso的i.i.d.性质意味着sup |λ|≤KNNXk=1Yk，`（λ）！≤ up“nn=1sλ|≤KYk，`（λ）#≤NE“sup |λ|≤KY1，`（λ）#。（3.7）E“sup |λ|≤KY1，`（λ）#≤ E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#E“sup |λ|≤KE+（W，λ）#。（3.8）使用以下上界sup |λ|≤柯-λ·WT+|λ| T≤ eKTqYl=1（eKW（l）T+e-千瓦（升）吨），（3.9）Ehsup |λ|≤KE+（W，λ）i<+∞. 让我们仔细看看（3.8）中的第一个术语。根据条件（2.1），我们可以写“m`ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#≤ 总工程师m4`Xm`T- Xm`-1T8α1 +Xm`T8β+Xm`-1T8β.利用Euler格式的强收敛速度，我们注意到对于任何p>1，Em4`pXm`T- Xm`-1T8αp≤ m4`pCM-4αp`+m-4αp(`-1)≤ Cm4αp-4`p（α）-1).因此，由于α≥ 1.通过使用柯西-施瓦茨不等式，我们可以轻松地检查SUP`E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#< +∞.通过将所有这些结果合并到（3.8）中，我们得到了sup`Ehsup |λ|≤KY1，`（λ）i<+∞.然后，我们与（3.7）一起推断序列（Yk，`）k，`满足第4.3位的假设（H-5）。设δ>0和λ∈ Rd.E“sup |u-λ|≤δ| Y1，`（λ）- Y1，`（u）|#≤E“m`（m- 1） Tψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）#E“sup |u-λ|≤δE+（W，λ）- E+（W，u）#.我们刚刚证明了r.h.s上的第一个期望一致有界于`。由于指数权重相对于λ是a.s.连续的，很明显Limδ→0sup |u-λ|≤δ| E+（W，λ）- E+（W，u）|=0 a.s.此外，我们可以应用勒贝格定理（3.9）给出的上界来推导thatlimδ→0sup`E“sup |u-λ|≤δ| Y1，`（λ）- Yk，`（u）|#=0。因此，命题4.3的假设（H-6）是满足的。

最后，我们可以应用命题4.3来证明序列n`PN`k=1Yk`局部一致收敛于0。bλ′到λ的收敛性？可以通过严格模仿定理2.4.3.3强大数定律和中心极限定理的证明来推导`∈Nof正实数，比如limL→∞PL`=1a`=∞.我们假设样本量N`具有以下形式Nρ\'，L=ρ（L）m`a`LXk=1ak，`∈ 某些增函数ρ：N的{0，··，L}（3.10）→ R.我们选择N\'的这种形式是因为它是一种通用形式，允许我们直接使用Toeplitz引理，这是证明中心极限定理的关键工具。辛塞利米尔→∞PL`=1a`=∞, 对于任意序列（x`）`≥1接近某个极限x∈ R、 极限→+∞PL`=1a`x`PL`=1a`=x。我们定义了由样本（W`，k）`，k生成的σ-代数G≥1用于计算λL。在上述框架中，变量（~W`，k`，k）与G无关。我们还介绍了（~W`，k，k）生成的过滤（~G`）>0≥ 1） “‘过滤（G）’”>0定义为G]`=G∨~G`。定理3.2。假设supLsup`La`ρ（L）PLk=1ak<+∞. 然后，在3.1的假设下，QL（bλ，…，bλL）-→ 当L→ +∞.对于选择a`=1表示所有`，ρ上的条件减少为supLLρ（L）<+∞.证据当E[ψ（XLT）]收敛到E[ψ（XT）]时，当L进入整数时，就足以证明ql（bλ，…，bλL）- E[ψ（XLT）]趋于0。QL（bλ，…，bλL）- E[ψ（XLT）]=Nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT，0）]+LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，“我！”！。（3.11）从定理2.5和注释2.7中，我们知道nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT，0）]a.s。-----→L→+∞0.然后，必须证明（3.11）中的剩余项在L中趋向于0。

设V是λ？的紧邻域？。LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我=LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我！{bλ`∈五} +LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- Ehψ（~Xm`T`- ψ（Xm）`-1T，`）我！{bλ`/∈五} 对于足够大（尽管是随机的），1{bλ`/∈五} =0。因此，当L变为单位时，上述方程中的第二项趋向于0 a.s。还有待证明，第一项也会收敛到零。为此，我们将命题4.1应用于序列y`，q=qNρ`，qNρ`，qXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- 嗯ψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）我{bλ`∈五} 设置YL，q=LPL`=1Y`，q。注意，E[Y`，q]=0表示所有`和q。由于不同级别中使用的样本是独立的，且^λ`\'与过滤G无关，我们可以YL，qi=LEELX`=1Y`，qG=LLX`=1Eh | Y`，q | i.（3.12）使用同样的参数，我们得到了eh | Y`，q |i≤ qNρ`，qEψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）E+（~W`，bλ`）1{bλ`∈V}≤qa`ρ（q）Pqk=1ak嗯ψ（~Xm`T，`）- ψ（Xm）`-1T，`）E+（~W`，bλ`）1{bλ`∈V}.从命题A.4中，当“到”时，括号中的术语收敛。因此，使用函数ρ的假设，我们得到supqsup`Eh|Y\'，q|i<+∞. （3.13）通过组合方程（3.12）和（3.13），我们得到了supLsupqLEhYL，q我+∞. 因此，命题4.1给出了YL，Lvanishes，当我进入实体时，这就结束了证明。定理3.3。假设定理3.1的假设成立，且条件（Hγ）满足。如果Nρ`，则由（3.10）给出，ρ（L）=m2γL（m）-1） T和序列（a`）`satiesliml→∞PL`=1a`p/2LX`=1ap/2`=0，对于p>2，（3.14），那么mγL（QL（bλ，…）。

，bλL）- E[ψ（XT）]）==> N（Cψ（T，γ），v（λ？）当我→ ∞.收敛速度不取决于样本数N\'，前提是它们与`一致。证据通过假设（Hγ），我们得到了limL→+∞mγL（E[ψ（XmLT）- ψ（XT）]=Cψ（T，γ）。0级的收敛性由定理2.6（见备注2.7）控制，该定理得出，当L→ ∞,qNρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT）]==> N（0，σ（λ））。然后，我们从函数ρthatmγL的选择中推导Nρ0，LNρ0，LXk=1ψ（~XmT，0，k（bλ））E-（W0，k，bλ）- E[ψ（XmT）]P-----→L→+∞0.因为所有的块都是独立的，所以证明mγL是足够的LX`=1Nρ`，LNρ`，LXk=1ψ（~Xm`T，`，k（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（bλ`）E-（~W`，k，bλ`）- E[ψ（XnT）]==> N（0，v（λ？）。为此，我们引入（G]l）l≥1-鞅数组（Ynl）l≥1定义拜因=lX`=1mγLNρ`，LNρ`，LXi=1hψ（~Xm`T，`，i（bλ`）- ψ（Xm）`-1T，`，i（bλ`）E-（~W`，i，bλ`）- Ehψ（~Xm`T）- ψ（Xm）`-根据定理A.1，我们需要研究两个量hynil=LX`=1Eh | Yn的渐近行为`- 伊恩`-1|G]`-1和lx`=1Eh | Yn`- 伊恩`-1 | pG]`-1i，对于p>2作为n→ ∞.注意bλ`是G]`-1–可测量且适用于任何λ∈ rq变量（~Xm`T，`，i（λ），~Xm`-1T，`，i（λ））1≤我≤NLG独立于G]`-1，然后使用ρ（L）=m2γL（m）的（3.10）- 1） T，我们将FirstQuantity改写为如下hynil=PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- 定义为（3.3）和（3.4）的“i”。设V是λ？的紧邻域？。我们可以写eynil=PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- Ξ\'i{bλ`∈五} +PL`=1a`LX`=1a`hv`（bλ`）- Ξ\'i{bλ`/∈五} 。（3.15）从命题A.4中，我们知道Ξ`-→ E[ψ（XT）。UT]=0，其中最后一个等式是[24，命题2.1]的直接结果。从命题A.4中，我们知道函数序列v`逐点收敛到由（3.5）定义的v。此外，我们可以很容易地证明这种收敛是局部一致的。