网络、动态因素和波动性分析

此外，Hallin和Lippi（2014）还提供了非常弱的时域原始条件，在该条件下（1），因此假设3，适用于一些q<∞ .最后，特殊成分zn总是允许Wold分解，经过适当变换后，产生向量移动平均（VMA）表示znt:=Dn（L）ent，t∈ Z、 耳鼻喉科~ w、 n.（0，In），（3）式中Dn（L）=P∞k=0DnkLkis是滞后算子L中的平方和幂级数。注意，尽管这些系数的大小受上述条件（iv）的限制，但不存在帕累西性假设。2.2长期方差分解网络为了研究序列之间的相互依赖性，继传统的计量经济学分析之后，我们关注观察变量对未观察到的冲击的反应，即脉冲响应函数。金融时间序列的大型面板受到市场冲击的影响，市场冲击基本上是所有股票共同的，代表着风险的不可分散成分，以及面板中一只或几只股票特有的特殊冲击。GDFM是分离这两个变化来源的理想工具：（i）q市场冲击及其脉冲响应Bn（1），定义于（2）中，以及（ii）n个特质冲击及其脉冲响应Dn（1），定义于（3）。我们这里的重点主要是特殊冲击。事实上，一旦我们控制了市场效应，对不同股票之间相互依赖关系的研究就与系统风险度量密切相关，也就是说，一个给定股票可能受到和/或可能影响所有其他股票的单个度量。为此，表示法（3）是我们所需要的，因为它描述了锌元素之间的所有（线性）相互依赖关系。特别是，DN0代表了同时的USDependencies，而Dnk或k>0代表了滞后k的动态依赖性。用dk表示，ij是Dnk的第（i，j）个条目。

然后，继Diebold和Yilmaz（2014）之后，我们可以通过预测误差方差分解，更具体地说，通过比率来总结滞后h之前的所有依赖关系，该比率为：=100Ph-1k=0dk，ijPnl=1Ph-1k=0dk，il!, i、 j=1，n、 （4）比率，即{Yjt}中的创新占{Yit}的h步超前预测误差方差的百分比。注意，通过定义，任何i，nXj=1whij=1，hencenXi，j=1whij=n。然后，LV DN由edgesELVDN集合定义：=n（i，j）∈ {1…n}| wLVDNij:=limh→∞whij6=0o。（5） 在实践中，必须选择一个视界h来计算这些权重，因此LVDN的操作定义也取决于该h。三个连通性度量可以基于（4）中定义的数量。首先，我们将从组分i的阶数到组分j的阶数（也称为节点i的强度和节点j的外强度）定义为δFromi:=nXj=1，j6=iwhij，i=1，n和δToj:=nXi=1，i6=jwhij，j=1，n、 （6）分别。正如Diebold和Yilmaz（2014）所指出的，这两个指标与金融文献中考虑的两个经典系统性风险指标密切相关。自由度与所谓的边际预期缺口和预期资本缺口（系列一）直接相关，这两个指标衡量了第一部分对影响所有其他部分的极端事件的敞口（这些指标的定义见Acharya et al.，2012）。至于to的程度，它与共同风险价值有关，共同风险价值衡量影响成分j的极端事件对整个面板的影响（参见Adrian和Brunnermeier，2016，定义）。最后，我们可以通过将所有从度（相当于所有到度）相加来确定连通性的总体度量：δTot:=nnXi=1δFromi=nnXj=1δToj。

（7） 鉴于对这些数量的经济解释，特质成分ZN的LVDN似乎是研究系统风险的理想工具，因此，在第5节的实证研究中，我们主要关注波动性的LVDN（动机也见第4节）。也可以使用（4）的定义分析，但基于（2）中定义的矩阵多项式Bn（L）的条目，为公共组件xnb构建LVDN。然而，由于Bn（L）的奇异性，这种情况下的定义（4）并不能测量变量j中的创新所占变量i的h步超前预测误差方差的比例，而是由第j次市场冲击{ujt}解释的相同预测误差方差的比例。2.3 VAR表示特殊成分ZN的LVDN由VMARE表示的系数确定（3）。这种表示可以被估计为一个反向稀疏变量。Weaccord做出以下假设。假设4。对于一些不依赖于n的p，特殊成分Znt承认VAR（p）代表fn（L）Znt=vnt，t∈ Z、 vnt~ w、 n.（0，C）-1n），（8）其中Fn（L）=Ppk=0fnklkw，其中Fn=in，对于任何z，det（Fn（z））6=0∈ C使| z |≤ 1，CNC拥有完整的等级。此外，通过fk、ij和cijt表示fn和Cn的（i，j）th条目，maxj=1。。。nnXi=1I（fk，ij6=0）=o（n），k=1，p、 n∈ N、 （9）最大值=1。。。nnXj=1I（fk，ij6=0）=o（n），k=1，p、 n∈ N、 （10）maxj=1。。。nnXi=1I（cij6=0）=o（n），n∈ N.（11）该假设的第一部分（8）是相当温和的，前提是p可以选择得很大。第二部分需要进一步澄清。在（9）-（10）中，我们要求（8）中的变系数矩阵只有少量非零项。

从这个意义上讲，我们可以说VAR表示（8）是稀疏的（例如，参见Bickel和Levina对s parsity的定义，2008年；Cai和Liu，2011年）。在大n环境下，一致性估计（8）需要这种假设，并且这一假设的正确性在于，在GDFM中，一旦对普通冲击进行控制，ZN元素之间的大多数相互依赖性都是相等的（因为相应的动态特征值有界为n）→ ∞). 然而，需要注意的是，虽然稀疏VAR与条件秒矩有关，但GDFM对特质分量的假设是基于无条件秒矩的。因此，GDFM假设并不意味着锌的稀疏VAR表示，需要（9）-（10）。最后，为了方便起见，我们通过其逆Cn参数化VAR创新的协方差矩阵，并且在（11）中，我们要求该矩阵也是稀疏的，这符合特殊成分的稀疏全局条件依赖结构的思想。作为副产品，长期格兰杰因果网络（LGCN）可以通过EDGESLGCN的集合来定义：=n（i，j）∈ {1…n}| wLGCNij:=pXk=0fk，ij6=0o。（12） 该网络捕获给定时间序列面板的超前/滞后条件依赖关系。VAR相关性的这种图形表示最初是由Dahlhausand Eichler（2003）和Eichler（2007）提出的，仅引用Dempster（1972）、Meinshausen和Bühlmann（2006）、Friedman等人（2008）和Peng等人（2009）所考虑的独立数据的图形模型。这里有两条评论。如果网络的权重矩阵有许多零项，则称其为稀疏网络。

首先，请注意，在假设4下，LGCN可能是稀疏的。另一方面，GDFM假设不保证LVDN的稀疏性，但仅对其条目的大小有一些较弱的限制，这是由Zn的光谱密度矩阵的IGENV值的有界性决定的。其次，LGCN的经济解释不如LVDN那么简单，因此LGCN对金融系统分析的兴趣较小：主要是，它将是推导LVDN的方便工具。这与传统的宏观经济分析一致，在传统宏观经济分析中，决策者感兴趣的是脉冲响应函数，即VMA系数，而不是VAR系数。至于公共分量Xn，Forni等人（2015a）表明，它允许奇异值表示an（L）Xnt=Hnut，t∈ Z、 ut~ w、 n.（0，智商）。（13） 在不丧失一般性的情况下，假设n=m（q+1）对于某个整数m，（13）中的VAR算子An（L）是块对角的，且形式为A（i）（L）=Ppik=0A（i）kLksuch的（q+1）×（q+1）维对角块对于任何i=1，m、 A（i）=in和det（A（i）（z））6=0表示任何z∈ C使| z |≤ 1.此外，Hn是一个满秩n×q矩阵，u是（2）中定义的常见冲击的q维过程。2.4从Zn的VAR表示（8）开始识别，并将其与（3）进行比较，我们得到dn（L）=（Fn（L））-1Rn，（14）其中满秩矩阵Rn使冲击R-1nvn=：异常（假设4下的矩阵存在）。换句话说，LVDN是通过选择满足所需识别约束的合适变换RN，从（8）中的VAR反演中获得的。Rn的最简单选择来自协方差C的Choleski分解-1nof冲击（见Sims，1980）——也就是说，选择RNA作为下三角矩阵-1n=RnR′n。

这样的选择很有吸引力，因为它纯粹是数据驱动的，但它取决于变量的顺序，或者等效地取决于地震向量vn分量的顺序。许多排序是可能的，我们提出的一种是基于vn的部分相关结构。更准确地说，假设Cnto具有满秩，{vit}和{vjt}之间的偏相关是ρij：=-cij√ciicjj，i，j=1，n（15）其中cijis是Cn的第（i，j）个条目。与偏相关概念相关的是部分相关网络（PCN），边缘相关网络：={（i，j）∈ {1…n}| wPCNij:=ρij6=0}，（16）根据假设4，它是一个稀疏网络。PCN可以通过非线性回归Vit=nXj=1，j6=iβijvjt+νit，t∈ Z、 ν~ w、 n.（0，σi），i=1。n、 （17）事实上，可以证明βij=ρijqσi/σj（例如，见Peng等人，2009年的引理1），因此（i，j）∈ 当且仅当βij6=0时。因此，VAR冲击的逆协方差矩阵Cnof与VAR创新的偏相关矩阵直接相关，而该矩阵又可以被视为PCN权重矩阵。然后，我们按照特征向量中心度的降序对冲击进行排序（如Bonacich，1987），因为PCN是接收标签1的最中心组件，等等。中心度度量将每个节点的中心度定义为其相邻节点的中心度值之和。很容易看出，这个概念的数学翻译是与特征向量相关的中心性概念。

特征向量中心性的概念与度中心性（给定节点的邻居数）的概念不同；事实上，接收多个链接的节点不一定具有高特征向量中心性，而具有高特征向量中心性的阳极不一定具有高链接性（它可能具有少量但重要的链接器）。必须注意的是，对于不考虑与给定边相关的权重符号的网络，通常定义了特征向量中心性，因此负部分相关性和正部分相关性具有相同的重要性。然而，基于通过正权值而不是负权值连接的节点之间更容易传染的想法，我们也可以考虑有符号网络的特征向量中心性，从而保留有关权值符号的信息。接下来的实证分析中考虑了这两种方法。这种识别策略似乎非常适合金融传染的研究。实际上，在脉冲响应实验中，我们研究了从滞后0开始到给定滞后h>0的系统中冲击的传播。因此，给定的冲击顺序定义了我们选择首先冲击的组件。通过根据节点在可变残差PCN中的中心性对节点进行排序，我们考虑了最同时互联的节点首先受到意外冲击影响的情况，然后通过随后的脉冲响应分析，我们研究了此类冲击在整个系统中的传播。LVDN邻接矩阵的对应行根据解释的方差总结了h滞后后这种传播机制的影响。最后，值得一提的是识别LVDN中冲击的一些其他可能方法。人们可以根据所考虑的公司的内生特征（如市值）对该系列进行排名。

Swanson和Granger（1997）采用了另一种数据驱动的方法，他们提议测试正交冲击隐含的过度识别限制。这种方法与我们的方法密切相关，因为这些限制涉及冲击的部分相关性；然而，随着问题维数n的增加，相关的计算问题迅速变得难以处理。Diebold和Yilmaz（2014）采用了广义方差分解，这是Koop等人（1996）最初提出的一种非常流行的方法。然而，这种方法只有在冲击具有高斯分布时才有效，这一假设不太可能适用于S&P100数据集。关于公共分量Xn，其LVDN是通过反转变量表示（13）获得的。也就是说，存在一个q×q可逆矩阵K，使得bn（L）=（An（L））-1HnK。（18） 这里需要K来识别正态市场冲击u。然而，如果在第5节的实证分析中q=1a，K的选择将减少到符号和尺度的选择。在接下来的几节中，我们首先讨论在本节的一般定义下对GDFMs和LV DNs的估计，然后适应未观察到的波动性的特殊情况。3估算在本节中，我们回顾（14）和（18）的估算。通过Hallin和Liska（2007）提出的信息标准，并基于面板大小从1增长到n时动态特征值的行为，确定整个过程中的因子数量。在本节中，我们考虑时间序列的一般观察面板{Yit | i=1，…，n，t=1，…，t}，样本大小为t（在下一节中，这些将是收益率或波动率）。此后，我们使用超级脚本T来表示估计的数量。3.1 GDFM估计首先，我们使用自回归表示法恢复公共分量（13）。

Forni等人（2015a，b）详细描述了阿吉文系数q的方法，该方法基于以下步骤。（i） 估计Yn的谱密度矩阵，表示为∑TY；n（θ），例如使用平滑周期图估计器。（ii）使用∑TY的q最大动态主成分；n（θ）提取Xn的光谱密度矩阵，表示为∑TX；n（θ）（见布里林格，1981）。（iii）通过∑TX的傅里叶逆变换计算xnb的自方差；n（θ），并使用这些参数来计算VAR filter的Yule-Walker估值器ATn（L）；用Tn表示：={Tit|i=1，…，n，t=1，…，t}相应的残差。（iv）根据Tn的样本协方差，计算与其q个最大特征值对应的特征向量，这些是估计量HTn的列；然后，通过将tn投影到由HTn的列所跨越的空间，获得q维向量{uTt|t=1，…，t}。（v） 公共成分的估计LVDN由（ATn（L））给出-1HTnK，其中Kis是一个通用的q×q可逆矩阵，使得HTnK一致地估计Hn。（vi）估计的共同成分和特殊成分分别由XTNT=（ATn（L））给出-1htnutand ZTnt=Ynt- XTnt，t=1，T.Forni等人（2015b）给出了每一步的详细信息和估计量的渐近性质。特别是，模型的参数在OP（max（n）时一致地估计为n和t最终到单位-1/2，T-1/2）比率。3.2稀疏VAR估计我们有n个特殊成分的估计量，我们通过最小化惩罚的二次损失Lt=TXt=1来估计VAR（p）表示（8）中兴通讯-pXk=1f′k，iZTnt-K+ P（f1，i…，fp，i），i=1，n、 （19）其中f′k，iis是fk的第i行，P（·）是某个给定的P值，它取决于选择方法。

特别是，我们考虑了三种替代策略。（i） Zou和Hastie（2005）定义的弹性网，其中惩罚是脊和套索惩罚的加权平均值：PEN（f1，i…，fp，i）=λk（f′1，i…，f′p，i）′k+（1- λ） k（f′1，i…f′p，i）′k（ii）Zou（2006）定义的自适应套索，其中惩罚是套索，但条件是预先估计sefk，iof参数（通常由岭或最小二乘估计给出）PAL（f1，i…，fp，i）=λk（f′1，i…f′p，i）′kk（ef 1，i…ef p，i）′k（iii）群套索，由袁和林（2006）定义，其中，解释变量在惩罚之前分组，因此在VAR上下文中，组由每个变量的滞后给出，因此有n个组，每个组都有p个元素，我们有pgl（f1，i…，fp，i）=λ√pnXj=1k（f1，ij…fp，ij）′k。在所有三种方法中，惩罚常数λ和最大Var滞后p是通过在可能值的网格上最小化BIC型标准来确定的。弹性网和自适应套索在时间序列环境中特别有用，因为它们可以稳定简单的套索估值器，而这种估值器可能会因数据的序列依赖性而不稳定。据我们所知，在高维VAR的估计中，弹性网络未被考虑，而自适应套索已被Kock和Callot（2015）以及Barigozzi和Brownlees（2016）等使用。另一方面，grouplasso原则上可能会使LGCN比其他两种方法更稀疏，Nicholson等人（2014年）和Gelper等人（2016年）已将其用于VAR估计。我们在此不考虑的其他可能的惩罚VAR估值器包括简单套索和平滑剪裁绝对偏差（SCAD）（例如，见Hsu等人，2008年和Abegazand Wit，2013年）。