部分信息下最优策略的性能分析

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英文标题：
《Performance analysis of the optimal strategy under partial information》
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作者：
Ahmed Bel Hadj Ayed, Gr\\\'egoire Loeper, Sofiene El Aoud, Fr\\\'ed\\\'eric
  Abergel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The question addressed in this paper is the performance of the optimal strategy, and the impact of partial information. The setting we consider is that of a stochastic asset price model where the trend follows an unobservable Ornstein-Uhlenbeck process. We focus on the optimal strategy with a logarithmic utility function under full or partial information. For both cases, we provide the asymptotic expectation and variance of the logarithmic return as functions of the signal-to-noise ratio and of the trend mean reversion speed. Finally, we compare the asymptotic Sharpe ratios of these strategies in order to quantify the loss of performance due to partial information.
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中文摘要：
本文讨论的问题是最优策略的性能，以及部分信息的影响。我们考虑的背景是随机资产价格模型，其中趋势遵循不可观察的Ornstein-Uhlenbeck过程。我们主要研究在完全或部分信息下具有对数效用函数的最优策略。对于这两种情况，我们都提供了对数回报的渐近期望和方差，作为信噪比和趋势均值回归速度的函数。最后，我们比较了这些策略的渐近夏普比率，以量化由于部分信息而导致的性能损失。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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关键词：性能分析 最优策略 Quantitative Mathematical Optimization

部分信息下最优策略的性能分析Ahmed Bel Hadj Ayed，Gr’egoire Loeper，So fiene El Aoud，Fr’ed’eric AbergelAbstract。本文讨论的问题是最优策略的性能，以及部分信息的影响。我们考虑的背景是随机资产价格模型，其中趋势遵循不可观察的Ornstein-Uhlenbeck过程。我们主要研究在完全或部分信息下具有对数效用函数的最优策略。对于这两种情况，我们都提供了对数回报的渐近期望和方差，作为信噪比和趋势平均回归速度的函数。最后，为了量化部分信息导致的性能损失，我们比较了这些策略的渐近Sharperios。简介最优投资是默顿在1969年提出的（详情见[11]）。他假设风险资产遵循几何布朗运动，并推导了投资者最大化其预期效用函数的最优投资规则。对这个问题有几个概括是可能的。其中之一是考虑一个随机的不可观测趋势，这将导致一个具有部分信息的系统。这一假设似乎是现实的，因为公众只能获得therisky资产的历史价格。

例如，Karatzas和Zhao（见[8]）研究了不可观测常数趋势的情况，Lakner（见[9]）和Brendle（见[3]）考虑了一个随机资产价格模型，其中趋势是不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程，Sass和Hausmann（见[13]）假设趋势由不可观测的连续时间有限状态马尔可夫链给出。在本文中，我们考虑了一个随机资产价格模型，其中趋势是一个不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程，我们关注部分或完全信息下具有对数效用函数的最优策略。这项工作的目的是将这些策略的性能描述为信噪比和趋势均值回复速度的函数，并量化由于部分信息而导致的性能损失。由于信息不完整而导致的效用损失是由Karatzas和Zhao（见[8]）、Brendle（见[3]）以及Rieder和B¨auerle（见[12]）研究的定量金融、实验室MAS、CentraleSup’elecBNP Paribas全球市场研究的结果。这里，交易策略绩效是用渐近夏普比率来衡量的（详情见[14]）。论文组织如下：第一部分介绍了模型，并回顾了过滤理论的一些结果。第二部分研究了完全信息下的最优策略。这个投资组合是由一个能够观察趋势的经纪人建立的，他的目标是最大化他的预期效用。我们以封闭形式提供对数回报的期望和方差，作为信噪比的函数。我们还证明了具有完全信息的最优策略的渐近夏普比是信噪比的增函数。在第三部分中，我们考虑了部分信息下的最优策略。

这对应于一个不可观察的趋势过程，以及一个旨在最大化其预期对数效用的代理。在这种情况下，我们以闭合形式提供对数回报的期望和方差，作为信噪比和趋势平均反转速度的函数。然后，我们推导了渐近Sharperatio，并证明这是信号音调比的递增函数和趋势平均反转速度的单峰函数（先递增后递减）。然后，我们引入了部分信息因子，即部分信息最优策略的渐近夏普比与完全信息最优策略的渐近夏普比之比。该系数衡量由于部分信息导致的性能损失。我们证明这个系数的界限是3/2。在第四节中，数值例子说明了前面几节的分析结果。仿真结果表明，即使在高信噪比的情况下，与完全信息的情况相比，在部分信息下，高趋势平均回复速度导致最优策略的性能可以忽略不计。1.设置本节首先介绍模型，该模型对应于平均值回复差异。之后，我们在一个完全可观察的环境中重新构建了这个模型（详见[10]）。该设置引入了趋势的条件预期，知道了过去的观察结果。然后，我们回顾了卡尔曼滤波器的渐近连续时间极限。1.1. 模型。考虑一个生活在随机基础上的金融市场(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft，t>0}是与二维（不相关）维纳过程（WS，Wu）相关的自然过滤，P是客观概率度量。

风险集S的动态由DSTST=utdt+σSdWSt（1）dut=-λutdt+σudWut，（2）u=0。我们还假设（λ，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+. 参数λ称为趋势平均回归速度。实际上，λ可以被视为将趋势拉回到零的“力量”。表示byFS=FSt是与价格过程相关的自然过滤。重要的一点是，只有FS适应的过程是可观察的，这意味着该市场中的代理不观察趋势u。1.2。可观察的框架。如上所述，经纪人只能观察股价过程。由于趋势u不可测量，经纪人不能直接观察。实际上，模型（1）-（2）对应于一个具有部分信息的系统。以下命题给出了模型（1）-（2）在ObserviefRamework中的表示（详情见[10]或附录a）。提议1。风险资产S的动态也由DSTST=E给出ut | FStdt+σSdNt，（3）其中N是aP、 财政司司长维纳过程。备注1.1。在过滤理论中（详见[10]），这个过程被称为创新过程。要理解这个名称，请注意：dNt=σSdStSt- Eut | FStdt.然后，DNTre展示了当前观察结果与我们期望知道的过去观察结果之间的差异。1.3. 最佳趋势估计器。系统（1）-（2）对应于线性高斯空间状态模型（详见[4]）。在这种情况下，卡尔曼滤波器给出了与条件期望E相对应的最优估计器ut | FSt. 因为（λ，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+,模型（1）-（2）是一个可控的、可观测的时不变系统。在这种情况下，众所周知，估计误差方差收敛到一个唯一的常数值（详见[7]）。这与稳态卡尔曼滤波器相对应。

以下命题（参见[1]以获得证明）给出了稳态卡尔曼滤波器的第一个连续表示：命题2。稳态卡尔曼滤波器的持续时间限制取决于资产回报率：dbut=-λβbutdt+λ（β- 1） dStSt，（4）其中β=1+σλσS. （5） 以下命题给出了稳定状态趋势估值器的第二种表示形式：命题3。根据方程式（4），可以得出以下结论：d^ut=-λ^utdt+λσS（β- 1） dNt。（6） 证据。通过方程式（3）的表达式替换方程式（4），我们找到方程式（6）。备注1.2。众所周知，卡尔曼估值器是一个高斯过程。在这里，我们发现稳态趋势估计器^uisan Ornstein-Uhlenbeck过程。在实践中，参数（λ、σu、σS）是未知的，必须进行估计（见[1]，其中作者评估了通过未观察到的均值回归差异建模预测趋势的可行性）。在本文中，我们假设参数是已知的。2.完全信息下的最优策略本节研究了完全信息下的最优策略。该策略由能够观察趋势的代理构建。形式上，它对应于FS=F的情况。给定这个框架，我们考虑具有对数效用函数的最优策略。我们以闭合形式给出了对数收益的渐近期望和方差，以及作为信噪比函数的该策略的渐近夏普比。2.1. 上下文考虑第一节中定义的金融市场，该市场具有无风险利率且无交易成本。设Po为自筹资金投资组合，由以下公式给出：dPotPot=ωotdsst，Po=x，其中ωotis是投资于风险资产的财富的分数（也被称为控制变量）。代理的目标是在分配过程的容许域上最大化其期望的对数效用。

在本节中，我们假设代理能够观察趋势u。形式上，它意味着AO代表了所有F-渐进和可测量的过程，这个问题的解由ω给出*= arg supω∈AoE[ln（Pot）| Po=x]。众所周知（参见[9]或[2]示例），这个问题的解决方案由以下公式给出：dPotPot=utσSdStSt，（7）Po=x.（8）2.2。完全信息下最优策略的性能分析。下面的命题给出了投资组合Po的随机微分方程：命题4。考虑等式（7）给出的投资组合。在这种情况下，d ln（Pot）=ut2σSdt+utσSdWSt。（9） 证据。利用方程（7）和过程ln（Pot）上的It^o引理，结果如下。渐近预期对数回报率是评估交易策略潜力的第一个指标。第二个可以是对数回报的方差。这个指标可以用来衡量风险。此外，让SRT为组合（PT）的年化夏普比率，定义为：SRT=EhlnPTP瓦伦酒店PTPi、 （10）该指标衡量每单位风险的预期对数回报。夏普比率是衡量一项投资的主要指标。备注2.1。夏普比率的定义不同于原始定义（见[14]）。这里，这个指标是根据对数周转率计算的。下面的定理给出了对数收益的渐近期望、方差和夏普比：定理2.2。考虑等式（7）给出的投资组合。在这种情况下：limT→∞埃林波普它=信噪比，（11）极限→∞瓦伦波普它=信噪比，（12）SRo∞=√信噪比。（13） 其中，SNR是信噪比：SNR=σu2λσS。（14）证明。综合命题4从0到T的表达式，并取期望值，得出：E自然对数波普=2σSZTEutdt+0。因为u是一个Ornstein-Uhlenbeck过程：E[ut]=0，Var[ut]=σu1- E-2λt2λ。然后，倾向于∞, 方程式（11）如下。

因为过程wsa和u应该是独立的：Var自然对数波普=4σSVarZTutdt+σSVarZTutdWSt.从这个过程开始RTutdWStT≥0是一个鞅：VarZTutdWSt=中兴通讯utdt=σu2λT+1- E-2λT2λ,此外，Isserlis定理（详见[6]）给出：ZTutdt= 2ZTZT（E[usut]）dsdt。因为u是一个Ornstein-Uhlenbeck:VarZTutdt=σue-4λTe4λT（4λT）- 5） +e2λT（8λT+4）+18λ.方程式（12）如下。最后，利用夏普比率的定义（见方程式（10））以及方程式（11）和（12）的结果，方程式（13）如下。定理2.2表明，渐近期望和渐近方差对数收益率是信号噪声比的线性函数，渐近夏普比是渐近趋势标准偏差和波动率之比的线性函数。3.部分信息下的最优策略本节研究部分信息下的默顿问题。我们考虑对数效用函数的情况。我们以封闭形式提供了对数收益的渐近期望和方差，以及该策略的渐近夏普比，作为信噪比和趋势均值反转速度的函数。然后，我们引入了部分信息因子，即部分信息最优策略的渐近夏普比与完全信息最优策略的渐近夏普比之比。在结束本节时，我们展示了该因子的阈值为3/2.3.1。上下文考虑第一节中定义的金融市场，该市场具有无风险利率且无交易成本。设P为自筹资金投资组合，由以下公式给出：dPtPt=ωtdStSt，P=x，其中ω是投资于风险资产的财富的分数。

在分配过程中，代理在可容许域A上最大化其期望的对数效用。在本节中，我们假设代理无法观察趋势。而渐进式的问题则是一个可测量的过程*= arg supω∈AE[ln（Pt）| P=x]。这个问题的解决方案是众所周知的，并且易于计算（例如参见[9]）。事实上，它有以下形式：ω*t=Eut | FStσS.使用稳态卡尔曼滤波器，最佳投资组合由以下公式给出：dPtPt=butσSdStSt，（15）P=x，（16），其中bu由等式（4）给出。3.2。部分信息下最优策略的性能分析。以下命题给出了投资组合的随机微分方程：命题5。方程（15）的最优投资组合过程遵循以下动力学：d ln（Pt）=2σSλ（β- 1） dbut+butσSβ(β - 1)--λ (β - 1)式中，β由式（5）给出。证据方程（15）等价于（由其^o引理）：dln（Pt）=butσSdStSt-butσSdt。使用方程（4），d ln（Pt）=butσSdbutλ（β- 1） +butσSβ（β- 1） dt-butσSdt，方程（4）上的^o引理给出：dbut=2butdbut+λβσu，λ，σS- 1.σSdt。使用这个方程，对数财富的动态如下。备注3.1。命题5表明，具有部分信息的最优策略的收益可以分解为两项。第一个代表已实现回报平方上的期权（称为期权价格）。第二个术语叫做交易影响。[5]中介绍并讨论了这些术语。T时的期权价格为：期权价格=2σSλ（β- 1） （buT）- bu）。假设初始趋势估计值等于0，则期权价格始终为正。交易影响是趋势估计的累积函数：交易影响t=TZbutσSβ(β - 1)--λ (β - 1)dt。当T→ ∞, 它成了优势词。

如果漂移估计butveri为：TTZbutdt>λσS（β- 1)ββ-1.- 1、（17）等式（17）可以被视为趋势跟踪策略在长期内产生利润的条件。下面的定理给出了对数收益的渐近期望、方差和夏普比：定理3.2。考虑等式（15）给出的投资组合。在这种情况下：limT→∞埃林PTP它=λ（β- 1） ，（18）限制→∞瓦伦PTP它=λβ- 1., （19） 极限→∞SRT=rλβ- 1β+1，（20），其中β由等式（5）给出。证据根据方程（6），μ是一个Ornstein-Uhlenbeck过程：E[μt]=0，Var[μt]=（λσS（β- 1))1 - E-2λt2λ。综合命题5从0到T的表达式，并取期望值，得出：自然对数PTP=(β - 1)1.- E-2λT-λ(β - 1） T+ββ - 1.-λ(β - 1） T-λ(β - 1)1 - E-2λT2λ然后，倾向于∞, 方程式（18）如下。积分命题5从0到T的表达式，并取方差，得出：Var自然对数PTP=(2λ (β - 1） σS）Var^uT+σSββ - 1.-变量ZT^utdt+ββ-1.-(2λ (β - 1） σS）Cov^uT，ZT^utdt.莫雷奥瓦^uT= 冠状病毒^uT，^uT,变量ZT^utdt=ZTCOV^us，^utdsdt，Cov^uT，ZT^utdt=ZTCov^us，^uT引理5.1中给出了Cov[^us，^ut]的表达式（见附录B）。特恩瓦尔^uT=λσS（β）- 1)1.- 2e-2λT+e-4λT,变量ZT^utdt=λσS（β）- 1)1.- E-2λT2λ+e-2λT- E-4λT2λ- 2T e-2λT,冠状病毒^uT，ZT^utdt=λσS（β）- 1)T-4λ+e-2λTλ+e-4λT4λT+2T e-2λT.最后，使用这些表达式并倾向于∞, 方程式（19）和（20）如下。下面的结果是前一个定理的推论。它表示对数回报的渐近期望、方差和夏普比，作为信噪比和趋势平均回归速度λ的函数。推论3.3。考虑等式（15）给出的投资组合。