多维投资组合的最优再平衡频率

参数为：样品尺寸=10，dt=1/250，u=u=8%，α=v=16%，γ=5，T=20，ε=1%。对于预期超额收益和波动率相同的风险资产，非零相关性的影响如图1（左面板）所示。对于非常大的相关性（ρ≈ 1） 实际上，这个市场相当于一个只有单一风险资产的市场。因此，最优交易频率收敛到其单变量对应的ρ↑ 1.对于中间相关性ρ∈ （0，1），尽管相关的最优福利（2.6）在ρ中减少（图1，右面板），但这种关系令人惊讶地非单调。数值结果我们再次将基于时间的策略的性能与许多替代方案进行比较。第一个基准是基于移动的渐进最优策略。对于不止一种风险资产，显式公式不再可用，因为即使在达到小成本限制后，仍然需要解决自由边界问题[36]。为了便于说明，我们使用[3]中提出的策略迭代算法来执行这些计算。第二个竞争对手又是一个简单的买入并持有投资组合。模拟性能如表3所示。在一维情况下，基于时间和移动的最佳策略之间的差异非常小。

因此，在不断的投资机会下，我们简单、明确的交易规则是一种替代不易处理的优化器的最佳选择。Kim-Omberg模型最后，我们考虑了一个Kim-Omberg型模型，它有两个风险资产：dSt=Stu（Yt）dt+αdBt,dSt=Stu（Yt）dt+vρdBt+vp1- ρdBt,dYt=λY“Y”- u（Yt）dt+αYηdBt+αYp1- ηdBt，与一维情形类似，B=（B，B）>是二维布朗运动，对于每个i∈ {1，2}函数uiis是单位函数的光滑截断，其截断水平为yi，minand yi，max和相关的小正常数ξi，选择该函数，使得uiis Cand具有有界导数。同样，状态变量Y遵循修正的Ornstein-Uhlenbeck过程，长期平均值为0</Y∈ （y1，min，y1，max），平均回归速度λY>0和波动向量（αYη，αYp1- η） >带η∈ (-1, 1).风险资产的波动率矩阵S=（S，S）>由σ给出=α0v·ρvp1- ρ,ρ∈ (-1，1）和0<α<1/ρ，在ρ>0的情况下，无摩擦的默顿组合是W*（Yt）：=（w）*,1（Yt），w*,2（Yt））>=γ∑-1（u（Yt），u（Yt））>，带∑=σ>和∑-1=（ξij）1≤i、 j≤2=αv（1）- ρ)五、-ραv-ραvα.我们假设选择风险规避γ和u、u的削减水平，以便δ≤ W*,1< 1, δ≤ W*,2<1，0<w*,1+w*,2.≤ 1，对于某些δ，δ>0。与之前类似的计算得出了i∈ {1,2}和y∈ [y1，最小+ξ，y1，最大-ξ] 默顿比σi和矩阵β（Yt）的扩散系数由σi（Yt）=γ（ξi1+ξi2）（αYη，αYp1）给出- η） >β（Yt）=σ（Yt）- W*,1（Yt）（（α，0）T- W*,1（Yt）（α，0）T- W*,2（Yt）（vρ，vp1- ρ） T）β（Yt）=σ（Yt）- W*,2（Yt）（（vρ，vp1- ρ） T- W*,1（Yt）（α，0）T- W*,2（Yt）（vρ，vp1- ρ） T）。关于R\\[y1，min+ξ，y1，max-ξ] 可以推导出类似的公式。

特别是，我们要为所有人∈ Rkβ（y）k2,1≥ |β（y）|≥ W*,1（y）w*,2（y）vp1- ρ> ΔΔvp1- ρ> 0，这反过来表明假设2.2和条件（3.7）是满足的。请注意，我们对这两种风险资产使用相同的状态变量，但考虑到与回报冲击的不同程度的相关性。ρ基于购买和持有的无摩擦粘贴时间0。3 4.07%3.53%3.26%2.25%0.6 3.31%2.80%2.64%1.79%0.9 2.79%2.27%2.21%1.40%表4：不同策略的模拟预期收益（2.6）。参数取自[4]：\'Y=\'Y=5.60%，αY=vY=3.68%，λY=λY=0.2712，α=v=14.28%，γ=5，η=-0.9351，T=20，ε=1%，dt=1/250，N=10。数值结果在表4中，我们再次比较了基于时间的再平衡规则与两种替代策略的性能。与买入和持有相比，基于时间的再平衡带来了回报均值回复的显著收益。然而，与无摩擦基准相比，性能损失也不容忽视，与一维情况类似。在这种情况下，基于移动的渐进最优策略是不明确的，甚至计算它的数值也会非常复杂。因此，作为部分补救措施，我们考虑“粘贴”基于移动的策略，其中单变量非贸易区域只是连接在一起。这是由将投资组合选择与高恒定相对风险厌恶与恒定绝对风险厌恶[35,16]联系起来的结果所驱动的，对于这一结果，多元问题考虑了不相关资产[26,16]。因此，如果相对风险规避程度足够高，且资产之间的相关性足够低，则这些政策有望成为有用的代理。

我们发现，对于相对风险厌恶度γ=5，即使在高相关性的情况下，尽管随着相关性的增加，不同的折线会有所不同，但在高相关性的情况下，快速策略的表现也优于基于时间的规则。4.3许多风险资产我们的公式很容易确定高维上下文中基于时间的最佳再平衡规则，并分析其性能。为了说明这一点，让我们考虑一个包含10项风险资产的模型。为了回避高维相关矩阵估计中固有的问题，我们使用[31，表6.5]中提供的（正定义）估计值对DJIA的10项资产进行了评估。正如第4.2节所述，为了简单起见，我们用每个资产的均值和方差的相同值作为补充。选择u=4%、σ=20%和风险规避γ=5，这将产生一个无摩擦的斯梅顿投资组合，其中所有风险权重均为正，总比例为66%投资于这十项风险资产。特别是，假设2.2和（3.7）得到满足。在计算相应的矩阵β后，定理3.4很容易得出最佳交易频率，其结果甚至低于一维投资组合。这里，对于ε=1%，它规定每3.48年重新平衡一次；对于具有相同特征的单一风险资产，相应的等待时间为1.84年。多风险资产的这种较低交易频率与[25,6]中的观察结果一致，即在多变量环境下，最优无交易区域应该更宽。通过本附录，我们通常会抑制对状态变量Y的依赖，以便于记法。例如，ui（Yt）通常缩写为uit。如第4.2节所述，更高的预期回报需要外部投资组合约束，以避免做空安全资产。

对此类约束模型的分析不在本文的范围内，但这是一个值得进一步研究的有趣方向。A.1投资组合动力学首先，我们计算默顿投资组合（2.2）及其离散化版本wε的动力学（参见定义2.4）：引理A.1。在假设2.1和2.2下，默顿投资组合*（Yt）是一个It^o过程，具有以下动态：dw*,i（Yt）=ui（Yt）dt+~σi（Yt）dBt，i=1，m、 （A.1）Rd3σi（Yt）=mXl=1mXk=1W*,l（Yt）ξik（Yt）(∑kl）G（Yt）+γξil（Yt）(ul）G（Yt）！>，（A.2）在哪里∑kl=∑klY∑klyp（Yt），微升=微升Y微升yp（Yt）。此外，它的漂移和扩散系数是有界的、有限制的∈Ek)u（y）kRm<∞, supy∈Ek~σ（y）k2,1<∞.证据在假设2.1下，It^o表示和相应漂移和扩散系数的公式遵循It^o公式。此外，根据假设2.2（0），由于默顿投资组合没有任何资产做空≤ W*,对于i=1，…，它小于1，m和t∈ [0，T]），所有出现在（A.2）中的函数都是有界的。一个类似的论点适用于漂移系数μi。推论A.2。在假设2.1和2.2下，矩阵βt=（βt，…，βmt）>和（3.4）中的βias具有有界L2,1范数，即存在常数Kβ<∞ 如此令人惊讶∈Ekβ（y）k2,1<Kβ。现在我们转向离散化的默顿投资组合的动力学：引理A.3。确定再平衡时间（τj）j∈Nas定义2.3。在假设2.1和2.2下，定义2.4中相应的风险权重wε=（wε，1，…，wε，m）>满足：dwε，it=wε，ituwε，itdt+σit-mXk=1wε，ktσkt！dBt！关于[τj]-1，τj），j≥ 1，（A.3）带uwε，it:=uit- wεtut- σitmXk=1wε，ktσkt+mXk=1wε，ktσkt！mXk=1wε，ktσkt！，i=1，m、 和wε，iτj-1=w*,iτj-1，j≥ 1.（A.4）特别是，过程wε，it，i=1，m、 定义良好，并取[0,1]中的值。为了更好的可读性，我们省略了漂移¨u（Yt）=（¨u（Yt），…）的明确但复杂的公式。

，um（Yt））T.证明。投资组合的定义wε收益率（A.4），连同^o公式和风险资产的动力学，以及财富过程Vε（参见定义2.4），动力学（A.3）。由于（A.3）中的漂移系数和扩散系数都是局部Lipschitz连续的，对于给定的初始值w*τj-1存在唯一的局部解（wεt）τj-1.≤T≤τ直到爆炸时间τ。副定义，wε，iτj-1=w*,iτj-1.∈ [0,1]对于i=0，…，m和j≥ 1.由于价格过程S是连续的，定义2.4意味着wε∈ [0,1]对我来说∈ {0，…，m}，t∈ [τj-1，τj）和j≥ 1.总之，过程wε因此保持[0,1]——在[0,T]上取值。A.2命题3.1的证明命题3.1的证明。第一步：估计交易规模。确定再平衡时间（τj）j∈Nas定义2.3。然后，通过定义2.4，相应策略wε的财富过程Vε满足dVεt/Vεt=Pmi=1wε，它（uitdt+σitdBt）在（τj）上-1，τj），并且在时间t=τj时，风险权重（wε，1τj-, ..., wε，mτj-)>重新平衡到无摩擦目标（w*,1τj。。。，W*,mτj）>。因此，对于每个i=1，m各美元金额Vετj-转移的Liτj满足以下再平衡条件：Vετj-（wε，iτj）-+ Liτj）=w*,iτjVετj=w*,iτjVετj-1.- εmXk=1|Lkτj |！。换言之，这些变化Liτjin风险权重由Liτj+εw*,iτjmXk=1|Lkτj |=w*,iτj- wε，iτj-.因此，对于小ε>0，Lipschitz映射的隐函数定理（例如[8，定理1]）是：Liτj=w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）。（A.5）在条件（2.2）（无卖空）下，剩余期限满足| PiTAC（τj）|≤ Cεkw*τj- wετj-kRm。（A.6）此外，Vετj- Vετj-Vετj-= -εmXk=1|Lkτj |。（A.7）把所有的东西放在一起，我们得到了ztdvεtVεt-=ZTwεt（utdt+σtdBt）- εmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|。（A.8）第2步：估计跳跃的二次变化。

交易成本仅在交易时间τj时支付。因此，截至终端时间支付的交易成本的累计金额是一个纯跳跃过程，其二次变化在前导顺序上可以忽略不计。的确，（A.7）吉维塞NXj=1Vετj- Vετj-Vετj-!=εENXj=1mXi=1|李τj |！.根据（A.5）、（A.6）和假设2.2（无卖空），变化Liτjof风险权重是有界的。因此，E[N]=O（ε-α） （参见（2.3）和（2.4））意味着mXj=1Vετj- Vετj-Vετj-!= O（ε2）-α).此外，on（τj-1，τj）我们有d[Vεt]/（Vεt）=（wεt）>Δtwεtdt。因此，EZTd[Vεt]（Vεt-)-ZT（wεt）>∑twεtdt= O（ε2）-α). （A.9）第3步：扩展局部均值-方差标准Fε。将（A.8）和（A.9）插入Fε的定义中（参见（2.6）），并使用该w*t=∑-1tut/γ，目标函数简化为fε（A）=TEZT（（wεt）>ut-γ（wεt）>∑twεt）dt-εTEmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|+ O（ε2）-α） =TEZT（（w）*t） >ut-γ（w）*t） >∑tw*t） dt-γ2TEZT（西）*T- wεt）>∑t（w*T- wεt）dt+TEZT（西）*T- wεt）>（ut- γ∑tw*t） dt-εTEmXi=1NXj=1 | w*,iτj- wε，iτj-+ PiTAC（τj）|+ O（ε2）-α） =TEZT（（w）*t） >ut-γ（w）*t） >∑tw*t） dt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α） =TEZTu>t∑-1tut2γdt-TEhTAC（A）+γDE（A）i+O（ε2）-α).这就完成了命题3.1的证明。A.3引理3.2的证明为了建立引理3.2，我们首先得到以下有用的渐近结果：引理A.4。确定再平衡时间（τj）j=0,1，。。。在定义2.3中，让（Xε）ε>0是一个右连续的m维过程，这样：（i）过程Xε满足dXεt=εtdt+εtdbtt∈ （τj）-1，τj）。（ii）对于所有j，Xετj=0。（ii）存在常数C>0，因此∈[0，T]（kΘεtkRm+kΓεtk2,1）≤ C、 limε↓0E“supt∈[0，T]kΓεtk2,1#=0。然后：ENXj=1kXετj-- Xετj-1公里= o（ε）-α/2).证据

伯克霍尔德·戴维斯·甘迪·伊尔兹NXj=1kXετj-- Xετj-1公里= ENXj=1Zτjτj-1εtdt+εtdBtRm≤ENXj=1Zτjτj-1kΘεtkRmdt+ ENXj=1Zτjτj-1εtdBtRm≤C ENXj=1（τj- τj-1)+ C E监督∈[0，T]kΓεtk2,1NXj=1（τj- τj-1)1/2≤C+Cε-α/2E“supt∈[0，T]kΓεtk2,1Tinft∈[0，T]A1/2t#。这里，我们在最后一步中使用了Pnj=1（τj- τj-1） 1/2=PNj=1τj-τj-1εα/2A1/2τj-1.≤Tεα/2inft∈[0，T]A1/2t，并使用H¨older不等式和关于A和Γε的假设得出结论。通过将引理A.4与正态分布的基本估计相结合，我们现在可以建立引理3.2：引理3.2的证明。期望值的唯一性来自可积条件onA和∑和β的有界性。第一步：交易成本损失的扩大。现在我们对前导顺序项w进行更详细的分析*,iτj-wε，iτj-在（A.5）中。利用w的动力学*和（A.1）和（A.3）中的wε，我们发现*,iτj- wε，iτj-=Zτjτj-1.?- wε，ituwε，itdt+Zτjτj-1英寸σit- wε，itσit-mXk=1wε，ktσkt#dBt。（A.10）加减rτjτj-1βiτj-1dBtin（A.10）yieldsw*,iτj- wε，iτj-=βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） +RiTAC（τj），其中RiTAC（τj）定义如下：RiTAC（τj）：=Zτjτj-1JF V，itdt+Zτjτj-1JS，itdBt，（A.11）有jf V，it=~uit- wε，ituwε，it，JS，it=~σit- wε，itσit-mXk=1wε，ktσkt！- βiτj-1.对于t∈ （τj）-1，τj）。在向量矩阵表示法中，我们有JF V=（JF V，1，…，JF V，m）>∈ Rmand JS=（JS，1，…，JS，m）>∈ Mm×d（R）。引理A.3和引理A.1暗示JF有界。用它来绘制地图→“√- 是吗-mXk=1wkσkt#是局部Lipschitz连续的，Lipschitz常数L依赖于m和Kσ（参见假设2.1（ii）），我们得到了thatkJS，itkRd≤ εLkw- W*tkRmand | JF V，它|≤ [τj]上的C-1，τj），其中C表示实常数。

鉴于（A.5），我们还有εEmXi=1NXj=1|Liτj|= εEmXi=1NXj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） +RiTAC（τj）+PiTAC（τj）|,其中RIA和PIA分别定义为（A.11）和（A.5）。为了证明展开式（3.5），必须证明：mXi=1NXj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1)|=ε1-α/2E“rπZTkβtk2,1√Atdt#+o（ε1）-α/2），（A.12）和εEmXi=1NXj=1|RiTAC（τj）|+PiTAC（τj）|=o（ε1）-α/2). （A.13）对于（A.12），我们使用布朗运动的独立增量性质和正态分布的标度性质来获得εEmXi=1NXj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1)|= εE∞Xj=1mXi=1{τj<T}|βiτj-1（Bτj）- Bτj-1)|= εEE∞Xj=1mXi=1{τj<T}|βiτj-1（Bτj）- Bτj-1)|Fτj-1.= εE∞Xj=1{τj<T}mXi=1kβiτj-1kRd | Z | pτj- τj-1.= εEX0<τj<TmXi=1rπkβiτj-1kRdqεαAτj-1..这里，Z表示一个独立的单变量标准正态随机变量，其中E[|Z |]=p2/π。为了近似τj上的随机和，我们重写了和中的表达式：E[TAC（A）]=εEX0<τj<TmXi=1rπkβiτj-1kRdεαAτj-1pεαAτj-1.= EX0<τj<TmXi=1rπε1-α/2kβiτj-1kRdτj- τj-1pAτj-1..自从苏菲∈Ekβ（y）k2,1由推论A.2、定义2.3中A的下界和估计（2.5）implyE[TAC（A）]=E“rπε1限定-α/2ZTkβtk2,1√Atdt+rπε1-α/2X0<τj<Tkβτj-1k2,1pAτj-1（τj）- τj-1) -ZTkβtk2,1√Atdt！#=E“rπε1-α/2ZTkβtk2,1√Atdt#+o（ε1）-α/2). （A.14）这里，由于β的有界性和1/A的可积分性，支配收敛适用于最后一步。我们现在转向（A.13）并考虑相应期望中的第一项。为了估计它，我们应用引理A.4，其中xεt:=Ztτj-1JF Vsds+Ztτj-1JSsdBson[τj-1，τj）。鉴于JSF和JF的一致有界性，Vand becauseE“sups”∈[0，T]kJSsk2,1#≤ 2米-1杯“sups”∈[0，T]kwεs- W*skRm#，然后继续显示E[sups∈[0，T]kwεs- W*[skRm]→ 0为ε↓ 0

为此，回想一下Wεt- W*t=Ztτj-1JF Vsds+Ztτj-1.JSs+βτj-1.星展银行∈ [τj-1，τj）。我们定义了[0，T]上的以下连续半鞅，~Xε=wε- W*, 对于j=1。N、 ~Xεt=~Xετj-1+Ztτj-1JF Vsds+Ztτj-1.JSs+βτj-1.星展银行∈ [τj-1，τj）。总而言之ω∈ Ohm, 表示为Kε（ω）的1/16-[0，T]上的~Xε（ω）的H¨older常数。注意，Xε和wε-W*在（τj）上有相同的Holder常数-1，τj）。利用Burkholder-Davis-Gundy不等式和JF-Vand-JS的一致有界性，得出以下结论-~XεskRmi≤ C（t）- s） 。（A.15）Kolmogorov的H¨older连续性准则（例如[42，推论1.2]）反过来表明，对于不依赖于ε的常数C，Eh（~Kε）i<C。证明Ehsups∈[0，T]kwεs- W*斯科米→ 0为ε→ 0时，我们将一个任意小的r>0，并找到一个足够大的Mr>0，使得Ohmr:={supsA1/8s≤萨蒂斯先生(Ohmr）≥ 1.-r2m。然后，因为每个i=1，m流程w*,i和wε，i使用我们获得的交易时间定义进行[0,1]估值∈[0，T]kwεs- W*skRm#=E“sups∈[0，T]kwεs- W*skRmOhmr#+E“sups∈[0，T]kwεs- W*skRmOhm铬#≤E“（~Kε）εα/8sups∈[0，T]A1/8sOhmr#+E“sups∈[0，T]kwεs- W*skRmOhm铬#≤Mrεα/8E[（Kε）]+r/2。由于E[（~Kε）]上的统一界，我们可以选择ε>0，以确保Mrεα/8E[（~Kε）]≤r/2和依次“sups”∈[0，T]kwεs- W*skRm#≤ r、 由于r是任意的，这表明引理A.4适用于Xε，并产生εEmXi=1NXj=1 | RiTAC（τj）|= o（ε1）-α/2).因此，（A.13）中的第一项实际上是所声称的渐近阶。对于第二个，注意对于ξ，η∈ R三角不等式|ξ|- |η| ≤ |ξ + η| ≤ |ξ|+|η|和（A.12）表明limε→0εEhPmi=1PNj=1 | w*,iτj- wε，iτj-|iεEhPmi=1PNj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） i=limε→0εEhPmi=1PNj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） +RiTAC（τj）|iεEhPmi=1PNj=1 |βiτj-1（Bτj）- Bτj-1） i=1。