论保险破产理论中的真实增长与逃逸公司

下面的定理3.3表明，破产可能很快发生，因此从应用的角度来看，该特征可能不是那么关键。现在考虑破产概率。定义乐趣∧：R→ R∪ {∞} 通过∧（α）=∧A（α）+∧ξ（1）。（3.42）那么∧是凸的。确定参数randβbyr=sup{α≥ 0; Λ(α) ≤ 0}（3.43）和β=sup{α∈ R∧（α），E（（1+i）α），E（Zα）<∞} ∈ [0, ∞]. （3.44）我们将假设r∈ (1, β). 然后∧（r）=0，这样在（H1）下，∧A（r）>0和∧′A（r）>0。写入u=1/λ′A（r）。我们将通过取Yn=YnandYn1=nXk=1A··Ak来应用引理3.1-1（1+ik）Vk1（Kk=1，Kj=0，J≥ k+1）。（3.45）然后=∞Xn=1A··An-1（1+in）Vn1（Kn=1，Kj=0，J≥ n+1）a.s.（3.46）定理3.3假设（H1）-（H2）β>1和r∈ (1, β). 进一步假设loga的分布是非晶格的。如（3.46）所示。森利木→∞（日志u）-1对数P（T<∞) = -r、 （3.47）P（T<∞) = （1+o（1））P（\'Y>u）（3.48）=（1+o（1））∞Xn=1P（A··An）-1（1+i）Z>u）P（Kn=1），u→ ∞, （3.49）对于每一ε>0，limu→∞P（T/log u）∈ [u- ε、 u+ε]|T<∞) = 1.（3.50）如果另外，P（Kn=1）=（1+o（1））λf（n）en∧ξ（1），n→ ∞, （3.51）如果f是有规律变化的，则为u→ ∞,P（T<∞) = （1+o（1））E（（1+i）r）E（Zr）E∧ξ（1）urλf（ulogu）u-r、 （3.52）估计值（3.48）表明，“Y of”（3.36）和“Yof”（3.46）的尾部概率是一致的。这是令人惊讶的，因为这两个变量是相同的，只是“YDISREGARD”在很大一部分索赔中是相同的。一种可能的直观解释是，为了破产，公司损失了大部分资本，主要是因为投资回报率不高，而剩余资本则因最严重的索赔而损失。这一现象有点奇怪，但与厚尾索赔规模相关的单一索赔的主导地位也被发现。我们将读者引向斯马森和克鲁佩尔伯格（1996）。

我们不假设有大量的尾部，但值得注意的是，由于高流动性，后期索赔可能会很大。也可以通过使用其他限制程序找出不同的观点。例如，如果我们允许λ随u增加，那么早期的索赔也可能对破产概率产生重大影响。我们可以预期，估计的准确性（3.48）对于中等资本来说不是很好。准确地说，概率P（Kn=1）和P（Kn≥ 1） 至少对于接近ulog u的n而言，应彼此接近。较大的λ容易违反此关系。我们在第5节定量地考虑了这个问题。估算值（3.49）与化合物分布的尾部有关。要看到这一点，请写下pn=P（Kn=1）和P=∞Xn=1pn。（3.53）由（3.40）可知∈ (0, ∞). L etρ是一个随机变量，如th atP（ρ=n- 1） =pn/p，n∈ N、 （3.54）并假设ρ独立于其他所有因素。进一步写入S=0和sn=loga+····+logan，n∈ N.（3.55）乘以（3.48）和（3.49），P（T<∞) = （1+o（1））pp（A··Aρ（1+i）Z>u）（3.56）=（1+o（1））pp（Sρ+log（（1+i）Z>log u）。最后一个概率可以通过引理3.2.4来近似。一个应用示例考虑一家在市场上运营多年的运营公司-D-1，0在哪里∈ N.让u>0成为公司在0年末的资本。该公司在未来不签订保险合同。因此，破产意味着资本和投资收益加在一起不足以支付第1年、第2年……的赔偿。。对未来事件建模的一种合适方式是将每项索赔与报告时间关联，即公司收到索赔的第一条信息的时间。报告延迟是报告时间与索赔发生时间之间的差异。

我们假设补偿在报告时间支付。我们将采用第3.2节中的模型作为年内索赔事件的描述-D0.无需描述过去几年的投资溢价或回报，因为它们的影响已累积到初始资本u中∈ {-D0}，关联结构变量qm，并假设-D卡雷。i、 d.随机变量。假设P（q>0）=1，E（q）=1。设π=1和π-Dπ-1正常数，用于描述过去几年观察到的业务量水平。我们假设在m年，索赔是根据混合泊松p过程发生的，因此在给定qm的条件下，过程的强度为λπmqm。对于不同年份，假设发生过程是独立的。报告延迟假定为i.i.d.随机变量，其公共分布函数为G（0）=0。还假设它们独立于其他任何事物。假设通货膨胀的影响是，n年内任何报告索赔的规模≥ 1的分布与（1+i）·（1+in）Z的分布相同∈ {-D0}并考虑m年发生的索赔。n年报告的索赔数量≥ 1具有混合泊松分布。随机泊松参数为λπmbn-mqmwherebk=Z（G（k+1- （s）- G（k）- s） ）D，k∈ N.另一个有用的事实是，有条件地，给定qm，不同年份报告的索赔数量是独立的。我们建议读者参考兰塔拉（1984）第2.3.1节。通过以上讨论，n年报告的索赔数量具有混合泊松分布。

泊松参数为λξn，其中ξn=Xm=-dπmbn-mqm。我们的基本假设（2.5）也得到了满足∞ 对于每一个α>0和1- G（x）=（1+o（1））h（x）e-x~n，x→ ∞, （4.1）其中h是有规律变化的，且∈ (0, ∞) 这是一个常数。例如，每个伽马分布都满足要求（4.1）。很容易看出∧ξ（α）=-对于每一个α>0，也满足（H2）。此外，（3.51）保持sinceP（Kn=1）=（1+o（1））λ（e~n- 1)(1 - E-）下午=-dπmemаh（n）e-n~n。（4.2）5一个模拟例子定理3.3的渐近估计忽略了许多主张，因此有兴趣研究它对现代初始资本u的准确性。我们通过模拟来实现这一点。我们还提出了一种特别的方法来有效地估计破产概率。我们首先确定要考虑的模型。关于投资回报，我们假设log（1+r）具有正态分布。用M和σR分别表示平均值和标准偏差。膨胀率是一个常数。写在shortmi=log（1+i）中。混合变量也是确定性的。我们取ξn=e-n~n何处∈ (0, ∞) 这是一个常数。最后，索赔额Z将呈指数分布。根据上述规定，我们对α∈ R和n∈ N、 ∧A（α）=（mi- mr）α+σrα/2，∧（α）=∧A（α）- φ,Λξ(α) = -να，P（Kn=1）=（1+o（1））λe-n~n。Thu s f≡ 定理3.3中的1。参数的数值将为Mr=0.1、σr=0.1、mi=0.05、ν=0.1和E（Z）=1。然后r=2和定理3.3的估计isP（T<∞) = （1+o（1））λu-2.（5.1）在下表5.1和5.2中，我们使用符号^E=破产概率的估计（5.1），o（1）替换为零，^E=模拟得出的破产概率估计。我们对每种概率进行了大约1000万次模拟，因此估计值应该非常接近真实值。

商^E/^E描述了^E的每一个精度。在表5.1中，它与实际值相当接近。在表5.2中，λislarger和由此产生的^E/^Eis较大，因此定理3.3的估计不准确。表5.1，λ=0.1u^E^E^E/^E10 6.7×10-39.3 × 10-31.4050 2.7×10-43.2 × 10-41.20200 1.7×10-51.9 × 10-51.12表5.2，λ=100u^E^E^E/^E^E/^e5000 2.7×10-57.2 × 10-3269 7.6 × 10-31.0610 000 6.7×10-61.0 × 10-3157 1.1 × 10-31.0450 000 2.7×10-79.6 × 10-636 9.1 × 10-60.95以下模拟和定理3.3的估计的组合似乎给出了破产概率的非常好的近似值。首先乘以小λ>0，取λe-n~n小于λ。在第j次复制中，我们按照以下方式计算估计值^ejin。第一次应用模拟到n年。如果在第一个n年发生破产，则p ut^ej=1。如果没有发生破产，那么在n年末，该公司将有一个随机的非负资本剩余。利用这个资本，用λe代替λ-n，T heorem 3.3的估计值可用于近似破产概率。我们认为^ej就是这个估计。如果我们有J个复制，那么p（T<∞) 是^ej观测值除以J的总和。由于只需模拟第一个nyear，因此估计不需要太多计算机时间。上述估算由两部分组成。首先，由J划分的废墟观测数量给出了概率P（T）的无偏估计≤ n） 。其次，定理3.3的估计值之和除以J，近似于概率P（T∈ （n），∞)). ispart并非无偏，但由于λ很小，因此可以预期它是准确的。我们通过取λ=100和λ=0.1来应用该程序。表示^E=根据上述程序对r uin概率的估计。结果见表5.2。

通过商^e/^e来测量准确度，结果良好。在ξ-变量为随机变量的情况下，可以使用类似的特殊方法。然后确定n，使得λξnis可能低于λ。定理3.3现在通过使用随机λξn而不是λ6证明来应用。我们首先给出各种引理，用于证明主要定理。引理的顶点将在本节末尾给出。首先考虑复合泊松分布矩的渐近估计。让Z，Z，Z。是非负随机变量的i.i.d.序列，假设p（Z>0）>0。WriteSk=Z+···+zk表示k∈ N.进一步设Nν为参数为ν的泊松分布随机变量。假设Nν独立于Z-变量，writeXν=Z+·ZNν。（6.1）Thu s Xν具有复合泊松分布。设α为Z的矩指数，即α=sup{α≥ 0|E（Zα）<∞}. （6.2）我们将在序列中假设α>1，因此E（Z）<∞. 众所周知，Lim supx→∞（日志x）-1对数P（Z>x）=-α. （6.3）见Rolski等人（1999年），第39页。定义函数LX:（0，’α）→ (-∞, ∞] byLX（α）=lim supν→∞（对数ν）-1对数E（|Xν）- νE（Z）|α）。（6.4）引理6.1假设“α”∈ (1, ∞], 让α∈ (0, α). Thenlimν→∞（对数ν）-1log E（Xαν）=α。（6.5）此外，如果0<α<α<α，则存在ε>0，使得对于每个α∈ [α，α]，LX（α）≤ α - ε. （6.6）设{ξn}为满足（H1）的正过程- （H2）。接下来，我们将回顾与该过程相关的一些基本说明偏差结果。让∧*ξ是∧的凸共轭*ξ（x）=sup{αx- Λξ(α); α ∈ R} ，x∈ R.（6.7）写出θn=（logξn）/n引理6.2假设（H1）。那么每一个α∈ R、 林尚→∞N-1日志Eeαnθn= ∧ξ（α）（6.8）和每个闭集H R、 林尚→∞N-1log P（θn）∈ H）≤ -inf{∧*ξ（x）；十、∈ H} 。

（6.9）此外，如果α>0，则对于每个闭集H R、 林尚→∞N-1日志Eeαnθn1（θn∈ H）≤ sup{αx- Λ*ξ（x）；十、∈ H}≤ Λξ(α). （6.10）现在考虑索赔数量分布的估计。回顾第2节和第3.3节中对K变量的描述。引理6.3假设（H1）- （H2）。然后存在δ>0，这样，作为n→ ∞,P（Kn=1）=λE（ξn）+Oen（ξ∧（1）-δ), （6.11）P（Kn=0）=1- P（Kn=1）+Oen（ξ∧（1）-δ), （6.12）P（Kn）≥ 2） =Oen（ξ∧（1）-δ)（6.13）和p（Kn=1，Kj≥ 1点j≥ n+1）=Oen（ξ∧（1）-δ). （6.14）此外，如果ε>0，则存在δ>0，因此对于yα≥ 1+ε，E（Kαn1（Kn≥ 2） ）=Oen（ξ∧（1）-δ), N→ ∞. （6.15）我们最后陈述了一个与引理3.1的过程{Yn2}相关的结果。引理6.4设{Yn2}是一个满足（3.11）和（3.12）α的过程∈ (0, ∞). 写入Y=sup{Yn2；n∈ N} Y=inf{Yn2；N∈ N} 。ThenE|\'Y|α< ∞ 还有E|Y |α< ∞. （6.16）引理3.1的证明。让α∈ (0, ∞) 使（3.11）和（3.12）保持不变，并让“Yand”和“Ybe”如引理6.4所示。根据切比切夫不等式，P（|Y |>u）≤ U-αE|\'Y|α（6.17）和p（|Y |>u）≤ U-αE|Y |α. （6.18）（6.17）和（6.18）的右侧由引理6.4确定。设κ，α和δ∈(0, 1 - κ/α）使引理3.1的所有条件都满足。取δ′，使δ<δ′<1- κ/α和wr itev=v（u）=u（1- U-δ′).很容易看出v（1+v-δ) ≥ u（1+u）-δ′）对于大的u，因此由（3.14），P\'Y>u（1- U-δ′)= （1+o（1））PY>v（1+v-δ)(6.19)≤ （1+o（1））P（\'Y>u（1+u-δ′）=（1+o（1））P（\'Y>u），u→ ∞.通过这个和（6.17），P（\'Y>u）≤ P\'Y>u（1- U-δ′)+ P\'Y>u1-δ′≤ （1+o（1））P（\'Y>u）+oU-(1-δ′)α, U→ ∞.现在（1）- δ′）α>κ，因此通过（3.13），P（\'Y>u）≤ （1+o（1））P（\'Y>u）。另一方面，通过（3.14）和（6.18），P（\'Y>u）≥ PY>u（1+u）-δ） ，Y≥ -u1-δ= PY>u（1+u）-δ)- PY>u（1+u）-δ） ，Y<-u1-δ= （1+o（1））P（\'Y>u）+oU-(1-δ)α.星期四下午（Y>u）≥ （1+o（1））P（\'Y>u）。

获得的估计值暗示（3.15）。引理3.2的证明。很明显∧′η（r）>0，因为∧η（0）=0，∧η（r）>0和∧η是凸的。设b>0为固定值，并写出n=（Vn+W）1（n=n）- bn1（n6=N），N=0，1，2。对于u>0，写入τ=τu=inf{n∈ N∪ {0}|V′n>u}（τ=∞ 如果V′n≤ u表示n=0，1，2，…）。对于ε>0，writeIu=Iu，ε=[（u）- ε） u，（u+ε）u]。然后{τ=n}={n=n，Vn+W>u}，所以{τ<∞} = {VN+W>u}和{τ∈ Iu}={VN+W>u，N∈ Iu}。（6.20）写入Γ（α）=lim supn→∞N-1日志EeαV′n, α ∈ R.（6.21）很容易看出，对于R的邻域中的每个α，（6.21）都是极限，并且Γ（α）=max(-αb，∧η（α）- υ).根据格林和惠特（1994）的定理2，或尼莱宁（1994）的定理3.1和3.2，利木→∞U-1对数P（τ<∞) = -r、 （6.22）此外，根据Nyrhinen（1995）的定理4，存在ε′>0s-uch-thatP（τ∈ Iu|τ<∞) = 1+O（e）-ε′u），u→ ∞. （6.23）我们注意到，在Nyrhinen（1995）中，对于某些α小于0的情况，假设Γ（α）是有限的，但该条件仅适用于本文的样本路径结果。现在（3.19）和（3.20）从（6.20），（6.22）和（6.23）开始。考虑一下（3.22）。首先假设p（N=N）=（1）- E-υ） e-νn，n=0，1，2，N有一个几何分布，f是一个常数函数，f（x）=1- E-νforx>0。设ζ具有参数e的伯努利分布-υ、 P（ζ=0）=1- E-υ、 P（ζ=1）=e-υ.假设ζ独立于其他所有元素。WriteQ=1（ζ=0）eW，M=1（ζ=1）eη和R=eη+·η+N+W。然后（Q，M）用κ=R满足定理3.1的条件，用这对（Q，M）满足随机方程（3.6）。根据定理3.1，P（R>u）=（1+o（1））E（erW）uR（1- E-υ） u-r、 u→ ∞. （6.24）这证明了（3.22）在N具有几何分布的情况下。在一般情况下，我们利用一个众所周知的事实，即（3.17）中的收敛对于（0）的任何紧致子集中的x是一致的，∞).

取ε′>0，选择ε>0，这样（1- ε′）f（uu）≤ f（徐）≤ （1+ε′）f（uu）对于大u|x- u| ≤ ε. 然后乘以（3.20），P（VN+W>u）≤ （1+o（1））（1+ε′）f（uu）Xn∈Iue-νnP（Vn+W>u）=（1+o（1））（1+ε′）f（uu）∞Xn=0e-νnP（Vn+W>u）。在一般情况下，几何分布的N的估计值（3.22）等于（3.22），类似的下限也成立。定理3.2的证明。我们应用引理3.1，从（3.35）中取Yn=Yn和yn1。我们首先证明（3.11）和（3.12）对于某些α>r是成立的。条件（3.11）不会引起任何问题，因此我们将重点关注（3.12）。显然，Yn2=Yn- Yn1=nXk=1A··Ak-1（1+ik）[Vk- λmZξk]所以- 伊恩-1,2=A··An-1（1+in）[Vn- λmZξn]。（6.25）在引理6.1中选择Z=Z，取α=randα∈ （r，β）。让α∈ [α，α]，并设ξn的分布函数。然后对于任何y>0，E（|Vn）- λmZξn |α1（ξn≥ y） ）=Z∞yE（|Xλy）-λmZy |α）dHn（y）。设ε>0，使（6.6）成立，取δ>0，使δ<min（ε，r）。我们假设E（对数（1+g））≥ P（g=0）<1。因此，∧gis在（0，α）上严格递增且严格正。根据引理6.1，存在y=y（α）和c=c（α），因此∈ N、 E（| Vn）- λmZξn |α1（ξn≥ y） )≤ cen∧g（α）-δ). （6.26）我们注意到α上的th和cdepend，但δ没有。很容易看出e（Vαn1（ξn≤ y） )≤ eλyE（Xαλy）。（6.27）观察∧（r）+∧g（r）- δ) - λg（r）<0，因此通过连续性，∧（α）+∧g（α）- δ) - 对于某些α∧g（α）<0（6.28）∈ （r，α）。由（6.27）可知，E（|Vn- λmZξn |α1（ξn≤ y） ）由一个常数从上面限定。现在∧g（α）- δ） >0，所以通过（6.25）和（6.26），存在常数c=c（α），使得e（| Yn2- 伊恩-1,2|α) ≤ cen∧A（α）en∧g（α）-δ） =cen∧（α）+∧g（α）-δ)-∧g（α））。这和（6.28）意味着（3.12）。很容易看出，在我们的假设下，对于（3.33）的Q和M的特定选择，定理3.1的条件是满足的。

同样清楚的是，κ=rand，R=\'Ysatis fies随机方程（3.6）。应用定理3.1来了解thatlimu→∞urP（`Y>u）=C（6.29），其中C与（3.8）中的相同。假设P（q>1+s）>0。那么C是严格肯定的Nyrh inen（2001）。读者可以参考定理2和3以及本文的相关讨论。因此引理3.1的所有条件都满足且（3.34）成立。如果P（q>1+s）=0，那么Y≤ 几乎可以肯定的是，（3.8）的C等于。此外，P（T<∞) ≤ P（\'Y>u），其中\'Y如引理6.4所示。根据同样的引理和切比雪夫不等式，（3.34）的极限也等于零。命题3.1的证明。从引理6.3的（6.11）直接得到估计值（3.38），然后从（H2）得到（3.40）。估算值（3.39）是（3.40）和（6.13）的结果。考虑一下（3.41）。引理6.2，林上→∞N-1log P（ξn）≥ 1) ≤ -inf{∧*ξ（x）；十、≥ 0}.这个p为（3.41），因为通过（H1），右侧等于-∞. 定理3.3的证明。我们将使用引理3.1，选择Yn=Yn，并从（3.45）中取yn1。目的是证明引理的条件满足κ=r。让pn、ρ和Snbe如（3.53）、（3.54）和（3.55）所述。WriteW=log（（1+i）Z）。固定ε>0且letJu=[（u- ε） 对数u（u+ε）对数u]表示u>1。我们将分三步进行。第一步。我们会证明这一点\'Y>u= （1+o（1））Xn∈JuP（Sn+W>logu）pn+1（6.30）=（1+o（1））pP（Sρ+W>logu），u→ ∞. （6.31）概率P\'Y>u可与复合分布的尾部概率相关联，类似于（3.56）。也就是说，writep′n=P（Kn=1，Kj=0，J≥ n+1）和p′=∞Xn=1p′n.通过引理6.3，p′和pn是渐近等价的，p′∈ (0, ∞). 设ρ′是一个变量，使得p（ρ′=n）- 1） =p′n/p′，n∈ N、 （6.32）并假设ρ′独立于其他一切。然后\'Y>u= p′p（Sρ′+W>logu）。