部分信息下最优策略的性能分析

在这种情况下：limT→∞埃林PTP它=信噪比+λ-pλ（λ+2SNR）, （21）限制→∞瓦伦PTPiT=SNR2λ，（22）limT→∞SRT=λ3/2q1+2SNRλ- 1.SNR，（23），其中SNR是信噪比（见等式（14））。此外：（1）对于固定参数值λ，-渐近期望对数收益是SNR的增函数，-渐近夏普比是SNR的增函数。（2） 对于固定参数值SNR，-渐近预期对数回报是λ的递减函数，-渐近夏普比是λ的递减函数，如果：SNR<λ，（24），则是λ的递增函数，如果SNR>λ。当λ=SNR且等于：SRMax时，可获得最大渐近夏普比∞=√SNR3/2。（25）证据。利用等式（14）和等式（5），可以得出：β=r1+2SNRλ。在等式（18）中注入该表达式，我们发现：limT→∞埃林PTPiT=L（信噪比，λ），其中L（信噪比，λ）=信噪比+λ-pλ（λ+2SNR）.自从L（信噪比，λ）信噪比=1.-q1+2SNRλ≥ 0时，渐近期望对数收益率是信噪比的递增函数。此外：L（信噪比，λ）λ=1-λ+SNRpλ（λ+2SNR）！≤ 因此，渐近期望对数收益率是λ的递减函数。此外，使用等式（14）、（5）和（19），等式（22）如下。现在，通过等式（14）、（5）和（20），我们发现：limT→∞SRT=SR∞（信噪比，λ），其中∞（信噪比，λ）=λ3/2q1+2SNRλ- 1.信噪比。自从SR∞信噪比=λq1+2SNRλ- 1.2SNRq1+2SNRλ≥ 渐近夏普比是信噪比的递增函数。此外：SR∞λ=q1+2SNRλ- 1.3λ1.-q1+2SNRλ+ 2SNR√2λSNRq1+2SNRλ。然后，有迹象表明SR∞λ由符号A（SNR，λ）=3λ1给出-r1+2SNRλ！+2SNR！。使用β=q1+2SNRλ，这个表达式可以分解为：A（SNR，λ）=λ（β- 1) (β - 2) .自β≥ 1，A（SNR，λ）为负当且仅当β为负≤ 2（如果且仅当β≥ 2） ，相当于等式（24）的条件。方程（25）使用方程（23）中的SNR=λ获得。

注意，SR∞总是积极的。自从SR∞是λ的递增函数，如果λ<SNR，则为该点之后的递减函数，该函数的最大值由等式（25）给出。3.3. 部分信息对最优策略的影响。为了衡量投资者无法观察趋势对最优策略绩效的影响，我们引入了部分信息因素。该指标表示具有部分信息的最优策略的渐近夏普比与具有完整信息的最优策略的渐近夏普比之间的比率：PIF=SR∞SRo∞, （26）SR∞是具有部分信息的最优策略的渐近夏普比，SRo∞是完全信息下最优策略的渐近夏普比。下面的定理给出了这个指标的解析形式。定理3.4。部分信息因子由以下公式给出：PIF=λ信噪比3/2q1+2SNRλ- 1.√, （27）其中SNR是信噪比（见等式（14））。如果SNR<λ（分别为SNR>λ）：（1）对于固定参数值SNR，该指标是λ的递减函数（分别为递增函数）。（2） 对于固定参数值λ，该指标是SNR的递增函数（分别是递减函数）。此外：PIF≤3/2，（28），这个界限是在λ=SNR时得到的。证据部分信息因子的表达式是等式（13）和（23）的结果。此外：PIF信噪比=√λq2SNRλ+1- 1.3λq2SNRλ+1- 1.- 2SNR2SNR5/2q4SNRλ+2。当且仅当信噪比≤λ. 对平均回复速度λ的依赖性来自推论3.3。备注3.5。

等式（28）表明，在最佳配置（λ=SNR）下，部分信息最优策略的渐近夏普比近似等于完全信息最优策略的渐近夏普比的38.49%。此外，直觉告诉我们，高信噪比和小趋势平均逆转速度λ对最优策略性能（然后是高PIF）的局部信息影响很小。当且仅当信噪比≤λ.4. 模拟在本节中，计算数值示例以说明前面章节的分析结果。图1表示最优策略的渐近夏普比，充分信息是信噪比的函数。如果信噪比小于1，对应于低于风险资产波动率的趋势标准差，则具有完整信息的最优策略的渐近夏普比小于0.5。现在，假设λ∈ [1522]而且这种趋势是一个不可观察的过程。图2表示最优策略的渐近夏普比，部分信息是趋势均值回归速度λ和信噪比的函数。自λ∈ [1，252]且信噪比<1时，方程（24）满足，该夏普比是信噪比的增函数和λ的减函数。而且，最大值小于0.2。我们还观察到，即使在高信噪比的情况下，较高的平均回复参数λ也会导致较小的夏普比。图3表示部分信息因子，它对应于具有部分和全部信息的最优策略的渐近夏普比率之间的比率（见等式（26））。使用等式（28），该指示器以3/2为界。

由于SNR<λ，该指标是λ的递减函数和SNR的递增函数。即使在高信噪比的情况下，与具有完全信息的情况相比，高平均反转参数λ导致具有部分信息的最优策略的性能可以忽略不计。图4和图5表示具有部分信息的最优策略的渐近夏普比，部分信息因子是信噪比和λ与λ的函数∈ [0, 2].这些图表明，如果SNR>λ，这些量是趋势平均回复速度λ的递增函数（部分信息因子也是信号对噪声的递减函数）。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0SNR0。10.20.30.40.5sr图1。具有完全信息的最优策略的渐近夏普比是信噪比的函数。图2。具有部分信息的最优策略的渐近夏普比是趋势平均回复速度λ和信噪比的函数。图3。部分信息因子是趋势平均回复速度λ和信号音调比的函数。图4。部分信息最优策略的渐近夏普比是趋势平均回复速度λ和信噪比λ的函数∈ [0, 2].图5。作为趋势平均回复速度λ和信号音调比λ函数的部分信息因子∈ [0, 2].5.

结论本研究采用基于无变异均值回复差异的模型，量化了由于部分信息导致的最优交易策略中的绩效损失。如果趋势是可观察的，我们证明了最优策略的渐近夏普比只是信号音调比的递增函数。在部分信息下，这种渐近夏普比成为信噪比和趋势均值反转速度的函数。即使渐近夏普比也是信噪比的递增函数，我们发现对趋势平均回复速度的依赖性不是单调的。事实上，这是趋势均值反转速度的单峰函数（先增大后减小）。我们还证明了具有部分信息的最优策略的渐近夏普比与具有完全信息的最优策略的渐近夏普比之比的阈值为3/2。鉴于这一结果，我们确信部分信息对最优策略的影响不容忽视。此外，仿真结果表明，即使在高信噪比的情况下，与完全信息下的最优策略相比，高趋势平均回复速度导致在部分信息下的最优策略性能可以忽略不计。附录A：提议1的证明。设K为（P，{Ft}）鞅，定义为：dKtKt=-utσSdWSt，概率测量值定义为：dePdP=KT。根据Girsanov定理，可以得出以下过程：fWSt=WSt+ZtusσSds是一个eP，{Ft}维纳过程。还要注意：dStSt=σdfWSt。现在，介绍过程N，定义为：Nt=fWSt-中兴通讯us | FSsσSds，asfw标准ut | FSt是FSt可测量的，NtisFSt可测量的过程N也是可积的。

设τ为有界停止时间。我们有E[Nτ]=E[N]=0。那么，N是一个连续鞅，N=0。注意d hN it=dt使用Levy的标准，过程N是PFSt维纳过程。附录B：平方稳态卡尔曼滤波器的自协方差函数下列引理给出了过程的自协方差函数^u：引理5.1。考虑等式（4）中定义的过程。其自协方差函数由以下公式给出：^us，^ut=λσS（β）- 1） e-2λte2λs+e-2λs- 2., （29）带0≤ s≤ t、 证据。由于^u是一个以Ornstein-Uhlenbeck过程为中心的过程，因此存在一个布朗运动B，对于所有的s∈ R+：^us=e-λsλσs（β- 1） Bf（s），其中f（s）=e2λs-12λ是一个时间变化。那么，对于所有的s，t，0≤ s≤ t、 我们有：Cov^us，^ut= E-2λ（t+s）λσs（β- 1） 冠状病毒高炉（s）、高炉（t）.因为B是一个维纳过程：E男朋友= f（s）。允许FBt是流程B产生的过滤。So:E高炉（s）、高炉（t）= EBf（s）EBf（t）| FBs= EhBf（s）EhBf（s）+2Rf（t）f（s）BudBu+f（t）-f（s）|FBsii=E男朋友Bf（s）+f（t）- f（s）= 3f（s）+（f（t）- f（s）f（s）。ThenE高炉（s）、高炉（t）= 2f（s）+f（t）f（s），方程（29）如下：高炉（s）、高炉（t）= E高炉（s）、高炉（t）- E男朋友EBf（t）.参考文献[1]A.Bel Hadj Ayed、G.Loeper和F.Abergel。用资产价格预测趋势。技术报告，2015年。[2] T·比约克、马克·H·A·戴维斯和C·兰登。部分信息下的最优投资。SSE/EFI经济和金融工作论文系列739，斯德哥尔摩经济学院，2010年。[3] 布伦德尔。不完全信息下的投资组合选择。随机过程及其应用，2006年。[4] P·J·布罗克韦尔和R·A·戴维斯。时间序列和预测简介。Springer Verlag纽约，2002年。[5] B.布鲁德和N.高斯塞尔。动态投资策略的风险收益分析。技术报告，Lyxor，2011年。[6] 伊瑟利斯。

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