在单一工具内模拟市场效率低下

x上的变化将给出x应该满足的方程，以最大化ln L，这就是xineuclide时间的运动方程：-2σ¨X-2σk˙X+k（X-十） +σ/2+ 2ρσσ-k（a）-σ/2）+¨X+k˙X= 0; （20） 收集条款，我们得到-σkσ¨X=X+k（1-ρσ）˙X-ρσkσ¨X+σ2k+ρσkσ（a-σ) ≡ g（t）。（21）右侧是已知的时间函数。让我们表示为g（t），那么最可能的X（t）应该是X（t）=kσ2σZ∞-∞dtg（t）exp-kσ∑t- t|. （22）我们可以对X的解有一些直觉。首先，σ/kσ定义了一个时间尺度，我们可以从X中恢复X。它与k成反比，因为-1是X响应X的特征时间尺度。σs存在，因为它们告诉我们价格有多“嘈杂”；例如，如果σ很小，那么我们知道xis不会受到太大的影响，因此我们可以尝试更长时间的平均值，以获得更准确的估计。如果σ很小，那么X携带的噪声就更少，因此在较小的时间尺度上进行平均是有意义的，以便更及时地反映X的变化。到目前为止，我们忽略了一件重要的事情。注意，内核σ2σexp-kσ∑t- t|即使在t>t时也非零；也就是说，对X的估计从之前和之后的价格中得到贡献。在物理学术语中，我们使用格林函数的费曼公式。这自然发生在最大似然估计中，因为当前的合理价格是从过去的合理价格逐渐演变而来的（因此它会受到以前价格的影响），并影响未来价格（因此我们需要从未来价格中得出推论来进行估计）此外，从数学上讲，这是唯一的收敛格林函数。

具体地说，如果我们把这个问题看作一个初值问题（换句话说，如果我们在寻找一个延迟格林函数），一般g（t）的解总是跑到±∞, 由于X和X之间的符号相同，因此时间序列中间Xin的最大似然估计不适合用于理解X的动力学，因为它已经包含来自未来的信息。相反，我们感兴趣的是类似于最大似然估计的东西，而不知道之后的价格。在我们的公式中，我们可以考虑的是时间序列末尾的Xat估计。不幸的是，特殊的解决方案（公式22）不适合这项任务，因为我们还没有规定它在时间序列结束时应该满足什么样的边界条件。Xis的通解形式如下：X=kσ2σZTdtg（t）exp-kσ∑t- t|+ 经验(-kσt）+b exp（kσt- 其中a和b是由边界条件确定的常数。a可以被认为是关于时间序列开始时的一些先验知识；为了我们的目的，只要（kσ/σ）T 1.它不影响X（T）。问题是b。为了确定b，我们应该在时间序列的末尾采用什么边界条件？事实证明答案很简单。当我们通过变分来最大化对数似然时，我们通过部分积分来改变与δX成比例的项。这会产生一个总导数，我们在推导整体运动方程时已经放弃了它。这个总导数将决定X（t）的解需要遵循的边界条件，如下所示：在变化中，我们有δln L=ZTdtLXδX+L˙Xδ˙X=ZTdtL十、-滴滴涕L˙XδX+L˙XδX|T（24）这里我们借用拉格朗日符号L≡σX+σ十、-2ρσσ十、十、/2σσ(1-ρ） 表示对数似然函数中的被积函数。

除了与运动方程成比例的体项外，我们还有一个可以积分到边界的总导数δln L（边界）=L˙XδX|T=-δX（1）- ρ)σ˙X- （a）- σ/2) -ρσσ˙X+k（X- 十） +σ/2|T.（25）设为零，我们可以得到一个关于Xto˙X:˙X（T）的边界方程- （a）- σ/2) -ρσσ˙X（T）+k（X（T）- X（T））+σ/2= 这是我们正在寻找的边界条件。有一个巧妙的技巧可以找到X（t）的解。首先，我们将时间范围扩展到2T和负（t）- T=g（2T）- t） )；T<T<2T。（27）也就是说，在额外范围内，g（t）是原始g（t）的镜像。需要注意的是，X（t）的诱导定义通常在t=t周围是不对称的。现在我们写下我们的解asX=kσ2σZ2Tdtg（t）exp-kσ∑t- t|+ bexp（kσ∑（t）- T））。（28）这只是重写相同通解的一种方法，因为我们可以看到，如果我们在T<T<2T的范围内积分，对于0<T<T，我们得到等式23，其中b=b+kσ2σZTdtg（T）exp-kσ（T）- （t）. （29）由于等式28中的第一项是t下的偶数函数→ 2T- t、 att=t，其时间导数消失。现在我们可以写出Xand˙XasX（T）=kσ∑ZTdtg（T）exp-kσ（T）- （t）+ B≡\'X+b；（30）˙X（T）=kσb。（31）插入式26，我们得到b=σkσ（1+ρ）A.- σ/2+ρσ（˙X+k（X-\'X）+σ/2）. （32）答案很复杂，但在时间序列的末尾却很简单。事实上，一个令人惊讶的特征是X（T）实际上独立于ρ。为了了解这一点，让我们考虑一下X（T）需要遵循的微分方程（也就是说，当我们逐渐积累更多数据并延长时间序列时，当前时间序列末尾最可能的X（T）是如何变化的。）首先请注意，“Xis”是唯一出现在X（T）中的积分，它满足“X（T）+σkσd”X（T）dT=g（T）。

（33）剩余部分x（T）-\'X（T）1+ρ=σkσ（1+ρ）A.- σ/2+ρσσ（˙X+kX+σ/2）≡ C（T）（34）仅取决于T处的本地信息。插入X（T）=（1+ρ）（X（T）-C（T））到等式33，我们得到X（T）+σkσ˙X（T）=1+ρg（T）+C+σkσ˙C（35）。结合右侧，我们发现ρ依赖性完全抵消，等式变成X（T）+σkσ˙X（T）=σkσ（a）- σ/2）+σ2k+X（T）+k˙X（T）≡ h（T）。（36）我们也可以显式地写出解asX（T）=kσ∑ZTdth（T）exp-kσ（T）- （t）. （37）推导同一事物的另一种方法是，将公式30中的ρ与g（t）中的ρ成比例的所有项进行部分积分。通过显式计算，可以看到所有ρ依赖项。这是什么意思？天真地说，这听起来很矛盾。Xbe的估计如何独立于ρ，ρ是X的函数和观测到的X之间的相关性？这是因为这个方程严格地描述了时间序列末尾的Xat估计。一旦有了新的数据，就需要更新当时的最佳估计。更新后的估计值将依赖于ρ。换句话说，对于给定的时间序列，对于不同的ρ，X（t）的估计值将不同，但它们都将在同一点结束。有趣的是，这必然意味着，如果我们只观察X（t），我们永远无法从数据中知道真实的ρ。这是因为X（t）的演化只取决于X和X之间的差异。当我们对Xis的估计与ρ无关时，它意味着对于任何ρ，观察数据X（t）的可能性是相同的。3.2原木价格的预测动态我们现在研究预期X（T）如何影响X。

对与˙X成正比的部分进行积分，我们可以写出X（T）=（1）-σ∑）kσ∑ztdexp-kσ（T）-（t）X（t）+σX（t）+σkσ（a）-σ/2）+σ2k。（38）换句话说，X（T）是过去价格的指数移动平均值（EMA）和当前价格之间的加权平均值，其变动与合理价格的风险溢价成比例。我们还可以写出XasuX=k（X）的预测漂移- 十）- σ/2=k（1）-σ（EMA）- 十） +σσ（a）- σ/2). （39）这是本文的中心结果。我们现在可以很容易地看到模型的预测。首先，组合（kσ/σ）定义了平均值的范围；当σ>σ时，模型是趋势跟踪的，当σ<σ时，模型是均值反转的。当σ=σ时，X总是与X相差一个常数，该模型相当于一个纯几何布朗过程（即实际价格是合理价格）它具有直观的意义，因为当σ很大时，意味着市场价格在很多时候都在追赶，所以当趋势开始时，人们可以预期这只是一个大趋势的开始。当σ较大时，市场价格在短期内自由波动，但在长期内必须回归到合理价格。因此，对于一组固定的参数，该模型具有局限性。它总是趋势跟随或均值反转，不足以灵活地动态生成具有不同特征的架构。尽管如此，该模型的优点是将趋势跟踪或均值反转的对比行为与市场价格和合理价格的波动率联系起来。有趣的是，在这个模型中，当我们允许σ和σ随时间缓慢变化时，异方差性自然会导致趋势跟踪和均值反转。在等式39中，我们实际上只得到了风险溢价uX的平均值。

由于X（T）仍然是一个未观察到的随机变量，它有一个方差，并将导致uX的方差。幸运的是，在连续统极限下，uX的方差不会在X的演化中发挥作用。这是因为每次观察到步骤X时，都没有方差。当dX=uXdt+σdz时，（40）X（即对数回归）的变化方差为Var（dX）=Var（uX）dt+σdt。（41）只要uXis fine（在该模型中）的方差为dt→ 0，与dz的贡献相比，它的贡献微不足道。因此，如果模型假设是有效的（即σ、σ、k和a在时间上确实是常数，而dz和dz都是白噪声），那么投资该工具的最佳策略将是在任何给定时间保持与uX（t）/σ成比例的金额。在本节结束时，我们还注意到，该模型因此给出了技术分析中“布林带”概念的理论解释[10]。根据我们的理论，当价格到达波带边缘时，一个人是否应该买入或卖出，取决于这两个波动率的比率。3.3拟合模型参数在机器学习中，对于具有隐藏变量的模型，通常使用期望最大化技术[11]或维特比算法[12]。然而，在我们的例子中，由于模型是可积的，所以只需将模型参数的最大似然估计值进行积分就更为简单。事实上，由于模型是高斯的，积分出Pis与插入我们在似然函数中发现的最可能值（这实际上是连续体中的维特比算法）相同。然而，我们不会直接使用公式28。对数似然函数在傅里叶空间中可以更容易地对角化，它几乎成为所有不同频率的总和，这不仅仅是因为价格运动不是周期性的。

我们将X和xin分解为周期函数和[0，T]中的常数漂移。需要漂移，因为对数似然中的导数项在转换为傅里叶空间时，包括初始值和最终值差异的贡献。如果我们只使用周期性成分（原则上可以忠实地表示[0，T]中的任何函数），那么实际上，我们说的是，在时间序列结束之前，从最终值到初始值有很大的变化。在正确的模型中，这种变化极不可能发生；不包括一个常数的移位将因此扭曲我们的fit。首先，为了稍微简化方程，我们将变量改为X=X+σt/2和X=X+σt/2。然后我们用ωn=2πmT写ex=vt+XnX0neiωnt（42）X=vt+XnXneiωnt（43）；M∈ Z（44）我们就有了X=（v）- b） T+TXnωn | X0n |（45）式中b≡ A.- σ/2 + σ/2.这对我来说有点混乱桑德十、它包含常数漂移和所有傅里叶分量之间的交叉项。我们将在下面的计算中保留这些项，但我们将看到，当我们正在分析的序列被模型合理地描述时，它们将很小。我们有十、~ZTdtv+k（v- v） t+k（X）- 十）+ 2k（v）- v） TXn6=0Xn+kiωn（Xn- X0n）+ TXn>02ωn | Xn |+2k | Xn- X0n|- 2iωnk（XnX）*0n- c、 c.）; （46）ZTdt十、十、~ZTdt（v- b）v+k（v- v） t+k（X）- 十）+ k（v）- v） TXn6=0X0n+TXn>0ωn（X0nX）*n+c.c）+iωnk（X0nX）*N- c、 c.）. （47）首先，我们来看与零频率变量耦合的项。积分outv，X和b，我们得到（lnl）∝6（σ（Pn6=0k/ωn（Xn- X0n）+Pn6=0Xn）- σρPn6=0X0n）σσ（1）- ρ） T.（48）将该项与剩余的有限频率项（与T成比例）进行比较，我们发现，当T较大时，它通常非常小。

具体来说，分子中的后两项可以忽略不计，只要成分不与T成比例。只要序列中的漂移不随时间发生显著变化，这将保持不变。（如果确实如此，比如如果我们研究一只股票在2008年金融危机期间的时间序列，使用这个模型本身并不是一个好方法。）当我们看下面X0nin的有限频率解时，我们会看到（Xn-X0n）与ωn成正比；这意味着在相同条件下，第一项也很小。上述论点表明，与所有的有限频率项相比，等式48很小。然而，它并没有说明这个术语的绝对值是否小于一。在最大似然估计中，估计参数的标准偏差通常被视为对数概率下降的范围。因此，有必要保持指数级的1阶项，即使它们与其他项相比很小。然而，这个论点并不简单，当我们对所有可能的X进行积分时，标准化的变化将远小于取对数时的变化。因此，在计算归一化时，可以安全地忽略等式48。当我们回到积分b之前的一步，如果忽略耦合到有限频率的项，我们得到（ln L）∝ -（b）- v） T2σ（49）这意味着我们对b的最大似然估计为b=v，标准偏差为（σ）/√T）。我们忽略的术语会导致系统误差，其标度为（1/T），这比T大时的标准偏差小得多。现在我们转向对数似然函数的有限频率部分。首先让我们看看等式48中的术语。它是所有频率的直接和。最大化关于X0n，我们发现它满足（σωn+σk）X0n=σk+iωnk（σ- ρσ）+ρσωnXn。

（50）注意，它同意等式22，这是它应该同意的。也可以看到（X0n- Xn）很小，并且与ω成比例，只要k是有限的。现在，集成outX0n，我们得到∝ 经验-T | Xn |（ωn+k）ωnσωn+σk; （51）ρ依赖完全被抵消了！还请注意，如果σ=σ，则kdependence消失，似然函数与标准偏差σ的纯随机游程相同。为了得到全似然函数，只需要通过积分出Xn来计算前面的归一化常数。当不同频率之间没有相互作用时，这很简单：logl=XnlogT（ωn+k）ωn2π（σωn+σk）+T | Xn |（ωn+k）ωnσωn+σk. （52）现在我们包括等式48的结果。对数可能性不再是所有频率的直接和；实际上，X0nnow是所有Xn的函数。我们仍然可以数值求解x0n，并将其插入指数形式。然而，当时间序列很长时（由于有必要计算T×T矩阵的对数行列式），使用公式48计算精确的归一化是非常昂贵的，我们将利用上述参数，并使用公式52中的原始归一化进行近似。用数值方法计算对数似然，并将其最大化，与参数σ、σ、k、a和ρ有关。在本节中，我们由此“解决”了模型：给定模型参数和观察到的市场价格，我们可以找到过去理论价格的最佳估计，这取决于时间前后的市场价格，以及最新的理论价格，这只能取决于之前的市场价格。我们发现，价格之间的相关性不会影响对最新理论价格的估计，因此也不会影响对未来市场价格的预测。

根据观察到的市场价格，我们还可以推断模型参数σ、σ、k和a.4的最可能值。在本节中，首先，我们将模型的解析解应用于模型生成的时间序列，以验证模型的解析解。然后我们看看真实世界的数据，看看这个模型是如何应用的。4.1解析解的验证首先，我们使用带有一些参数的模型生成时间序列，然后根据公式28和公式37确定X和X（T）。由于我们的时间序列是离散的，所以会有轻微的并发症；格林函数的归一化和指数之间存在微小差异，需要指定右侧导数的精确位置。可以通过根据离散变量及其差异明确编写模型来推导正确的离散公式。在这里我们只是顺便提一下，这两种推导之间有一个有趣的区别，就是它不需要通过部分积分来在离散时间内进行“变化”。价格的导数变成了连续价格之间的差异，可以很容易地与两个价格进行区分。等式26不是整合到边界上的一个总导数，而是直接来自与边界上的价格的差异。最后，当kT 1.在图1中，我们绘制了随机生成的原木价格，带有σ√t=0.5，σ√t=1，kt=0.2，at=0.125，ρ=0。在情节中我们选择了时间单位t=1。从现在起我们将使用这个装置。正如我们所看到的，蓝线没有向红线移动的趋势。在这个参数范围内，红线的波动比蓝线小，价格是均值回归。