双重风险模型中的最优投资

在假设（2.8）下，V（x）=e-βxis是HamiltonJacobi-Bellman方程（2.9）的解，其中β是满足方程β的唯一正值ρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.10)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy= 0.给定V（x）=e-βx和（2.11）C*:= 阿明{(-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy}对偶风险模型7由（2.12）C给出*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1，也满足方程：（2.13）λ+（1- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.证据。在等式（2.9）中最小化C，我们得到（2.14）- V（x）+ΔγCγ-1Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy=0。注意，C是正的，V（x）在x中减少。因此，（2.15）C=δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程-ρ +δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1.V（x）（2.16）+λ + δδγγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γγ-1.·Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy=0。我们可以看到V（x）=e-βx，其中β>0是方程的唯一解：βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.17)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-y（β）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy= 0.让我们定义（β）：=βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(2.18)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy.我们想证明存在一个唯一的正值β，使得F（β）=0。为了方便起见，让我们也介绍一下符号：（2.19）g（β）：=1-R∞E-βyp（y）dyβ。8 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu对于β>0，（2.20）g（β）=βZ，计算起来很容易∞β叶-βy- 1+e-βyp（y）dy.设h（x）=xe-十、- 1+e-x、 x≥ 然后h（0）=0和h（x）→ -1作为x→ ∞.此外，h（x）=-xe公司-当x>0时，x<0。

因此h（x）≤ 0代表任何x≥ 因此，g（β）是β的递减函数。注意，我们可以将F（β）重写为（2.21）F（β）=βρ - (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）.因此，F（β）=0表示β>0当且仅当G（β）=0表示β>0时，其中（2.22）G（β）：=ρ-(δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）。注意，根据L\'H^opital的规则，（2.23）limβ→0+g（β）=E[Y]。因此，（2.24）limβ→0+G（β）=（ρ-λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ< 0.另一方面，g（β）→ 0为β→ ∞, 因此G（β）→ ρ>0为β→ ∞. 由于G（β）在β中是一个递减函数，而0<γ<1，因此G（β）在β中是递增的。因此，我们得出结论，G（β）=0有一个唯一的正解。给定V（x）=e-βx，那么我们有：（2.25）C*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.回想一下（2.22）中对G（β）的定义，以及β满意度G（β）=0。因此，最佳的C*在（2.25）中，必须满足以下等式：（2.26）λ+（1）- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.例2。当p（y）=νe-νy，ν>0，β满足度（2.27）β“ρ+δγγ-1(β + ν)γ-1#=\"λ + δδγγγ-1(β + ν)γγ-1#ββ+ν，这意味着（2.28）ρ（β+ν）=λ+γ- 1.δγγ-1(β + ν)γγ-1.特别地，当γ=时，我们得到（2.29）ρ（β+Ⅴ）=λ（β+Ⅴ）+δ，因此（2.30）β=λ+pλ+ρδ2ρ- ν、 双风险模型9与最优C*由（2.31）C给出*=Δρ（λ+pλ+ρδ）。验证定理。让我们回顾一下（2.32）infC≥0-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，V（0）=1。给定C∈ C、 财富过程满足了动态：dXct=-（ρ+Ct）dt+djct和XC=x。定理3（验证）。让我们∈ Cbbe（2.32）的解决方案∈ C（2.33）极限→∞w（XCt）1{t≤τ} =0 a.s.那么，w≤ 五、另外，如果存在有界函数C*: R≥0→ R≥例如*（十）∈ argminC≥0-（ρ+C）w（x）+（λ+δCγ）Z∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy,和dX*t=-（ρ+C）*（十）*t） ）dt+dJC*（十）*T-)这是一个解决方案，w=V。证据

由于w是有界的，并且连续可微，有界导数，因此通过跳过程的It^o引理，我们得到了[w（XCt∧τ） ]=w（x）+EZt∧τ- （ρ+Cs）w（Xcs）（2.34）+（λ+δCγs）Z∞[w（XCs+y）- w（XCs）]p（y）dyds≥ w（x），对于任何C∈ C.因此，w（x）≤ E[w（XCt∧τ） ]=E[w（XCt）1{t<τ}+1{t≥τ}].If由（2.33）和Lebesgue支配的收敛定理得出，上面的右手边收敛到P（τ<∞) andw（x）≤ P（τ<∞).通过对C的了解∈ C、 我们得到w≤ 五、要获得等式，请注意，在上述参数中，当Ct=C时，我们有等式*（十）*T-) 推论4。V（x）=e-βx其中β是方程（2.17）的唯一解。证据这足以证明对于任何C∈ 克里姆特→∞经验(-βXCt）1{t≤τ} =0 a.s.注意，上述限值不为零的事件包括在L中∈N{ω：lim inft→∞XCt<L且τ=∞}. 因为C是有界的，给定XCt=x代表x∈ [0，L]，在任何有界时间间隔[t，t+h]内，XCt+hhas没有跳跃的概率为正。更具体地说，XCt+h=x- （ρt+RTCSD）对于所有h∈ [0，x/ρ]是正数。换句话说，如果lim inft→∞最终，阿拉什·法希姆和灵炯·朱的毁灭发生了。这意味着P（lim inf→∞< 五十、 τ=∞) = 0完成了证明。2.1.2. 渐近分析。备注5。我们已经证明了V（x）=e-βx，其中β是方程（2.17）的唯一正解，相当于G（β）=0，即（2.35）ρ- (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）=0。现在，让我们来讨论值β（以及值函数V（x）=e-βx）和最优投资率C*取决于参数ρ、λ和δ。通过（2.35），我们有以下观察结果：（i）随着ρ的增加，g（β）增加。由于g（β）在β中减少，我们得出结论，β随着ρ的增加而减少。直观地说，随着研究和投资的固定运行成本增加，破产概率增加。

渐近地，如ρ→ 0，g（β）→ 0.当g（β）时→ 因为0<γ<1，我们必须有[g（β）]1-γg（β）。因此，通过（2.35），作为ρ→ 0，我们有g（β）~ρλ. 从g（β）的定义来看，我们有g（β）~βasβ→ ∞. 因此，我们得出结论（2.36）β~λρ，asρ→ 因此，最佳的C*满意度（2.37）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asρ→ 0.（ii）随着δ的增加，g（β）减小。由于g（β）在β中减少，我们得出结论，β随着δ的增加而增加。直观地说，如果考虑到研发投资，未来利润的前景增加，那么破产概率就会降低。渐近地，如δ→ ∞, 我们有g（β）→ 0，因此δ→ ∞,(2.38) (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ→ ρ、 这意味着作为δ→ ∞, 我们有（2.39）g（β）~ρ1-γγγ- 1.1.-γδ.自g（β）~βasβ→ ∞, 我们得出结论（2.40）β~γγ- 1.1.-γρ1-γδ，asδ→ ∞.此外，最优C*满意度：（2.41）C*→ργ- 1，asδ→ ∞.现在，如果δ→ 0，然后是g（β）→ρλ. 因此，作为δ→ 0, β → α、 这里我们重新定义α是唯一的正值，所以（2.42）1-Z∞E-αyp（y）dy=αρλ。双重风险模型11，与（2.1）中定义的相同。此外，最优C*满意度（2.43）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asδ→ 直观地说，它表示为δ→ 0，在研发上投资没有价值。（iii）类似地，随着λ增加，β增加，破产概率降低。Asλ→ ∞, 我们有g（β）→ 因此，λg（β）→ ρ、 和g（β）~ρλ. 自g（β）~βasβ→ ∞, 我们得出结论（2.44）β~λρ，asλ→ ∞.此外，最优C*满意度：（2.45）C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 asλ→ ∞.（iv）假设选择的参数为（2.46）（ρ- λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ→ 0.那么，g（β）→ E[Y]和β→ 更准确地说，是β→ 0，g（β）~E[Y]-βE[Y]如果E[Y]<∞, （2.35）变成（2.47）ρ- (δγ)1-γγ- 1.E[Y]-βE[Y]1.-γ- λE[Y]-βE[Y]= O（β）。asβ→ 0

然后，它得出ρ- (δγ)1-γγ- 1.E[Y]1-γ-2(1 - γ） （E[Y]）γ1-γE[Y]β(2.48)- λE[Y]-βE[Y]= O（β）。因此，我们得出结论（2.49）β~-(ρ - λE[Y]）+（Δγ）1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ(δγ)1-γ2γ（E[Y]）γ1-γE[Y]+λE[Y]。此外，最优C*满意度：（2.50）C*~ (δγ)1-γ（E[Y]）1-γ.备注6。值函数V（x）=e-βx和最优投资率C*也取决于参数γ。稍后我们将详细研究γ=1的情况。现在，让我们试着理解价值函数的渐近行为和最优投资率γ→ 1.-. 我们还将获得渐近解→ 0+. 让我们回忆一下，最优C*满足方程：（2.51）λ+（1- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-因此，我们有- γ） δ（C）*)γ≤ ρΔγ（C）*)γ-这意味着（2.52）C*≤ργ1 - γ、 12 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHUThus，C*→ 0为γ→ 0.注意limγ→0+γγ= 1. 因此，我们可以检查（2.53）C*~ρΔλ+Δγ，asγ→ 0+.现在，让我们考虑γ→ 1.-限度让我们把方程（2.51）改写为（2.54）λ（1）- γ)1-γ+δDγ=ρδγD1-γ、 其中D=（1）- γ） C*. 让我们首先考虑ρδ>λ的情况。首先请注意Limγ→1.-(1 - γ)1-γ= 1. 首先，D不能作为γ变为0→ 1.-, 因为除此之外，（2.54）的左手边变为λ，随着D变为0，D<1和D1-γ≤ 1，所以（2.54）的右手边大于ρΔγ。那么，在γ的极限下→ 1.-, 我们得到λ≥ ρδ，这是一个矛盾。第二，D不能去∞ 作为γ→ 1.-. 要看到这一点，请注意→ ∞, （2.54）的左侧变为∞ 在（2.54）的右侧，对于较大的D，D>1和D1-γ≥ 因此右手边小于ρδ，这是一个矛盾。因此，如果ρδ>λ，D收敛到一个正常数，从（2.54）我们可以看到极限为ρδ-λδ，我们有（2.55）C*~ρδ - λδ1 - γ、 作为γ→ 1.-.如果ρδ<λ，则最优C*→ 0为γ→ 1.-.

要看到这一点，请注意iflim supγ→1.-C*∈ (0, ∞), 在（2.51）中，我们有lim supγ→1.-ρΔγ（C）*)γ-1=ρδ和lim supγ→1.-[λ + (1 - γ） δ（C）*)γ] =λ，这是一个矛盾，因为ρδ<λ。如果lim supγ→1.-C*= ∞, 那么C呢*> 1，我们从（2.51）得到λ<λ+（1）-γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1<ρδ，这又是一个收缩。因此，我们必须有C*→ 0.自从C*→ 0, (1 - γ） δ（C）*)γ ρΔγ（C）*)γ-1，因此为（2.56）C*~λρδγγ-1.~Eρδλ1.-γ、 作为γ→ 1.-.如果ρδ=λ，则最佳C*满足以下等式：（2.57）λ=（1- γ） δ（C）*)γ（C）*)γ-1.- 1.假设C*> 0是固定的，然后根据L\'H^opital的规则，（2.58）limγ→1.-(1 - γ） δ（C）*)γ（C）*)γ-1.- 1=limγ→1.--δ（C）*)γ+（1- γ） δ（C）*)γ对数C*（C）*)γ-1+γ（C）*)γ-1日志C*=-δC*1+对数C*.因此作为γ→ 1.-, C*收敛到方程的唯一正解：（2.59）δx+λ（1+logx）=0.2.2。γ=1例。当γ=1时，这是一个奇异控制问题，V（x）满足Hamilton-Jacobi-Bellman方程，参见[12]：min中的第8章- ρV（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy（2.60）- V（x）+δZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，双重风险模型13，边界条件V（0）=1。凭直觉，我们可以这样争论。When[Y]≥λρ，在没有任何研发投资的情况下，破产概率为1。当[Y]<λρ时，单位概率为e-αx小于1，其中α是满足以下等式的唯一正值：（2.61）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。如果我们投资于固定利率C和ifE[Y]<λ+δCρ+C，破产概率为e-αCx，其中αCis是满足以下等式的唯一正值：（2.62）（ρ+C）αC+（λ+δC）Z∞[e]-αCy- 1] p（y）dy=0。When[Y]- δ<0时，总是有可能投资以实现破产概率小于1。否则，投资根本无济于事。因此，我们得出以下结论：oE[Y]- δ<0，λE[Y]>ρ。在这种情况下，在没有任何研发投资的情况下，破产概率小于1。

但如果你投资于研究和开发，将有助于降低破产概率。临界阈值为δ=λρ。如果δ>λρ，我们可以看到值函数由V（x）=e给出-α∞x、 α在哪里∞满足以下等式的唯一正值：（2.63）α∞+ δZ∞[e]-α∞Y- 1] p（y）dy=0。这是通过投资C来实现的→ +∞.如果δ<λρ，我们可以看到最优策略是不投资andV（x）=e-αx.oE[Y]- δ<0，λE[Y]<ρ。在这种情况下，破产很可能发生在没有任何研发投资的情况下。但是如果你在研究和开发上积极投资，破产概率就会降到1以下。我们可以看到V（x）=e-α∞x、 接下来，我们试图严格证明上述主张。我们依赖于随机时变技术，这在随机分析中经常使用。2.2.1. 随机时间变化。现在让我们证明，值函数V（x）和最优策略确实是我们在γ=1的情况下所描述的。对于任何C∈ C、 我们有（2.64）dXCt=-（ρ+Ct）dt+dJCt，其中JCt=PNCti=1Yi，其中nct是强度为λ+δCt的简单点过程-在时间t和yid处，与之前一样，是概率密度函数p（y）的i.i.d。让我们引入一个随机时间变化并定义T（T），通过：（2.65）ZT（T）（λ+δCs）ds=T.14 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu，很容易看出T（0）=0和T（T）→ ∞ 作为t→ ∞ 自从C∈ C是有界的。然后，（2.66）dXT（t）=-（ρ+CT（t））dT（t）+dJCT（t）。在随机时间变化下，dT（t）dT=λ+δc，JCT（t）分布为Jt:=PNti=1Yi，其中nti是强度为1的标准泊松过程。关于简单点过程的随机时间变化，参见例如Meyer[21]。因此，（2.67）dXT（t）=-ρ+CT（t）λ+δCT（t）dt+dJt。让我们也注意到（2.68）P（Xtever被毁）=P（XT（t）曾经被毁）。当ρλ<δ时，则infC≥0ρ+Cλ+δC=ρλ，最优策略为Ct≡ 0

在这种情况下，值函数V（x）=e-βx，其中（2.69）ρβ+λZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy=0。当ρλ>δ时，则infC≥0ρ+Cλ+δC=∞. 对于任何C∈ C和C:=kCk∞, C比C更优。最佳策略是Ct≡ ∞. 我们也假设δE[Y]>1。在这种情况下，值函数V（x）=e-βx，其中（2.70）β+δZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy=0。当ρλ=δ时，就破产概率而言，公司是否决定投资研发并不存在差异。备注7。当ρλ≥δ、 V（x）=e-βx，其中β满足（2.70），与ρ和λ无关。渐近地，当ρλ→ 0，很容易看出（2.71）β~λρ.例8。在p（y）=νe的特殊情况下-当ρλ<δ时，则≡ 0和V（x）=e-(λρ-ν） 当ρλ>δ和Δν>1时，最优C≡ ∞V（x）=e-(δ-ν） x.3。依赖于状态的双重风险模型实际上，第2.2.1节中使用的随机时间变化方法也适用于0<γ<1。这为解决最优控制问题提供了一种替代方法，而不是使用通常的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。在本节中，我们想研究更一般的依赖于状态的双重风险模型，其中λ（x）、ρ（x）、δ（x）都依赖于财富过程。朱[32]首先介绍了一种依赖于状态的双重风险模型：（3.1）dXt=-ρ（Xt）dt+dJt，双风险模型15，其中Jt=PNti=1Yi，其中yi的定义与之前相同，而nti是强度为λ（Xt）的简单点过程-) 当时的t.现在，增加了对研发投资的控制∈ C、 我们有（3.2）dXCt=-（ρ（Xt）+Ct）dt+dJCt，其中Jt=PNti=1Yi，其中yi的定义与之前相同，nti是强度为λ（Xt）的简单点过程-) + δ（Xt）-)Cγtat time t.双重风险模型引入状态依赖的动机如下。首先，公司的成本通常随着公司规模的增加而增加。

例如，一家小型企业和一家财富500强公司的运营成本差别很大。其次，随着公司规模的增加，未来利润的到达强度可能会增加。这可能是因为一家公司规模越大，其收入来源就越多。在财务文献中也众所周知，随着公司变得越来越大、越来越强大，它可以获得更多的收益，例如净现值（NPV），这可能是由于特许经营带来的机会。从表1、表2和表3中我们可以看到，随着公司规模和收入的变化，研发支出可能远远不是固定不变的。更现实地说，公司的研发和运营成本应该取决于国家。从最优控制的角度来看，研究状态相关的情况也很有趣。我们注意到，在独立于状态的情况下，最优策略总是一个常数，并且独立于状态。我们预计，当潜在的双重风险模型依赖于状态时，最优策略可能依赖于状态。假设λ（·）≥ λ> 某些λ为0∈ (0, ∞). 在随机时间变化下，（3.3）ZT（t）（λ（Xs）+δ（Xs）Cγs）ds=t，我们得到（3.4）dXT（t）=-ρ（XT（t））+CT（t）λ（XT（t））+δ（XT（t））Cγt（t）dt+dJt。3.1. 0<γ<1例。在0<γ<1的假设下，很容易看出最优策略CT（t）是使漂移最小化的策略：（3.5）ρ（XT（t））+CT（t）λ（XT（t））+δ（XT（t））Cγt（t）。很容易计算出最优策略满足（3.6）λ（XT（t））+δ（XT（t））（1）- γ） CγT（T）=ρ（XT（T））δ（XT（T））γCγ-1T（t）。因此，对于任何t>0，最优策略满足（3.7）λ（Xt）+δ（Xt）（1）- γ） Cγt=ρ（Xt）δ（Xt）γCγ-1t。很明显，最优策略CTI是Xt的函数，比如C*（Xt）。

然后在最优策略下，（3.8）dXt=-（ρ（Xt）+C*（Xt））dt+dJt，其中Jt=PNti=1Yi，其中n为强度λ（Xt-) + δ（Xt）-)C*（Xt）-)时间t.16 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu时的γ，p（y）=νe-νyis指数，朱[32]计算P（τ<∞) 通过微分w.r.t.x并将积分微分方程转化为非常规微分方程，以闭合形式。这里，我们省略了推导，而是直接引用了朱[32]中的结果。我们得到以下结果：命题9。假设p（y）=νe-νy，其中ν>0。也假设积分器∞λ（y）+δ（y）C*（y） γρ（y）+C*（y） eνy-Ryλ（w）+δ（w）C*（w） γρ（w）+C*（w） dwdy存在并且是有限的。然后，（3.9）V（x）=R∞xλ（y）+δ（y）C*（y） γρ（y）+C*（y） eνy-Ryλ（w）+δ（w）C*（w） γρ（w）+C*（w） dwdyR∞λ（y）+δ（y）C*（y） γρ（y）+C*（y） eνy-Ryλ（w）+δ（w）C*（w） γρ（w）+C*（w） 德迪。Zhu[32]给出了许多与状态相关的风险模型的例子，其中无投资的破产概率有明确的公式。让我们用[32]中的一个例子来说明，在研发投资的情况下，仍然可以得到封闭形式的公式。例10。设ρ（x）=ρ，λ（x）=λ（cx+c），δ（x）=δ（cx+c），其中ρ，λ，δ，c为正常数。