委托代理问题的动态规划方法

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英文标题：
《Dynamic programming approach to principal-agent problems》
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作者：
Jak\\v{s}a Cvitani\\\'c and Dylan Possama\\\"i and Nizar Touzi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a general formulation of the Principal-Agent problem with a lump-sum payment on a finite horizon, providing a systematic method for solving such problems. Our approach is the following: we first find the contract that is optimal among those for which the agent\'s value process allows a dynamic programming representation, for which the agent\'s optimal effort is straightforward to find. We then show that the optimization over the restricted family of contracts represents no loss of generality. As a consequence, we have reduced this non-zero sum stochastic differential game to a stochastic control problem which may be addressed by the standard tools of control theory. Our proofs rely on the backward stochastic differential equations approach to non-Markovian stochastic control, and more specifically, on the recent extensions to the second order case.
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中文摘要：
我们考虑了有限时间内一次性付款委托代理问题的一般形式，为解决此类问题提供了一个系统的方法。我们的方法如下：我们首先在代理的价值过程允许动态规划表示的契约中找到最优契约，代理的最优努力很容易找到。然后，我们证明了在受限契约族上的优化并不代表失去一般性。因此，我们将这个非零和随机微分对策简化为一个随机控制问题，这个问题可以用控制理论的标准工具来解决。我们的证明依赖于非马尔可夫随机控制的倒向随机微分方程方法，更具体地说，依赖于最近对二阶情形的扩展。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Dynamic_programming_approach_to_principal-agent_problems.pdf (344.64 KB)

2022-5-9 09:13:12 上传

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关键词：代理问题 委托代理 动态规划 Differential Optimization

委托代理问题的动态规划方法*, Dylan Possama和Nizar Touzi 2017年1月10日摘要我们考虑了有限期一次性付款的委托代理问题的一般公式，为解决此类问题提供了一种系统的方法。我们的方法如下：首先，我们在代理人的价值过程允许动态编程表示的合同中找到最佳的合同，代理人的最佳效果很容易找到。然后，我们证明了在受限合同族上的优化并不代表道德损失。因此，我们将这种非零和随机微分问题简化为一个随机控制问题，可以用控制理论的标准工具来解决。我们的证明依赖于非马尔可夫随机控制的倒向随机微分方程方法，更具体地说，依赖于最近对二阶情形的扩展。关键词。非马尔可夫系统的随机控制、Hamilton-Jacobi-Bellman方程、二阶后向随机微分方程、委托人年龄问题、契约理论。1简介当代理人的影响无法契约化时，双方——当事人（“她”）和代理人（“他”）之间的最优契约是微观经济学中的一个经典道德风险问题。它在经济和金融的许多领域都有应用，例如在公司治理和投资组合管理方面（参见Bolton和Dewatripont[3]一书中的论述，主要是在离散时间模型中）。

在本文中，我们发展了一种通用的方法来解决连续时间布朗运动模型中的这类问题，在这种情况下，代理只在终端时间支付。第一篇关于连续时间委托代理问题的开创性论文是Holmstrom和Milgrom[21]。他们用CARA效用函数考虑委托人和代理人，在一个模型中，代理人的作用影响产出过程的漂移，但不影响波动性，并表明最优契约是线性的。他们的*加州理工学院，人文和社会科学，M/C 228-77，加利福尼亚大道东1200号。美国加利福尼亚州帕萨迪纳，邮编：91125；cvitanic@hss.caltech.edu.研究部分由NSF资助DMS 10-08219。+巴黎大学——巴黎理工大学多芬分校，CNRS，Ceremake，75016巴黎，法国，possamai@ceremade.dauphine.fr.感谢ANR项目Pacman ANR-16-CE05-0027的财务支持CMAP，法国帕莱索91128号萨克莱大道理工学院；尼扎尔。touzi@polytechnique.edu.本文作者还感谢ERC 321111公司、ANR Isotace和Pacman以及金融风险（风险基金会，由Soci’et’e G’en’erale赞助）和金融与可持续发展（由EDF和CA赞助）主席的财务支持。Sch¨attler和Sung[33,34]、Sung[39,40]、M¨uller[25,26]以及Hellwig和Schmidt[20]对这项工作进行了扩展。Williams[42]和Cvitani\'c、Wan和Zhang[8]的研究人员使用随机最大值原理和前向后向随机微分方程（FBSDE）来描述更一般效用函数的最优补偿。本文的主要贡献如下：我们提供了一种系统的方法来解决这类问题，包括Agent c还可以控制输出过程的波动性，而不仅仅是漂移的问题。

对于CARA效用函数的特殊情况，我们首次使用该方法解决了本文之前未解决的委托代理问题，Cvitani\'c、Po ssamai和Touzi[7]，表明最优契约不仅取决于产值（由于CARA偏好，以线性方式），而且还取决于产出所面临的风险，通过它的二次变化。在本文的示例部分中，我们还将展示如何通过我们的方法解决这类其他问题，这些问题以前是通过特殊方法在个案基础上解决的。我们预计还会有许多其他应用涉及这类委托代理问题，这些问题以前没有得到解决，我们的方法将有助于解决这些问题。本论文将上述所有情况视为特殊情况（取决于一些技术因素），考虑了一种多维模式，该模式具有任意效用函数和代理效应，既影响输出的漂移，也影响输出的波动性，即回报和风险。我们还要指出，使用我们的方法不需要任何马尔可夫假设，这一点也推广了早期的结果。近年来，出现了一种不同的连续时间模型，并已成功地解释了各种情况下的合同关系——委托人/退休代理人和付款持续支付的有限期问题，而不是另一篇重要论文Sannikov[32]中介绍的期末一次性付款。

我们将使用我们的方法对塞萨尼科夫模型进行分析，以备将来发表论文之用。文献中采用的主要方法是描述代理人的价值过程（也称为持续/承诺效用）及其在给定任意合同报酬的情况下的最优行为，然后分析委托人在所有可能报酬上的最大化问题。这种方法可能很难应用，因为在给定任意报酬的情况下，可能很难解决代理人的随机控制问题，而且委托人也可能很难在所有此类合同中实现最大化。此外，代理人的最优控制可能以高度非线性的方式依赖于给定的契约，这使得委托人的优化问题更加困难。由于这些原因，在文献中，这个问题以其最普遍的形式也通过变分法来解决，从而使庞特里亚金最大原理的s-tochastic版本的工具适应；参见Cvitani\'c和Zhang[9]。我们的方法是不同的，更直接，它在基因水平上适用于gr e。我们的主要灵感来自Sannikov[32]的杰出工作，该工作利用了由动态编程原理导出的Agent动态价值函数的最小分解结构。

这让人想起，在具有多个风险源的模型中，也就是在多维布朗运动的驱动下，仍然会导致道德风险。具体地说，委托投资组合管理中的最优契约问题，在一个连续时间模型中，委托人观察投资组合的价值随时间变化，但不观察其他任何情况。例如，我们的方法也被用于Aid、Possamai和Touzi[1]的最优电价问题，在该问题中，消费者被给予了缓和其消费波动的激励。另见Mastrolia和Possamai[24]以及Sung[41]最近的研究报告，尽管与我们的配方有关，但基础设施的工作与我们的不同。关于最近的不同方法，请参见Evans、Miller和Yang[17]。对于每一个可能的代理人的控制过程，他们描述了与其激励相容的契约。然而，他们的设置不如你的一般，例如，它不允许自动控制。放松控制空间的方法在随机控制理论中，我们将可容许契约族限制为一个精心选择的契约族，对于该契约族，Agent的价值过程允许某种动态规划表示。对于此类合同，我们证明委托人很容易确定代理人的最优策略是什么；它使相应的哈密顿量最大化。此外，容许族是这样的，Principal可以应用随机控制的标准方法。最后，我们证明了在相对温和的技术条件下，委托人对该限制族的期望效用的上确界等于对所有可行合同的上确界。

从数学上讲，在允许Age nt同时控制产出波动性的情况下，考虑道德风险问题的主要技术障碍是，在较弱的公式设置中，波动性的变化不能仅通过Hirsanov的度量类型变化来实现，因此产生了非支配的度量集。我们克服了这一障碍，并证明了我们的合同类别是一般的enoug h，方法是用所谓的二阶B SDE来表示代理人的价值过程，如Soner、Touzi和Zhang[36]所介绍的（另见Cheridito、Sone r、Touzi和Victoir[6]），并使用Possamai、Tan和Zhou[30]的最新结果来通过Soner的规则条件，Touz i和Z hang[36]。下面是为我们的方法提供直觉的一种方法。在马尔可夫框架下，在技术条件下，代理人的价值是通过其与状态变量相关的一阶和二阶导数确定的。在一般的非马尔可夫框架中，这些衍生工具的作用由代理的价值过程对输出的（初始）敏感性以及其对二次变化过程的（二阶）敏感性所取代。因此，有可能将校长的问题转化为最佳选择这些敏感性的问题。如果代理人仅控制漂移，则只有一阶灵敏度相关，如果他也控制波动，则第二阶灵敏度也相关。在前一种情况下，这一观点在桑尼科夫[32]中以一种关键的方式使用。这一见解意味着（在马尔可夫模型中）委托人问题的适当状态变量是代理人的价值。自斯皮尔和斯里瓦斯塔瓦[3 7]以来，这一点在discr e te时间模型中就已为人所知。

我们从一个不同的角度来理解它，一个考虑合同的角度，它是通过一阶和二阶灵敏度预先定义的。本文的其余部分结构如下：我们描述了模型和委托代理关系。我们在第3.1节中介绍了可接受合同的限制族。第6节给出了一些例子。在第5节中，我们表明，在技术条件下，重新限制不会失去通用性。我们在第7节中总结。表示法：让N:= N\\{0}是正整数的集合，让R+是所有正数的集合。在本文中，对于每个p维向量b∈ N, 我们注意到b，BPC协调，适用于任何1≤ 我≤ p、 对任何人来说∈ N和n≤ p、 对于任何b∈ Rp，我们用b1:n表示∈ rα，β的第一个坐标的矢量∈ Rpwe用α·β表示通常的内积，带有ass关联范数|·|。无论如何(l, c）∈ N×N, Ml,c（R）表示空间l 带实数项的×c矩阵。矩阵M的元素∈ Ml,注意表示（Mi，j）1≤我≤l, 1.≤J≤c、 M的转置用M表示.我们认出了我l,1Rl. 什么时候l = c、 我们让我l（R） ：=Ml,l（R） 。我们也用S表示l（R） （res p.S.）+l（R） ）M中的对称正矩阵集l（R） 。矩阵的变换∈ Ml（R） 将用Tr[M]表示，对于任何（x，y）∈ Ml,c×Mc，l, 我们使用符号x:y forTr[xy].2委托代理问题2。1.连续路径的规范空间我们现在介绍我们的数学模型。设T>0为给定的终端时间，且Ohm := C（[0，T]，Rd）对于给定的整数d>0，从[0，T]到Rd的所有连续映射的集合。

标准化过程Ohm,表示输出代理负责o f，用X表示，即Xt（X）=X（t）=Xt，代表所有X∈ Ohm, T∈ [0，T]，以及相应的标准过滤F:={Ft，T∈ [0，T]}，其中ft:=σ（Xs，s）≤ t） ，t∈ [0，T]。我们用p表示上的维纳测度(Ohm, 对于任何F-停止时间τ，由Pτ表示Pw的规则条件概率分布。r、 t.Fτ（见Stroock和Varadhan[38]），与x无关∈ Ohm 通过布朗增量的独立性和平稳性。让Prob(Ohm) 表示上所有概率测度的集合(Ohm, （英国《金融时报》）。我们说概率测度P∈ 问题(Ohm) 是一个半鞅测度，如果X是P下的半鞅。由Karandikar[22]，有一个F-逐步可测量的过程，用hXi=（hXit）0表示≤T≤T、 这与X，P的二次变化有关-a、 对于所有半鞅测度P，我们可以引入d×d非负对称矩阵bσtsuch that bσt:=lim supε0hXit- hXit-ε，t∈ [0，T]。由于bσ的值在S+d（R）中，我们可以用通常的方法确定其平方根bσ。在本文中，我们将使用过程ψ：[0，T]×Ohm -→ E、 取空间E中的值，即F-可选，即O（F）-可测量，其中O（F）是所谓的可选σ-由F生成的字段-适应正确的连续过程。尤其是这样一个过程ψ是非预期的，即ψ（t，x）=ψ（t，x）·∧t） ，尽管如此∈ [0，T]和x∈ Ohm.最后，出于技术原因，我们在经典的ZFC集合论公理以及连续假设下工作。2.2受控状态方程在一个典型的委托代理问题中，有两个决策者。代理人可以通过自己选择的控制来施加影响，从而控制通常所说的“输出”过程（在我们的例子中是X）。

委托人将产出的管理委托给代理人，并设定合同条款，以激励其在产出管理方面发挥最佳效果。控制过程（代理的作用/作用）ν=（α，β）是F-对于有限维空间的某些子集A和B，可选过程的值为A×B。我们将控制过程的集合表示为U。输出过程采用Rd中的值，并通过受控系数定义：λ：R+×Ohm ×A-→ Rn，有界，λ（·a）F- 对于任何一个a，都是可选的∈ A、 σ：R+×Ohm ×B-→ Md，n（R），有界，σ（·，b）F- 任何b选项都是可选的∈ B、 这是经典随机分析理论中广泛使用的标准公理。见Dellacherie和Meyer[10，第5页]。在本文中，应用Nu tz[27]的聚合结果需要这些公理。有关这一假设的更多细节和见解，请参见脚注8。其中，对于给定的整数d，n，我们用Md，n（R）表示具有实数项的d×n矩阵集。对于所有控制过程ν=（α，β），以及一些给定的初始数据X∈ Rd，受控状态方程由n驱动的随机微分方程定义-维布朗运动W，Xt=X+Ztσr（X，βr）λr（X，αr）dr+dWr, T∈ [0，T]。（2.1）注意，过程α和β是X路径的函数。由于它在概率论中是标准的，对规范过程的依赖性将被抑制。控制模型是（2.1）的弱解，定义为一对M:=（P，ν）∈ 问题(Ohm) 那么o 十、-1=δ{X}，存在一些n-维P-布朗运动wmxt=X+Ztσr（X，βr）λr（X，αr）dr+dWMr, T∈ [0，T]，P- a、 特别是，我们有bσt=（σtσ）t） （X，βt），dt 数据处理- a、 e.在[0，T]×上Ohm.我们将M表示为所有此类控制模型（与控制过程相反）的集合，我们称之为容许。