一个依赖于状态的双重风险模型

然后，概率φ（u，b）：=P（τb<τ| u=u）由（2.14）φ（u，b）=Ruλ（v）η（v）eγv给出-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc，预期股息由（2.15）E[D1τb<τ]=γRuλ（v）η（v）Eγv给出-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc。我们可以考虑如下多次股息支付：（2.16）τ（1）b:=inf{t>0:Ut>b}，τ（i）b:=inf{t>τ（i）b:Ut>b}，i≥ 2.如果τ（i）b<τ，则τ（i）b是股息的第i次支付。设N为破产发生前应支付的股息总数，pni=1为破产发生前应支付的股息总值。一个双风险模型9回顾一下，φ（u，b）=P（τb<τ| u=u）是在定理9中用闭式公式计算的。很容易看出p（N=0）=1- φ（u，b），（2.17）P（N=N）=φ（u，b）φ（b，b）N-1(1 - φ（b，b）），n≥ 因此，（2.19）E“NXi=1Di#=γE[N]=γφ（u，b）1- φ（b，b）。还可以计算待支付股息总额的拉普拉斯变换。对于任何θ>0，Ehe-θPNi=1Dii=ehe-θPNi=1DiNii（2.20）=E“γγ + θN#=1- φ（u，b）+φ（u，b）∞Xn=1γγ + θnφ（b，b）n-1(1 - φ（b，b））=1- φ（u，b）+φ（u，b）（1）- φ（b，b））γγ+θ1-γγ+θφ（b，b）。例10。假设λ（v）=对于某个常数u>γ，μη（v）。然后，我们可以得到f（x）=e-(u-γ） xand（2.21）Z∞f（b+c）γe-γcdc=γue-11.b.示例。假设η（v）=ρ和λ（v）=α+βv，那么我们可以取（2.22）f（x）=-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx- γρ√2βρ.我们可以计算出（2.23）Z∞f（b+c）γe-γ-cdc=√πγ√2βρ3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βb- γρ√2βρ.例12。假设λ（v）=（α-β1+v）η（v），对于某些常数α>γ和α>β>1。

然后，我们可以取（2.24）f（x）=β（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1），10凌炯庄我们可以计算出z∞f（b+c）γe-γ-cdc（2.25）=-β(α - γ） e（b+1）γ（α）- γ)β(β - 1)α-βΓ(β - 1，（b+1）α）- β(α - γ） e（b+1）γ（α）- γ） β（b+1）β-1α-1e-α（b+1）+β（α- γ） Γ（β，（b+1）（α）- γ))+ α-βe（b+1）γ（α- γ） β+1Γ（β+1，（b+1）α）- αΓ（β+1，（b+1）（α）- γ)).例13。假设λ（v）=（α+β√v） η（v）对于某些α>γ和β>0。然后，我们可以取（2.26）f（x）=√πβγ(α - γ） 3/2eβα-γerf√x（α）- γ) + β√α - γ-αα - γe-αx-2β√x+γx，我们可以计算出z∞f（b+c）γe-γ-cdc（2.27）=√πβγ(α - γ） 3/2eβα-γebγe-βγ(α-γ)(γ+1)√γ+1erfc√b（γ+1）+β√α-γ√γ + 1!+ erf√b+β√α - γ-αα - γγ\"-√πβeβα+bγα3/2erfcα√b+β√α!+ebγ-αb-2β√bα#。其中erfc（x）：=1- erf（x）是互补误差函数。2.3. 财富过程的第一和第二时刻。我们也有兴趣研究财富过程的第一和第二时刻。请注意，由于财富过程仅定义到破产时间τ，因此我们应该评估[Ut]∧τ] 和E[Ut∧τ] ，这通常是一个计算挑战，因为它需要明确知道破产时间的分布。我们推导了财富过程的第一和第二时刻，而不是一个特殊情况。设η（u）≡ ρ+uu和λ（u）=α+βu，对于某些α，β≥ 0，即（2.28）dUt=-（ρ+uUt）dt+djt，其中Jt=PNti=1Ci，其中nti是强度为λ（Ut）的简单点过程-) =α+βUt-以及具有分布Q（dc）的Ciare i.i.d。在这种情况下，τ≥ T、 其中是ODE（2.29）dut=-（ρ+uut）dt，ut=u，等于零。求解上述ODE并获得（2.30）ut很容易=ρu+uE-ut-ρu，T=ulog1+uuρ.那么，对于任何t<t，t∧ τ=t.双重风险模型11命题14。

对于任何t<ulog1+uuρ,（2.31）E[Ut]=ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）t-ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]，and[Ut]=ue-2β（等式[c]-u）t+αEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u)- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u）+（2（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-β（EQ[c]-u）t- E-2β（等式[c]-μt（βc[EQ]- u).2.4. 破产时间的拉普拉斯变换。在对偶风险模型的破产理论中，研究破产时间（2.32）ψ（u，δ）=E的拉普拉斯变换是一个非常有意义的问题E-δττ<∞,其中δ>0。注意，ψ（u，δ）也可以解释为一个永久数字期权，在破产时支付1美元，贴现系数δ>0，可以作为无风险利率。定理15。假设方程λ（u）η（u）f（u）+[λ（u）η（u）+λ（u）- γη（u）λ（u）- λ（u）η（u）+Δλ（u）]f（u）（2.33）- （γλ（u）+λ（u））δf（u）=0具有满足f的一致有界正解f（u）(∞) = 那么，我们有ψ（u，δ）=f（u）/f（0）。一般来说，具有非常数系数的二阶线性常微分方程不存在闭式解。尽管如此，仍有许多特例可以给出解析解。例16。λ（u）≡ λ、 η（u）=ρ+uu。那么，我们有（2.34）[λρ+λuu]f（u）+[（λu+λ）- γλρ + δλ) - γλuuλ]f（u）- γλδf（u）=0。这是一个特殊的二阶常微分方程，有一个解，参见例如Polyanin和Zaitsev[20]（2.35）f（u）=eγuJu + λu,u + λ + δu; -γu-ργu,其中J（a，b；x）是退化超几何方程（2.36）xy（x）+（b）的解- x） y（x）- ay（x）=0，在b>a>0的情况下有解：（2.37）J（a，b；x）=Γ（b）Γ（a）Γ（b）- a） 泽克斯塔-1(1 - t） b-A.-1dt，其中Γ（·）是伽马函数。12凌炯柱例17。假设λ（u）=ue-γu.然后，（2.38）η（u）f（u）+[η（u）+ue-γu+δ]f（u）=0，由此得出（2.39）f（u）=Zuη（v）e-Rvue-γw+Δη（w）dwdv。例18。假设λ（u）=γη（u）。

然后，（2.40）η（u）f（u）+Δη（u）f（u）- （γη（u）+η（u））δf（u）=0。进一步假设η（u）=α+βu，其中α，β>0。然后，（2.41）f（u）+（Δβu+Δα）f（u）+(-Δγβu+Δβ- Δγα）f（u）=0，得到溶液（2.42）f（u）=eγuJγ+Δβ2Δβ，；-δβu+2γ+ΔαΔβ!,其中J在（2.37）中定义。例19。假设η（u）≡ η是一个常数，λ（u）=ueλuf对于某些u，λ>0。然后，我们得到（2.43）f（u）+μηeλu- γ - λ +δηf（u）-γη+ληδf（u）=0，它相当于（2.44）f（u）+（aeλu+b）f（u）+cf（u）=0，其中（2.45）a:=μη，b:=-γ - λ+Δη，c:=-γη+λη.通过让ξ=eu，（2.44）减少到（2.46）ξfξ+（aξλ+b+1）ξfξ+cfξ=0，并且通过让z=ξλ，w=f z-k、 当k满足二次方程（2.47）λk+λbk+c=0时，我们将（2.46）简化为（2.48）λzwzz+[λaz+2kλ+λ（λ+b）]wz+kλa=0，其有解，见[20]（2.49）w（z）=Jk、 2k+1+bλ；-aλz,其中J在（2.37）中定义。双风险模型132.5。预计破产时间。我们已经计算了破产概率P（τ）<∞) 在定理1中的某些假设下。注意，当P（τ<∞) < 1，E[τ]=∞. 如果破产发生的概率为1，即P（τ<∞) = 1，我们还可以计算出破产发生的预期时间。定理20。假设P（τ<∞) = 让我们定义（u）：=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（2.50）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv，其中（2.51）g（0）：=1+λ（0）R∞Rcλ（v）η（v）Rv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdcη（0）- λ（0）R∞Rcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。假设sup0<u<∞f（u）<∞. 然后，E[τ]=f（u）。2.6。数值例子。在本节中，我们通过一些数值例子来说明定理1中得到的破产概率ψ（u）。图3和表3给出了λ（u）=（αuβ+γ）η（u）情况下破产概率ψ（u）的汇总统计数据，其中α=γ=1.0，β=0.0、0.5、1.0、1.5和2.0。

图4和表4给出了固定γ=1.0和β=1.5、2.0、2.5、3.0和3.5的情况下λ（u）=（γ+β1+u）η（u）的破产概率ψ（u）的总和统计。如图3和图4所示，初始财富u的破产概率ψ（u）的形状不一定是指数型的。当我们改变参数β时，它表现出丰富的行为类别。因此，我们建立的依赖于状态的双重风险模型比文献中的许多经典双重风险模型更加灵活和稳健。ψ（u）u=1 u=2 u=3 u=4 u=5β=0.0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067β=0.5 0.4325 0.1184 0.0233 0.0035 0.0004β=1.0 0 0 0 0.4867 0.0981 0.0076 0.0002 0.0000β=1.5 0.5343 0.0747 0.0013 0.0000β=2.0.5756 0.0506 0.0001 0.0000 0.0000表3。当λ（u）=（αuβ+γ）η（u）为固定α=γ=1.3时，破产概率ψ（u）的图示。附录：定理1的证明。从（1.5）中，财富过程的最小生成器可以写成（3.1）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]γe-γ-cdc。让我们找到一个函数f，使Af=0，这相当于（3.2）-η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0.14凌炯柱0.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91uψ（u）图3。当λ（u）=（αuβ+γ）η（u）时，破产概率ψ（u）相对于初始财富u的图示。黑色、蓝色、绿色、红色和cion线表示β=0.0、0.5、1.0、1.5和2.0的情况。α和γ固定为1.0。从图中可以看出，当β=0.0时，破产概率在初始财富中呈指数衰减。否则，衰减的形状不是指数型的。ψ（u）u=1 u=2 u=3 u=4 u=5β=1.5 0.5893 0.4491 0.3750 0.3280 0.2948β=2.0 0 0.3750 0.2222 0.1562 0.1200 0.0972β=2.5 0.2475 0.1155 0.0688 0.0465 0.0340β=3.0 0 0.1667 0.0617 0.0312 0.0187 0.0123β=3.5 0.1136 0.0336 0.0145 0.0077 0.00464表4。

当λ（u）=（γ+β1+u）η（u）为固定γ=1时破产概率ψ（u）的图示。关于u的差异（3.2），我们得到- η（u）f（u）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc（3.3）- λ（u）γf（u）+λ（u）γZ∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0。将（3.2）代入（3.3），我们得到（3.4）η（u）f（u）=λ（u）λ（u）η（u）+γη（u）- η（u）- λ（u）f（u）。双风险模型150 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.10.20.30.40.50.60.70.80.91uψ（u）图4。当λ（u）=（γ+β1+u）η（u）时，破产概率ψ（u）相对于初始财富u的图示。黑色、蓝色、绿色、红色和cion线表示β=1.5、2.0、2.5、3.0和3.5的情况。γ固定为1.0。破产概率与初始财富呈衰减多项式关系。通过让f（u）=g（u），我们得到了（3.5）dgg=λ（u）λ（u）+γ-η（u）η（u）-λ（u）η（u）du，这意味着（3.6）g（u）=λ（u）η（u）eγu-Ruλ（v）η（v）dv是（3.5）的一个特殊解。因此，对于（3.7）f（u）：=Zuλ（v）η（v）eγv，Af（u）=0-Rvλ（w）η（w）dwdv。根据我们的假设，f(∞) 存在并且是确定的，而且很明显，对于任何人≤ U≤ ∞, 0≤ f（u）≤ f(∞) < ∞. 因此，根据可选的停止定理，（3.8）f（u）=Eu[f（uτ）]=f（0）P（τ<∞) + f(∞)P（τ=∞),这意味着（3.9）ψ（u）=P（τ<∞) =R∞uλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv。定理9的证明。让我们回忆一下，对于（3.10）f（u）=Zuλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv，16 LINGJIONG-ZHUwe有Af=0，根据我们的假设f是一致有界的。根据光学停止定理，f（u）=Eu[f（uτ）∧τb）]（3.11）=f（0）P（τ<τb）+Z∞f（b+c）γe-γcdcP（τb<τ），这意味着e[D1τb<τ]=γP（τb<τ）（3.12）=γf（u）- f（0）R∞f（b+c）γe-γ-cdc- f（0）=γRuλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc。14号提案的证明。Utprocess的最小生成器由（3.13）Af（u）=-（ρ+uu）f（u）+（α+βu）Z∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）。让f（u）=u，我们得到Au=-ρ - uu+EQ[c]（α+βu）。

根据丁金公式，E[Ut]=u+ZtE-ρ - uUs+EQ[c]（α+βUs）ds（3.14）=u+(-ρ+αEQ[c]）t+（βEQ[c]- u）中兴[Us]ds，其产量为（3.15）E[Ut]=ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）t-ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]。设f（u）=u，我们得到Au=αEQ[c]+（2（αEQ[c]-ρ） +βE[c]）u+2（βE[c]-u）u.由Dynkin公式计算，（3.16）E[Ut]=u+αEQ[c]t+（2（αEQ[c]-ρ） 中兴[Us]ds+2（βE[c]-u）中兴[Us]ds，这意味着ODE：（3.17）ddtE[Ut]=αEQ[c]+（2（αEQ[c]- ρ） β[Ut[E]- u）E[Ut]。双重风险模型17这是一阶线性常微分方程。与（3.15）一起，我们得到e[Ut]=ue-2β（等式[c]-u）t+Zte-2β（等式[c]-u）（t）-s） αEQ[c]ds（3.18）+（2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）中兴通讯-2β（等式[c]-u）（t）-（s）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）十二烷基硫酸钠- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）中兴通讯-2β（等式[c]-u）（t）-s） ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]ds=ue-2β（等式[c]-u）t+αEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u)- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u）+（2（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-β（EQ[c]-u）t- E-2β（等式[c]-μt（βc[EQ]- u).定理15的证明。假设我们有一个一致有界的正函数f，使得Af=δf。注意f（Ut）f（U）e-RtAff（Us）ds=f（Ut）f（U）e-这是一个鞅。根据可选停止定理，（3.19）1=Ef（Uτ）f（U）e-RτAff（Us）ds=f（0）f（u）EE-δττ<∞.因此，（3.20）ψ（u，δ）=f（u）/f（0）。现在，让我们试着找到一个函数f，使得Af=δf。注意，Af=δf等于（3.21）-η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞f（u+c）γe-γcdc=δf，这意味着λ（u）η（u）f（u）+[λ（u）η（u）+λ（u）- γη（u）λ（u）- λ（u）η（u）+Δλ（u）]f（u）（3.22）- （γλ（u）+λ（u））δf（u）=0。定理20的证明。回想一下，Utprocess的最小生成器是（3.23）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]γe-γ-cdc。让我们找到一个函数f，使得Af=-1.

也就是说，（3.24）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=-1.18 LINGJIONG ZHUDi微分方程（3.24）关于u，我们得到- η（u）f（u）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc（3.25）- λ（u）γf（u）+λ（u）γZ∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0。将（3.24）代入（3.25），我们得到（3.26）f（u）+η（u）η（u）+λ（u）η（u）-λ（u）λ（u）- γf（u）=-λ（u）λ（u）+γη（u）。设g（u）=f（u），则g（u）满足一阶线性常微分方程：（3.27）g（u）+η（u）η（u）+λ（u）η（u）-λ（u）λ（u）- γg（u）=-λ（u）λ（u）+γη（u），由此得出一般解g（u）=Zu-λ（v）λ（v）- γη（v）e-Ruvhη（w）η（w）+λ（w）η（w）-λ（w）λ（w）-γidwdv（3.28）+g（0）e-Ruhη（v）η（v）+λ（v）η（v）-λ（v）λ（v）-γidv=λ（u）η（u）Zu[-λ（v）- γλ（v）]λ（v）eγ（u-v）-Ruvλ（w）η（w）dwdv+g（0）η（0）η（u）λ（u）λ（0）eγue-Ruλ（v）η（v）dv。因此，我们可以选择f（u）=Rug（v）dv，它给出sf（u）=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（3.29）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv。接下来，让我们确定g（0）。回想一下g（0）=f（0），也注意到f（0）=0。注意，通过让u=0（3.24），我们得到（3.30）- η（0）g（0）+λ（0）Z∞f（c）γe-γ（c）-u） dc=-1，这意味着-1 = -η（0）g（0）+λ（0）Z∞Zcλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）（3.31）·eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdc+g（0）λ（0）Z∞Zcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。因此，（3.32）g（0）=1+λ（0）R∞Rcλ（v）η（v）Rv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdcη（0）- λ（0）R∞Rcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。由Dynkin公式建立的双风险模型，对于任何K>0，（3.33）E[f（Uτ）∧K） ]=f（u）+E“Zτ∧KAf（美国）ds#=f（美国）- E[τ∧ K] 。根据我们的假设<∞f（u）<∞ τ<∞ a、 因此被称为K→ ∞, 根据有界收敛定理，我们得到了E[f（Uτ）∧K） ]→ E[f（Uτ）]，根据单调收敛定理，E[τ]∧ K]→ E[τ]。

因此，E[τ]=f（u）- E[f（Uτ）]，即E[τ]=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（3.34）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv。其中g（0）在（2.51）中定义。参考文献[1]Abramowitz，M.和I.Stegun。数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。国家标准局应用数学，华盛顿，1964年。[2] 阿方索，L.B.，卡多佐，R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2013). 双重风险模型中的股利问题。保险：数学和经济学。53, 906-918.[3] 阿尔布雷彻，H.，巴德斯库，A.和D.兰德里奥。(2008). 关于纳税的双重风险模型。保险：数学和经济学。42, 1086-1094.[4] Avanzi，B.，Cheung，E.C.K.，Wong，B.和J.K.Woo。(2013). 在偿付能力连续监测的双重模型中，研究了一种周期性的股利限制策略。经济学：数学保险。52, 98-113.[5] 阿万齐，B.，格伯，H.U.和E.S.W.肖。(2007). 对偶模型中的最优红利。保险：数学和经济学。41, 111-123.[6] Bacry，E.，Delattre，S.，Ho Off mann，M.和J.F.Muzy。(2013). HawkesProcess的缩放限制以及在金融统计中的应用。随机过程及其应用123，2475-2499。[7] Bayraktar，E.和M.Egami。(2008). 在跳跃扩散模型中优化风险资本投资。运筹学的数学方法。67, 21-42.[8] Bordenave，C.和Torrisi，G.L.（2007）。泊松聚类过程的大偏差。随机模型，23593-625。[9] Br\'emaud，P.和Massouli\'e，L.（1996年）。非线性Hawkes过程的稳定性。安。Probab。，24, 1563-1588.[10] 张东健（2012）。分析随机收益业务的统一方法。斯堪的纳维亚精算杂志。2012, 153-182.[11] 张，E.C.K.和S.Drekic。(2008).

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