在单一工具内模拟市场效率低下

请注意，我们无法真正恢复实际的合理价格，但最可能的合理价格X（ρ=0）至少会接近最后一个价格。在图2中，我们绘制了Xat差ρ的几个最大似然估计。我们可以看到，在序列的末尾，它们都收敛到大致相同的值（实际上在离散时间中存在一些弱的ρ依赖性）图1：随机生成的市场价格X，模型参数σ=0.5，σ=1，k=0.2，a=0.125，ρ=0。Xin深绿色是由-σ/2k，因此市场价格预计会跟随它。如果我们只知道当时的价格，红色的X（T）是由相同金额设定的最可能的合理价格；X（ρ=0）是知道整个时间序列的最可能的合理价格，也是由-σ/2k。现在我们开始拟合模型参数。我们将比较两个函数，一个包含等式48，另一个不包含。首先，我们使用参数集（σ，σ，k，a，ρ）=（0.05,0.1,0.2,0.002,0.5），从模型中随机生成20个独立的时间序列，每个时间序列有500个时间步。然后，我们找出任一模型参数的最大似然估计，并将其平均值和标准偏差记录在以下两个表格中：在表格中，“ave”表示20次运行的参数估计的平均值。“std1”是20次运行的样本标准偏差，“std2”是χ分析中标准偏差估计值的样本平均值，其中对数最大似然下降1/2。第一个表来自MLE分析，其中我们包括Eq的贡献。

48，而第二张表平均std1 std2σ0.0457 0.0144 0.005σ0.0965 0.0079 0.0019k 0.1919 0.0864 0.0158a 0.0016 0.0027 0.0022ρ0.2827 0.4967 0.0238平均std1 std2σ0.0434 0.0103 0.0041σ0.0967 0.0046 0.0039k 0.1879 0.0569 0.0122a 0.0015 0.0026 0.0022ρ0.0241 0.0319 0.02721：最大似然估计结果表1。左边的估计值考虑了等式48，而右边的估计值不考虑。图2：基本合理价格X和ρ的一些最大似然估计。每个序列的移位量相同-σ/2k。从我们忽视它开始。总的来说，除了ρ的估计之外，我们发现这两种分析给出了非常接近的结果。排除等式48，所有运行都错误地倾向于ρ=0，从平均值和零的差异以及两个标准偏差的微小程度可以看出。包括它给出了ρ更不稳定的行为；估计器似乎更喜欢每次运行的任意ρ差，如大std1和小std2所示。在任何情况下，我们在连续体中得出的结论似乎是，ρ不影响X的动态，这是一个合理的近似值，因为在这两种情况下，ρ的估计值远离模型中的设定值，但其他参数的估计是正确的。总的来说，从平均值来看，包括等式48的贡献确实略微改善了fit。然而，与此同时，它的估计也更不稳定，如std1所示。尽管如此，两种方法的最大似然估计仍然以同样的方式存在偏差，并且低估了两个σs。在下一小节中，我们将设置ρ=0，并使用不带等式48的最大似然估计来提取模型参数。

我们将报告这两个最大似然估计是否返回了显著不同的模型参数。4.2标准普尔500指数的应用下面是过去10年标准普尔500指数的曲线图：由于2008年左右的金融危机，用统一的波动率σ、σ和风险溢价a来定义批发商不是一个很好的主意。让我们从2009年6月开始，在2009年6月市场有所恢复，直到最近的崩盘之前。数据从https://research.stlouisfed.org/fred2/series/SP500/downloaddataFigure3:2005年8月24日至2015年8月25日标准普尔500指数。使用最大似然估计程序，可以得到以下最佳参数（σ，σ，k，a）=（0.0066,0.0094,0.0965,0.0006）。如果我们使用Akaike信息准则（AIC）对几何布朗势进行比较，那么它是对几何布朗势的改进：δAIC=δ（2k）- 2 ln L=4- 15.73 = -11.73. （53）在方程中，k=2是两个模型中拟合参数的差异，我们计算了它们的对数似然。（我们的模型中的参数（σ，σ，0，a）给出了带有参数（σ，a）的几何布朗运动dX/X=adt+σdz。）我们还可以通过将预测的风险溢价与实际的对数回报率（ri）进行回归，来检查模型是否有效≡ （nπ+1）- ln（圆周率）~ uXi。（54）我们得到估计系数：估计SE tStat pValue（截距）-0.00014227 0.00034876-0.40794 0.68337x1 1.2212 0.43898 2.7818 0.0054706观测值数量：1560，误差自由度：1558均方根误差：0.00972R平方：0.00494，调整后的R平方0.0043F-统计与常数模型：7.74，p值=0.00547这将与我们从模型dx=uXdt+σdz（55）得出的理论预测进行比较，从而截距为零，斜率x1=1，R=Var（uX）/（Var（uX）+σ）=0.0036。

（注意，uXis的样本方差不同于我们在第3.2节中讨论的未观察到的随机变量X（T）的方差。）我们在图4a中绘制了预期风险溢价uxa随时间的函数。图4：（a）预测的风险溢价uxa是时间的函数。y轴以平均风险溢价a（b）累积收益曲线为单位。绿色曲线代表恒量（因此与图3中的曲线相同），蓝色曲线代表与预测风险溢价成比例的金额。将持有金额标准化，使收益的标准偏差与原始收益相同。如果模型假设是正确的，最佳投资策略是将金额与风险溢价成比例。然而，这样做会产生图4b中所示的收益曲线：标准偏差归一化为相同，我们发现与理论预测不同，夏普比应该增加一个系数[ux/a]~√2.它实际上减少了10%。鉴于预测的风险溢价确实能在模型规定范围内预测收益，这种投资策略之所以有效，原因如下。首先，从曲线可以明显看出，剩余收益的波动性不是一个常数。即使根据我们的模型预测的风险溢价最终在某种程度上是准确的，在策略中，现在需要用时变标准差来划分持有量。其次，我们可以检查剩余收益是否与模型中的假设不完全独立。有了这种相关性，持有量需要乘以相关矩阵的倒数。当同构性和独立性条件满足时，该策略的性能将更令人满意。

事实上，如果我们关注从2012年到2015年的下半年，该策略的整体夏普比率为75.9，而持有固定金额的夏普比率为62.1。在本节的结尾，我们将考虑从2005年开始使用该策略。累积收益如图5所示。背后没有任何理论基础，但即使在市场崩溃期间，该策略似乎也很有效！图5：从2005年到现在的累计回报率，使用该策略。绿色曲线保持不变。同样，两条曲线被缩放，以使返回具有相同的样本标准差。5讨论在本文中，我们提出了一个模型，使得在具有合理风险溢价的几何布朗运动之后存在一个不可观测的合理价格，并且市场价格试图跟随它。我们的主要结果是，如果市场价格的标准差小于合理价格的标准差，那么市场价格将是趋势跟踪的，反之，则意味着反转。我们还开发了theMLE，以根据给定的时间序列估计模型参数。我们已经证明，从2009年到现在，与纯几何布朗运动相比，该模型可以更好地描述S&P500指数，并且它处于均值反转状态。关于连续时间和离散时间公式之间的差异，有几个技术问题，我故意在上面不提。对我们的结果至关重要的一个问题是ρ是否真的不可测量且没有任何意义。在连续体中当然是这样，但从我的数值结果来看，它在离散时间中似乎并不完全正确。

极大似然估计结果都倾向于某些ρ，但偏好似乎与时间序列生成时的值集无关。最可能的解释是，当我们忽略等式48的部分或全部，或者忽略其对整体标准化的贡献时，这种偏好是我们所做的近似的结果。如果每件事都做得很准确，那么ρ的偏好应该仍然存在，但是偏好不应该随着时间序列的长度而变化。然后是离散时间序列如何逼近连续时间的问题。答案是，它完全取决于离散公式中参数k的值。如果我们将离散时间序列视为连续时间的近似值，那么在连续时间公式中，参数k是kdt。因此，本文的分析结果只有在k 1.一个值得注意的例子是，除了等式39给出的平均值外，当k不小时，还需要考虑ux的方差。当我们考虑使用预测风险溢价预测样本内收益时，会出现一个问题。问题是，我们的MLE程序是否将这种预测的误差最小化，从而选择产生预测收益最小误差的模型参数？从第3.3节的计算来看，这一点并不明显，尤其是因为似然函数包含两个误差，一个来自X，一个来自X。XDO上的集成并不能消除十、 插入X（t）in的最大可能值X没有给出正确的预测误差，因为X（t）通常不同于X（t），这是我们在计算风险溢价时插入的。然而，我们对这个问题的猜测是，在连续统极限下，极大似然估计确实使预测收益的误差最小化。

这源于一个事实，即尿失禁X的演化由等式40给出，我们可以在其中替换uXbyits的平均值。这必然意味着原始模型的似然函数在x上的积分应与根据等式40计算的似然函数相同，即成比例的exp（Rdt/2σ).当序列的离散性变得明显时，在等式40中X（T）的随机性就不能忽略。预测收益的误差由两部分组成：第一部分是已实现收益与X（T）之间的差异，第二部分是X（T）的平均值与实际实现之间的差异。这两部分用不同的系数进行了优化，目前尚不清楚这种优化会导致它们的平方和最小化。一个有趣的观察结果是，在离散形式下，模型可以重新排列，看起来非常类似于ARMA（2,1）模型，其参数之间有一些固定的关系；一个很大的区别仍然是模型中有两个随机源，我们不确定它是否能以某种方式转化为一个。最后，我们提出了一些如何实际使用该模型的想法。即时的改进包括标准偏差随时间变化的可能性。在最小的扩展中，添加几个离散变量就足够了，每个变量用一组不同的参数描述模型的状态。在状态之间切换可以是一些额外的马尔可夫动力学，或者只是将它们隐藏起来，并通过一些统计数据确定当前状态。在实践中，我们也可以将预测的风险溢价作为一般指标，与过去的收益率一起使用，形成一些广义AR（n）模型，以消除预测收益误差之间的相关性。

看看这个模型是否能以低得多的时间尺度来描述动态，比如以分钟或秒为单位的日内运动，也会很有趣。将该模型扩展到包括多个工具（无论是每个工具与平均方差前沿上的定价组合的协方差有偏差，还是定价组合本身在其组成或价格中有偏差，或介于两者之间）或考虑衍生工具定价，例如期权，当基础工具遵循此模型规定的过程时。参考文献[1]诺贝尔奖。org，2013年经济科学奖-高级信息，2014年诺贝尔媒体协会。http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2013/advanced.html[2] 蒋志强，谢文杰，周卫兴，检验WTI原油期货市场的弱形式有效性，Physica A：统计力学及其应用，第405卷，2014年7月1日，第235-244页，ISSN 0378-4371，http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2014.02.042.[3] 伊藤三雄，杉山俊介，《衡量时变市场效率的程度》，《经济学快报》，第103卷，2009年4月第1期，第62-64页，ISSN 0165-1765，http://dx.doi.org/10.1016/j.econlet.2009.01.028.[4] L.Zunino，M.Zanin，B.M.Tabak，D.G.Prez，O.A.Rosso，禁止模式，置换熵和股市效率，Physica A:统计力学及其应用，第388卷，第14期，2009年7月15日，第28542864页，ISSN 0378-4371，http://dx.doi.org/10.1016/j.physa.2009.03.042.[5] L.祖尼诺，B.M.塔巴克，A.菲格利奥拉，D.G.普雷兹，M.加拉瓦格利亚，O.A。

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