论保险破产理论中的真实增长与逃逸公司

（6.33）取N=ρ′，Vn=sn和W=W，并应用引理3.2，得出P（Sρ′+W>logu）=（1+o（1））P（Sρ′+W>logu，ρ′∈ Ju），u→ ∞.因此，P\'Y>u= （1+o（1））Xn∈JuP（Sn+W>logu）p′n+1和（6.30）遵循自pn和p′nare渐近等价。现在取N=ρ而不是ρ′，再次应用引理3.2，看看（6.31）是否成立。第二步。我们证明了引理3.1的条件（3.13）和（3.14）。它来自引理3.2，命题3.1和（6.31）thatlimu→∞（日志u）-1对数P（\'Y>u）=-r、 （6.34）Thu s（3.13）在κ=r时成立。我们将证明（3.14）在δ>0时成立。首先假设W≡ 根据（6.30），很明显PY>u（1+u）-δ)（6.35）=（1+o（1））Xn∈JuP（Sn>log（u）1+u-δ） ）pn+1，u→ ∞.为了证明（3.14），必须证明P（Sn>log u）=（1+o（1））P（Sn>log（u（1+u-δ） ）），u→ ∞, （6.36）对于n∈ 朱。L et∧*Abe∧A∧的凸共轭门*A（x）=sup{αx- λA（α）；α ∈ R} ，x∈ R.根据Petrov（1965）的定理1，对于小ε>0，n一致∈ Ju，P（Sn>logu）=PSnn>log-un（6.37）=（1+o（1））e-n∧*A（logun）αnp2πn∧′A（αn），u→ ∞,式中，αn=αn，ui使得∧′A（αn）=（log u）/n。对（6.36）右侧的概率进行了类似的估计，通过利用这些估计，很容易看出（6.36）在W≡ 0.为了得到一般W的（3.14），它需要（6.30）来表明对于小δ>0，P（A··Aρ（1+i）Z>u（1+u）-δ)) ≥ （1+o（1））P（A··Aρ（1+i）Z>u）。（6.38）设H为（1+i）Z的分布函数。很容易看出，对于小ε>0，P（A··Aρ（1+i）Z>u）=（1+o（1））Zu1-εu-εPA··Aρ>uxdH（x）。（6.39）为了证明（6.38），设δ′>0，当W≡ 设ε>0为（6.39）。取δ>（1+ε）δ′。

然后p（A··Aρ（1+i）Z>u（1+u）-δ） ，u-ε≤ （1+i）Z≤ u1-ε) (6.40)≥Zu1-εu-εPA··Aρ>ux1 +ux-δ′dH（x）=（1+o（1））Zu1-εu-εPA··Aρ>uxdH（x）=（1+o（1））P（A··Aρ（1+i）Z>u）。这个p（6.38）。第三步。我们证明了{Yn2}满足引理3.1的条件（3.11）和（3.12）。条件（3.11）明显满足。让α∈ （r，β）。然后α>1。WriteYn2=Yn- Yn1=Wn1+Wn2（6.41），其中Wn1=nXk=1A··Ak-1（1+ik）Vk-nXk=1A··Ak-1（1+ik）Vk1（Kk=1），（6.42）Wn2=nXk=1A··Ak-1（1+ik）Vk1（Kk=1）- Yn1。（6.43）也让W0j=0表示j=1，2。由Minkowsk i不等式，E（| Yn2）- 伊恩-1,2|α) ≤ 2αmax{E（|Wnj）- Wn-1，j |α）；j=1，2}。Thu s to have（3.12），必须证明对于某些α∈ （r，β），lim-supn→∞N-1日志E（| Wnj）- Wn-1，j |α）<0，j=1，2。（6.44）考虑j=1时的（6.44）。NowE（| Wn1- Wn-1,1 |α）=E（（A··An）-1（1+英寸）Vn1（千牛≥ 2))α)≤ cen∧A（α）E（Vαn1（Kn≥ 2） ）（6.45），其中c是常数。根据Minkow-ski不等式，E（Vαn1（Kn≥ 2)) =∞Xh=2EE-λξn（λξn）hh！E（（Z+···+Zh）α）（6.46）≤ E（Zα）∞Xh=2EE-λξn（λξn）hh！hα=E（Zα）E（Kαn1（Kn≥ 2)).设δ>0，使（6.15）成立。然后E（Vαn1（Kn≥ 2） ）=Oen（ξ∧（1）-δ)作为n→ ∞.以α为例∈ （r，β）使得∧A（α）+∧ξ（1）- δ<0，以确定（6.44）适用于j=1。考虑j=2时的（6.44）。NowE（| Wn2- Wn-1,2|α) ≤ cen∧A（α）P（Kn=1，Kj）≥ 1点j≥ n+1），其中c是常数。下面是fr om（6.14），即（6.44）对j=2适用。现在考虑定理3.3的主张。通过引理3.1和步骤2和3，（3.48）成立，通过步骤1，P\'Y>u渐近等价于（3.49）。（3.48）和（6.34）中的限制（3.47）。考虑一下（3.50）。写入T（u）=inf{n∈ NYn1>u}其中byconvention，T（u）=∞ 如果Yn1≤ 每n取u。如（6.33）所示，对于任何y>1，P（T（u）≤ y） =p′p（Sρ′+W>logu，ρ′）≤ Y- 1） 其中p′和ρ′与证明的第一部分相同。

因此对于大u，P（T≤ (u- ε） 日志（u）≤ P（T（u/2）≤ (u- ε） 对数u）+P\'Y>u/2≤ p′pSρ′+W>log（u/2），ρ′≤ (u-ε/2）对数（u/2）+ P（\'Y>u/2）。引理3.2和d 6.4，lim supu→∞（日志u）-1log P（T）≤ (u- ε） 日志u）<-r、 对于概率P（T∈ [（u+ε）对数u，∞)), 同样的上界也是同样得到的。Thu s（3.50）从（3.47）开始。最后，从（6.31）和引理（3.2）得到（3.52）。引理6.1的证明。（6.5）的证据可以在Nyrhinen（2010）的Lemma3中找到。1.让我们∈ [1，¨α）并让ε>0。通过Minkowski不等式和（6.5），E（|Xν）-νE（Z）|α）α≤ E（Xαν）α+νE（Z）≤ （να+ε）α+νE（Z）表示大的ν。如果α∈ （0,1）然后（x+y）α≤ xα+yα每x，y≥ 所以e（|Xν- νE（Z）|α）≤ να+ε+ναE（Z）α表示大的ν。得到的估计表明LX（α）≤ α∈ (0, α). ByH–older不等式，lx是凸的。我们将在下面展示LX（1）<1，通过凸性，每个α的LX（α）<1∈ (0, α). 此外，lx是连续的，因此（6.6）保持不变。还有待证明LX（1）<1。如果E（Z）<∞ 然后根据Schwarz不等式，E（|Xν）- νE（Z）|）≤pVar Xν=pνE（Z）。（6.47）Thu s LX（1）≤ 1/2. 在一般情况下，第一次估计（|Xν）- νE（Z）|）≤ E（|Xν）- NνE（Z）|+E（Z）E（|Nν）- ν|). （6.48）用Z涂抹（6.47）≡ 1来看看E（|Nν）-ν|) ≤√ν. 固定α<2，使α∈ (1, α). 冯·巴尔和埃斯·伊恩（1965），E（|Z+·+Zk）的比奥尔德不等式和定理2- kE（Z）|）≤ E（|Z+··+Zk）- kE（Z）|α）α（6.49）≤ （2kE（| Z）- E（Z）|α）α=ckα，其中c是常数。此外，E（|Xν）- NνE（Z）|）=∞Xk=0e-ννkk！E（|Z+··+Zk）- 柯（Z）|）。（6.50）通过（6.49）和詹森不等式，E（|Xν）- NνE（Z）|）≤ 总工程师Nαν≤ cνα。得到的估计表明LX（1）<1。Le mma 6.2的证明。第一个结果（6.8）是显而易见的。由（H1）可知，∧ξ在原点处是较低的半连续的，因此（6.9）来自Nyrhinen（2005）。（6.10）的第一个不等式是Varadhan积分引理的特例。

可以在Varadhan（1984）或Dembo和Zeitouni（1998）的引理4.3.6中找到证明，前提是∧的水平集*ξ是紧凑的。然而，Varadhan（1984）的作品并不需要完整性假设。如果∧ξ在α的邻域中是有限的，那么根据Rockafellar（1970）的定理12.2，sup{αx- Λ*ξ（x）；十、∈ R} =λξ（α）。这个p等于（6.10）。引理6.3的证明。我们从一些一般性的观察开始。通过（H1）和凸性，∧ξ在（0，∞). 设ε>0，α≥ 1+ε，让δ>0变小。ThenE（ξαn）=Oen（ξ∧（1）-δ), N→ ∞. （6.51）此外，P（ξn>1）≤ E（ξαn）使p（ξn>1）=Oen（ξ∧（1）-δ). （6.52）考虑（6.11）。通过（6.52），P（Kn=1）=P（Kn=1，ξn≤ 1） +Oen（ξ∧（1）-δ)= λEE-λξnξn1（ξn≤ 1)+ Oen（ξ∧（1）-δ)= λE（ξn1（ξn≤ 1） ）+λE（ψn）+Oen（ξ∧（1）-δ)式中ψn=ξn1（ξn≤ 1)∞Xm=1(-1） m（λξn）mm！。Thu sP（Kn=1）=λE（ξn）- λE（ξn1（ξn>1））+λE（ψn）+Oen（ξ∧（1）-δ). （6.53）由（6.10）林上→∞N-1对数E（ξn1（ξn>1））≤ sup{x- Λ*ξ（x）；十、≥ 0}. （6.54）乘（H1），λ*ξ（x）=∞ 每x≥ 所以（6.54）中的s upremum等于-∞. 因此，对于任何给定的δ>0，E（ξn1（ξn>1））=Oen（ξ∧（1）-δ). （6.55）显然，|ψn |≤ eλξn1（ξn）≤ 1） 所以由（6.51），E（|ψn |）=Oen（ξ∧（1）-δ). 这与（6.53）和（6.55）一起意味着（6.11）。考虑一下（6.15）。设ε>0和α≥ 1 + ε. 根据引理6.1，存在constantsc=c（α）>0和y=y（α）>0，使得e（Kαn1（Kn≥ 2，ξn>y）≤ 总工程师ξ2αn1（ξn>y）≤ 总工程师ξ1+εn每n∈ N.它来自于（6.51）thatlim supn→∞N-1对数E（Kαn1（Kn≥ 2，ξn>y）≤ Λξ(1) - δ′（6.56）对于一些δ′>0，这与α无关。此外，E（Kαn1（Kn≥ 2，ξn≤ y） ）=Ee-λξn∞Xm=2（λξn）mm！mα1（ξn）≤ y） !！≤ Eξn∞Xm=2λmym-2米！mα<∞.从（6.51）和d（6.56）可以看出，对于小δ>0，对于每个α，（6.15）都成立≥ 1 + ε.估计（6.11）和（6.15）意味着（6.12）和（6.13）。因此，仍需证明（6.14）。设δ>0为小，c>0为大。

通过（6.52）和（6.13），P（Kn=1，Kj≥ 1点j≥ n+1）≤∞Xj=n+1hP（Kn=1，Kj=1，ξn≤ 1，ξj≤ 1） +cej（λξ（1）-δ） i+cen（λξ（1）-δ)=∞Xj=n+1P（Kn=1，Kj=1，ξn≤ 1，ξj≤ 1） +den（λξ（1）-δ） 其中d是一个独立于n的常数。我们通过S chwarz不等式和（6.51）得出结论，对于小δ>0，P（Kn=1，Kj=1，ξn≤ 1，ξj≤ 1） =EE-λξnλξne-λξjλξj1（ξn≤ 1） 1（ξj）≤ 1)≤ λEξn1（ξn）≤ 1)Eξj1（ξj）≤ 1)≤ λen（λξ（1）-δ） e（j）-n）（ξ∧（1）-δ） 每一个j≥ n+1表示大n。获得的估计值暗示（6.14）。引理6.4的证明。我们只证明了（6.16）的第一个不等式。很明显，|Y|≤∞Xn=1 | Yn2- 伊恩-1,2|. （6.57）假设α∈ (0, 1). 然后（x+y）α≤ xα+yα每x，y≥ 0.ThusE|\'Y|α≤∞Xn=1E（| Yn2）- 伊恩-1,2|α) .序列的项由（3.11）和（3.12）确定，存在δ>0，因此e（| Yn2- 伊恩-1,2|α) ≤ E-nδ（6.58）表示大n.因此E|\'Y|α< ∞. 现在让我们来看看≥ 1.根据Minkowski不等式，E|\'Y|αα≤∞Xn=1E（| Yn2）- 伊恩-1,2|α)α.右侧由（3.11）和d（6.58）确定，因此E|\'Y|α< ∞. 参考文献Asmusse n，S.和C.Kl–uppelberg（1996）。亚指数尾的大偏差结果，及其在保险风险中的应用。斯托克。过程。阿普尔。64, 103 –125.Daykin，C.D.，T.Pentik–ainen和M.Pesonen（1994年）。精算师实用风险理论。伦敦：查普曼与霍尔。Dembo，A.和O.Zeitouni（1998年）。大偏差技术和应用（第二版）。柏林：斯普林格-维拉格。Embrechts，P.，M.Maejima和J.Teugels（1985）。复合分布的渐近行为。Astin公告15，45-48。Glynn，P.W.和W.Whitt（1994年）。单服务队列中稳态概率的对数渐近性。J.阿普尔。问题。31A，131-156。戈尔迪，C.M.（1991年）。隐式更新理论和随机方程解的尾部。安。阿普尔。Probab。1, 126–166.格兰德尔，J.（1997）。混合泊松过程。查普曼与霍尔，伦敦。诺伯格，R.（1993）。

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