耦合重要性抽样和使用样本的多级蒙特卡罗

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英文标题：
《Coupling Importance Sampling and Multilevel Monte Carlo using Sample
  Average Approximation》
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作者：
Ahmed Kebaier (LAGA), J\\\'er\\^ome Lelong (DAO, MATHRISK)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this work, we propose a smart idea to couple importance sampling and Multilevel Monte Carlo (MLMC). We advocate a per level approach with as many importance sampling parameters as the number of levels, which enables us to compute the different levels independently. The search for parameters is carried out using sample average approximation, which basically consists in applying deterministic optimisation techniques to a Monte Carlo approximation rather than resorting to stochastic approximation. Our innovative estimator leads to a robust and efficient procedure reducing both the discretization error (the bias) and the variance for a given computational effort. In the setting of discretized diffusions, we prove that our estimator satisfies a strong law of large numbers and a central limit theorem with optimal limiting variance, in the sense that this is the variance achieved by the best importance sampling measure (among the class of changes we consider), which is however non tractable. Finally, we illustrate the efficiency of our method on several numerical challenges coming from quantitative finance and show that it outperforms the standard MLMC estimator.
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中文摘要：
在这项工作中，我们提出了一个聪明的想法，耦合重要性抽样和多级蒙特卡罗（MLMC）。我们提倡每层方法，其重要性抽样参数与层数相同，这使我们能够独立计算不同的层。使用样本平均近似进行参数搜索，这基本上包括将确定性优化技术应用于蒙特卡罗近似，而不是诉诸随机近似。我们创新的估计器为给定的计算工作量提供了一个稳健而有效的过程，减少了离散化误差（偏差）和方差。在离散化扩散的设置中，我们证明了我们的估计满足一个强大的大数定律和一个具有最优极限方差的中心极限定理，在这个意义上，这是通过最佳重要性抽样度量（在我们考虑的变化类别中）获得的方差，但这是不可处理的。最后，我们在几个来自定量金融的数值挑战上说明了我们的方法的有效性，并表明它优于标准的MLMC估计。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Coupling_Importance_Sampling_and_Multilevel_Monte_Carlo_using_Sample_Average_App.pdf (1.04 MB)

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关键词：蒙特卡罗 重要性 蒙特卡 Applications Quantitative

耦合重要性抽样和多级蒙特卡罗平均逼近HMED Kebaier*& Jér^ome Lelong+2018年9月23日摘要在这项工作中，我们提出了一个聪明的想法，将重要性抽样和多级蒙特卡罗（MLMC）结合起来。我们提倡每一级别的方法，其重要性抽样参数与级别数量一样多，这使我们能够独立地处理不同的级别。使用样本平均近似进行参数搜索，这基本上包括将确定性优化技术应用于aMonte Carlo近似，而不是诉诸随机近似。我们创新的估计器带来了一个稳健而高效的程序，减少了给定计算效果的离散化误差（偏差）和方差。在离散化差分的设置中，我们证明了我们的估计满足强大的大数定律和具有最佳极限方差的中心极限定理，从这个意义上讲，这是通过最佳重要性抽样度量（我们考虑的变化类别中）获得的方差，但这是不可处理的。最后，我们说明了我们的方法对来自定量金融的几个数值挑战的有效性，并表明它优于标准的MLMC估计。AMS 2000数学科目分类。60F05，62F12，65C05，60H35。关键词和短语。样本平均近似；多层蒙特卡罗；方差缩减；统一强大数定律；中心极限定理；重要采样。1简介涉及随机过程的期望值通常使用蒙特卡罗方法结合离散化方案进行计算。例如，计算一个对冲投资组合来为这些工具融资。

通常，资产价格由一个离散过程（Xt）0建模≤T≤T、 定义为随机微分方程（SDE）的解dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X∈ Rd（1.1），其中b:Rd→ Rd，σ：Rd→ Md×qand W是一个布朗运动，其值在给定概率空间的Rqde内(Ohm, （英尺）0≤T≤T、 P）有限时间范围T>0。过程*巴黎13大学、巴黎市索邦大学、拉加大学、北卡罗来纳大学（UMR 7539），kebaier@math.univ-巴黎13。fr.这项研究得益于Risques金融家主席、Risque基金会和卓越实验室MME-DII的支持(http://labex-mme-dii.u-cergy.fr/).+格勒诺布尔阿尔卑斯大学，Jean Kuntzmann实验室，杰罗姆。lelong@univ-格勒诺布尔阿尔卑斯山。fr.该项目得到了能源市场金融研究中心（www.fime-lab.org）的支持。X几乎没有显式解，这意味着它的模拟需要使用离散化方案。为了n∈ N*, 考虑连续时间欧拉近似xnw，其时间步长δ=T/n由dxnt=b（Xnηn（T））dt+σ（Xnηn（T））dWt给出，ηn（T）=bt/δcδ。这项工作旨在将重要性抽样与不同的离散化方法相结合：首先，我们研究了欧拉-蒙特卡罗标准情况下重要性抽样的使用，然后将其应用于MLMC。许多不同的测量变化可用于实施重要性抽样。在使用Lévy流程时，通常会使用Esschertransform来引入一系列新的度量。对于布朗驱动的SDE，Esscher变换实际上符合Girsanov定理的高斯度量变化。遵循Arouna[1]的思想，我们考虑一个随机过程的参数族（Xt（θ））0≤T≤T、 θ∈ Rq，由线性漂移dxt（θ）=（b（Xt（θ））+σ（Xt（θ））θ）dt+σ（Xt（θ））dWt的布朗运动驱动。我们还定义了过程X（θ）的连续时间欧拉近似Xn（θ）。

根据Girsanov定理，过程（Bθt= Wt+θt）t≤这是一个布朗运动，在新的概率测度Pθ下等价于P，因此dPθdP | Ft=exp-θ·Wt-|θ| t= E-（W，θ）。因此，EP[ψ（XT）]=EPθ[ψ（XT（θ））]=EPψ（XT（θ））E-（W，θ）. （1.2）当用欧拉格式Xn（分别Xn（θ））替换X（分别X（θ））时，这个等式仍然成立。l.h.s.和r.h.s.预期都是在原始概率度量下计算的。在下文中，我们将始终使用度量值P，因此不再编写它。重要抽样蒙特卡罗的思想是利用（1.2）的r.h.s，用Xn（θ）建立E[ψ（XT）]的蒙特卡罗估计量，其中θ由θ？=argminθ∈RqVarψ（XT（θ））E-（W，θ）.第2节研究了欧拉蒙特卡罗的重要性抽样：首先，我们研究如何近似θ？在实践中，我们证明了蒙特卡罗估计与θ的近似相结合？当n和样本数一致时，满足强大的大数定律和中心极限定理。这一结果扩展了[23]中获得的极限定理，在该定理中，作者研究了固定数量的离散化步骤n的情况。使用E[ψ（XnT（θ））]代替E[ψ（XT（θ））]产生的误差称为离散化误差，并对欧拉-蒙特卡罗估计器的偏差负责，而蒙特卡罗近似仅影响方差。当蒙特卡罗方法的样本数N成比例时，这两个误差是平衡的，这导致了N阶的总体复杂性。为了减少给定计算效果的偏差，Kebaier[24]建议使用统计Romberg方法，该方法结合了两个嵌套时间网格上的离散化方案。

Giles[13]对该方法进行了推广，他提出使用多级蒙特卡罗算法，仿效海因里奇的参数积分多级方法[19]。让我∈ N和m≥ 2和L>0时，多级方法的思想是将预期写在下一次网格上，作为一个包含所有其他网格（称为级别）的伸缩和，E[ψ（XmLT）]=E[ψ（XmT）]+LX`=1E[ψ（Xm`T）- ψ（Xm）`-1T）]（1.3），然后通过蒙特卡罗方法，通过精心选择的样本数量来近似每个期望值，以平衡不同项之间的误差。我们请读者查阅有关MLMC的大量文献，以了解更多详细信息，例如[3、9、10、11、14、16、15、18、20、27]。对于固定的计算预算，使用多级技术明显减少了偏差，但在许多情况下，高方差也带来了显著的不准确，这自然会导致尝试将MLMC与方差减少技术结合起来。在这项工作中，我们重点研究了重要性抽样与MLMC的耦合。在[5]和[17]中，作者选择将MLMC应用于（1.2）的右侧，得出E[ψ（XmLT）]=Ehψ（XmT（λ））E-（W，λ）i+LX`=1Eh（ψ（Xm`T（λ））- ψ（Xm）`-1T（λ）））E-（W，λ）i.（1.4）该方法通过优化参数λ来混合所有级别，并打破了多级方法级别之间的独立性，尽管如此，它还是非常流行且易于实现。我们不使用（1.4），而是对（1.3）的伸缩和中的每个期望值应用重要性抽样，以获得λ，λL∈ RqE[ψ（XmLT）]=Ehψ（XmT（λ））E-（W，λ）i+LX`=1Eh（ψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）E-（W，λ`）i.我们的重要性抽样多级估计是通过对每一个具有N个样本ql（λ。

，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））E-（W0，k，λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（W`，k，λ`）（1.5）不同级别中使用的样品是独立的，在每个级别中，它们是任何级别的i.i.d≥ 0，变量Xm`T，`，k（λ`）（分别为Xm`-1T，`，k（λ`），当`>0）是X（λ`）与m`（分别为m）的欧拉格式的终值`-1） 使用相同的布朗路径W`，k构建的时间步。重要抽样MLMC估计量的方差由var[QL]=N给出-1σ（λ）+LX`=1N-1`（米）- 1） Tm`σ`（λ`），其中σ（λ）= Var[ψ（XmT（λ））E-（W，λ）]σ`（λ`）=m`（m- 1） 特瓦赫ψ（Xm`T（λ`））- ψ（Xm）`-1T（λ`）E-（W，λ`）i.通过允许每个级别有一个重要的采样参数λ`，我们的方法比[5,17]有许多优点。首先，不同级别的计算保持独立。第二，每个水平的方差只取决于λ，这将全局极小化问题简化为几个较小的极小化问题。第三，我们实际上最小化了估计量的实方差，而不是它的渐近值，更重要的是，它可以在不知道的情况下实现ψ、 然而，它出现在MLMC的中心极限定理中。[6]后来提出了在每个水平上使用一个重要抽样参数的新想法，但将其与随机近似结合起来，以建立自适应估计器。实际上，最小化λ7-→ σ`（λ）可以通过使用Chen等人[7,8]提出的随机截断Robbins-Monro算法来实现，后来Lapeyre和Lelong[25]和Lelong[26]在重要抽样的背景下进行了研究。这些随机算法的数值稳定性在很大程度上取决于下降步长的选择——通常被称为增益序列——这在实践中被证明是高度敏感的。

为了克服这一困难，Jourdain和Lelong[23]提出将确定性优化技术应用于样本平均估值器，以搜索最优参数。按照他们的方法，我们使用方差的标准经验蒙特卡罗估计量，将σ′，N′定义为σ′与N′样本的样本平均近似值。我们假设σ`，N`中使用的样本独立于QL中使用的样本。有关如何在不同近似中选择样本的更多详细信息，请参阅第3节。现在，我们给出了与我们的方法相对应的算法。对于`=0:L do2，对随机函数λ7进行采样-→ σ`，N`（λ）。//σ`，N`是σ`的样本平均近似值，参见第3.13节使用牛顿-拉斐逊算法计算^λ`=argminσ`，N`（λ）。4独立于σ`，N`，使用λ`，对（1.5）的水平进行采样。5 end6将所有水平相加，得到ql（λ，…，λL）=NNXk=1ψ（~XmT，0，k（λ））-（W0，k，^λ）+LX`=1N`N`Xk=1ψ（~Xm`T，`，k（λ`）- ψ（Xm）`-1T，`，k（λ`）E-（~W`，k，^λ`）。算法1.1：多级重要性抽样（MLIS）首先，我们在第2节研究了标准的欧拉-蒙特卡罗方法和重要性抽样。然后，在第三节中，我们研究了MLMC的重要性抽样框架。我们证明了QL（^λ，…，^λL）满足强大数定律和中心极限定理。我们的MLIS估计器在MLMC估计器家族中，使用一类过程（X（λ））λ逼近E[ψ（XT）]，从而获得最小的可能方差∈Rq。注意，这也是[5]中获得的具有最佳可能参数λ的基于（1.4）的MLMC估计器的极限方差∈ Rq。证明这些结果的主要困难在于自适应多级估计器中三角阵列的一致控制。

为了解决这个问题，我们在第4节中证明了一般情况下随机变量双指数序列的新极限定理（见命题4.1和命题4.3）。在第5节中，我们举例说明了MLI在解决来自定量融资的挑战性问题上的效率，并表明它优于标准的MLMC估计器。2.采用欧拉-蒙特卡罗法进行重要抽样。1符号和一般假设o对于向量x∈ Rq，|x |表示x的欧几里德范数。o上标*表示转置运算符。o对于矩阵a∈ Md×q，|M |表示由PTR（A）定义的Frobenius范数*A） ，对应于Rd×q上的欧几里德范数∈ N*, iq表示大小为q×q的单位矩阵。o对于α>0，我们定义函数集shα=nψ：Rd→ R s.t。c>0，β≥ 1.十、∈ Rd，|ψ（x）|≤ c（1+| x |β）和x、 y∈ Rd，|ψ（x）- ψ（y）|≤ c（1+（|x |β）∧ |y |β| x- y |αo（2.1）o对于随机变量序列（Xn）n，“Xn==> “X”意味着（Xn）不收敛于X。在这里，我们收集了几个标准的假设，以确保Euler方案的收敛。（H-1）i.函数b和σ是Lipschitzx、 y∈ 路| b（x）- b（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ Cb，σ| x- y |，（Hb，σ）对于某些实数Cb，σ>0。二、P≥ 1，X，Xn∈ 存在Kp（T）>0 s.T.E“sup0≤T≤T|Xt- Xnt | p#≤Kp（T）np/2。三、存在γ∈ [1/2,1]和Cψ（T，γ）>0 s.T.nγ（Eψ（XnT）- Eψ（XT））→ Cψ（T，γ）。（Hγ）（H-2）函数ψ满足（ψ（XT）6=0）>0和θ ∈ Rq，Ehψ（XT）e-θ·WTi<∞. （2.2）2.2一般框架在本节中，我们研究了欧拉-蒙特卡罗方法的情况。

我们考虑了由[ψ（XT（θ））E给出的E[ψ（XT）]的重要抽样表示-（W，θ）]。θ的最佳值由θ？=argminθ∈rqv（θ）= E[（ψ（XT（θ））E-（W，θ））]。通过使用（1.2），我们可以用E+（W，θ）重写v asv（θ）=E[ψ（XT）E+（W，θ）]= E-WT·θ+|θ|。从实用的角度来看，量v（θ）是不明确的，所以我们使用欧拉模式来离散X（θ）和近似θ？θn= argminθ∈Rqvn（θ）与vn（θ）= Eψ（XnT）E（W，θ）. （2.3）由于期望值通常不易处理，我们用其样本平均近似值代替它，并定义θn，n= argminθ∈Rqvn，N（θ）与vn，N（θ）=NNXi=1ψ（XnT，i）E（Wi，θ）, （2.4）式中（XnT，i，WT，i）1≤我≤奈尔i.i.d.样品符合（XnT，WT）定律。θ的存在唯一性？，θ和θn，由下列引理确定，其证明可以很容易地从[23，引理1.1]中进行调整。引理2.1。在条件（H-2）下，函数v、vn和vn、Nare对所有n、n及其导数都是连续可微分的，通过交换期望和微分得到。此外，函数v和vn都是强凸的，对于vn，Nis不等于零的任何Nsuch，vn也是强凸的。2.3最优重要性抽样参数的收敛性定理2.2。假设σ和b满足（Hb，σ）。设ψ满足条件（H-2）且对于某些α>0，它属于Hα。那么θn→ θ?a、 当n→ +∞.根据H"older不等式，对于任何函数ψ∈ Hα（H-2）表示supnE[ψ（XnT）e-θ·WT]<+∞. 因此，定理的证明从[5，定理2.2]开始。在下面，我们让N依赖于N，这样N= NN倾向于与n.命题2.3一致。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。然后，对于所有K>0，当n→ ∞sup |θ|≤K | vn，Nn（θ）- v（θ）|→ 0; sup |θ|≤K|vn，Nn（θ）- v（θ）|→ 0.证明。这两个结果的证明非常相似，我们省略了第二个结果，集中讨论了vn，Nn的一致收敛性。

为此，我们将采用提案4.3。现在，我们检查假设（H-4），（H-5），（H-6）。首先，请注意，在假设（Hb，σ）下，我们几乎可以确定XNTXT的收敛性。Asψ∈ Hα，从性质（H-1）-ii得出，对于所有a>1，supn∈嗯ψ（XnT）e-θ·WT+|θ| Tai<∞. 请注意，对于每个固定n，顺序ψ（XnT，i）e-θ·WT，i+|θ| Ti.i.d.那么，我们推断所有m∈ N*画→∞E[vn，m（θ）]=Ehψ（XT）E-θ·WT+|θ| Ti。这就产生了（H-4）。让K>0。Asψ∈ Hα我们使用Cauchy-Schwarz不等式和性质（H-1）-ii得到，该性质支持PMMVarsup |θ|≤Kvn，m（θ）！≤ supnE1/2ψ（XnT）E1/2“sup |θ|≤柯-4θ·WT+2 |θ| T#∞.使用相同的参数，我们也得到了supnsupmvarψ（XnT，m）sup |θ|≤柯-θ·WT，m+|θ| T！<∞.这就产生了（H-5）。关于最后一个假设，如果xδ>0，θ∈ 设B（θ，δ）——中心为θ，半径为δ的开放球——然后柯西-施瓦兹不等式给出“ψ（XnT）supθ”∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T#≤仰卧ψ（XnT）E“supθ∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T#.利用初等不等式| ex-|≤ |十、- y |（ex+ey），我们很容易推断出supθ∈B（θ，δ）E-θ·WT+|θ| T- E-θ·WT+|θ| T可以任意变小。最后，使用备注4.4满足假设（H-6）。定理2.4。假设假设（Hb，σ）成立，ψ∈ 对于某些α>0的情况，Hα。那么，θn，Nn-→ θ?a、 美国和√Nn（θn，Nn）- θ?) ==> N（0，Γ）当N→ ∞ 带Γ=[v（θ？）]-1Var（Tθ？- WT）ψ（XT）e-θ?·WT+|θ|T[v（θ？）]-1.证据。我们已经从命题2.3中知道，a.s.vn，nn局部一致收敛于v。设ε>0。通过vδ的严格凸性= inf |θ-θ?|≥εv（θ）- v（θ？>0.vn，Nnto v的局部一致收敛确保nδ>0，N≥ nδ，θ ∈ Rqs。t、 |θ- θ?| ≤ ε、 |vn，Nn（θ）- v（θ）|≤δ.