多维投资组合的最优再平衡频率

，m，Vε，0（A）：=V-mXi=1Vε，i.On（τj-1，τj）没有进行交易，因此财富过程演变为不受控制的asVε，0t（A）=Vε，0τj-1（A），Vε，it（A）=Vε，iτj-1（A）expZtτj-1.ui（Ys）-||σi（Ys）|Rdds+Ztτj-1σi（Ys）dBs！，i=1，m、 与相关的风险权重wε，it（A）：=Vε，it（A）/Vεt（A），i=0，m、 在时间t=τj时，投资组合重新平衡为默顿投资组合w*（Yτj）来自（2.2）。也就是说，美元金额Vετj-资产i中的Liτj通过wε确定，iτj=Vετj-（A）wε，iτj-+ LiτjVετj-（A）1.- εPmi=1|Liτj|=wε，iτj-+ Liτj1- εPmi=1|Liτj |！=W*,iτj，i=1，m、 然后，风险权重wετj（A）与默顿权重w匹配*（Yτj）从安全账户中减去交易成本，然后再减去总财富：Vετj（A）=Vετj-（A） 一,- εmXi=1||τ！。根据手头的财富动态，我们现在制定了投资者的局部均值-方差标准，交易成本与其无摩擦对应物（2.1）直接类比：Fε（A）：=TEZTdVεt（A）Vεt-（A）-γZTd[Vε（A）]tVεt-（A）→ 最大值！（2.6）3主要结果由于优化问题（2.6）不能以封闭形式求解，我们研究了当传递成本ε趋于零且解接近其无摩擦对应物（2.2）时的极限。然后，目标函数可以渐近地分解为无摩擦对应函数，以及分别由交易成本和无摩擦目标位移直接造成的损失（比较[37,19,20,23]）：命题3.1。在假设2.1和2.2下，对于0<α<2和离散化规则a，目标函数的展开式如下：↓ 0:Fε（A）=TEZTu（Yt）>∑-1（钇）u（钇）2γdt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α).

（3.1）也就是说L对应于每种风险资产中交易的财富份额。注意，（2.6）中的两个积分都与跳跃过程有关，这与无摩擦情况（2.2）不同。α ≥ 2对应于非常频繁的再平衡，目前的渐近性不再适用。然而，在这种情况下，我们可以直接验证相应的交易成本是否大于最优订单O（ε2/3）。这里，交易成本TAC（A）和离散化误差DE（A）由TAC（A）给出：=εmXi=1NXj=1|Liτj |，（3.2）DE（A）：=ZT（w）*（Yt）- wε（Yt））>∑（Yt）（w*（Yt）- wε（Yt））dt。（3.3）证据。见A.2节。在上述分解中，术语TAC（A）跟踪通过应用离散化规则A累积的交易成本。术语DE（A）反过来测量剩余的效用损失，这是由于从无摩擦目标投资组合中置换而产生的。随着交易成本ε趋于零，这些项在定义2.3：引理3.2中的参数α确定的不同渐近速率下趋于零。定义β（Yt）=（β（Yt），βm（Yt）>带βi（Yt）：=~σi（Yt）- W*,i（Yt）σi（Yt）-mXk=1w*,k（Yt）σk（Yt）！∈ Rd，（3.4），其中∑（Yt）是默顿投资组合（2.2）的扩散系数（A.2）。然后，对于0<α<2和离散化规则a，以下展开式保持在极限ε内↓ 0:E[TAC（A）]=EεmXi=1NXj=1|Liτj|= ε1-α/2E“rπZTkβ（Yt）k2,1√Atdt#+o（ε1）-α/2），（3.5）E[DE（A）]=EZT（西）*T- wεt）>∑t（w*T- wεt）dt=εαE“ZTtrβ（Yt）>∑tβ（Yt）Atdt#+o（εα），（3.6），其中所有预期都是积极的和确定的。证据见A.3节。上述公式中的关键量是矩阵β。其条目测量无摩擦目标重量和离散再平衡偏差之间的差异，cf。

引理A.1和引理A.3。更频繁的再平衡明显减少了离散化错误，但也增加了货币交易成本。因此，为了使离散规则上的目标函数Fε最大化，我们必须选择α>0，这样两个误差项的前导阶都是相同的。引理3.2表明，对于α=2/3，前导阶在ε2/3处匹配。在这种选择下，最大化交易成本的局部均值-方差标准相当于最小化i）交易成本和ii）离散化误差之和，加权风险规避：注意，尽管离散再平衡投资组合中的股票数量变化有限，但相应的风险权重并非如此，这会引起不同的价格冲击。[40]直接使用了绝对量方面的类似标准。定义3.3。如果离散化规则A使引导顺序总成本TC（A）：=limε最小，则称其为渐近最优→0ETAC（A）+γDE（A）ε2/3.该渐近准则的最优离散化规则和性能可以显式计算：定理3.4。假设假设假设2.1和2.2成立，假设（3.4）中的β满足“影响”∈[0，T]kβ（Yt）k2/32,1#<∞. （3.7）那么，TC（A）=E“ZTγtrβ（Yt）>∑（Yt）β（Yt）Atdt+rπZTkβ（Yt）k2,1√Atdt#。（3.8）渐近最优离散化规则由A给出*（Yt）=qπkβ（Yt）k2,1γtr（β（Yt）>∑（Yt）β（Yt））2/3，（3.9）与相关交易时间τ*= 0和τ*j=τ*J-1+ε2/3A*（Yτj）-1） ，j=1，2。对应的最小前置订单总成本为（A*) =EZTrπkβ（Yt）k2,1！2/3γtrβ（Yt）>∑（Yt）β（Yt）1/3dt.

（3.10）相对于无摩擦情况，渐近最优交易频率（3.9）和相应的福利损失（3.10）完全由（3.4）中的β和风险资产的协方差矩阵∑决定——与其他交易成本较小的模型一样，预期收益不会在前序直接贡献。条件（3.7）要求β（Y）不太小。由于该术语描述了无摩擦目标权重和离散再平衡差异系数之间的差异，这意味着目标策略与买入持有投资组合不太接近。否则，目前的渐进机制可能不适用。在多元Black-Scholes模型中，只要一个投资组合权重既不是零也不是一，这个条件就满足。对于更复杂的模型，需要根据具体情况进行验证；在第4.2节中，我们对具有均值回复收益的二元模型进行了这项研究。公式（3.10）的推导表明，直接交易成本占总成本TC（A）的三分之二*), 剩下的三分之一是由于离散化错误。令人惊讶的是，这些普遍相对贡献并不取决于风险资产的数量，也与单变量渐近最优移动策略的相应结果一致[23]。经适当修改后，同样的参数也可用于评估一个平衡频率的性能，即交易时间τj=τj-1+ε2/3A，对于某些常数A>0。

这些政策更容易解释和实施，但会导致一些更麻烦的公式。事实证明，最优常数离散化规则是beA*=EhqπRTkβ（Yt）k2,1dtiEhγRTtr（β（Yt）∑（Yt）β（Yt））dti2/3，（3.11），这导致了TC的总成本（a*) =E“rπZTkβ（Yt）k2,1dt#！2/3EγZTtr（β（Yt）∑（Yt）β（Yt））dt1/3.4示例和含义在本节中，我们用一些示例来说明我们的结果。首先，我们考虑单个风险资产的情况，并将基于时间的再平衡规则与基于行动的最优策略的性能进行比较[15,32]。然后，我们转向具有两个风险集的模型，其中我们使用蒙特卡罗模拟来对我们的政策进行基准测试，i）简单的买入和持有策略，ii）单变量基于移动的策略按组件粘贴在一起，以及iii）最优的双变量基于移动的策略，数值计算[3]。（在每次模拟中，选择足够大的路径数，以确保结果的标准误差小于1基点。）最后，我们还报告了10个风险资产的Black-Scholes模型的渐近公式的结果。4.1单资产Black-Scholes模型我们首先考虑单变量Black-Scholes模型，其中预期超额收益u、风险资产的波动率σ，以及无摩擦的Merton portfoliow*= u/γσ为正常数。

然后，w的波动率σ*消失，我们默认γ>u/σ，因此假设2.2是满足的，（3.7）也是成立的，因为β=σ（1- W*)W*∈ (0, 1).因此，定理3.4是适用的，并产生以下渐近最优离散化规则：A*=qπσ|（1）- W*)W*|γσ(1 - W*)（w）*)2/3=p8/πγσ| w*(1 - W*)|!2/3.因此，交易时间τ之间的等待时间*j+1=τ*j+ε2/3A*如果i）交易成本ε较大，ii）目标投资组合接近于买入并持有策略，iii）风险规避γ较低，或iv）市场波动率σ较低，则为多头。相应的前序性能损失由σT给出8πγε| w*(1 - W*)|1/3.它相当于在营业时间σT=dhSiT/ST中应计的年金，由风险规避γ、交易成本ε和| w确定*(1-W*)| 它衡量了无摩擦优化器基于时间的买入和持有2的无摩擦移动。50%2.47%2.46%2.32%表1：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数为：样本尺寸=10，dt=1/250，u=8%，σ=16%，γ=5，T=20，ε=1%。与买入并持有策略的距离。同样的成分也出现在[15]：σT中研究的渐进最优基于移动的性能中γε| w*(1 - W*)|1/3.因此，基于行动的策略所能实现的渐进福利损失与基于时间的最佳绩效之间存在一个普适因子，即π1/3≈ 1.56，独立于市场和偏好参数。这补充了[32]的一个结果，他发现，对于单位相对风险厌恶，基于移动的策略（通过影响交易边界实现再平衡）和基于移动的策略（直接重新平衡到无摩擦目标）也存在类似的关系。然后，连接两个相应优化器的通用常数为21/3≈ 1.26.为了了解这些影响的程度，让我们考虑一个具体的例子。

对于u=8%、σ=16%和γ=5，无摩擦目标组合由w给出*= 62.5%. 对于1%的交易成本，我们基于时间的再平衡规则规定每2.23年交易一次。即使fortransaction成本仅为ε=0.1%，等待时间仍将近6个月。因此，所有再平衡策略的福利损失都相对较小。事实上，最佳时间和基于移动的再平衡规则之间的差异在这里被证明是可以忽略的，参见表1。Kim-Omberg模型下一步，我们转到一个环境，在这个环境中，随机投资机会提供了额外的交易动机，这使得交易成本更加重要，参见[27]。为此，我们考虑了Kim和Omberg[24]模型的一个变体，其中预期回报是均值回复。为了满足我们的规律性假设，我们考虑了一个版本，其中由于状态变量的值过大，预期收益被截断：dSt=Stu（Yt）dt+σdBt,dYt=λY“Y”- u（Yt）dt+αYηdBt+αYp1- ηdBt。这里，B=（B，B）>是二维布朗运动，函数u是恒等式函数的光滑切分形式，选择时u为C，有界导数，y为7→ u（y）-“Y）很奇怪。也就是说，存在ymin<ymax和一个小常数ξ>0，使得（u）（y）=1，给y∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（y），代表y∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），0，否则，其中y7→ s（y）是一个（0，1）值函数。状态变量Y遵循修正的OrnsteinUhlenbeck过程，长期平均值为0</Y∈ （ymin，ymax），平均回复速度λY>0。

这个数量也可以解释为无摩擦目标权重相对于股价相对变化的敏感性，比较[19]。[23,32]中的启发式论证表明，相同的通用常数也适用于更普遍的偏好。为了证明这确实是长期平均值，计算一维扩散Y的不变测度，它有指数尾，并且在Y附近对称，因为Y 7→ u（y）-“Y）/σ是奇数。Y的扩散向量由（αYη，αYp1）给出- η） ，其中αY>0和η∈ (-1, 1).附加的状态变量意味着无摩擦默顿解不再是恒定的，而是随机的*（Yt）=u（Yt）/γσ。我们假设风险规避γ和削减水平symin，ymaxforu的选择使得δ≤ W*≤ δ为0<δ<δ<1。然后，默顿比例*（Y）又是一个It^o过程（参见引理A.1）：dw*（Yt）=u（Yt）dt+＠σ（Yt）dBt，带＠σ（Yt）=γσ（αYη，αYp1- η） >，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（Yt）γσ（αYη，αYp1- η） >，对于Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），否则为0。一个简单的计算表明（3.4）中的矩阵β（Y）由β（Yt）给出=γσ（αYη，αYp1- η)>- W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ] ，s（Yt）γσ（αYη，αYp1- η)>- W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，对于Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），-W*（Yt）（1）- W*（Yt））（σ，0）>，否则。特别是，存在一个C>0的kβ（Yt）k2,1≥|β（Yt）|=αY√1.-ηγσ>0，对于Yt∈ [ymin+ξ，ymax- ξ],≥ Ckβ（Yt）k=C|s（Yt）γσαYη- σw*（Yt）（1）- W*（Yt）|+|s（Yt）γσαYp1- η|> 0，为Yt∈ （ymin，ymin+ξ）∪ （ymax）- ξ、 ymax），|β（Yt）|≥ δ(1 - δ） σ>0，否则，这反过来意味着假设2.2和条件（3.7）满足。

因此，定理3.4表明，最佳交易频率现在取决于状态变量，并且由（τ）给出*J- τ*J-1） （Yτj）-1） =rπεγσkβ（Yτj）-1） k2，1！2/3, J≥ 其中kβ（y）k2,1=2σ（（w*（y） （1）-W*（y） ））-αYγσηw*（y） （1）-W*（y） [ymin+ξ，ymax上的αY2γσ）-ξ].相应的前置订单性能损失（3.10）如下所示：σE“ZT2πγεkβ（Yt）k2,11/3dt#。对于单位相对风险规避，基于移动的最优策略的前导顺序损失比（12/π）1/3的普适因子小，就像Black-Scholes模型[32，定理4.1]一样。[23,32]中的启发性论证再次表明，对于更一般的参考文献，这种关系仍然成立。无摩擦移动基于时间的恒定频率购买和持有2。65%2.28%2.09%2.09%1.27%表2：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数取自[4]：Y=5.60%，αY=3.68%，λY=0.2712，σ=14.28%，γ=5，η=-0.9351，T=20，ε=1%，dt=1/250，N=10。为了说明这些结果，我们考虑了从使用权市场数据的长时间序列估计的参数[4]：Y=5.60%，αY=3.68%，λY=0.2712，σ=14.28%，η=-0.9351.表2收集了最佳基于时间的再平衡规则、其基于移动的对应规则和简单的买入持有策略的性能的蒙特卡罗估计。此外，我们还考虑了与最佳恒定交易频率（3.11）相关的策略，即对于1%的交易成本和风险规避γ=5的投资者，该策略为6.7个月。我们观察到，与Black-Scholes模型相比，不同策略之间的差异要明显得多，这与[27]的结果一致。然而，这些差异的相对大小实际上是相同的，并且与我们的渐近结果非常一致。

最后，请注意，调整基于时间的规则以适应不断变化的市场特征在这里只有很小的影响；简单常数离散化规则的性能几乎相同。4.2两个风险资产Black-Scholes模型现在，我们转向一个有两个风险资产的Black-Scholes模型，预期超额收益率u=（u，u）∈ R> 0和扩散矩阵σ=α0v·ρvp1- ρ,i、 风险资产的波动率分别为α、v>0和相关系数ρ∈ [-1, 1]. 与之前一样，我们假设风险规避程度非常大，因此默顿港*:= （w）*,1，w*,2)>=γΣ-1u，其中∑=σ>，满足假设2.2。该恒定投资组合的差异系数为零；使用（3.4）Astraight Forward计算显示β=（w*,1.- 1） w*,1α+w*,1w*,2vρw*,1w*,2vp1- ρ（w）*,1w*,2α+w*,2（w）*,2.- 1） vρw*,2（w）*,2.- 1） vp1- ρ!.因此，我们有kβk2,1≥ |β|>0如果w*,2> 0和kβk2,1=|（w*,1.- 1） w*,如果w为1α|>0*,2=0，这表明满足条件（3.7）。定理3.4反过来得出最佳交易时间由τ给出*j+1- τ*j=εqπkβk2,1γ·tr（β>∑β）2/3.0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0012340.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.000.010.020.030.040.05图1：左面板：最佳等待时间τ*J- τ*J-1在二维（固体）响应中绘制各种相关性ρ。一维（点）Black-Scholes模型。右面板：在二维（实体）响应中绘制各种相关性ρ的预期结果（2.6）。一维（点）Black-Scholes模型。参数为u=u=8%，α=v=16%，γ=5和ε=1%。ρ基于无摩擦移动的基于时间的买入和持有0。3.84%3.80%3.77%3.67%0.6 3.12%3.09%3.08%3.01%0.9 2.62%2.60%2.59%2.48%表3：不同策略的模拟预期收益（2.6）。