非线性偏微分方程在解决金融中的一些优化问题时出现，

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英文标题：
《Nonlinear PDEs risen when solving some optimization problems in finance,
  and their solutions》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a specific type of nonlinear partial differential equations (PDE) that appear in mathematical finance as the result of solving some optimization problems. We review some existing in the literature examples of such problems, and discuss the properties of these PDEs. We also demonstrate how to solve them numerically in a general case, and analytically in some particular case.
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中文摘要：
我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程（PDE），它出现在数学金融中，是解决一些优化问题的结果。我们回顾了一些文献中存在的此类问题的例子，并讨论了这些偏微分方程的性质。我们还演示了如何在一般情况下数值求解它们，以及在某些特定情况下解析求解它们。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

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PDF下载：
--> Nonlinear_PDEs_risen_when_solving_some_optimization_problems_in_finance,_and_the.pdf (402.84 KB)

2022-5-9 07:37:12 上传

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关键词：偏微分方程 微分方程 非线性 偏微分 Mathematical

非线性偏微分方程（PDE）在解决金融领域的一些优化问题及其解决方案时上升。伊特基纳，*纽约大学阿波罗理工学院工程学院，6 Metro技术中心，纽约布鲁克林RH 517E 11201，USA摘要我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程（PDE），它出现在数学金融中，是解决一些优化问题的结果。我们回顾了一些文献中存在的此类问题的例子，并讨论了这些偏微分方程的性质。我们还演示了如何在一般情况下数值求解它们，以及在某些特定情况下解析求解它们。关键词：非线性偏微分方程、优化、有限差分模式1。动机和介绍在本文中，我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程，它通过将优化应用于一些金融问题而出现在数学金融中。为了说明这一点，我们从利普顿（2001）给出的例子开始，他考虑了一个最优消费问题，第一次在默顿（1971）提出。1.1。利普顿的例子利普顿（2001）认为利普顿的投资组合包括国内和国外债券。国内债券Yt的相对值是常数，即Yt=Y=1，而国外债券Yt的相对值是随机的，并遵循几何布朗运动，具有恒定的真实世界漂移u和波动性σ，因此本文所代表的观点是作者自己的观点，不一定代表纽约大学的观点。*相应的authorEmail地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin）预印本于2021年9月7日提交给爱思唯尔。假设Υt=（Υt，Υt）是一种可预测的自我融资交易策略，其对应的线性财富∏t=Υt+ΥtYt，ωt=ΥtYt/是该财富中投资于外国债券的部分。策略的自我融资意味着给定的∏1有∏t=ΥtdYt=Υt（udt+σdWt）=ωt∏t（udt+σdWt），其中wt是布朗运动。

最优消费问题在于找到策略ωT，该策略在到期日T时提供预期财富E（πT），使得E（πT）>π，同时最小化∏T的方差，即E（πT），其中Eis是以初始时刻T=0为条件的预期。通过使用拉格朗日乘子λ和函数J（t，Y，π）=minω[E（πt- λ∏T）]，前面的陈述等价于Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）问题的解minωJt+σF（ω）+uYJY+ω∏J∏= 0，（1）F（ω）=（Y）JY，Y+2ωY∏JY，π+（ω）J∏，π。当t=0时，函数J（0，Y，π）=∏- λ∏不依赖于Y，所以解J（t，Y，π）=J（t，π），因此等式（1）减少了tominωJξ-（ω） πJ∏，π- ω′u∏J∏, （2） 式中ξ=σ（T- t） ，u=u/σ。假设J∏，π>0（见Lipton（2001）进一步讨论），等式（1）有一个显式解ω=-“uJ∏/（πJ∏，π）可被替换回等式（1）以产生以下J问题：Jξ=“uJ∏J∏，π”。（3） 这是我们感兴趣的一个非线性方程。基于初始条件j（0，π）=∏- λ∏可通过将J表示为∏的水力学形式，并将系数表示为ξ的函数来解析求解。进一步的细节可以在Lipton（2001）中找到。Carr示例Carr（2014）认为，买入期权价格C（S，t），S是基础现货价格，是一些函数F（p；S，t）相对于一些变量p最大化的结果，p保持参数S和t不变。他证明了如果调用值C（S，t）是S的凸函数，那么F（p；S，t）=pS- C*（p；t），其中C*（p；t）是调用值C（S；t）的勒让德-芬切尔变换，即：*（p；t）≡ supS[pS]-C（S；t）]。Healso证明，如果调用值C（S，t）是S的凸可微函数，则函数F的参数p也是LegendreFenchel变换C的参数p*C（S；t）中的（p；t），也是调用的增量，即p=SC（S；t）。

这一结果激发了他对期权定价的双重方法。这意味着，在期权定价的标准（原始）方法中，现货价格过程S是该方法的输入，而期权增量后面的随机过程是该方法的输出。相比之下，Carr的双重方法首先指定了一个随机过程，用于看涨期权的delta p，而不是标的资产的现货价格s。此外，卡尔在同一基础上考虑远期合约，并假设远期合约的价值Xt解出随机微分方程：dXt=a（Xt，t）dWt，t∈ [0，T），（4）其中a（Xt，T）是局部波动函数。换句话说，Xt遵循算术布朗运动。然后调用值函数c（x，T）≡等式[X+T | Xt=X]求解以下抛物线偏微分方程：a（X，T）c（X，T）+c（X，T）=0，X∈ R、 t∈ [0，T）。（5）根据终端条件：c（x，T）=x+，x∈ R.（6）这里等于风险中性度量下的预期，sub indexin cin Carr的符号表示c的第一个参数的第一个导数，sub INDEXDENOTES与第二个参数相同。因此，cis是第一个参数的二阶导数。与原始方法不同的是，在对偶方法中，Carr引入x作为（p，t）的函数，因此这些变量中的期权价格是c*（p，t）isc*（p，t）≡ p·x（p，t）- c（x（p，t），t），p∈ （0,1），t∈ [0，T）（7）因此，在一些温和的假设下*（p，t）关于第一个论点isc*（p，t）=x（p，t）+px（p，t）- c（x（p，t），t）x（p，t）=x（p，t），（8），因为p=c（x（p，t），t）和c*（p，t）=x（p，t）=c（x（p，t），t），p∈ [0,1]，t∈ [0，T），（9）通过反函数定理。自c（x，T）≥ 0意味着c*（p，t）≥ 0，c*在p中是凸的。

也基于Legendre transformx=c的属性*（p，t）和thusc（x，t）=xc*（p（x，t），t）- C*（p（x，t），t），x∈ R、 t∈ [0，T）。（10）利用它的^o引理，卡尔还导出了nv（p，T）之间的一个重要关系——与δ过程Pt的波动性相关的函数≡ c（Xt，t），t∈[0，T）到调用delta p的级别∈ （0,1）到时间t∈ [0，T）：v（p，T）c*（p，t）=c（x（p，t），t）a（x（p，t），t），p∈ （0,1），t∈ [0，T）。（11）最终是一个双偏微分方程：v（p，T）c*（p，t）- C*（p，t）=0，p∈ （0,1），t∈ [0，T），（12）受终端条件限制↑Tc*（p，t）=x1（x>0）- x+=0。（13） 虽然式（5）中的标准偏微分方程通常被称为后向方程，但式（12）中的双偏微分方程是前向方程。尽管Carr（2014）没有发现这一点，但我们将展示如何将等式（12）转换为非线性偏微分方程。1.3. 进一步注意：上述考虑隐含地假设，delta过程的局部波动函数v（p，t）已知p和t的所有必要值，然后是远期PDE等式（12）和终端条件等式。（13） 解决了这个问题。然而，从实践的角度来看，这种假设可能是不现实的，因为市场没有明确地提供dev（p，t）。乍一看，克服这一问题的可能方法之一是首先解决向后问题，然后使用条件式（11）从给定地图p的选项gammas c（x，t）的预计算值恢复v（p，t）→ p（x，t）。然而，这并不是完全正确的。事实上，假设我们解决了反向问题，例如，使用有限差分法，现在在（x，t）中的二维网格上的每个点都有c（x，t）。因此，在t=0时，我们在这个网格上有p=p（x，0）的值。假设我们现在想要解决正问题，并使用这些p值作为p网格。

接下来，让我们用一个时间步长向前迈出一步t、 显然，p（x，t） 6=p（x，0）。因此，如果Westwill使用p（x，0）值构建的p网格，x网格固定在t=0，则逆映射为x(t） =x（p，t） 与x（0）不一致。因此，在x网格上定义的a（x.t）和c（x，t）的值必须在时间上重新插值t在x上(t） 网格。更糟糕的是，为了做到这一点，我们需要知道x(t） 对应于t=0时定义的P网格。所以，要么我们还需要在向后递归过程中在内存中存储c（x，t）的所有值，要么使用连接x（p，t）=c*（p，t）。在后一种情况下，方程（12）的正向线性方程变得非线性，因为根据方程（11），我们需要使用映射x（p，t），其中x反过来是c的函数*. 下面在给出数值结果时，我们将更详细地讨论映射x（p，t）的特性。同样值得一提的是，这种方法总体上存在一些缺陷。首先，一旦向后问题得到解决，我们很可能不需要解决对偶问题。一个可能的例外与长期期权的估值有关。其次，在x和t中存储网格上的所有伽马值（可能还有增量）可能会消耗内存。因此，我们对这个问题提出了另一种观点。在下文中，我们放松了上述假设，即PTI的局部波动函数v（p，t）已知。相反，我们假设只有远期过程的局部波动率a（x，t）是已知的。我们用新的变量p，t来表示它，为了消除任何混淆，我们引入了表示函数a的新符号，即^a（p，t）。

注意，为了构建地图（x，t）→ （p（x，t），t）我们仍然需要知道t=0时的期权价值c（x，t）和deltasc（x，t），这取决于期权到期时间t。根据这个假设，v（p，t）现在不是模型的独立输入。相反，它由式（11）确定，其中c（x（p，t），t）依次连接到c*（p，t）由式（9）得出。把所有这些表达式加在一起，通过对这些项的排列，我们得到了下面的等式。C*（p，t）c*（p，t）=^a（c）*（p，t），t），p∈ （0,1），t∈ [0，T）。（14）这是一个非线性方程，其终端条件由式（13）给出.据我们所知，这类方程在非线性偏微分方程理论和数学金融中都没有考虑过，本节前面考虑的利普顿情况除外。尽管时间从0到t的初始条件仍然是向前的。然而，由于终端条件，这个问题不是标准的柯西边界问题。在物理学中，这类问题是众所周知的，通常是通过不变嵌入法（Bellman and Wing，1992）或射击法（Roberts and Shipman，1972）来解决的。因此，本文的主要贡献是i）认识到Carr的对偶方法产生了某种类型的非线性偏微分方程，即在最简单的局部波动函数形式下，潜在过程中的线性有一个前辈，见Lipton（2001），但总体上更复杂；ii）如何使用有限差分法有效求解这些方程的算法。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将对导出的非线性偏微分方程进行分析，并提供一个可以解析求解的例子（aBlack-Scholes设置）。

在第三节中，我们提出了一种新的数值方法来求解完全非线性方程，该方程在空间和时间上是无条件稳定的，具有二阶近似。在第四节中，我们介绍了一些数值实验并讨论了它们的结果。最后一节总结并为未来的研究提供建议。2.对新的非线性PDEA直接分析的分析表明，尽管有一种不寻常的形式，等式（14）仍然适用。事实上，勒让德变换的伽玛c*（p，t）是非负的，因此勒让德变换的θ也应该是非负的。Asc*（p，t）<0这意味着当t向前运行时，c的值*（p，t）在绝对值和极限t中减小→ T达到正确的终端值c*（p，T）=0。另一方面，由于c（x，t）有一个钟形的曲线，c*（p，t）如式（9）所示，具有倒钟形曲线。换句话说，对于深度ITM和OTM选项c*（p，t）趋于一致，接近ATM时为正，接近于零。这意味着c*（p，t）在p=0和p=1时为零，在p的中间值时为正*（p，t）应如图3所示。事实证明，等式（14）也允许双重代表。为了说明这一点，我们从等式（12）开始，考虑等式（9）和等式C*（p，t）=px（p，t）-c（x（p，t），t）x（p，t）-c（x（p，t），t）=-c（x（p，t），t），（15）在卡尔（2014）中推导（因为p=c（x（p，t），t））。还可以使用delta的定义为p=c（x，t），并将时间从向前t改为向后τ=t- t、 因此，将等式（14）转化为c（x，τ）c（x，τ）=v（c（x，t），τ），x∈ [0, ∞), τ ∈ [0，T）。（16）2.0.1.示例。考虑局部波动函数为a（x，T）=σx的特定情况。换句话说，这对应于置换对数正态模型DST=σ（St- K） dWt（17），其中K是期权行使。

将a（x，t）的定义替换为eq。（14） 我们得出以下非线性方程*（p，t）=σ（c）*)C*（p，t）。（18） 我们可以很容易地看到，这正是等式（3），尽管受到不同的边界和初始条件的影响。我们要提醒的是，在Lipton（2001）中，等式（18）是通过假设（在本节符号中）c来解决的*（p，t）是p的二次函数。然而，在我们的例子中，这个ansatz不服从c的边界和终端条件*（p，t）。尽管如此，等式（18）承认了一种半显式封闭形式的解决方案。为了得到这个解决方案，我们重新编写了c的定义*（p，t）在式（7）中的形式c*（p（x，t，t）=xp（x，t）- c（x，t）。当我们假设a（x，t）=σx，XT服从以下随机SDE（几何布朗运动）dXt=σXtdWt时，-K<Xt<∞.根据费曼-卡克定理c（x，t）solvesct（x，t）=σxc（x，t）x、 （19）受以下条件c（x，T）=x+，c约束(-K、 t=0，c（x，t）→ x在x处→ ∞, -K≤ x<∞.式（19）的显式解可通过两个分支的总和获得。当x>0时，解为c（x，t）=x。事实上，该表达式解方程（19），并遵守终端条件和边界条件。在x处≤ 0等式（19）给出了向上和向外调用的价格，上限为K，并且在负进程Xt（so）上写入了罢工K=0-Xt≥ 0). 因此，它写道，见豪森（1995）c（x，t）=cBS（y，t，0）- 哥伦比亚广播公司（y、t、K）- Kcd（y，t，K）（20）-yK2α[cBS（z，t，0）- 哥伦比亚广播公司（z，t，K）- Kcd（z，t，K）]。这里y=-x、 z=-K/x，cBS（S，t，K）是布莱克-斯科尔斯看涨期权价格，cd（S，t，K）=er（t-t） N（d（S，t，K）），α=（1）- k） ，k=2（r- q） /σ。在我们的例子中，r=q=0，α=1/2，cBS（y，t，0）=cBS（z，t，0）=x，因此，等式（20）简化了toc（x，t）=y- 哥伦比亚广播公司（y、t、K）- KN（d（y，t，K））（21）-yK[cBS（z，t，0）- 哥伦比亚广播公司（z，t，K）- KN（d（z，t，K））]。截至x=-我们有y=z=K，这个解提供了c的正确边界值(-K、 t）=0。

同样在t=t时，我们有c（x，t）=0。因此，c（x，t）的这两个分支求解等式（18），提供正确的边界值，并遵守终端条件。剩下要证明的是，这个解在x=0时是连续的。事实上，x>0时的第一个分支位于极限x中→ 0提供c（0，t）=0。极限x中x<0处的第二个分支→ 0还提供了c（x，t）→ 0.后者并不明显，因为ecbs（z，t，0）=K/y，并且等式（21）中方括号中的第一项乘以y/K在y处似乎不收敛于0→ 0.然而，必须记住，等式（21）是通过使用图像的方法获得的。可以证明在x→ 0公式（21）中的第二行消失，方括号中的值不相等，因为乘法器y/kVANIHES。因此，我们设法以封闭形式解出等式（19）。现在通过等式（7）c*（x，t）=xc（x，t）- c（x，t）=（0，x）≥ 0摄氏度*（x，t），x<0（22），其中*（x，t）=KN（d（y，t，K））- N（d（y，t，K））+φ（y，t，K）σ√T- YN（d（z，t，K））- N（d（z，t，K））-φ（z，t，K）σ√T- 2Kyy6=0,φ（x）=e-x/2√.为了完成这个解，我们需要考虑x=x（p，t）。为了得到封闭形式的依赖关系，观察x（p，t）=c*（p，t）=c*（x，t）十、p从这个表达式p=Zc*（x，t）xdx=c*（x，t）x+Zc*（x，t）xdx。（23）Thusp=InvC*（x，t）x+Zc*（x，t）xdx其中Inv表示反函数。有C的明确表示*（x，t）这个映射x=x（p，t）可以用数值计算。除了这个例子，一个显而易见的问题是：如何在考虑到等式（14）的所有特性和非线性的情况下求解它。为了做到这一点，我们提出了一种迭代数值格式，该格式假设初始值C*（p，0）在某种程度上是已知的。3.