双重风险模型中的最优投资

然后，最优投资率C*（x） 伊萨常数C*（十）≡ C、 式中，Cis为方程的唯一正解：（3.10）λ+δ（1- γ） Cγ=ρΔγCγ-因此，我们有v（x）=R∞xλ+δCγρ+C（cy+C）eνy-Ryλ+δCγρ+C（cw+C）dwdyR∞λ+δCγρ+C（cy+C）eνy-Ryλ+δ（w）Cγρ+C（cw+C）dwdy（3.11）=R∞x（cy+c）eν-λ+δCγρ+CcY-λ+δCγρ+cydyr∞（cy+c）eν-λ+δCγρ+CcY-λ+δCγρ+cydy=4d3/2e-dyh√πec4d+dy（ac+2bd）erf（2dy）-C√d）- 2a√德基∞y=x4d3/2e-dyh√πec4d+dy（ac+2bd）erf（2dy）-C√d）- 2a√德基∞y=0=2a√德克斯-dx+√πec4d（ac+2bd）erfc（2dx-C√d） 2a√d+√πec4d（ac+2bd）erfc(-C√d） ，其中erf（x）：=√2πRxe-tdt是误差函数，erfc（x）：=1-erf（x）是完全误差函数，a:=c，b:=c，（3.12）c:=v-λ+δCγρ+Cc，d:=λ+δCγρ+Cc。3.2. γ=1例。当γ=1时，通过使用随机时变参数，最优C*（x） 满足感C*（x） 在δ（x）所在的区域内=0≤λ（x）ρ（x）与“最优”C*（x） =∞ 在δ（x）>λ（x）ρ（x）的区域。双重风险模型1711。如果我们对研究和发展施加限制∈(0, ∞), 最大容量。然后，允许的控制集由cm给出：={C∈ C:谢谢≥0Ct≤ M} 。那么上面的分析就意味着*（x） 在δ（x）区域内=0≤λ（x）ρ（x）和C*（x） δ（x）>λ（x）ρ（x）区域中的=M。朱[32]发现了许多与状态相关的双重风险模型的例子，该模型在没有任何研发投资的情况下，具有破产概率的闭式表达式。让我们考虑[32]中的一个简单例子，作为一个说明，即使在研发投资的情况下，也能保持分析的可处理性。例12。设ρ（x）=ρ（cx+c），λ（x）=ν+λ1+xρ（x）和δ（x）=δ，其中ρ，c，c，λ，δ为正常数。

我们进一步假设（3.13）ν<δ<ν+λ。然后，最优C*由以下公式得出：（3.14）C*（x） =（如果x为0）≤λ-δ+νδ-ν,+∞ 如果x>λ-δ+νδ-ν.让我们定义：（3.15）x*:=λ- δ+ νδ- ν.然后，我们可以计算任意y的值≤ 十、*,（3.16）Zyλ（w）+δ（w）C*（w） ρ（w）+C*（w） dw=Zyν+λ1+wdw=νy+λlog（1+y），对于任何y>x*,（3.17）Zyλ（w）+δ（w）C*（w） ρ（w）+C*（w） dw=νx*+ λlog（1+x）*) + δ（y）- 十、*).因此，对于x>x*, 我们有∞xλ（y）+δ（y）C*（y） ρ（y）+C*（y） eνy-Ryλ（w）+δ（w）C*（w） ρ（w）+C*（w） dwdy（3.18）=Z∞xδeνy-νx*-λlog（1+x）*)-δ（y）-十、*)dy=e-νx*+δx*（1+x）*)λδδ- νe-(δ-ν） x，对于x≤ 十、*, 我们有∞xλ（y）+δ（y）C*（y） ρ（y）+C*（y） eνy-Ryλ（w）+δ（w）C*（w） ρ（w）+C*（w） dwdy（3.19）=Zx*十、ν+λ1+yeνy-νy-λlog（1+y）dy+（1+x）*)λδδ- ν=ν1 - λ（1+x）*)-λ+1- （1+x）-λ+1+ （1+x）-λ- （1+x）*)-λ+（1+x）*)λδδ- ν、 18 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu因此，我们得出结论，对于x>x*, 我们有（3.20）V（x）=e-νx*+δx*（1+x）*)λδδ-νe-(δ-ν） xν1-λ[（1+x）*)-λ+1- 1] + 1 - （1+x）*)-λ+（1+x）*)λδδ-ν、 对于x呢≤ 十、*, 我们有（3.21）V（x）=ν1-λ（1+x）*)-λ+1- （1+x）-λ+1+ （1+x）-λ- （1+x）*)-λ+（1+x）*)λδδ-νν1-λ[（1+x）*)-λ+1- 1] + 1 - （1+x）*)-λ+（1+x）*)λδδ-ν.4. 投资于市场指数我们已经在双风险模型中研究了风险资本或高科技公司在研发方面的最佳投资，现在，让我们也加入对市场上的风险资产进行替代投资的可能性，这是一个由几何布朗运动建模的资本市场指数。假设市场指数St遵循几何布朗运动：（4.1）dSt=uStdt+σStdWt，其中u，σ>0，WT是标准布朗运动。假设在时间t，公司可以投资θt份额的市场指数和CTI进行研发。

因此，公司的财富过程反映了动态：（4.2）dXt=-（ρ+Ct）dt+dJCt+θtdSt，X=X>0市场指数的投资金额为=θtStat时间t。我们有兴趣找到最佳投资策略，以最小化破产概率：（4.3）V（X）：=infC∈C、 A∈AP（τ<∞|X=X），其中C与之前定义的相同，A是市场指数中允许的投资策略，定义为：A：=答：[0，∞) × Ohm → R:A是逐步可测量的（4.4），对于任何t>0，存在K>0，因此PZtAsds<∞= 1..汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程由INFC给出≥0，A∈R- （ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy（4.5）+AuV（x）+AσV（x）= 0，边界条件V（0）=1。双重风险模型194.1。0<γ<1例。引理13。V（x）=e-βxis是Hamilton-Jacobi-Bellman方程（4.5）的解，其中β>0是方程的唯一解：βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(4.6)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy-uσ= 0.给定V（x）=e-βx和let（C*, A.*) ∈ 阿明- （ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy（4.7）+AuV（x）+AσV（x）.然后，我们有（4.8）C*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1和（4.9）A*=uσβ.证据

假设V（x）<0且V（x）>0，则最优C和A分别由C给出=δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1，（4.10）A=-uV（x）σV（x），（4.11），汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程-ρ +δγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γ-1.V（x）（4.12）+λ + δδγγγ-1V（x）R∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy！γγ-1.·Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy-我们可以看到V（x）=e-βx，其中β>0是方程的唯一解：βρ +δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.(4.13)-λ + δδγγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γγ-1.1.-Z∞E-βyp（y）dy-uσ= 0.回想一下定义g（β）=β1.-R∞E-βyp（y）dy我们想证明方程（4.14）H（β）：=ρ-(δγ)1-γγ - 1.[g（β）]1-γ- λg（β）-μσβ=0有唯一的正解。很容易看出limβ→0+g（β）=E[Y]和limβ→∞g（β）=0。因此，H（β）~ -β<0为β→ 0+和H（β）→ ρasβ→ ∞.我们已经证明g（β）在β中减少。此外，β在β中也减少。因此，H（β）在β中增加，因此存在唯一的正值β，因此H（β）=0。最后，我们可以计算出（4.15）C*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1、A*=uσβ.4.1.1. 验证定理。让我们回忆一下，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程由0=infC>0给出，A∈R- （ρ+C）V（x）+（λ+δCγ）Z∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy+AuV（x）+AσV（x）,（4.16）具有边界条件V（0）=1。定理14（垂直）。如果w∈ Cb是（4.16）的解，w（0）=1，对于任何C∈ C和A∈ （4.17）极限→∞w（XC，At）1{t≤τ} =0 a.s.，然后，w≤ 五、此外，国际金融公司*（x） :=δγγ-1w（x）R∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy！γ-1和A*（x） =-uw（x）σw（x）是这样的*t=-（ρ+C）*（十）*t） ）dt+dJC*（十）*T-)t+A*（十）*t） DST双重风险模型21有一个解决方案和C*·:= C*（十）*·) ∈ C和A*·:= A.*（十）*·) ∈ A、 那么w=V。证据这个不等式的论证路线与定理3相同。

Toshow the equality，首先注意到*, A.*) ∈ 阿格明克- （ρ+C）w（x）+（λ+δCγ）Z∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy+Auw（x）+Aσw（x）,我们可以重复定理3第二部分的证明来证明w=V。推论15。w（x）=e-βx和β在（4.6）满足度（4.17）中定义，因此w=V。证据我们已经证明了w是边值问题（4.16）的经典解。事实上，w满意度（5.8）与定理3中的论证相同。此外，由于C*还有*定义byC*=δγγ-1.-βR∞[e]-βx- 1] p（y）dy！γ-1和A*=μσβ是可容许的控制（常数），根据定理14，我们得到w=V。4.1.2. 渐近分析。备注16。如备注5所示，让我们讨论C的依赖性*, β和henceV（x）=e-βxon表示参数ρ、λ和δ。由于结果与Remark5相似，我们省略了细节，只在这里总结结果。注意，β满足（4.18）ρ- (δγ)1-γγ- 1.[g（β）]1-γ- λg（β）-uσβ= 0.（i） Asρ→ 0+，我们有（4.19）β~λ+μσρ和C*~ (δγ)1-γρλ +uσ!1.-γ.（ii）Asδ→ ∞, 我们有（4.20）β~γγ- 1.1.-γρ1-γδ和C*→ργ- 1.Asδ→ 0，我们有β→ α、 其中α是唯一的正值，因此（4.21）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] p（y）dy-uσ= 0.此外，asδ→ 0，我们有（4.22）C*~ (δγ)1-γρ -2αuσλ!1.-γ.（iii）Asλ→ ∞, 我们有（4.23）个β~λρ和C*~ (δγ)1-γρλ1.-γ、 22 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu17。让我们试着理解价值函数的渐近行为，最优投资率为γ→ 1.-γ→ 0+. 注意，最佳的C*β满足：（4.24）ρ-γ- 1.C*-λΔγ（C）*)1.-γ-β=0和（4.25）C*=δγγ-1β1 -R∞E-βyp（y）dy！γ-1.（i）作为→ 0+，C*~ ηγ对于某些η>0和β→ ι对于某些ι>0的人。

很容易检查η，ι>0是否满足：（4.26）η=1-R∞E-ιyp（y）dyι和ρ-η -λδη -uσι=0，因此为（4.27）ρ-1 +λδ1.-R∞E-ιyp（y）dyι-uσι= 0.（ii）接下来，让我们考虑γ→ 1.-.如果δE[Y]>1，则存在唯一值ι>0，使得（4.28）δ=ι1-R∞E-ιyp（y）dy.进一步假设（4.29）ρ-λδ-uσι> 0.然后，我们有C*~η1-γ和β→ ιasγ→ 1.-, 式中η由（4.30）η=ρ给出-λδ-uσι.如果ρ-λδ-μ∑ι<0，最佳C*→ 0为γ→ 1.-C*~ρ-uσβλδγ1.-γ和β→ ιasγ→ 1.-. 我们可以检查η，ι满足方程：η=λδρ -uσι,(4.31)δ =ι1 -R∞E-ιyp（y）dy.（4.32）Asγ→ 1.-, 我们有（4.33）C*~Eδρ -uσιλ1.-γ.如果ρ-λδ-μ∑ι=0，那么，作为γ→ 1.-, 我们有那个C*收敛到方程的唯一正解：（4.34）δx+λ（1+logx）=0。双重风险模型234.2。γ=1例。考虑γ=1的情况，即x>0。这是C上的一个奇异控制问题∈ C和值函数V（x）满足汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程：0=min(- ρV（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy+infA∈RAuV（x）+AσV（x）,δZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy- V（x））（4.35），边界条件V（0）=1。在A上进行优化，可简化为以下等式：0=min(- ρV（x）+λZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy-u（V）2σV，δZ∞[V（x+y）- V（x）]p（y）dy- V（x））（4.36），边界条件V（0）=1。对于w∈ Cb，我们定义：=十、∈ R+：δZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy- w（x）>0.根据Fleming–Soner[12，第8章]，w是（4.36）的经典解，如果（i）在P上，w满足度0=-ρw（x）+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy-R+上的u（w）2σw（ii），w满足度0≤ -ρw（x）+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy-u（w）2σw0≤ δZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy- w（x）（4.37）（iii）w（0）=1。引理18。w（x）=e-(β∨β） xis是（4.36）的经典解，其中β是F（β）=0的唯一正解，如果存在，β是g（β）=0的唯一正解，否则为零。

这里F和G由F（β）给出：=ρβ+λZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy-μσG（β）：=β+δZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy24 ARASH FAHIM和LINGJIONG ZHUProof。如果G（0）=1- δE[Y]≥ 0，那么β=0，G（β）>0。这意味着P=R+。通过简单的计算，-ρw（x）+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy-u（w）2σw=wF（β）=0δZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy- 如果G（0）=1，那么w（x）=wG（β）>0- δE[Y]<0和β>β，然后G（β）>0，我们有P=R+。与前一段类似，我们得到w是一个经典解。IfG（0）=1- δE[Y]<0和β≤ β、 然后F（β）≥ 0，我们有P=. 因此-ρw（x）+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy-u（w）2σw=wF（β）≥ 0δZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy- w（x）=wG（β）=0。4.2.1. 验证定理。定理19（验证）。让我们∈ CBC可能是问题（4.36）的递减经典解，这样条件（4.17）就成立了。那么，w（x）≤ V（x），其中V（x）是带投资的破产概率最小化问题的值函数。另外，如果P=R+，那么w（x）=V（x）。证据设A={As}s≥0是一个可接受的策略，C:={Ct}t≥0是一个非减量奇异函数，即Ct:=Rtdcsw，其中Csi是一个非负度量。那么XC，At=x- ρt- Ct+JCt+ztasdss，其中JCt=PNCti=1yi，其中nct是带补偿器λt+δCt的简单点过程。然后，通过CBO函数的It^o公式，我们得到了[w（XC，At∧τ） ]=w（x）+E“Zt∧τ- ρw+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy+Asuw+Asσw（XC，As）ds+Zt∧τ- w+δZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy（XC，As）dCs+Xs≤T∧τw（XC，As）- （政务司司长）- w（XC，As）#.这里Cs=Cs+CSCSI是C和CSI是Cs的purejump部分。请注意，根据经典解的定义，（4.37）保持不变，因此，上述期望值内的前两项为非负项。另外，由于w是非递增的，我们有w（XC，作为-（政务司司长）-w（XC，As）≥ 因此，E[w（XC，At∧τ)] ≥ w（x）。与定理3相似，通过发送t→ ∞, （4.17）表示w（x）≤ P（τ<∞).

通过对（C，A）取最小值，我们得到w≤ 五、双风险模型25现在假设P=R+并设置C≡ 0.它源于*andIt^o公式[w（X*T∧τ） ]=w（x）+E“Zt∧τ- ρw+λZ∞[w（x+y）- w（x）]p（y）dy+A*uw+（A）*)σw（十）*s） ds#=w（x），在上面的x中*满足感X*t=x-ρt+Jλt+RtA*（十）*s） dWs。如果我们让他→ ∞, 我们得到w（x）=P（τ）*< ∞) ≥ V（x）式中τ*是进程X的毁灭时刻吗*. 推论20。经典解w（x）=e-(β∨β） xof边值问题（4.16）满足验证假设，因此w=V。证据通过与定理3相同的论证，我们可以证明条件（4.17）成立。因此，如果β>β，那么P=R+和w=V之后是定理19。当β≤ β、 i.e.P=. 对于c>0，设wc（x）=P（τc<∞) 当Xt=x时- （ρ+c）t+Jct+RtA*德怀斯*=uσβ. 然后，我们立即获得wc≥ 五、我们想展示wc（x）→ w（x）=e-βxas-c→ ∞. 请注意，Wc满足等式0=-（ρ+c）wc（x）+（λ+δc）Z∞[wc（x+y）- wc（x）]p（y）dy-u（wc）2σwc，边界条件wc（0）=1。上述方程的唯一有界解由wc（x）=e给出-β（c）x其中β（c）满足（4.38）- （ρ+c）β（c）+（λ+δc）Z∞[e]-β（c）y- 1] p（y）dy-u2σ= 0.注意，对于任何c>0的情况，β（c）是唯一确定的，并且在c上是连续的。此外，直接的计算表明β（c）在增加，即β（c）=cρ+λR∞[1 - E-β（c）y]p（y）dy+u2σρ+c+（λ+δc）R∞E-β（c）yyp（y）dy>0。因此，\'β：=limc→∞β（c）存在且β>0，且除以（4.38）c后，当c→ ∞, 我们得到（？）β=-β+λZ∞[e]-βy- 1] p（y）dy=0。因为G有唯一的正解，所以我们必须有β=β，因此我们得到V（x）≤ 极限→∞wc（x）=e-βx。5.

数值研究在本节中，我们进行数值研究，以更好地说明和理解最小化破产概率和最优投资率如何依赖于双重风险模型中的参数。在图1中，我们假设Yi呈指数分布，因此p（y）=νe-νy对于某些ν>0。我们还假设λE[Y]=λν>ρ，因此在没有任何研发投资的情况下，破产概率为26 ARASH FAHIM和LINGJIONG Zhu小于1。事实上，毁灭概率由e给出-αx，其中（5.1）ρα+λZ∞[e]-αy- 1] νe-νydy=ρα- λαν+α=0，这意味着α=λρ- ν.为简单起见，我们假设γ=因此，如例2所示，最小单位概率为V（x）=e-βx，其中（5.2）β=λ+pλ+ρδ2ρ- ν、 通过对研发的投资，它降低了破产概率。现在，如果允许对风险资产进行额外投资，例如市场指数，那么收益概率可以进一步降低，最小破产概率为sv（x）=e-βx，其中p（y）=νe-在（4.6）中，我们推断β>0是方程的唯一解：（5.3）βρ-βδ(ν + β)-λβν + β-μσ=0.0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.81初始财富破产概率R&D和市场指数R&D Only无投资图1。说明无任何投资的破产概率（带圆圈标记的蓝色曲线）、有研发投资的最小破产概率（带三角形标记的黑色曲线）以及允许研发投资和市场指数时的最小破产概率（红色虚线曲线）。x轴表示标的公司的初始财富，y轴表示（最小化）破产概率。这里，我们取γ=、ρ=0.1、ν=0.1、λ=0.1、δ=1、u=0.1和σ=0.2。在图2中，我们研究了最优C*关于给定ρ=2，ν=2，λ=0.1的参数γ和δ。

让我们回顾一下，当允许研发投资行业风险模型时，最佳投资率C*是下列方程的唯一正解：（5.4）λ+（1）- γ） δ（C）*)γ=ρΔγ（C）*)γ-1.当允许对一个市场指数进行额外投资时，最优投资率为C*因为对研发的投资保持不变。注意（5.4）中的最佳C*与彝族的分布无关。因此C的定义*与最小破产概率小于1的条件（2.8）无关。直觉上，这是因为*通过随机时变技术优化漂移项，但当违反条件（2.8）时，即使是最优C*仍然给出了等于1的破产概率。在图2中，我们给出了最优C*作为γ和δ的函数。注意，条件（2.8）相当于（5.5）ρ-λν- (δγ)1-γγ- 1.ν1-γ<0，对于p（y）=νe-νy.当违反此条件时，它对应于图2中图的下半部分中的深色区域。当（5.5）的左手边为零时，即为边界。在这个地区，无论研发投资多少，破产概率都是1。当条件（5.5）满足时，它对应于图2中曲线的上半部分。在这个区域，很容易观察到，随着δ的增加，C*增加。对于图2中的图，最佳C*对参数γ的变化不太敏感。0.2 0.4 0.6 0.824689.9Δγ0102。这是C的热图*作为δ和γ的函数。在图的下半部分较暗的区域，无论投资多少，破产概率始终为1。在图的上半部分，最小破产概率小于1，并显示了热图。