委托代理问题的动态规划方法

我们还提到[5]给出了许多例子，证明了该职位的假设是满足的，而且，（6.3）确实提供了最佳合同。证据假设对于某些函数F，代理的价值函数V（t，x）满足Vxx<0，且相应的HJB方程的形式为CT=F（XT），由下式给出：电视+supβλβVx+βVxx= 0.我们得到该代理的最佳行为是β= -λvxx，HJB等式变为电视-λvxx=0，V（T，x）=UA（F（x））。另一方面，利用伊藤法则，我们得到了DVX=tVx- λVx+λvxxxdt- λVxdW。将V的HJB方程与x进行微分，我们看到漂移项为零，我们得到了DVX=-λVxdW，Vx（T，x）=U′A（F（x））F′（x）。SDE的解Vx（t，Xt）是由Vx（t，Xt）=Vx（0，X）Mt给出的鞅，其中Mt:=e-λt+λWt。从边界条件we g etU′A（F（XT））F′（XT）=Vx（0，X）MT。另一方面，从[5]可知，如果u′P（XT），则可获得本金的第一最佳效用- CT）=mMT，（6.4），其中错误选择使代理人的参与约束得到满足。如果我们选择满足模型（6.3）的F，且κ满足κ=m/Vx（0.X；κ，λ），则（6.4）得到满足，我们就完成了。我们现在用我们的方法提出了一种达到条件（6.4）的方法。

对于给定的（z，γ），Agent使λβz+γβ最大化，因此，假设γ<0，则最优lβ为β（z，γ）=-λzγ。定理3.9的HJB方程变成，U=UP，w=z/γ，电视+supz，w∈R-λwvx+λwvxx+zvyy+ λzwvxy= 0，v（T，x，y）=向上（x- U-1A（y））。一阶条件arez= -vxyvyy，w=Vxx-vxyvyy。HJB方程式b e来了电视-λvxx-vxyvyy=0，v（T，x，y）=向上（x- U-1A（y））。根据It^o的规则，我们还有dvx=tvx- λvxxvxx-vxyyy+λvxvxx-vxyvyy“vxxx+vxyvyyyvxyy- 2vxyyvxy#dt- λvxdW，vx（T，x，y）=U′P（x- U-1A（y））。将v的HJB方程与x进行微分，我们看到漂移项为零，我们得到了DVX=-λvxdW，其解vx（t，Xt，Yt）=me-λt+λWt。根据边界条件，我们得出最优合同支付满足（XT- 嗯。7结论我们考虑一个非常普遍的委托代理问题，在合同期结束时一次性付款。虽然我们开发了一种简单易用的方法，但我们的证明依赖于最新的二阶倒向随机微分方程理论的深刻结果。该方法只考虑允许代理人价值函数的动态规划表示的合同，并在此基础上确定代理人的激励相容性，然后表明这不会导致普遍性的丧失。虽然我们的方法包含了大多数现有的连续时间布朗运动模型，只有最终的一次性付款，但它仍然需要扩展到具有同级连续付款的模型。虽然这可能涉及技术困难，但我们建议的道路是明确的——确定代理人价值过程的通用动态规划表示，在价值过程中表达合同付款，并优化委托人对此类付款的目标。参考文献[1]R.Aid、d.Possamai和N.Touzi。

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