委托代理问题的动态规划方法

事实上，对于所有人（t，x）∈ [0，T]×Ohm, 和∑∈ ∑∑t（x）Ft（x，y，z，∑）- Ft（x，y′，z′，∑）≤ |k级|∞|Y- y′|+|λ|∞supb∈Bt（x，∑）σt（x，b）（z）- z′）= |k级|∞|Y- y′|+|λ|∞∑1/2（z）- z′）, （y，z），（y′，z′）∈ R×Rd.-我们还直接从代价函数c上的条件（2.5）和[35，引理6.2]进行检查，以支持∈PoEPo“essupPo0≤T≤TEPo“ZTFs（0，0，bσs）κdsFt+#！pκ#∞, 对于某些p>κ≥ 1.[30，假设2.1]中的动态规划要求源自El Karoui和Tan[15,16]中给出的更一般的结果（另见Nutz和van Handel[28]）最后，当ξ满足so me p>1的可积条件（2.6）时，所需的适定性结果是[35，引理6.2]和[30，定理4.1和5.1]的直接结果。我们现在将代理人的问题与2BSDE联系起来。5.4的提议。设（Y，Z，K）为2BSDE（5.7）的解。那么，VA（ξ）=supP∈佩普[Y]。此外，（P, ν) ∈ M（ξ） 当且仅当oν是F的最大化子十、 Y，Z，^σ, dt P-a、 e.oKT=0，P-a、 美国，或相当于Po-a、 阿宝在哪里定义为P如（5.4）所示。证据（i） 根据[30，定理4.2]，2BSDE（5.7）的解是BSDE解的上确界：Y=essupPP′∈Po（Po，F+）YP′，P- a、 美国为所有Po∈ 采购订单，（5.9）所有采购订单的位置∈ Po（YPo，ZPo）是Po下向后SDE的解：YPo=ξ+ZTFs（YPor，ZPor，bσr）dr-ZTZPor·dXr-邮政编码ZTdMPor- a、 s.与c\'adl\'ag（FPo+，Po）-鞅mpo与X正交，即dhMPo，Xi=0，Po-a、 s.为所有人（Po，ν）∈ Mo，考虑线性后向SDE，其中有ypo，ν=ξ+ZT-cνr- kνrYPo，νr+σβrλαr·ZPo，νr博士-ZTZPo，νr·dXr-ZTdMPo，νr，Po- a、 s.（5.10），其中cνr:=cr（νr）和类似符号适用于kν，σβ，λα。设Pν为概率测度，相当于P，定义如（5.4）所示。

然后，根据Girsanov定理，ypo，ν=EPν“KνTξ-ZTKνscνsdsF+#，Po- a、 s.我们现在观察到El Karoui、Peng和Quenez[14]中花冠y 3.1的条件在我们的上下文中是满意的，即（5.10）中的函数是equi-Lipschitz，并且有一个ε- 最大化子^νo∈ U（Po）对于所有ε>0，这显然通过Girsanov定理导出了相应SDE的弱解。这为所有采购订单提供了YPOA的一种随机控制表示∈ Po:YPo=ess upPoν∈U（Po）YPo，ν=essupPoν∈U（Po）EPν“KνTξ-ZTKνscνsdsF+#，Po- a、 参见[30，引理a.3]。我们在这里观察到，正交鞅的存在不会导致[14]的参数发生任何变化。那么，为了所有人∈ 阿宝，我们有阿宝-a、 s.Y=essupPo（P′，ν）∈P（Po，F+）×U（P′）EP′ν“KνTξ-ZTtKνscνsdsF+#=essupPo（P′，ν）∈ MP′=Poon F+EP′“KνTξ-ZTKνscνsdsF+#，其中最后一个等式来自第5.2小节的分解。通过类似于引理3.5和[30]中定理5.2的论证，我们可以得出以下结论：VA（ξ）=supPo∈佩波[Y]。（ii）通过上述等式，一个最优控制必须是这样的，即上面所有的基本上确界都是成立的。（5.9）中的一个是明确实现的，当且仅当相应的测量在其支承上的泊松比为K=0时。同样地，通过El Karoui，Peng和Quenez[14]的结果，对于最大化F.5.4定理3.6的证明的控制过程，得到了（5.11）中的上确界。定理的最后陈述，通过求解简化问题infY来表征最优控制≥RV（Y）是等式VP=supY的直接结果≥RV（Y）。不平等≥ supY≥提案n 3.4中已经说明了RV（Y）。为了证明这个逆不等式，我们回想一下条件Pn V 6= 意味着tΞ6=.

对于任意ξ∈ 我们的策略是证明主目标函数JP（ξ）可以用JP（ξε）来近似，其中ξε=YZε，εt对于某些（Zε，ε）∈ V.第1步：假设（Y，Z，K）是2BSDE（5.7）的解，当我们再次想起聚合过程K是Nutz[27]聚合结果的结果时，请参见[30，Rema rk 4.1]。我们重申，可积条件（2.6）意味着kY-kDop′+kZkhop′<∞, 对于一些p′∈ （1，p），其中p>1是与ξ相关的指数，见（2.6）。根据命题5.4，每, ν) ∈ M（ξ） ，我们有KT=0，P- a、 s.修正一些ε>0，并定义KKεt的绝对连续近似：=εZt（t-ε） +Ksds，t∈ [0，T]。显然，Kε是FPo-可预测的、不减损的采购订单-q、 s.和KεT=0，P- a、 s.为所有人（P, ν) ∈ M(ξ). （5.12）我们下一步定义任何∈ [0，T]过程εT:=Y-ZtFr（Yεr，Zr，bσr）dr+ZtZr·dXr-ZtdKεr（5.13），并验证（Yε，Z，Kε）在终端条件ξε：=YεTand生成器F下求解2BSDE（5.7）。事实上，自从KεT≤ KT，我们核实一下∈波波|ξε| p′< ∞, Kε确实满足所需的最小条件，这在（5.12）中很明显。通过Soner、Touzi和Zang[35]中引理6.2的另一个应用，我们得到了εkDa′p+kZkho′p的估计值∞, 为了“p”∈ （1，p′）。（5.14）我们最终观察到，K和Kε的最小条件的解完全一致。步骤2:For（t，x，y，z）∈ [0，T]×Ohm x R×Rd，注意地图γ7-→ Ht（x，y，z，γ）- Ft（x，y，z，bσt（x））-bσt（x）：γ是（0）上的满射，∞).

（5.15）事实上，通过定义H和F，它是非负的，在其域的内部是凸的、连续的，由λ、σ、k的有界性强制的。让˙kε表示绝对连续过程kε相对于勒贝格测度的密度。应用经典的可测选择论元，我们可以推导出F的存在性-预dic表处理Γε，使˙Kεt=Ht（Yεt，Zt，Γεt）- Ft（Yεt，Zt，bσt）-bσt:Kεt。对于Kεt>0，这是（5.15）的结果。在另一种情况下˙Kεt=0，作为M（ξ） =M(ξε) 6= , 根据命题5.4，εt可以任意选择，在这种情况下，例如fixεt=0。替换（5.13）中的内容，可以得出以下YεholdsYεt=Y的表示形式：-ZtHr（Yεr，Zr，Γεr）dr+ZtZr·dXr+ZtΓεr:dhXir，因此合同ξε：=Yεt符合要求的格式（3.4）。然后，从（5.14）可以看出，对应的受控过程（Z，ε）满足定义3.2中要求的可积性条件。注意，对于任何（P, ν) ∈ M（ξ） 我们有Yε=Y，P-a、 因为K=Kε=0，P-a、 特别是，这意味着（P, ν) ∈ M(ξε). 因此，通过命题3.3和命题5.4，我们推断定义3.2的条件（ii）也满足我们对ε的选择。因此（Z，ε）∈ V.根据第3.3点，Ag ent的问题通过合同ξε得以解决，我们得到了VA（ξε）=Y。此外，从（5.12）可以看出，对于每一个（P, ν) ∈ M（ξ） 我们有ξ=ξε，P- a、 因此，对于任何（P, ν) ∈ M（ξ） 我们有KPTU(l - ξε)= EPKPTU(l - ξ),这意味着JP（ξ）=JP（ξε）。通过ξ的任意性，这意味着supY≥房车（Y）≥ 副总裁。6特殊情况和示例6。1系数独立于xIn定理3.9，我们看到委托人的问题涉及x和y作为状态变量。

我们现在确定了一些条件，在这些条件下，委托人的问题可以稍微简化，例如通过减少状态变量的数量。我们首先提供了代理人参与约束具有约束力的条件。我们假设σ、λ、c、k和kp与x无关。（6.1）在这种情况下，（3.1）中引入的哈密顿量H也与x无关，我们重新编写受控过程YZ，ΓasYZ，Γs:=Y的动力学-ZsHrYZ，Γr，Zr，Γrdr+ZsZr·dXr+ZsΓr:dhXir，s∈ [0，T]。通过随机微分方程的经典比较结果，这意味着相应初始条件Y的流量YZ、Γ增加。因此，最佳情况下，委托人将为代理人提供他所需的最小预订效用。换句话说，作为定理3.6的直接结果，我们对委托人的问题进行了以下简化。6.1的提议。假设（6.1），我们有VP=V（R）。我们现在考虑状态变量数量减少的情况。例6.2（指数效用）。（i） 让你（y）：=-E-ηy，假设k≡ 然后，在命题6.1的条件下，它遵循t hatVP=eηRV（0）。因此，定理3.9中对应于V的HJB方程可以通过变量V（t，x，y）=eηyf（t，x）的变化简化为两个状态变量。（ii）此外，假设∈ 清算函数是线性的，l（x） =h·x。然后，它跟在vp=e后面-η（h·X）-R） f（0），其中，通过应用变量v（T，x，y）=e的变化，定理3.9中与vh对应的HJB等式被简化为[0，T]上的常微分方程-η（h·x）-R） f（t）。例6.3（风险中性原则）。设U（x）：=x，并假设k≡ 0

然后，在6.1的条件下，Vp=-R+V（0）。因此，通过应用变量v（T，x，y）=-y+f（t，x）。6.2漂移控制和二次成本：Cvitani\'c，Wan和Zhang[8]我们现在考虑Cvitani\'c，Wan和Zhang[8]的唯一trac表。假设ξ=UA（CT），其中UA是代理人的效用函数，cti是合同支付。然后，我们需要用U代替ξ-1A（ξ），其中假定存在反函数。假设d=n=1，对于一些常数c>0，σ>0，σ（x，β）≡ σ、 λ=λ（α）=α，k=kP≡ 0, l（x） =x，c（t，α）=-cα。也就是说，波动性是不受控制的（如第4节所示），输出形式为dxt=σαtdt+σdWαt，代理人和委托人分别最大化EP“UA（CT）-cZTαtdt#和EP[UP（XT- CT）]，表示主要效用，而不是U。特别是，这对可处理性很重要，裂谷效应α的成本是二次的。我们使用我们的方法，在不同的技术条件下，从[8]中恢复以下结果。6.4.提议。假设主体的价值函数v（t，x，y）是其对应的HJBequation的解，其中（z，γ）上的上确界在解（z）处获得, γ) 对于一阶条件，v在其域上属于C2，3，3类，包括t=t。那么，对于一些常数L，vy（t，Xt，Yt）=-cv（t、Xt、Yt）- L.特别是，最优合同Ct几乎完全满足以下等式，~U′P（XT- CT）U′A（CT）=杯（XT）- CT）+L。

（6.2）此外，如果该方程有唯一解CT=C（XT），如果维纳测度PPt下的BSDE=eUA（C（XT））/C-ZTtcPsZsdXs，t∈ [0，T]有一个唯一的解（P，Z），如果Agent的值函数是其相应HJB方程的解，其中在解α处获得了α上的上确界对于一阶条件，则契约C（XT）是最优的。因此，最优合约CTI只是终值XT的函数。这可以被视为对Borch规则的道德修正，在所谓的第一最佳情况下有效：在第一风险分担下，委托人和代理人的边际效用比率是恒定的，也就是说，在委托人自己可以选择代理人效用的情况下，但在这里，该比率是委托人效用的线性函数。证据Agent的哈密顿量通过α最大化（z） =cσz。定理3.9中的主体价值函数v=Vp的HJB等式变成，U=UP，tv+supz∈Rcσzvx+2cσzvy+σvxx+zvyy+ σzvxy= 0，v（T，x，y）=向上（x- U-1A（y））。z-givesz上的优化= -vx+cvxyvy+cvyy。我们得到v（t，Xt，Yt）是最优测度P下的鞅，满足dvt=σ（vx+z）vy）载重吨。因此，v的波动率为σtimesvx+zvy=c（vxvyy- vyvxy）vy+cvyy。根据它的规则，我们还有dvy=tvy+cσzvxy+2cσ（z）)vyy+σvxxy+（z)vyyy+ σzvxyydt+σ（vxy+z）vyy）载重吨，vy（T，x，y）=-U′P（x）- U-1A（y））U′A（U-1A（y））。因此，Vyi的波动率σtimesvxy+zvyy=vxyvy- vyyvvy+cvyy，即等于v的负波动率除以c。对于第一个陈述，只需证明vy（t，Xt，Yt）的漂移为零。

这个漂移等于tvy- σvx/c+vxyvy/c+vyy（vxy/c+vxyy）+σ（vx/c+vxy）（vy/c+vyy）（vyy/c+vyy）+σvxy。然而，请注意，HJB方程可以写成tv=σ（vx/c+vxy）vy/c+vyy- vxx,这将它与y g ives区分开来tvy=σ2（vx/c+vxy）（vxy/c+vxy）（vy/c+vyy）- （vx/c+vxy）（vyy/c+vyy）（vy/c+vyy）- vxxy.利用这一点，很容易看出上述漂移表达式等于零。接下来，通过表示布朗运动，其中dXt=σdWt，从（3.4）我们得到dyt=-2cσ（Z）t） dt+σZtdWt，因此，根据它的规则deyt/c=ceYt/cσZtdWt。假设有效合同CT=C（XT）是由等式（6.2）确定的合同。代理人的最优效用为α=σVAx/c，其中代理人的价值函数为VAsatistVA+2cσ（VAx）+σVAxx=0。使用伊藤法则，这意味着-鞅过程eVA（t，Xt）/cand eY（t）/C满足相同的严格微分方程。此外，由于VA（t，XT）=YT=UA（C（XT）），它们几乎肯定在t=t时相等，因此，通过BSDE解的唯一性，它们对于所有t都相等，而且，VAx（t，XT）=Z（t） 。这意味着由C（XT）诱导的因子α的作用与因子α的作用相同对于委托人来说是最优的，代理人和委托人都得到了他们的最优期望效用。我们现在给出了[8]中上述模型的一个完全可解的例子，在这里使用我们的方法求解。例6.5。风险中性委托人和对数代理人[8]。除上述假设外，为了符号简单，假设c=1。假设als o委托人是风险中性的，而Agentis风险规避者为UP（CT）=XT- CT，UA（CT）=对数CT。我们还假设X的模型为，σ>0为正常数，dXt=σαtXtdt+σXtdWαt。因此，对于所有t，Xt>0。我们将证明最优合同支付满足度=Xt+常数。这可以直接从（6.2）中看出，或者如下所示。

与上面的proo f（用σx代替σ）类似，定理3.9的HJB方程tv=σx（vx+vxy）vy+vyy- vxx, v（T，x，y）=x- 嗯。验证该解由v（t，x，y）=x给出是很困难的- ey+e-yxeσ（T）-（t）- 1..我们有，表示E（t）：=Eσ（t-（t）- 1，vx=1+E（t）E-yx，vxy=-vx- 1，vy=-嗯-E（t）E-yx，vyy=-ey+E（t）E-yx，因此=E-y、 α=σe-y、 因此，从（3.4）中，dYt=-σe-2Ytdt+e-YtdXt，d（eYt）=dXt。因为eYT=CT，我们得到CT=XT+const。6.3无成本波动率控制：Cadenilas、Cvitani’c和Zapatero[5]我们现在将我们的方法应用于Cadenilas、Cvitani’c和Zapa tero[5]的主要利益模型。该论文考虑了代理人和委托人之间的风险分担问题，即在没有道德风险的情况下，选择波动率βt的最佳选择，即委托人选择代理人的合同和义务。在这种情况下，可以应用凸对偶方法来解决这个问题。再次假设ξ=UA（CT），其中UA是代理人的效用函数，而cti是合同付款。对于一维布朗运动W，假设常数c>0，σ>0，输出形式为λ，dXt=λβtdt+βtdWt。这些方法不适用于本论文的一般设置，本论文提供了一种解决委托代理问题的方法，该方法具有波动性选择，使我们能够解决[5]中的第一个最佳特殊情况和第二个最佳道德风险情况；利用Vitani′c、Possamai和Tou-zi[7]中的方法，解决了具有CARA效用函数和线性输出动态的道德风险的特殊情况。n-n>1的尺寸情况类似。我们假设代理人最大化E[UA（CT）]，委托人最大化E[UP（XT）-[CT）]。特别是，波动性eff或tβ的成本为零。

这是投资组合管理的标准模式l，其中β是风险y资产头寸向量的解释。由于不存在支付成本，因此获得了第一个最佳结果，即委托人可以提供恒定的支付，使得UA（C）=R，代理人将不受行动β的影响。尽管如此，我们仍在寻找一份可能不同的合同，为代理商提供严格的激励。我们使用我们的方法，在不同的技术条件下，从[5]中恢复以下结果。6.6的提议。给定常数κ和λ，考虑以下ODEU′P（x- F（x））U′A（F（x））=κF′（x），（6.3）和边界条件F（0）=λ，其解（如果存在s）表示为F（x）=F（x；κ，λ）。考虑Sof（κ，λ）的集合，使得解F存在，并且如果Agent受到契约CT=F（XT）的影响，则其值函数V（t，x）=V（t，x；κ，λ）解相应的HJB方程，其中在解β处获得β上确界对于一阶条件，V是其域上的C2,3函数，包括t=t。WT表示均值为零且方差为T的正态分布随机变量，假设存在这样的情况向上的（U′P）-1.mexp{-λT+λWT},等于委托人在第一最佳风险分担中的预期效用，对于给定代理人的预期效用R。还假设存在（κ，λ）∈ 因此，κ=m/Vx（0，X；κ，λ），代理人在合同下的最佳预期效用CT=F（XT；κ，λ）等于其保留效用R。然后，在该合同下，代理人将选择将导致委托人达到其相应的第一最佳预期效用的行动。请注意，代理人选择的行动流程β不一定与向代理人支付现金时的第一个原则相同。然而，预期的公用设施与第一最佳公用设施相同。