顺序半匿名非原子博弈与它们的大博弈之间的联系

然后，每个n都会存在一个序列πnso∈ N、 P（Sn）中的πnas满足不变方程πN=πN⊙ χn⊙ ~gnas表示b y（E.13），但序列渐进地类似于序列ceσn。为了解决这个猜想，可以省略一个，以表明（i）迭代应用σt+1=σt⊙ χ ⊙ ~g（·，·，σt χ） 导致σt收敛为不变σ，（ii）迭代应用πn，t+1=πnt⊙ χn⊙ ~Gn导致πNt收敛到一个不变的πNt，并且（iii）这些收敛结果以及每个πNt到σNt的渐近相似性将导致πNtσn的收敛。到目前为止，（i）和（ii）仍然无法实现。另一方面，可以实现略弱于（iii）的目标。命题5：设A为可分度量空间，Pii为∈ N和p是p（A）的成员。而且，对于每个n∈ N、 让我来∈ P（An）的N和qnbe成员。假设piconve为p，qn为每个n为qn∈ N、 并对pni进行过敏性研究。然后，在（a）qnito-qnis以n-独立速率收敛的情况或（b）qnito-pnis以i-独立速率渐近相似的情况下，序列qnw将渐近相似于序列pn。命题5的证明：设>0。由于皮卡趋近于p，只要i足够大，我们就有ρA（p，pi）<（E.14）。假设情况（a）为真。通过qnito-qn的等n收敛性，我们可以选择i个较大的值，以确保（E.14）和任意n∈ N、 qn（（A′N）/4）>qni（A′）-, 阿恩∈ B（安）。（E.15）在这种固定的情况下∈ N、 由于qnito-pni的渐近相似性，我们可以让N变大，这样qni（{a∈ An |ρA（εA，pi）<}>1-. 假设情况（b）为真。由于qnito-pni的等i渐近相似性，我们可以选取足够大的n，以确保（E.16）适用于任何i∈ N

通过qnito qn的收敛，我们可以选择足够大的i，以确保（E.14），以及（E.15）对于当前的n∈ N.不管怎样，在不失一般性的情况下，我们可以假设dAn（a，a′）≥ maxnm=1dA（am，a′m）。然后，由于引理1，（{a∈ An |ρA（εA，pi）<}）/4 {a∈ An |ρA（εA，pi）<}。（E.17）现在我们可以推导出qn（{a∈ An |ρA（εA，p）<}>qn（{A∈ An |ρA（εA，pi）</2}>qn（{A∈ An |ρA（εA，pi）</4}）/4）>qni（{A∈ An |ρA（εA，pi）</4}）- /2 > 1 - （E.18），其中第一个不平等是由于（E.14），第二个不平等是由于（E.17），第三个不平等是由于（E.15），最后一个不平等是由于（E.16）。因此，序列qn在症状上类似于序列pn。与命题3和命题4一样，命题5也有助于支持同情相似概念的合法性。F第9F节的发展。1.根据S的离散性，每个χt（S|X′）都是自动连续的，因此在S中是可测的，因此K（S，X）不仅是（P（X））S的一个成员，而且也是后者本身。表示空间（P（S））-t-1by S和空间（（P（X））S\'\'t=（K（S，X））\'tby X。设U=S×X。定义通信H:U=> U、 所以对于任何σ[2\'t]∈ S和χ[1\'t]∈ X，H（σ[2\'t]，χ[1\'t]）=HS（σ[2\'t]，χ[1\'t]）×HX（σ[2\'t]，χ[1\'t]），（F.1），其中HS（σ[2\'t]，χ[1\'t]）={σ′[2\'t]∈ S|σ′t=Tt-1（χt-1) o σt-1.t=2，3。。。，\'t}，（F.2）和hx（σ[2\'t]，χ[1\'t]）={χ′[1\'t]∈ X|χ′t（st|Xt（st，σt，χ[t\'t]））=1，t=1，2。。。，“t，圣∈ S} 。（F.3）H的一个固定点（σ[2\'t]，χ[1\'t]）将为（42）意义下的Γ（σ）提供一个马尔可夫均衡χ[1\'t]，其中σ[2\'t]提供从周期2到t的确定性公共行动环境路径，该路径由所有采用政策χ[1\'t]的参与者生成。我们将使用Kakutinfan-Glicksberg不动点定理来证明H的不动点的存在性。

但首先我们要得出两个有用的连续性结果。命题（i）σ χ在两个σ中都是连续的∈ P（S）和χ∈ （P（X））S.When g∈ G（S，X）满足G（S，X，τ）在τ中以（S，X）-独立速率（ii）σ连续⊙ χ ⊙ g（·，·，σ） χ） 我在两个方面都是连续的∈ P（S）和χ∈ （P（X））S.命题6的证明：我们首先证明（i）对于分别收敛于σ和χ的任意两个序列σm和χm，序列σmχm将收敛到σχ. 在下文中，我们省略了一些步骤背后的详细推理，因为它们已经出现在命题1的证明中。修好一些∈ (0, 1 ) . 我们可以确定它的一些点。。。，是的，所以（B.1）是正确的。为了方便起见，让\'S\'={S，\'S，\'sI}和\'S\'=S\\\'S\'。已知距离（\'S\'，\'S\'）=infs\'∈\'S\'，S\'∈\'S′\'dS（S′，S′）大于0。对于i，j=1，2。。。，一、 使用dijds（\'si，\'sj）和σifor（{\'si}）表示。同样，定义δ至（B.2），其严格的敏感性得到保证。当σ和χm分别向σ和χ靠拢时，对于足够大的m，我们有ρS（σ，σm）<δ，（F.4）和ρX（χ（\'si），χm（\'si））<δ，i=1，2。。。，I.（F.5）以及δ≤ dS（\'S\'，\'S\'）∧ （mini6=jdij），（F.4）将产生σi- δ<σm（{si}）<σi+δ。（F.6）同时，（F.5）会导致χm（\'si|X′）<χ（\'si|（X′）δ）+δ，i=1，2。。。，I.（F.7）任何U\'∈ B（S×X）仍然享受（B.12）中提供的分解，即U′=（SIi=1{si}×X′i）SU′，其中X′i∈ B（X）对于i=1，2。。。，一、 而U′是这样的∈任何（S′，x′）的“S′”∈ U′\'。这将导致同样的结果（B.13）。另一方面，从（F.6）和（F.7）的右半部分开始，（σm） χm（{si}×X′i）=σm（{si}）·χm（\'si|X′i）<（σi+δ）.[χ（\'si |（X′i）δ）+δ]≤ (σ  χ） （{si}×（X′i）δ）+2δ+δ<（σ） χ） （{si}×（X′i）δ）+3δ，（F.8），其中最后一个不等式是由于我们选择δ≤ /I<1。

同时，（σm） χm）（U′）≤ （σm） χm（\'S′×X）=σm（\'S′）=1-PIi=1σm（{si}）<1-PIi=1σi+iδ<+iδ，（F.9），其中倒数第二个不等式由（F.6）的左半部分引起，第一个不等式由（B.1）引起。通过组合（B.12），（B.13），（F.8）和（F.9），我们可以得到（σm） χm）（U′）<（σ χ） （（U′）δ）++4Iδ。（F.10）因此，ρS×X（σm χm，σ χ） <+4Iδ≤ 5. （F.11）由于（F.11）发生在任何足够大的m上，我们看到（i）是真的。然后我们证明（ii）。同样，假设两个序列σ和χ分别与σ和χ重合。从（i）中，我们知道σm χm趋于σ 我也是。根据杨[33]的（87），对于任何m，ρX（σm⊙ χm，σ⊙ χ） =ρX（（σm） χm）|X（σ χ） |X）≤ ρS×X（σm） χm，σ χ). （F.12）因此，还有σm的收敛性⊙ χmtoσ⊙ χ.另一方面，S×X的离散性质意味着g（·，·，τ）是（P（S））S×X中任意固定τ的一员∈ P（S×X）。现在（i）和g（s，x，τ）在τ中以（s，x）独立速率连续这一事实将意味着，序列g（·，·，σm） χm）in（P（S））S×x收敛到g（·，·，σ） χ).让我们使用σm的收敛性⊙ χmtoσ⊙ χ在适当的替换下。由于S×x是离散的，我们可以在收敛结果中将其视为S。还有，让我们来看看σm χmasσm，σ χ为σ，sasx，g（·，·，σm） χm）为χm，g（·，·，σ） χ） 作为χ。从（i）论σm的收敛性 χmtoσ χ、 现在被视为σmtoσ的t，以及g（·，·，σm）的收敛性 χm）到g（·，·，σ） χ） ，现在被视为χmtoχ，我们可以得出（σm χm）⊙ σ χm）=σm⊙ χm⊙ g（·，·，σm） χm）将收敛到（σ） χ) ⊙ g（·，·，σ） χ) = σ ⊙ χ ⊙ g（·，·，σ） χ). 因此，（ii）也是正确的。命题7对于ea c h t=1，2。。。，\'t+1，在（22）中定义的值vt（st，ξ[t\'t]，σt，χ[t\'t]）在σt中是连续的∈ S和χ[t\'-t]∈ X在（st，ξ[t\'t]）-独立速率下。命题7的证明：我们在t上使用归纳法。

到了（21），我们的主张肯定是正确的，即fort=`t+1。假设对于一些t=\'t，\'t- 1.函数vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，σt+1，χ[t+1，\'t]）在σt+1和χ[t+1，\'t]中以与st+1和ξ[t+1，\'t]无关的速率连续。现在我们证明了时间t时σ和χ[t\'t]的连续性∈S、 ξ[t\'t]∈（（P（X））S）\'t-t+1|vt（st，ξ[t\'t]，σt，χ[t\'t]）- vt（st，ξ[t\'t]，σ′t，χ′[t\'t]）|≤ M+M+M，（F.13），其中M=sup（st，xt）∈S×X | ft（st，xt，σt χt）-~ft（st，xt，σ′t χ′t）|，（F.14）M=sup（st，xt）∈S×X，ξ[t+1，\'t]∈（（P（X））S）\'t-t |[RSgt（st，xt，σt χt|dst+1）-RS~gt（st，xt，σ′t χ′t|dst+1）·vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，Tt（χt）o σt，χ[t+1，\'t]）|，（F.15）和m=sup（st，xt）∈S×X，ξ[t+1，\'t]∈（（P（X））S）\'t-tRS~gt（st，xt，σ′t χ′t|dst+1）××vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，Tt（χt）o σt，χ[t+1，`t]）- vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，Tt（χ′t）o σ′t，χ′[t+1，\'t]）|。（F.16）根据命题6第（i）部分，σ′t χ′t可以任意接近σt 让（σ′t，χ′t）与（σt，χt）足够接近。然后根据假设2，MCA可以通过同样的方式进行任意分配。再次假设S={S，\'S，…}。我们使用简化的表示法γ（′）i（st，xt）=gt（st，xt，σ（′）t χ（′）t |{si}，（F.17）和vi（ξ[t+1，\'t]）=vt+1（\'si，ξ[t+1，\'t]，Tt（χt）o σt，χ[t+1，`t]）。（F.18）那么，（F.15）可以表示为Mequalingsup（st，xt）∈S×X，ξ[t+1，\'t]∈（（P（X））S）\'t-t|Xiγi（st，xt）·vi（ξ[t+1，\'t]）-Xiγ′i（st，xt）·vi（ξ[t+1，\'t]）|。（F.19）设I（st，xt）是诱导γI（st，xt）的I的集合≥ γ′i（st，xt）。注意| vi（ξ[t+1，\'t]）|是有界的，比如byv，因为|ft\'的基础和|t的完整性。然后，（F.19）将引导toM≤ 2v·sup（圣、下）∈S×XXi∈I（st，xt）（γI（st，xt）- γ′i（st，xt））。（F.20）对于低于infs6=s′dS（s，s′）的δ，事件ρs（~gt（st，xt，σtχt），gt（st，xt，σ′tχ′t））<δ将触发∈I（st，xt）（γI（st，xt）- γ′i（st，xt））<δ（F.21）对于每个（st，xt）∈ S×X；在命题2的证明中查阅（C.18）。

但由于假设1，σ′t的收敛性 χ′tσt χt意味着我们可以使∧gt（st，xt，σ′t χ′t）任意接近gt（st，xt，σt）χt），在独立于（st，xt）的速率下。因此，在（F.20）中，通过让（σ′t，χ′t）足够接近（σt，χt），mca可以任意变小。从（F.16），我们可以得到≤ supst+1∈S、 ξ[t+1，\'t]∈（（P（X））S）\'t-t | vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，Tt（χt）o σt，χ[t+1，`t]）-vt+1（st+1，ξ[t+1，\'t]，Tt（χ′t）o σ′t，χ′[t+1，\'t]）|。（F.22）根据第6号提案第（ii）部分，Tt（χ′t）o σ′t=σ′t⊙ χ′t⊙ ~gt（·，·，σ′t χ′t）可以任意循环到Tt（χt）o σt=σt⊙ χt⊙ ~gt（·，·，σt） t′足够接近。根据归纳假设，MCA可以通过同样的操作任意变小。因此，我们完成了入职培训过程。下面是瞬态情况下的条件平衡存在性结果。定理5对应关系H允许一个固定点（σ[2\'t]，χ[1\'t]），它为博弈Γ（σ）提供条件均衡χ[1\'t]。定理5的证明：由于S的离散性，P（S）是R | S |中的单纯形，无论|S |是有限的还是有限的，因此是紧的；这同样适用于P（X）。因此，U是向量空间R | S | t的紧子集-1+| X | | S |·t，理解为R∞如果S或X不确定。对于任何有限维Rk，我们都可以取范数| |·| | | | | | |=Pkl=1 | rl |/kforeach r=（rl | l=1，…，k）∈ Rk，而对于有限维R∞, 我们可以让| | r | |=P+∞l=1 | rl |/2l对于每个r=（rl | l=1,2，…）∈ R∞. 这样定义的范数将提供与Prohorov度量下的弱收敛性相同的收敛性。因为两个概率的凸组合仍然是一个概率，所以U也是凸的。对于任何（σ[2\'t]，χ[1\'t]）∈ U、 集合H（σ[2\'t]，χ[1\'t]）当然是非空的，因为我们可以构造一些属于它的（σ′[2\'t]，χ′[1\'t]）。

首先，对于t=2，3。。。，\'t，我们简单地让σ′t=Tt-1（χt-1) o σt-1.然后，对于t=1，2。。。，“t和s∈ S、 设χ′t（S）是将其全部权重分配给达到最大值supy的x集合的任何度量∈Xvt（s，（δy，χ[t+1，\'t]），σt，χ[t\'t]）。现在我们展示HS:U=> 和HX:=> X是闭值和凸值，以及上半连续的。这将导致H具有相同的性质。根据（F.2），每个H（σ[2\'t]，χ[1\'t]）只包含一个点，因此自动闭合和凸。对于上半连续性，我们只需要证明HS（σ[2\'t]，χ[1\'t]）中包含的值随σ[2\'t]和χ[1\'t]连续移动。但这一点已被提案6的第（二）部分所证实。根据（F.3），每个HX（σ[2\'t]，χ[1\'t]）是一组概率向量，每个分量概率将完整度量分配给一个特定的可测量集。这组概率向量肯定是凸的。为了证明它是闭合的，假设m=1，2。。。在HX（σ[2\'t]，χ[1\'t]）中形成一个序列，该序列收敛于给定的χ′[1\'t]。我们要证明χ′[1\'t]∈ HX（σ[2\'t]，χ[1\'t]）。（F.23）现在对于任何t=1，2。。。，“t，s∈ S、 >0，只要m足够大，χ′t（S|（|Xt（S，σ[2\'t]，χ[1\'t]））≥ χ′mt（s|Xt（s，σ[2\'t]，χ[1\'t]））-  = 1 - . （F.24）由于的任意性，这意味着χ′t（s|Xt（s，σ[2\'t]，χ[1\'t]）=1，因此（F.23）是真的。我们现在证明HXis上半部分是连续的。设σm，[2\'t]是S中收敛到给定σ[2\'t]的序列，χm，[1\'t]是X中收敛到给定χ[1\'t]的序列，χ′m，[1\'t]是X中收敛到给定χ′[1\'t]的另一个序列。每个m=1，2，…，的供应。。。，χ′m[1\'t]∈ HX（σm，[2\'t]，χm，[1\'t]），（F.25）我们要证明χ′[1\'t]∈ HX（σ[2\'t]，χ[1\'t]）。

（F.26）通过（F.3），我们可以看到（F.25）对于每个m表示，对于每个t=1，2。。。，“t和s∈ S、 χ′mt（S|Xt（S，σmt，χm，[t\'t]））=1；（F.27）而（F.26）归结为，对于每个t=1，2。。。，“t和s∈ S、 χ′t（S|Xt（S，σt，χ[t\'t]））=1。（F.28）我们定义了一些t和s。让>0足够小，这样就不需要对任何x′区分（x′）和x′ X.既然χ′mt收敛于χ′t，对于足够大的m，χ′t（s，σt，χ[t\'t]）=χ′t（s|Xt（s，σt，χ[t\'t]））≥ χ′mt（s|Xt（s，σt，χ[t\'t]））- . （F.29）目前，假设已知Xt（s，σt，χ[t\'t]）在（σt，χ[t\'t]）中是上半连续的。通过注意σmttoσ和χm[t\'t]到χ[t\'t]收敛的假设，我们可以得到，对于足够大的m，~Xt（s，σmt，χm，[t\'t]） （~Xt（s，σt，χ[t\'t]））=~Xt（s，σt，χ[t\'t]）。（F.30）因此，对于足够大的m，χ′t（s|Xt（s，σt，χ[t\'t]））≥ χ′mt（s|Xt（s，σt，χ[t\'t]））-  ≥ χ′mt（s|Xt（s，σmt，χm，[t\'t]））- （F.31），根据t o（F.27），它高于1- . 鉴于的任意性，我们可以实现（F.28）。现在我们回到上半连续性，作为P（s）×（（P（X））s）t的对应-t+1到X。支持σmt收敛到σt，χm，[t\'t]收敛到χ[t\'t]，X收敛到X。对于每m=1，2。。。，假设xm∈~Xt（s，σmt，χm，[t\'t]），由（43）表示svt（s，（δxm，χm，[t+1，\'t]），σmt，χm，[t\'t]）≥ vt（s，（δy，χm，[t+1，\'t]），σmt，χm，[t\'t]），Y∈ X.（F.32）通过X的离散性，对于足够大的m，xm将是X。这与命题7和关于σmttoσ和χm的收敛性的假设相结合，[t\'t]到χ[t\'t]，将得出，对于任何>0，只要m是大的enoug h，vt（s，（δX，χ[t+1，\'t]），σt，χt]≥ vt（s，（δx，χm，[t+1，\'t]），σmt，χm，[t\'t]）- =vt（s，（δxm，χm，[t+1，\'t]），σmt，χm，[t\'t]）- ≥ vt（s，（δy，χm，[t+1，\'t]），σmt，χm，[t\'t]）-  ≥ vt（s，（δy，χ[t+1，\'t]），σt，χ[t\'t]）- 2，（F.33）对于任何y∈ 十、

由于可以任意小，我们从（43）中可以看到x∈~Xt（s，σt，χ[t\'t]）。因此，我们得到了上半连续的Xt（s，·）。综上所述，H是非空的、闭的和凸的值，以及嵌入在非对称线性拓扑空间中的紧致和凸子集U上的上半连续对应。因此，我们可以应用Kakutani Fan Glicksberg验证点定理来验证H有一个固定点。F.2固定格用S表示空间P（S）∞以及空间（P（X））Sby X∞. 让你∞= s∞×X∞. De Fifi通信H∞: U∞=> U∞, 因此，对于任何σ∈ s∞和χ∈ 十、∞,H∞（σ，χ）=HS∞（σ，χ）×HX∞（σ，χ），（F.34）式中∞(σ, χ) = {σ′∈ s∞|σ′=T（χ）o σ} ，（F.35）和HX∞(σ, χ) = {χ′∈ 十、∞|χ′（s|X）∞（s，σ，χ））=1，s∈ S} 。（F.36）H的固定点（σ，χ）∞将为静态非经济博弈Γ提供一个平稳的马尔可夫均衡χf∞在（44）的意义上，σ提供了由所有参与者生成的不变的确定性环境，即使用策略χ。为了证明均衡的存在，我们首先需要命题7的以下结果。命题8价值v∞（s，ξ[1]∞], σ, χ∞) （33）中的定义在σ中是连续的∈ s∞和χ∈ 十、∞在an（s，ξ[1∞])-独立利率。命题8的证明：从（34）中，我们看到| v∞（s，ξ[1]∞], σ, χ∞) - vt（s，ξ[1t]，σ，χt）|≤αt·f1- α. （F.37）因此，对于任何>0的情况，通过在足够大的范围内进行筛选，我们可以确保|v∞（s，ξ[1]∞], σ′′, (χ′′)∞) - vt（s，ξ[1t]，σ′，（χ′）t）|<，（F.38）对于任何s，ξ[1]∞], σ′和χ′。同时，命题7意味着，对于（σ′，χ′）足够接近任何给定（σ，χ），我们可以保证|vt（s，ξ[1t]，σ，χt）- 对于任何s和ξ[1t]，vt（s，ξ[1t]，σ′，（χ′）t）|<，（F.39）。

然后，|v∞（s，ξ[1]∞], σ, χ∞) - 五、∞（s，ξ[1]∞], σ′, (χ′)∞) |≤| 五、∞（s，ξ[1]∞], σ, χ∞)-vt（s，ξ[1t]，σ，χt）|+|vt（s，ξ[1t]，σ，χt）- vt（s，ξ[1t]，σ′（χ′）t）+vt（s，ξ[1t]，σ′（χ′）t）- 五、∞（s，ξ[1]∞], σ′, (χ′)∞) |< .（F.40）因此，v∞（s，ξ[1]∞], σ, χ∞) 在（σ，χ）a t an（s，ξ[1]中是连续的∞])-独立利率。然后，我们可以使用Kakutifan-Glicksberg不动点定理得到所需的条件平衡存在性结果。定理6对应关系H∞允许一个固定点（σ，χ），它提供了g a meΓ∞用一个平衡χ。定理6的证明：由于S和X的离散性，U∞是向量空间R | S |+|X | S |的紧子集，理解为R∞如果S或X不确定。无论空间是有限的还是有限维的，我们都可以采用第5项证明中采用的标准。由于两个概率的凸组合仍然是一个概率∞isconvex。在定理5的证明中使用几乎相同的相应参数，我们可以证明H∞（σ，χ）在任意（σ，χ）∈ U∞是非空的、封闭的和凸的。我们分离了H的上半连续性∞到那里面去∞HX也是这样∞.HS的上半连续性∞第6项提案也是如此。此外，我们可以使用从（F.32）到（F.33）几乎相同的参数，这一次依赖于命题8，而不是命题7，来证明X∞（s，·）作为mp（s）×（P（X））的对应，StoX是上半连续的。然后，使用（F.25）到（F.31）中几乎相同的参数，我们可以验证HX∞是上半连续的。利用所有这些性质，我们可以应用Kakutani Fan-Glicksberg固定点理论来验证H∞有一个固定的点。参考文献[1]Adlakha，S.和B.Johari。2013.互补动态博弈中的平均场平衡。运筹学，61页，971-989页。[2] Al Najjar，N.I.a.和R.Smorodinsky。2001