一个依赖于状态的双重风险模型

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英文标题：
《A State-Dependent Dual Risk Model》
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作者：
Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In a dual risk model, the premiums are considered as the costs and the claims are regarded as the profits. The surplus can be interpreted as the wealth of a venture capital, whose profits depend on research and development. In most of the existing literature of dual risk models, the profits follow the compound Poisson model and the cost is constant. In this paper, we develop a state-dependent dual risk model, in which the arrival rate of the profits and the costs depend on the current state of the wealth process. Ruin probabilities are obtained in closed-forms. Further properties and results will also be discussed.
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中文摘要：
在双重风险模型中，保费被视为成本，索赔被视为利润。盈余可以解释为风险资本的财富，其利润取决于研发。在现有的大多数双风险模型文献中，利润遵循复合泊松模型，成本是常数。在本文中，我们建立了一个依赖于状态的双重风险模型，其中利润和成本的到达率取决于财富过程的当前状态。破产概率是以封闭形式得到的。还将讨论进一步的性质和结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：风险模型 Quantitative Applications Measurement Application

一个依赖于状态的双重风险模型Lingjiong-ZHUAbstract。在双重风险模型中，保费被视为成本，索赔被视为利润。盈余可以解释为风险资本的财富，其利润取决于研发。在现有的大多数双风险模型文献中，利润遵循复合泊松模型，成本是恒定的。在本文中，我们建立了一个状态依赖的双重风险模型，其中利润和成本的到达率取决于财富过程的当前状态。破产概率是以封闭形式得到的。还将讨论进一步的性质和结果。1.引言经典风险模型基于盈余过程Ut=u+ρt-PNt-i=1Ci，其中保险人从初始准备金u开始，收取保费ata恒定费率ρ，并赔偿索赔。一个中心问题是研究破产概率，即剩余过程将达到零的概率。近年来，一种双风险模型引起了人们的广泛关注，它将盈余过程建模为（1.1）Ut=u- ρt+Nt-Xi=1cIare i.i.d.正随机变量，根据独立于Nt的Q（dc）分布，这是一个强度为λ的泊松过程。λC[ρE]>。盈余可以解释为风险资本的财富，其利润取决于研发。利润不确定，建模为跳跃过程，成本更可预测，建模为确定性过程。随着时间的推移，公司不断支付研究和开发费用，并在未来的随机离散时间获得利润。双风险模型的许多性质已经被研究过。破产概率ψ（u）=P（τ<∞|U=U），其中（1.2）τ=inf{t>0:Ut≤ 0}，满足方程，参见例如阿方索等人。

[2] （1.3）ψ（u）=e-λuρ+Zuρλe-λtZ∞ψ（u）- ρt+c）Q（dc）dt。日期：2015年9月10日。修订日期：2015年10月13日。2000年数学科目分类。91B30；91B70。关键词和短语。双重风险模型，状态相关，破产概率。2.众所周知，ψ（u）=e-αu其中α是方程的唯一正解：（1.4）λZ∞E-αxQ（dx）- 1.= -ρα.Avanzi等人[5]研究了双重风险模型中的最优股息，其中财富过程遵循一个L’evy过程，最优策略是一个障碍策略。Albrecher等人[3]研究了纳税的双重风险模型。对于一般索赔时间分布和指数分布的Ci，给出了有税破产概率的表达式，即无税破产概率。当层间时间为指数或指数混合时，得到显式表达式。Ng[18]考虑了一个具有阈值股息策略的双重模型，具有指数级的索赔时间。阿方索等人[2]在双重风险模型中研究了独立问题，假设了指数级的索赔时间。他们提出了一种计算预期贴现股息的新方法。研究了破产概率和分红概率，分红的数量，分红的时间。以及单个股息的分配。Avanzi等人[4]研究了双重风险模型的股息壁垒策略，根据该策略，股息决策只会定期做出，但仍允许随时发生破产。Cheung[10]研究了违约后恢复时间的拉普拉斯变换，以及双风险模型的其他概念。Cheung和Drekic[11]研究了双重风险模型中的分割矩。他们推导了总贴现红利的积分微分方程，该方程可以在跳跃大小分布具有有理拉普拉斯变换的情况下显式求解。Rodriguez等人。

[21]研究了具有Erlang层间时间的双重风险模型，研究了一般分布Ci的破产概率、破产时间的拉普拉斯变换。他们还研究了假设利润服从阶段分布的预期贴现股息。当性能为相位型分布时，Ng[19]还研究了交叉概率。Yang和Sendova[23]研究了破产时间的拉普拉斯变换，即Sparre-Andersen对偶模型的预期贴现红利。双重风险模型也被用于风险资本投资中，并研究了一些优化问题，如Bayraktar-andEgami[7]。在Fahim和Zhu[13]中，他们研究了双重风险模型的最优控制问题，即通过优化研发投资，使基础公司的破产概率最小化。本文建立了一个依赖于状态的双重风险模型。一家公司的创新可能会有自激现象，即一项创新或突破将增加下一次创新和突破的机会。此外，当财富过程增加时，公司将处于更好的创新状态，因此利润的到达率可能取决于财富状态，而不仅仅是泊松分布。此外，在公司获得更多利润后，公司为研发支付的费用也可能增加。对于高科技和快速增长的公司，公司的运营成本和收入与公司规模一致，如表1所示，其中我们考虑了2011-2014年的年总收入、总收入成本和总利润。我们可以看到谷歌的增长趋势。

因此，对于aGross而言，利润是收入和收入成本之间的差异。可在Google Finance上获得一个双重风险模型3谷歌高科技公司，运行成本的通常不变假设，双重风险模型中的利润到达强度可能过于简单。另一方面，对于像可口可乐这样的传统公司，年度总收入、总收入成本和总利润与去年相比没有太大变化，例如，见表2，其中我们考虑了2011-2014年的年度总收入、总收入成本和总利润。这也可能是一家已经成熟、不再有明星级增长的高科技公司的模式。因此，现有文献中的双重风险模型可能是一个很好的模型，当一家公司的财务随时间变化不大时。当基础公司有显著增长时，基于状态的双重风险模型可能更合适。2011年2012年2013年2014年全年收入（百万）$37905$46039$55519$66001收入成本（百万）$13188$17176$21993$25313毛利润（百万）$24717$28863$33526$40688表1。2011-2014年间谷歌的收入和成本。2011年2012年2013年2014年全年收入（百万）$46542$48017$46854$45998收入成本（百万）$18215$19053$18421$17889毛利润（百万）$28327$28964$28433$281092表2。2011-2014年可口可乐的收入和成本。因此，可以合理地假设成本取决于公司的财富状况。事实上，当利润增加时，公司不仅可能在研发上投入更多的资本，而且在科技行业，当公司落后于其配对产品时，增加研究上的资本支出也是很常见的，这样公司才能生存和追赶。

当我们假设成本不变时，公司的财富过程如图1所示，直到破产时间。如果我们允许成本与财富成线性关系，公司的财富过程如图2所示。当双重风险模型使用经典的复合泊松作为财富过程时，公司最终破产的概率按公司初始财富的指数衰减。正如我们将在本文后面看到的，如图3和图4所示，通过允许利润的成本和到达率取决于财富过程的状态，该模型变得更加稳健，破产概率可以根据初始财富呈超指数衰减，即图3，表3，也可以根据初始财富呈多项式衰减，即图4，表4。我们感兴趣的是建立一个依赖于状态的双重风险模型，该模型仍然可以得到破产概率的闭式解。假设财富过程满足动态（1.5）dUt=-η（Ut）dt+dJt，U=U，可在谷歌金融4 LINGJIONG Zhu上获得，其中Jt=PNti=1是一个强度为λ（Ut）的简单点过程-) 此时，η（·）：R≥0→ R≥0和λ（·）：R≥0→ R≥0都是连续可区分的。在整篇论文中，除非另有规定，否则我们假设CIARE i.i.d.在参数γ>0的情况下呈指数分布。虽然允许η（·）和λ（·）是一般的，但我们的模型的缺点是，我们将Ci限制为指数分布。研究普遍分布的Ci将是一个有趣的未来研究项目。

对于财富过程Utin（1.5），我们将得到破产概率的闭式表达式，并进一步研究其性质。值得注意的是，（1.5）中的Utprocess是Hawkesprocess的扩展，具有指数核和指数分布的跳跃大小。即强度为λ的简单点过程ue-βt+Pi：τi<tCie-β（t-τi）, 其中Ciare i.i.d.指数分布，与Fτi无关-. 如果我们让Ut=ue-βt+Pi:0<τi<tCie-β（t-τi）。然后用η（u）：=βu来满足动力学（1.5）。当λ（·）为线性时，称为线性霍克斯过程，以霍克斯[15]命名。线性霍克斯过程可以通过移民出生表征进行研究，参见霍克斯和奥克斯[16]。当λ（·）是非线性时，霍克斯过程被称为非线性，非线性霍克斯过程是由Br’emaudand Massouli’e[9]首次引入的。例如[6,8,28,29,24,27,25,17]研究了线性和非线性Hawkes过程的极限定理。例如[12,22,26]研究了霍克斯过程在保险中的应用。作为本文破产概率结果的副产品和推论，具有指数核和指数分布跳跃大小的非线性Hawkes过程的第一个通行时间因此也是可分析的，这是独立的，是对Hawkes过程理论的新贡献。论文的结构如下。在第2节中，我们将导出财富过程Utin闭式的破产概率。还将研究预期红利、财富过程的第一和第二时刻、破产时间的拉普拉斯变换和预期收益时间。我们将通过许多例子来说明我们的结果，从而得到更明确的公式。我们还将给出数值例子。证据将在第3.2节中提供。主要结果2。1.

破产概率。定理1。假设∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv存在且不确定。那么，单位概率ψ（u）=P（τ<∞|U=U）由（2.1）ψ（U）=P（τ<∞) =R∞uλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv。图1和图2再次展示了公司破产前的财富过程。在图1中，η（z）是一个常数，我们可以看到财富过程总是以恒定速率衰减。在图2中，η（z）在z中是线性的，即η（z）=α+βz，对于某些α，β>0，财富过程呈指数衰减，可能会被破坏。对衰变函数η（z）的非参数方法使我们更加灵活。双重风险模型50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.511.522.533.548图1。公司破产前财富随时间变化的一个例子。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10024681012如图2所示。公司破产前财富随时间变化的一个例子。例2。假设Ut=u- ρt+PNti=1Ci，其中对于任何t≤ τ，Ntisa简单点过程，其强度与财富过程呈线性关系，即强度α+βUt-对于某些α，β>0。即η（v）=ρ和λ（v）=α+βv，适用于6个凌炯转v≥ 因此，破产概率由ψ（u）=R给出∞uα+βvρeγv-Rvα+βwρdwdvR∞α+βvρeγv-Rvα+βwρdwdv（2.2）=R∞u（α+βv）eγv-2ρβ（α+βv）dvR∞（α+βv）eγv-2ρβ（α+βv）dv=-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx-γρ√2βρ∞U-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx-γρ√2βρ∞=√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βh1- erfα+βu-γρ√2βρi+ρe-α2ρβ-αu-β2ρu+γu√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βh1- erfα-γρ√2βρi+ρe-α2ρβ，其中erf（x）：=√πRxe-tdt是误差函数。例3。假设λ（v）=对于某个常数u>γ，μη（v）。然后，破产概率由（2.3）ψ（u）=R显式给出∞ue-(u-γ） 虚拟现实∞E-(u-γ） vdv=e-(u-γ） u.一般来说，如果我们假设。

概率分布q（dc），那么，（2.4）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）=0。我们的目标是找到f，使Af=0。一般来说，这可能不会产生封闭形式的解决方案。在λ（u）=μη（u）的特殊情况下，对于某些u>EQ[c]，则Af（u）=0减小到（2.5）- f（u）+uZ∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）=0。让我们试试Ansatz f（u）=eθu，然后我们得到（2.6）- θ+u（EQ[eθc]- 1) = 0.函数F（θ）：=-θ+u（EQ[eθc]- 1） 在θ中是凸的，F（0）=0。SinceF（0）=-1+uEQ[c]>0，我们得出结论，F（θ）=0有唯一的负解θ*. 那么，f（u）=eθ*uand f(∞) = 因此，（2.7）ψ（u）=P（τ<∞) = eθ*u、 双重风险模型7例4。假设λ（v）=（α+β√v） η（v）对于某些常数α>γ和β>0。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（α+β）√v） eγv-αv-2β√虚拟现实∞(α +β√v） eγv-αv-2β√vdv（2.8）=-√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γerf(√x（α）-γ)+β√α-γ) -αα-γe-αx-2β√x+γx∞U-√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γerf(√x（α）-γ)+β√α-γ) -αα-γe-αx-2β√x+γx∞=√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γ-herf(√u（α）-γ)+β√α-γ) - 1i+α-γe-αu-2β√u+γu√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γ-herf（β√α-γ) - 1i+α-γ、 其中erf（x）：=√πRxe-tdt是误差函数。例5。假设λ（v）=（αvβ+γ）η（v），对于某些常数α，β>0。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（αvβ+γ）e-αβ+1vβ+1dvR∞（αvβ+γ）e-αβ+1vβ+1dv（2.9）=-γβ+1(αβ+1)-β+1Γ（β+1，αxβ+1β+1）- E-1x+1xβ1∞U-γβ+1(αβ+1)-β+1Γ（β+1，αxβ+1β+1）- E-αβ+1xβ+1∞=E-αβ+1uβ+1+γβ+1（αβ+1）-β+1Γ（β+1，αuβ+1β+1）1+γβ+1（αβ+1）-β+1Γ（β+1，0），其中Γ（s，x）：=R∞xts-1e-tdt是不完全伽马函数。例6。假设λ（v）=（α-β1+v）η（v），对于某些常数α>γ和α>β>1。

然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（α）-β1+v）e-(α-γ） v+β对数（v+1）dvR∞(α -β1+v）e-(α-γ） v+βlog（v+1）dv（2.10）=R∞u[α（v+1）β- β（v+1）β-1] e类-(α-γ） 虚拟现实∞[α（v+1）β- β（v+1）β-1] e-(α-γ） vdv=β（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1））∞uβ（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1））∞=-β(α - γ)Γ(β, (α - γ） （u+1））+αΓ（β+1，（α- γ） （u+1））-β(α - γ)Γ(β, (α - γ)) + αΓ(β + 1, (α - γ） ，其中Γ（s，x）：=R∞xts-1e-tdt是不完全伽马函数。8.凌炯柱例7。假设λ（v）=（γ+β1+v）η（v），对于某些常数β>1。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（γ+β1+v）e-β对数（v+1）dvR∞（γ+β1+v）e-βlog（v+1）dv（2.11）=γγ+β- 1（1+u）β-1+β - 1γ + β - 1（1+u）β。备注8。解释破产概率公式的一种方法是将其写成（2.12）ψ（u）=E[EγVV≥u] E[EγV]，其中V是概率密度函数λ（V）η（V）E的正随机变量-Rvλ（w）η（w）dw。2.2. 预期股息。我们也可以研究单一股息支付问题。让我们来看看红利的障碍。对于第一次财富过程Ut超过屏障b，比如在第一次通过时τb:=inf{t>0:Ut≥ b} ，股息金额D=Uτb- b已付款。如果公司在到达障碍b之前就破产了，则不支付股息。我们有兴趣计算待支付股息的预期价值E[D1τb<τ]。注意，根据指数分布的无记忆性，假设Ci是指数分布的i.i.d.，参数γ>0- b也呈指数分布，参数γ>0。因此，（2.13）E[D1τb<τ]=γP（τb<τ）。因此，问题简化为计算在公司破产之前派发股息的概率。定理9。假设∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv存在且不确定。