论保险破产理论中的真实增长与逃逸公司

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英文标题：
《On real growth and run-off companies in insurance ruin theory》
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作者：
Harri Nyrhinen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study solvency of insurers in a comprehensive model where various economic factors affect the capital developments of the companies. The main interest is in the impact of real growth to ruin probabilities. The volume of the business is allowed to increase or decrease. In the latter case, the study is focused on run-off companies. Our main results give sharp asymptotic estimates for infinite time ruin probabilities.
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中文摘要：
我们在一个综合模型中研究保险公司的偿付能力，其中各种经济因素影响公司的资本发展。主要关注的是实际增长对破产概率的影响。业务量允许增加或减少。在后一种情况下，这项研究的重点是流失的公司。我们的主要结果给出了无限时间破产概率的精确渐近估计。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_real_growth_and_run-off_companies_in_insurance_ruin_theory.pdf (280.11 KB)

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关键词：Applications Developments Differential Quantitative Probability

关于保险业的实际增长和运营公司破产理论赫尔辛基哈里-尼莱茵大学，2018年9月10日AMS 2000科目分类。初级91B30；中学60F10。关键词和短语。破产概率、实际增长、运营公司、复合分布、通货膨胀、投资、大偏差。我们在一个综合模型中研究保险公司的偿付能力，其中各种经济因素影响公司的资本发展。主要关注的是实际增长对破产概率的影响。允许业务量增加或减少。在后一种情况下，研究的重点是运营公司。我们的主要结果给出了有限时间破产概率的精确渐近估计。1简介{Un:n=0,1,2，…}是一个描述保险公司资本发展的实值随机过程。假设初始资本Ube是一个正常数u。破产时间T=tu由定义，T=（inf{n∈ NUn<0}∞ 如果联合国≥ 每n 0∈ N.（1.1）我们对破产概率P（T<∞ ) 在经典风险理论中，对于大型企业，资本发展是通过随机游走来描述的。增量模型模拟了公司的年度净收入，即预付款和索赔之间的差异。通常，过程{Un}会线性漂移到完整性。近年来，允许经济因素影响资本发展的模型受到了广泛关注。这类因素的例子包括对投资的影响和回报。一个关键特征是，它们会对资本过程造成乘数效应。现在人们普遍认为经济因素对破产概率有着至关重要的影响。实际增长是另一个经济因素，在Pentik¨ainen和Rantala（1982年）和Daykin等人（1994年）的未应用研究的保险背景下激发了这一因素。

这一特征以乘法的方式被建模为索赔数量的趋势。业务量的连续增长期可能很长。这种现象之所以出现在汽车保险中，仅仅是因为汽车的数量已经增加了很长一段时间。我们还将研究体积漂移到零的模型。我们心目中的主要应用是，偿付能力控制是建立在分拆基础上的。然后，假设新业务的撰写已停止，公司处于运营状态。公司仍需支付与已发生但尚未解决（甚至可能尚未解决）的索赔相关的赔偿。公司的这种责任是保险合同中的一个共同特点。最终付款的时间可能是几十年。在这种情况下，如果资本和投资收益加在一起不足以弥补损失，就会发生破产。Pentik–ainen等人（1989）在第1.2、3.1.4和5.1节中讨论了这些观点。在相关模型中，支付过程结构的详细数学描述可以在兰塔拉（1984）、鲁奥宁（1988）和诺伯格（1993）中找到。我们的目的是深入了解与案例相关的风险，因为业务量可能长期波动。为此，我们将重点放在允许容量永远增加或减少的模型上。这个特征应该被视为现实的近似。在保险破产理论中，对真实增长的研究并不多。在此背景下，我们在Nyrhinen（2010）中给出了有限时间破产概率的粗略估计。重点是增加销量。结果表明，实际增长是一个重要的风险因素。在本文中，我们的目的是通过推导单位概率的渐近形式来强化这一观点。

如果业务量降至零，则会出现新现象。事实证明，破产很可能是由一次索赔在晚些时候造成的。这可以被视为对运行风险的理论描述。早期相关研究中破产概率的渐近估计主要基于Goldie（1991）的结果。结论是P（T<∞) = （1+o（1））Cu-κ、 u→ ∞, （1.2）其中C和κ是常数。一个显著的特点是，关键参数κ由经济因素决定。Paulsen（2008）对破产理论的应用进行了综述。我们的模型并不完全符合这个框架，但我们最终将得到P（t<∞) 通过资本过程的适当近似。论文的其余部分组织如下。资本发展模式见第2节。主要结果见第3节。第4节和第5节通过示例对其进行了说明。第6.2节给出了证明。我们在本节中描述了我们模型的基本结构，并给出了技术条件，这些条件假设在本文中都是满足的。该模型将在很大程度上与Nyrhinen（2010）的模型相同。我们首先描述模型的主要变量和参数。与第n年相关的索赔数量，writen=截至第n年的累计索赔数量，Kn=Nn- Nn-1，第n年的索赔数量，λ=索赔数量平均值的基本水平，ξn=描述索赔数量变化的混合变量。我们假设有条件地，给定ξ，ξn，变量K，k=1，…，且k具有参数λξk的泊松分布，n、 业务量的漂移将作为混合变量的一部分进行建模。

详情将在后续章节中开始。索赔总额LetXn=第n年的索赔总额，Zj=无通货膨胀经济体中第j次索赔的规模，mZ=无通货膨胀经济体中索赔规模的平均值，in=第n年的通货膨胀率。我们考虑其中xn=（1+i）·（1+in）NnXj=Nn的模型-1+1Zj。（2.1）n年保费，writePn=保费收入。PNP的结构将在后续章节中详细说明。接下来我们将描述资本在时间上的发展。LetUn=n年末的资本，rn=n年末的投资回报率。让U=U>0为公司的确定初始资本。我们定义=（1+rn）（联合国）-1+Pn- Xn）。（2.2）本过渡规则适用于保费和索赔均在年初支付的情况。定义=（1+rn）（Un）也是很自然的-1+Pn）- Xn。（2.3）然后在年初支付保费，年底支付索赔。其真实性可能介于（2.2）和（2.3）之间。我们将在后半部分中假设（2.2），但分析（2.3）应该没有太大区别。技术规格和假设我们通过指定模型的依赖结构和其他技术特征来结束描述。以下所有随机变量均假定定义在固定概率空间上(Ohm, F、 P）。首先，我们对自由流动经济中的总索赔额进行详细的数学描述。对于n年，用Vn表示该数量，即Vn=NnXj=Nn-1+1Zj。（2.4）N-和K-变量的分布取决于ξ-变量。我们假设λ>0且P（ξn>0）=1对于每n∈ N.用Fn表示向量（ξ，…，ξN）的联合分布函数。我们假设每h，嗯∈ N∪ {0}对于每个Borel setC Rn，P（K=h，…，Kn=hn，（ξ，…）。

，ξn）∈ C） （2.5）=Z（y，…，yn）∈CnYk=1e-λyk（λyk）hkk！dFn（y，…，yn）。索赔金额为Z，Z，Z。我们还假设它们在各个方面独立于索赔数量。设fzb为Z的分布函数，设Fh*Zbe是FZ的卷积幂。我们假设每h，嗯∈ N∪{0}和v，越南∈ R、 对于每一个Borel集合C Rn，P（V）≤ 五、越南≤ vn，K=h，Kn=hn，（ξ，…，ξn）∈ C） （2.6）=P（K=h，…，Kn=hn，（ξ，…，ξn）∈ C） nYk=1Fhk*Z（vk）。有关混合泊松分布的更多信息，请参阅Grandell（1997）。现在考虑模型的其他部分。关于通货膨胀和投资回报，我们采用（i，r），（i，r），（i，r）。是随机向量的i.i.d.序列，这些向量被假定为独立于ξ、K和Z变量。对于Z，i和r的支持，我们假设P（Z>0）=1，P（i>-1） =1和P（r>-1） =1.3主要结果让模型如第2节所述，并让ru in T的时间如（1.1）所示。考虑过程{Un}的折扣版本是很方便的。n的WriteA=1+i1+rand An=1+in1+rn（3.1）∈ N、 letBn=Vn-Pn（1+i）·（1+in）（3.2），其中Vn如（2.4）所示。进一步写入yn=nXk=1A··Ak-1（1+ik）Bk.（3.3）通过将unb除以（1+r）··（1+rn），可以看出破产时间可以表示为asT=（inf{n）∈ NYn>u}∞ 如果你是艾琳≤ u代表每n∈ N.（3.4）破产概率也可以通过Y:=sup{Yn；N=1，2，…}来定义。（3.5）即P（T<∞) = 3.1背景结果我们在本节中介绍了我们研究中需要的普遍感兴趣的数学工具。符号=L表示概率定律相等，符号a+a的正部分∈ 定理3.1设（M，Q）为二维随机向量。

假设P（M）≥ 对于一些0<k<a，E（Mκ）=1和E（Mα），E（|Q |α）<∞.进一步假设logm的条件定律，给定m6=0，是非算术的。然后存在一个随机变量R，它满足随机方程R=LQ+M max（0，R），R独立于（M，Q）。（3.6）此外，如果R满足（3.6）的要求→∞uκP（R>u）=C（3.7），其中C=E（（Q+M max（0，R））+）κ- （（MR）+κ）κm（3.8）和m=E（mκlog m）。结果的证明可以在Goldie（1991）定理6.2中找到。定理3.1直接应用于破产理论，例如，在尼莱宁（2001年）。在目前的模型中，我们还需要以下近似s模式。引理3.1设{Yn}，{Yn1}和{Yn2}为随机过程，使得Yn=Yn1+Yn2，n=1，2。（3.9）写Y=sup{Yn；n∈ N} 和`Y=sup{Yn1；N∈ N} ，（3.10）然后让Y≡ 0.假设存在κ∈ (0, ∞), α ∈ (κ, ∞) 和δ∈ (0, 1 -κα）这种酸（|Yn2）- 伊恩-1,2|α) < ∞, n=1，2，（3.11）林上→∞N-1日志E（| Yn2）-伊恩-1,2 |α）<0，（3.12）lim infu→∞（日志u）-1日志P（\'Y>u）≥ -κ（3.13）和PY>u（1+u）-δ)= （1+o（1））P（\'Y>u），u→ ∞. （3.14）然后P（\'Y>u）=（1+o（1））P（\'Y>u），u→ ∞. （3.15）在我们的模型中应用引理的一种可能方法是取{Yn}={Yn}，并找出可测量的过程{Yn1}，这样定理3.1就可以得出Limu→∞uκP（`Y>u）=C（3.16），对于某些κ>0和C>0。然后（3.13）和（3.14）自动满足。如果（3.11）和（3.12）也成立，则我们获得了破产概率的估计值。最后的结果给出了与化合物d分布相关的尾的d描述。L etη，η，η。是i.i.d随机变量，让V≡ 0和Vn=η+·η+n∈ N.用∧η表示生成η函数的累积量，即∧η（α）=α的对数E（Eαη）∈ R.设W和N是独立的随机变量，也独立于η-变量。假设P（N∈ N∪ {0}) = 1.

回想一下函数f：（0，∞) → (0, ∞ ) 如果存在γ，则会有规律的变化∈ R使得每x>0，limt→∞f（tx）f（t）=xγ。（3.17）引理3.2假设η的分布是非算术的，并且→∞N-1对数P（N=N）=-ν（3.18）式中∈ (0, ∞). 进一步假设存在r∈ (0, ∞) 使得∧η（r）=Γ，并且∧η（α）和E（EαW）对于某些α>r.Thenlimu是有限的→∞U-1对数P（VN+W>u）=-r、 （3.19）此外，∧′η（r）>0，如果u=1/λ′η（r），那么对于每个ε>0，存在ε′>0，使得p（N/u∈ [u - ε、 u+ε]|VN+W>u）=1+O（e-ε′u），u→ ∞. （3.20）如果另外，P（N=N）=（1+o（1））f（N）e-nü，n→ ∞, （3.21）其中f是规则变化的，那么p（VN+W>u）=（1+o（1））E（erW）urf（uu）E-如，u→ ∞. （3.22）最后一次估算（3.22）与Embr echts等人（1985）和d Teugels（1985）密切相关。主要区别在于我们允许η变量为负值。3.2在业务量有增加趋势的情况下，我们在本节给出破产概率的估计。我们从模型的一些更详细的规格开始。重新调用第2节中对权利要求编号的描述。与n年相关，writegn=实际增长率，qn=描述索赔数量短期变化的结构变量。我们取ξn=（1+g）·（1+gn）qn，n∈ N.（3.23）假设（g，q），（g，q），（g，q）。是独立于模型其他变量的随机向量的i.i.d.序列。假设g和q是独立的，且P（g=0）<1，P（g>-1） =1，P（q>0）=1，E（q）=1。（3.24）高级Pn的形式应为Pn=（1+s）λmZ（1+g）·（1+gn）（1+i）·（1+in）（3.25），其中s>0是安全荷载系数。那么Ynof（3.3）的形式是YN=nXk=1A··Ak-1（1+ik）[Vk- （1+s）λmZ（1+g）··（1+gk）]。（3.26）Dayk等人提出了上述结构。

(1994).定义函数∧A，g，R→ R∪{∞} 通过∧A（α）=对数E（Aα），（3.27）∧g（α）=对数E（（1+g）α），（3.28）∧A（α）=对数A（α）+对数g（α）。（3.29）观察∧A，∧和∧是累积量生成的f函数，因此它们是凸的。确定参数randβbyr=sup{α≥ 0; Λ(α) ≤ 0}. （3.30）和β=sup{α∈ R∧（α），E（（1+i）α），E（Zα），E（qα）<∞} ∈ [0, ∞]. （3.31）WriteD=A（1+g）和Dn=An（1+gn）。（3.32）定理3.2假设模型如上所述。假设E（log（1+g））≥ 0和β>0和r∈ (0, β). 进一步假设E（Zα）<∞ 对于某些α>1且logd的分布有一个非平凡的绝对连续分量。LetQ=（1+i）（1+g）λmZ（q- （1+s）和M=D.（3.33），则（Q，M）满足定理3.1的条件，κ=r。如果r满足（3.6），且ifC是（3.8）的常数，则→∞urP（T<∞) = C.（3.34）此外，C是严格正的当且仅当P（q>1+s）>0。在定理3.2的证明中，我们采用L emma 3.1，取Yn=YnandYn1=nXk=1D··Dk-1（1+ik）（1+gk）λmZ（qk）- （1+s））。（3.35）事实上，我们证明P（T<∞) = （1+o（1））P（\'Y>u）作为u→ ∞ 其中“i”如（3.10）所示。实际增长和通货膨胀在（3.35）中同样出现，因此它们对破坏公共设施的影响是相似的。然而，由非退化真实增长引起的一个特征是，索赔的大小为Z，Z。仅对Yn1作出贡献，并通过平均mZ进行估计（3.34）。索赔数字通过结构变量q产生更大的影响。即使是（3.34）d中C的正性也依赖于q.3.3的支持。在本节中，我们考虑的是通过允许业务量漂移到零来降低经营性公司的破产概率。模型的结构将如第2节所示，但我们现在通过每n取Pn=0，将保费从考虑因素中剔除。其解释是，0年后不会签订新的保险合同。

我们假设该公司有过去的债务，因此它必须支付与已发生但尚未解决的索赔相关的赔偿。在这种情况下，很自然地将KNA解释为付款数量或n年报告的索赔数量。我们在第4节中详细讨论了后一种情况。我们降低了保费，因此变量Ynof（3.3）为非负且为“Y”=∞Xn=1A··An-1（1+英寸）Vna。s、 （3.36）从应用的角度来看，第3.2节的ξ-变量模型过于简单。为了得到合适的推广，定义函数∧ξ：R→ R∪ {±∞} 通过∧ξ（α）=lim supn→∞N-1log E（ξαn）。（3.37）那么∧ξ是凸的。我们将在以下假设下工作（H1）- （H2）。（H1）limα→0+ξ（α）=0和limα→∞Λξ(α) = -∞.（H2）对于α=1，（3.37）作为极限。以下结果给出了与索赔数量有关的基本事实。但是更多的技术描述在第6节的引理6.3中给出。命题3.1让模型如上所述。假设（H1）- （H2）满足。然后作为n→ ∞,P（Kn=1）=（1+o（1））λE（ξn），（3.38）P（Kn）≥ 2） =o（1）P（Kn=1），（3.39）和limn→∞N-1对数P（Kn=1）=∧ξ（1），（3.40）limn→∞N-1log P（ξn）≥ 1) = -∞. （3.41）命题的描述说明了假设（H1）- （H2）。λξ（1）的首次观测∈ (-∞, 0）通过（H1）。通过（3.39）和（3.40），概率P（Kn≥ 1） 趋于零。这是运营公司的自然要求。极限（3.41）意味着随机泊松参数λξnHa强烈倾向于低于基本水平λ。极限（3.40）也表明P（Kn≥ 1） 这一特征具有更高的理论性，但它可以被视为在长延迟情况下的现实近似。