双重风险模型中的最优投资

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal Investment in a Dual Risk Model》
---
作者：
Arash Fahim, Lingjiong Zhu
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  Dual risk models are popular for modeling a venture capital or high tech company, for which the running cost is deterministic and the profits arrive stochastically over time. Most of the existing literature on dual risk models concentrated on the optimal dividend strategies. In this paper, we propose to study the optimal investment strategy on research and development for the dual risk models to minimize the ruin probability of the underlying company. We will also study the optimization problem when in addition the investment in a risky asset is allowed.
---
中文摘要：
双风险模型是风险投资或高科技公司建模的常用模型，对于这些公司，运行成本是确定的，利润随时间随机到达。关于双重风险模型的现有文献大多集中在最优股利策略上。在本文中，我们提出研究双重风险模型的最优研发投资策略，以最小化标的公司的破产概率。此外，我们还将研究风险资产投资允许时的优化问题。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> Optimal_Investment_in_a_Dual_Risk_Model.pdf (1.04 MB)

2022-5-9 07:40:07 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：风险模型 Optimization Quantitative Applications concentrated

双重风险模型中的最优投资。双风险模型常用于风险投资或高科技公司的建模，对于这些公司来说，运营成本是确定性的，随着时间的推移，收益是随机的。关于双重风险模型的现有文献大多集中在最优股利策略上。在本文中，我们提出研究双重风险模型的最优研发投资策略，以最小化基础公司的破产概率。此外，我们还将研究在允许风险资产投资的情况下的优化问题。1.引言经典的克拉姆-伦德伯格模型或经典的复合泊松风险模型表示，保险公司的盈余过程遵循以下动力学：（1.1）dXt=ρdt- dJt，X=X>0，其中ρ>0为保险费率，Jt=PNti=1yi为复合泊松过程，其中nTi为强度λ>0的泊松过程，索赔额yi为独立于泊松过程的i.i.d.正随机变量，E[Y]<∞. 破产理论的一个核心问题是研究破产概率P（τ<∞), 其中τ：=inf{t>0：Xt<0}。近年来，关于所谓的双重风险模型，在保险和金融领域进行了大量研究，参见[1,4,3,6,10,11,22,23,26,29,32]，财富过程遵循动力学：（1.2）dXt=-ρdt+dJt，X=X>0，其中ρ>0是公司的运营成本，Jt=PNti=1Yi是利润流，其中yi是i.i.d.R+值随机变量，具有公共概率密度函数p（y），y>0，NTI是强度λ>0的泊松过程。双重风险模型用于对风险资本的财富进行建模，其收益取决于研发。经典风险模型（1.1）通常被解释为保险公司的盈余。

另一方面，双重风险模型（1.2）可以理解为风险资本或高科技公司的财富。经典模型中的保费类似于双重模型中的运行成本，索赔将成为公司未来的利润。双重风险模型中最基本的问题之一是最优股利策略。Avanzi等人[4]研究了双重风险模型中的最优股息，其中最优策略是障碍策略。Avanzi等人[3]研究了双重风险模型的股息壁垒策略，其中股息决策日期为2015年10月16日。修订日期：2015年10月16日。2000年数学科目分类。62P05；91B30；93E20。关键词和短语。双重风险模型，最小化破产概率，最优投资。ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu只是周期性地制造，但仍然允许随时发生毁灭。Ng[22]研究了一个具有阈值红利策略的双重模型，该模型的索赔时间为指数级。阿方索等人[1]还研究了双重风险模型中的股息问题，假设了指数级的索赔时间。提出了一种计算预期贴现红利的新方法，并研究了破产概率和红利概率、红利数量、分红时间以及单个红利金额的分布。Cheung和Drekic[11]考虑了双重风险模型中的股息时刻。他们推导了总贴现红利矩的积分微分方程，假设跳跃大小分布具有有理拉普拉斯变换，则可明确求解。Rodriguez等人[26]研究了假设利润遵循阶段型分布的预期贴现股息。

Yang和Sendova[29]推导了Spare-Andersen对偶模型的破产时间、预期损失红利的拉普拉斯变换。到目前为止，关于双重风险模型的文献中研究的优化问题几乎都是关于最优股利策略的。在本文中，我们考虑一个不同类型的优化问题。对于风险投资公司或高科技公司来说，研发投资策略至关重要。增加研发投资的决定将增加公司的运营成本，但这也将提高未来盈利的可能性。因此，我们认为，了解最佳投资策略以加强公司地位具有根本利益。众所周知，研发是经济和社会增长的基本引擎。在世界上许多领先的公司中，这是一笔相当大的支出。《财富》2014年的一篇文章列出了2013年全球十大研发支出者，包括大众、三星、英特尔、微软、罗氏、诺华、丰田、强生、谷歌和默克，其中英特尔在研发上的支出高达其收入的20.1%，见[9]。许多技术巨头每年都在不断增加研发支出，如表1所示，2011-2014年谷歌的研发和收入占比。请注意，在谷歌的案例中，尽管研发支出逐年增加，但它随着总收入的增加而增加，因此作为收入的百分比，这个数字变化不大。对于一些公司来说，研发支出的绝对金额和作为收入的百分比都相当稳定，如默克公司2011-2014年的表2所示。

对于一些公司来说，研发支出的绝对金额和收入的百分比可能会发生巨大变化，例如，特斯拉2011-2014年的表3。特斯拉的情况很特殊，但对于一家新的高科技公司来说并不罕见。在2011年，研发支出超过了总收入。另一家与特斯拉有着类似惊人增长的公司是Facebook，见表4。但Facebook在研发上的支出没有特斯拉那么积极。由于它是费用化的，而不是资本化的，研究和开发的削减在短期内会增加利润，但从长远来看，它可能会损害公司的实力，即使削减的不利影响可能在几年内不会感受到。可于https://investor.google.com/financial/tables.htmlAvailable关于谷歌金融https://www.google.com/financeAvailable关于谷歌金融https://www.google.com/financeDUAL风险模型3在最近的经济衰退中，收入超过1亿美元的公司将其研发强度（除以收入）降低了5.6%，尽管广告强度实际上增加了3.4%，参见[19]。从长远来看，研究和开发确实有助于公司的发展和增加公司的价值。1981年至2006年间，一项针对美国上市公司的整体研究使用了所谓的研究商数，结果表明，研究商数增加10%，市场价值增加1.1%，见[19]。事实上，美国ZF也鼓励研发活动。研究与实验税收抵免是国会1981年通过的一项一般商业税收抵免，以回应人们对研究支出下降对该国经济增长、生产率提高和全球市场竞争力产生不利影响的担忧。

根据安永会计师事务所（Ernst&Young）的一项研究，2005年，17700家美国公司在其纳税申报表中申请了66亿美元的研发税抵免。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万）5162美元6083美元7137美元9832美元收入（百万）37905美元46039美元55519美元66001美元占收入的14%13%13%15%表1。2011-2014年间谷歌的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万）7742美元7911美元7123美元6897美元收入（百万）48047美元47267美元44033美元42237美元占收入的16%17%16%16%表2。默克在2011-2014年间的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万元）$209$274$232$465收入（百万元）$204$413$2014$3198收入占总收入的102%66%12%15%表3。特斯拉在2011-2014年间的研发支出。2011年2012年2013年2014年全年研发（百万元）$388$1399$1415$2666收入（百万元）$3711$5089$7872$12466占收入的10%27%18%21%表4。2011-2014年间Facebook的研发支出。参见支持创新和经济增长：2005年研发信贷的广泛影响。由安永会计师事务所为研发联盟编制。2008年4月。可获得的athttp://investinamericasfuture.org/PDFs/R&DTaxCreditStudy2008final.pdf4ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu据我们所知，双风险模型的最佳研发投资从未被研究过。关于最佳风险资本投资的研究数量有限，见[6]。除了对研发的投资，我们还将允许对风险资产的投资，例如市场指数。布朗[8]研究了一种可能性，即保险公司可以将部分盈余投资到风险资产中，以最小化破产概率。这种情况下，保险业务是由具有恒定漂移的布朗运动建模的，而风险资产是由几何布朗运动建模的。

后来，Hipp和Plum[18]研究了经典复合泊松风险模型中保险公司在市场指数中的最优投资。我们将研究当研究开发投资和风险资产投资都允许时的最优投资问题。与经典风险模型[18]中保险人破产概率最小化的问题不同，我们将在双重风险模型中得到封闭形式的公式。自Browne[8]和Hipp and Plum[18]的工作以来，经典风险模型和相关模型的市场最优投资已被广泛研究。在Liu和Yang[20]中，他们将Hipp和Plum[18]的作品概括为无风险资产。Schmidli[27]研究了在arisky同意投资和比例再保险都允许的情况下，经典风险模型的破产概率最小化的优化问题。Gaier等人[15]获得了经典风险模型在风险集合中最优投资下的渐近破产概率。在Hipp[17]中获得了小索赔额的渐近性。在Yang和Zhang[30]中，他们研究了当风险过程是受标准布朗运动扰动的复合泊松过程且保险人可以投资于货币市场和风险资产时，保险人的最优投资。在Gaier和Grandits[13]中，研究了索赔额大小有规律变化的情况。然后，将结果扩展到包括[14]中的利率。Schmidli[28]研究了亚指数型裂纹的情况。在Promislow和Young[25]中，他们研究了当保险过程由布朗运动建模时，保险人破产概率最小化的问题，该布朗运动对风险资产投资和购买配额份额再保险进行漂移优化。在Wang等人。

[31]他们采用鞅方法来研究保险人的最优投资问题，当保险人的风险过程由一个L’evy过程建模，并且可能投资于标准Black Scholes模型描述的证券市场时。当潜在投资者是个人而不是保险公司时，Bayraktar和Young[7]研究了最小化破产概率的最优投资问题。在Azcue和Muler[5]中，他们研究了经典风险模型的破产概率最小化问题，该模型考虑了在借贷约束下，可能投资于遵循几何布朗运动的风险资产。这方面还有很多其他的工作。有关详细信息，请参阅Paulsen[24]及其参考文献。本文的组织结构如下。我们首先研究研发的最优投资策略，以最小化公司破产概率。然后，我们将我们的结果推广到一个依赖于状态的双重风险模型，该模型在Zhu[32]中首次提出。当公司规模增大时，成本通常也会增加，而收入来源一般也会增加，这使得研究依赖于状态的双重风险模型变得自然。接下来，我们将研究双风险模型5的最优投资策略，以便除了对研发的投资外，还允许对风险资产的投资，例如资本市场指数。最后，我们将进行一些数值研究，以更好地理解最小破产概率和最优策略如何依赖于模型中的参数。2.

最小化破产概率基础公司的管理层可以决定是否增加研发方面的资本支出，以提高未来的利润。我们的目标是找到研发方面的最佳支出，以最小化公司最终破产的可能性。设τ：=inf{t>0:Xt≤ 0}是毁灭的时刻。最终破产概率定义为初始财富x：ψ（x）：=P（τ<∞|X=X）。注意，在λE[Y]>ρ的假设下，破产概率ψ（x）小于1。的确，ψ（x）=e-αx，其中α>0是方程的唯一解：（2.1）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy=0。现在，让我们介绍一下与研发投资相关的特殊成本Ct>0。设C为所有可接受策略的集合，定义为asC：=C:[0，∞) × Ohm → R≥0:C是逐步可测量的，（2.2）有界且可预测的.给定Ct∈ C、 假设粒子到达过程的强度为（2.3）λCt=λ+δCγt，其中δ>0和γ>0。给定Ct∈ C、 财富过程Xt=：XCtsatis fies the dynamics:（2.4）dXCt=-（ρ+Ct）dt+dJCt，XC=x，其中JCt=PNCti=1yi，nct是一个简单的点过程，强度λCtat时间t。注意当γ>1时，对于任何常数策略Ct≡ C、 其中C>0表示破产概率，破产概率由e给出-αCx，其中αCis是方程的唯一正解：（2.5）（ρ+C）αC+（λ+δCγ）Z∞[e]-αCy- 1] p（y）dy=0。我们可以把这个方程改写为：（2.6）ρ+Cλ+δCγαC=Z∞[1 - E-αCy]p（y）dy.上述方程的右边有界于0和1之间。在上面等式的左边，limC→∞ρ+CδCγ=0，这意味着αC→ ∞ asC→ ∞. 因此，V（x）≤ infC>0e-αCx=0，最小破产概率为零。因此，在本文的其余部分中，我们只考虑两种情况：（i）0<γ<1；（ii）γ=1.6 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHU2。1.

0<γ<1例。首先假设0<γ<1。因此，λ是Ct的一个重要功能。它说的是，研究和开发的初始投资可以提高未来利润的前景，但利润随着投资的增加而减少。我们有兴趣研究以下随机最优控制问题：（2.7）V（x）：=infC∈CP（τ<∞|X=X），其中C是满足∞.我们知道如果我们选择C（·）≡ 0，ψ（x）=e-在λE[Y]>ρ的条件下，αx<1，因此V（x）<1。请注意，我们对ρ和λ为常数的假设可能过于简单，无法对实际公司的运营成本和利润进行建模，尤其是当标的公司是一家相对较新的高科技公司，其收入和研发支出可能会随着时间的推移发生很大变化时，请参见表1、表3。但对于更成熟的公司，收入和研发通常更稳定，见表2。因此，我们过于简单的假设仍然可以为我们提供一些关于这个优化问题的见解，特别是因为它将导致分析的可处理性。稍后，我们还将考虑ρ、λ等依赖于过程Xt状态的情况。事实上，当它被允许投资于研发时，我们将在后面看到，条件（2.8）（ρ- λE[Y]）- (δγ)1-γγ- 1.（E[Y]）1-γ<0足以保证V（x）<1。注意，这比通常的条件ρ弱- 对于双重风险模型，λE[Y]<0。很容易看出，V（x）满足汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：（2.9）infC>0-（ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy= 0，边界条件V（0）=1。引理1。