非线性偏微分方程在解决金融中的一些优化问题时出现，

数值方法因为我们的目的是数值求解等式（14），而且，迭代地，我们引入指数k来计算当前的迭代次数。索引k从1开始，直到schemeConverge在某个范数中的某个数字。此外，为了简化本节中的符号，我们省略了上标*在Legendre转换期权价格C的定义中*（p，t），并使用C代替C。因此，下面我们将其表示为C（p，t）。我们首先在formc中重写等式（14）*（p，t）=D（p，t）c*（p，t），p∈ （0,1），t∈ [0，T.[24]其中（p，T）=^a（c）*（p，t），tC（p，t）,如果D（p，t）只是p和t的函数，那么等式（24）将是一个线性热方程。然而，在我们的例子中，D（p，t）本身是c的函数*（p，t），甚至更糟的是——它的导数C（p，t）的函数。然而，theEq的离散解。（24）可以用运算符formC（p，t+t） =exptD（p，t）4C（p，t），（25），其中4是二阶导数的有限差分近似值在网格上。例如，在p中的均匀网格上，步骤h4C（p，t）=h[C（p+h，t）- 2C（p，t）+C（p- h、 [t]），用O（h）近似C（p，t）。通过使用公式（25）的泰勒级数展开式，可以验证该格式用o（h）近似公式（14），并且在t、 再次注意，使用泰勒级数展开可以验证以下模式（p，t+t） =exptD（p，t+t） 四,C（p，t）（26）也提供了与h中等式（14）相同的近似顺序。将它们结合在一起，我们最终建议使用schemeC（p，t+t） =expt[D（p，t）+D（p，t+t） ]4C（p，t）（27）现在我们建立了一个迭代算法来求解这个离散非线性方程。1.在第一次迭代中，我们在公式C（1）（p，t+t） =exptD（p，t）4C（p，t）（28）在表达式C（k）中，上标（k）表示在数值程序的第k次迭代中发现的C值。

换句话说，在第一次迭代中，我们设置C（1）（p，t+t） =C（1）（p，t），但仅使用此替换来计算D（p，t+t） 在等式（27）的右侧。公式（28）可以通过计算离散矩阵指数，给出p中的网格（可以用复杂度O（N）来完成，N是网格点的数量），或者通过使用指数的任何形式的p′ade近似来求解。例如，P’ade近似（1，1）导致了众所周知的Crank-Nicholson格式，该格式可以用N.2中的线性复杂度来求解。接下来，我们用公式c（k）（p，t）表示等式（27）+t） =expTD（p，t）+D（k-1） （p，t+（t）C（k）-1） （p，t+t） （29）下一个近似C（2）（p，t+t） 到C（p，t+t） 可以通过再次计算矩阵指数或使用某种P∞近似来找到。有了这个机器，我们可以以同样的方式进行，直到整个过程收敛，即条件kc（k）（p，t+（t）- C（k）-1） （p，t+t） k<ε在k次迭代后达到，ε为方法公差。为了应用该算法，我们在delta空间中构造了一个合适的离散非均匀网格G（x）。为了具体起见，让方程（14）在空间域[p，pm]：p=0，pm=1处求解，使用N+1个节点（p，p，…，pN）和空间步长h=p的非均匀网格-PhN=pN-pN-1.我们定义了二阶导数的中心差近似值，例如，参见In\'t Hout和Foulon（2010）C（pi，t）=δi，-1C（π）-1，t）+δi，0C（pi，t）+δi，1C（pi+1，t）（30），其中δi，-1=hi（hi+hi+1），δi，0=-hihi+1，δi，1=hi+1（hi+hi+1）。提议3.1。公式（29）和近似公式（30）是a）无条件稳定的，b）保持解的负性，c）在网格G上提供公式（14）的二阶近似，d）收敛。证据见附录。4.

数值实验在第一个测试中，假设局部波动函数v（p，t）已知，我们解决了等式（12）中的问题。为了做到这一点，我们首先使用模型x=100、K=100、T=1年的以下参数来解决backward问题。我们的网格在x中包含N=400个节点，在时间上包含100个步骤。我们使用了表1t中给出的局部波动函数a（x，t），0.460 0.467 0 0.560 0.565 0.560.565 0.560.565 0.560 0.565 0.565 0.566 0.566 0.560 0 0.566 0 0.566 0 0.566 0 0.566 0 0.566 0.566 0.566 0 0.566 0 0.566 0 0 0 0.566 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0.566 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.566 0 0 0 0 0 0表1:Xt的局部波动函数a（x，t）。x中的非均匀网格的构造类似于Itkin和Carr（2011）。我们求解后向方程，得到t=0时的期权价格和网格上的delta，然后使用得到的delta c（x，t）作为ap网格。这同时为我们提供了地图x→ x（p，0）利用由此获得的c（p，t）值，我们计算了勒让德变换c*（p，t）在t=0时，使用公式（7）中的定义。然后，我们将等式（12）向前求解。如前几节所述，这个方程是非线性的，因为在等式（11）中，我们使用关系x=C计算了映射x（p，t）*（p，t）。因此，我们使用类似于toEq的迭代方案来解决它。(27). 在每次迭代时，我们都会将在反向运行期间发现并存储的C（x，t）值重新插值到p中相应的网格中。图1：基于反向递归获得局部波动函数v（p，t）时的计算结果。在图1中，计算结果显示在四个图表中。

左上图显示了初始函数c*（p，0）使用后向方程的解和最终解c进行计算*（p，T）使用公式（12）计算。图1中的右上图展示了地图x→ p（x，t）用t=0时的后向方程的解计算。右下角的图表表示表中给出的局部波动函数a（x，t）。式（1）。左下角的图表显示了在这个实验中计算的v（p，t）。可以看出，勒让德变换收敛到其终值C*（p，T）=0。然而，有两点需要考虑。首先，该解决方案对Gammas的准确性非常敏感。假设后向方程是用标准的、二阶精度的inspace格式求解的。那么Gamma的精度是O（1），这对于计算D（p，t）是不足够的（并且可能是容易出错的）。因此，在这种情况下，在x或p中使用高阶方案是合理的，例如四阶的特殊有限差分方案，参见Chawla等人（2000）。第二，当t→ 我们的映射x（p，T）退化。事实上，如果我们fix x，att=0，则映射x（p，t）是正则的，即对于每个x，它提供一个唯一的p值。对于任何x的看涨期权，在t=t时，p的值可以是0或1。因此，x的多个值连接到相同的P值。显然，相反的说法也是正确的。假设t=0时，我们将网格乘以p，然后对于每个p，可以找到唯一的x值（p，0）。然而，在t=t时，p的所有这些值都将连接到值x=0，因为x=C*（p，t）和C*（p，T）=0。这种映射的简并性在计算v（p，t）的精确值时产生了额外的问题。图2显示了在本实验中获得的x（p，t）的计算图。图2：在我们的测试中计算的MAPX（p，t）。可以看出，在t=0时，该图复制了图中右上角的图形。

1，在t=t时消失。在第二次测试中，我们解决了等式（14）的问题。再次，我们首先解决图3：当在正向递归中计算局部波动函数v（p，t）时的计算结果。反向问题，并找到c的初始值*（p，0）如上所述。然后使用公式（27）将解决方案在日历时间t中向前传播，直至成熟度t。因此，在图3中，计算结果显示在两张图中，类似于图1中的左上下两张图。注意，t=t时的期权价值等于payofff，因此optiongamma c（x，t）是狄拉克的δ函数。因此，如果局部远期波动率a（x，T）是有限的，则局部delta波动率v（p，T）也是delta函数。这给数值解带来了一些技术困难。v（p，t）的计算值如图3中的右图所示。在每个时刻，该函数通过在p=0和p=1时消失，并在中间值处显示正钟形曲线来证明正确的行为。在t→ T它趋向于δ函数。相应地，解决方案的准确性显著下降。当然，对于我们的公式（27），收敛的迭代次数取决于选择的公差水平ε。我们的实验表明，这个数字在很大程度上取决于v（p，t）在每个时间步的平滑度。由于伽马是通过数值微分计算的，因此产生一个形状类似于狄拉克δ函数的光滑局部波动函数并不简单。正如我们已经提到的，即使pis中的二阶方案用于发现c*（p，t），gamma用近似O（1）计算。因此，在计算出解后的每次迭代中，都会应用多项式平滑。

特别是，我们用四阶多项式拟合解，然后计算该多项式的二阶导数。这大大加快了收敛速度。如果Gamma是通过数值微分计算的，那么在第一个时间步，迭代次数k是最高的，而当t增加时，k则急剧减少。例如，在ε=10的上述试验中-5第一步开始时需要280次迭代，而从时间步6开始，每一时间步减少到5次迭代。然而，在模型参数的某些值下，整个方案可能会出现分歧。然而，当使用多项式函数时，即使ε=10，每个时间步的典型迭代次数也是2-3次-8，该方案迅速收敛。我们需要强调的是，尽管双重问题是inEq制定的。（14） 在给定的终端条件下，我们解决了这个问题，假设t=0的初始条件是已知的向后偏微分方程的解。然后我们证明了该解收敛于c的正确终值*（p，t）在我们数值程序的误差范围内。这完全是因为我们使用了正确的初始值。但是，如果初始条件未知，则可以使用打靶方法，或上述参考的不变嵌入方法。这当然会显著增加计算时间。5.结论本文讨论了一类非线性偏微分方程，它在数学金融中自然地出现在求解一些最优化问题时。作为这些问题的已知例子，我们考虑了默顿（1971）和利普顿（2001）提出的非最优消费问题，以及卡尔（2014）发明的期权定价的双重方法。

我们证明了Carr的对偶方程可以转化为非线性偏微分方程，并且Lipton（2001）的非线性偏微分方程是前者的特例，当波动率函数在基础变量中是线性的。进一步，我们描述了一般非线性模型的一些性质，给出了它在Black-Scholes情形下的解析解，并提出了一种新的数值方法来求解它，它在时间和空间上都是无条件稳定的二阶。文中给出并证明了相应的定理，证明了方法和逼近的稳定性。我们还介绍了一些数值实验的结果。所有这些结果都是新的。正如Carr（2014）所述，就这种方法的实际应用而言，对于一些估值问题，在双域中指定问题实际上可能更容易。这可能很重要，例如，对股票期权进行delta对冲，或在外汇市场中，报价以隐含波动率表示，作为Black-Scholes delta的函数。此外，对于美国人来说，在德尔塔太空工作将使设置演习边界变得更加容易。因此，扩展双重技术是有意义的，也许还包括跳跃。从这个角度来看，这些扩展将需要新的非线性偏微分方程的数值方法，很可能与本文中考虑的方法类似。感谢彼得·卡尔和亚历克斯·利普顿的评论。他们不对任何错误负责。参考贝尔曼，R.，永州，G.，1992年。不变嵌入简介。工业和应用数学学会。伯曼，A.，普莱蒙斯，R.，1994年。数学科学中的非负矩阵。暹罗。卡尔，P.，2014年7月。优化选项：衍生定价的双重方法。Quant美国，纽约。查拉，M。

M.，扎纳迪，M.A.，阿斯拉布，M.G.，2000年。对流扩散方程的扩展一步时间积分格式。计算机和数学及其应用39、71–84。豪森，S.，1995年。障碍选项。可在https://people.maths.ox.ac.uk/howison/barriers.pdf.Int Hout，K.J.，南加州福隆，2010年。具有相关性的赫斯顿模型中期权定价的有限差异方案。国际数值分析与建模杂志7（2），303–320。Itkin，A.，Carr，P.，2011年。无泪跳跃：一种新的障碍选项拆分技术。《国际数值分析与建模杂志》8（4），667–704。李斌、吕斌、王志强、J.麦卡蒙，2010年。约化泊松-能斯特-普朗克系统的解和反应速率的测定。物理3891329-1345。利普顿，A.，2001年。外汇的数学方法：金融工程师的方法。1971年12月，哥伦比亚特区默顿世界科学院。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。经济理论杂志3（4），373-413。1972年，罗伯茨，J。两点边值问题：打靶法。美国爱思唯尔酒吧。斯塔扎克公司，M.，1989年。化学和物理学中的数学方法。斯普林格，纽约。附录A。命题3.1的证明让我们提醒一下，等式（14）的解由等式（25）在算符形式C（k）（p，t）=e中给出tLC（k）（p，t）- t） 。（A.1）其中l=[D（k-1） （p，t）+D（p，t- t） ]pp，D（k）（p，t）=“^a（p，t）C（k）pp（p，t）#，考虑算子的离散模拟Pp可通过使用有限差近似公式（30）在网格G（x）上获得。注意，ACis是梅茨勒矩阵，见伯曼和普莱蒙斯（1994）。事实上，所有的负元素都在主对角线上，所有的非负元素都在主对角线的外侧。ACI也是一个三对角矩阵。现在请注意t>0，Dk（p，t）>0。

因此，矩阵M=t[D（k-1） （p，t）+D（p，t- t） ]ACis也是梅茨勒矩阵。根据梅兹勒矩阵的性质，它的指数是非负矩阵。因此，emp保留向量C（k）（p，t）的符号。梅茨勒矩阵的所有值都有负实部。因此，矩阵eMfollowskeMk的谱范数小于1。因此，map eMis是契约性的，因此等式（A.1）是无条件稳定的。现在我们证明了矩阵eMis是算子e的二阶近似tL.这源于矩阵近似于运算器这一事实Pp对于二阶，即在非均匀网格上，它提供近似值O（hi（hi+hi+1）），i∈ [1，N]。最后一点是证明定点Picard迭代的收敛性。为了做到这一点，用^C（p，t+t） 等式（24）的精确解。根据式（25），它可以表示为^C（p，t+t） =LC（p，t），L≡ 经验t^D（p，t）4（A.2）式中^D（p，t）=“^A（p，t）^C（p，t）#，注意，在每k处，L（k）是一个线性有界算子，因为它是线性有界算子L（k）C（p，t）-L（k）C（p，t）≤L（k）kC（p，t）-C（p，t）k≤ kC（p，t）-C（p，t）k自前面的谱范数kL（k）k所示≤ 1.然后根据算子的中值定理C（k）（p，t+（t）-^C（p，t+（t）=L（k）-1） C（p，t）-^LC（p，t）≤ kD（L）（ξ（k））kC（k）-1） （p，t+（t）-^C（p，t）式中，ξ（k）是C（k）的凸组合-1） （p，t+t） 和C（k）（p，t+t） ，D表示算子L在所有有界线性算子空间中的Fr’echet导数，参见，例如，Li等人（2010）。计算Fr’echet衍生产品召回的范数，根据定义Kd（L）k=supu6=0kD（L）（u）kkukIf u=（u，…，um）∈ [L∞(-∞, 0）]m，然后d（L）（u）=L（C+tu）Tt=0，因此kd（L）（u）k=^aTL（C）Cppupp库克-1.≤ ^atkk、 （A.3）众所周知，斯塔扎克（1989）kk=hsiniπ2（N+1），i∈ [1，…，N]其中N是矩阵的大小.

因此t和h可以很容易地调节，使kD（L）（u）k<1。重要的是，这样选择的值是独立的，因此，方案仍然几乎“无条件稳定”。为了解释“几乎”的含义，让我们将我们的条件与熟悉的欧拉显式有限差分格式的稳定性条件进行比较，后者的结果为2νT≤ h（A.4），其中ν是一些扩散系数。可以看出，后一个条件是限制性的，因为它设置了给定空间步长h的时间步长上限。相比之下，我们的条件为^ath4 siniπ2（N+1）-1<1在最坏的情况下，这可以重新写为^a将其与公式（A.4）进行比较，可以看出，稳定性是有条件的。然而，与等式（A.4）相比，它是相当宽松的，因为在左手侧存在乘法器。的确，我们需要t<1/（h^a），其中右手部分通常是一个巨大的值，除非局部波动性^a（p，t）非常高，这是不切实际的。因此，对于任何实际应用都有理论上的限制这些都不重要。