在单一工具内模拟市场效率低下

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英文标题：
《Modeling Market Inefficiencies within a Single Instrument》
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作者：
Kuang-Ting Chen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we propose a minimal model beyond geometric Brownian motion that aims to describe price actions with market inefficiency. From simple financial theory considerations, we arrive at a simple two-variable hidden Markovian time series model, with one of the variable entirely unobserved. Then, we analyze the simplest version of the model, using path integral and Green\'s function techniques from physics. We show that in this model, the inefficient market price is trend-following when the standard deviation of the log reasonable price ($\\sigma$) is larger than that of the log market price ($\\sigma\'$), and mean-reversing when it is smaller. The risk premium is proportional to the difference between the current market price and the exponential moving average (EMA) of the past prices. This model thus provides a theoretical explanation how the EMA of the past price can directly affect future prices, i.e., the so-called ``Bollinger bands\" in technical analyses. We then carry out a maximum likelihood estimate for the model parameters from the observed market price, by integrating out the reasonable price in Fourier space. Finally we analyze recent S\\&P500 index data and see to what extent the real world data can be described by this simple model.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个超越几何布朗运动的最小模型，旨在描述具有市场无效性的价格行为。从简单的金融理论考虑，我们得到了一个简单的两变量隐马尔可夫时间序列模型，其中一个变量完全不被观测。然后，我们使用物理中的路径积分和格林函数技术分析了该模型的最简单版本。我们证明，在该模型中，当对数合理价格（$\\sigma$）的标准差大于对数市场价格（$\\sigma\'$）的标准差时，低效市场价格是趋势跟随的，当其较小时，均值反转。风险溢价与当前市场价格和过去价格的指数移动平均值（EMA）之间的差值成正比。因此，该模型从理论上解释了过去价格的均线如何直接影响未来价格，即：。，技术分析中的所谓“布林格带”。然后，我们通过在傅里叶空间中整合合理价格，从观察到的市场价格对模型参数进行最大似然估计。最后，我们分析最近的S\\&P500指数数据，看看这个简单模型能在多大程度上描述真实世界的数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Modeling_Market_Inefficiencies_within_a_Single_Instrument.pdf (379.65 KB)

2022-5-9 11:19:45 上传

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关键词：市场效率 Quantitative proportional Inefficiency Inefficient

本文提出了一个超越几何布朗运动的最小模型，旨在描述具有市场效率的价格行为。从简单的金融理论考虑，我们得出了一个简单的两变量隐马尔可夫时间序列模型，其中一个变量完全不被观测。然后，我们使用物理中的路径积分和格林函数技术分析了模型的最简单版本。我们表明，在该模型中，当对数合理价格（σ）的标准偏差大于对数市场价格（σ）的标准偏差时，有效市场价格是趋势跟随的，当其较小时，有效市场价格是均值反转的。风险溢价与当前市场价格与过去价格的指数移动平均值（EMA）之间的差异成正比。因此，该模型从理论上解释了过去价格的波动如何直接影响未来价格，即技术分析中的所谓“布林区”。然后，我们通过在傅里叶空间中整合合理价格，从观察到的市场价格对模型参数进行最大似然估计。最后，我们分析了最近的标准普尔500指数数据，看看这个简单的模型可以描述现实世界的数据。1简介在金融理论中，资产是根据预期贴现收益[1]：P=E（M x）定价的。（1） 贴现因子M既描述了未来资金如何因利率而变得不那么值钱，更重要的是，人们如何对各种结果进行不同的估值。以股票和保险为例：在美国，股票市场的长期年回报率为8%，远高于美国国债的年回报率，最高可达2%-3%。

对这一事实的解释是，人们担心潜在的亏损；因此，当他们对资产（如可能贬值的股票）进行定价时，当他们有盈利时，他们的贴现率会更高，而当他们有亏损时，他们的贴现率会更低。这导致股票价格低于贴现预期收益。（注意单词的相反顺序；价格是预期的折扣支付，即最后一次获得预期，而我们通常想到的估值过程是在未来获得预期，即支付发生时，然后将其贴现回现在。）相比之下，当一个人购买保险时，他需要支付额外的费用，以防不幸发生，他有足够的报酬来处理它。在这种情况下，人们更看重不幸的事情；因此，价格最终高于贴现预期收益。因此，理论上，价格不一定低于或高于贴现预期，而是取决于人们如何评价各种结果。价格与贴现预期收益之间的差异除以工具的标准差，通常称为风险溢价。所以我们说股票通常有正的风险溢价，而保险有负的风险溢价。如果相关资产是可自由交易的，那么价格由市场决定。特别是，供应，即愿意以市场价格出售资产的人数，应满足需求，即愿意以市场价格购买资产的人数。在现实中为资产定价的贴现因子，因此描述了那些对以市场价格购买或出售资产持怀疑态度的人。

从这个意义上说，当存在市场价格时，我们总是可以根据预测和当前市场价格得出有效的折扣系数。那么，高效市场的概念是什么？效率市场假说（EMH）的通常说法是，股票总是以公允价值交易，其价值已经反映了所有可用信息。详细讨论见REF。[1] 以及其中的参考文献。用我们的话来说，这意味着价格不应该与合理的折扣因素定价有很大的偏差。没有明确的合理风险定义，但例如，类似的工具应该有类似的风险溢价；对于任何工具而言，风险溢价都不应过高；对于一种工具，在没有任何新信息的情况下，风险溢价不应随时间发生显著变化。（一个重要的补充说明是，并非所有的工具都需要有类似的风险溢价才能让市场变得高效。投资者总是可以避免从更多独立资产中分散投资组合，因此风险溢价较低的工具仍然是有价值的，只是一个合理的投资者需要的风险溢价较少。）这与参考文献[1]中提到的“关节连字符”问题相对应。然而，弱意义上的有效市场假说更为具体。它指出，人们永远无法通过分析过去的数据来预测回报。换言之，不存在可利用的机会来换取更大的利润。已经做了大量工作（例如参见[2,3]和其中的参考文献）来解决这种假设是否适用于各种资产，但结果好坏参半。此外，还有[4,5,6]项研究开发了不同的统计数据来衡量市场效率。

另一方面，也有一些被提出的可数时间序列模型[7,8,9]，用于拟合观察到的财务时间序列，无论是否满足EMH。在本文中，我们采用了不同的方法。我们从金融理论的角度出发，而不是提出一个包含大量参数的时间序列模型，这些参数可以拟合ARIMA或GARCH等数据。我们思考如何以最小的方式打破市场效率。当市场不充分时，我们提出一个模型来代替几何布朗运动作为下一个最简单的描述。在下面，以秒为单位。2.我们从简单的财务理论出发，考虑并激励模型。以秒计。3我们首先对模型进行分析求解，并根据过去的历史确定其当前的风险溢价。然后我们讨论了一种从数据中估计模型参数的最大似然方法。以秒计。4.我们看一看真实数据，看看这种建模的效率是否确实存在。2模拟市场效率的简单理论在文献中，股票价格的最简单模型遵循几何布朗运动：dSS=udt+σdz。（2） 如果我们假设股票的价格总是公平的，那么股票在近期的价格就是回报。然后，我们可以通过贴现系数S=E，使用与未来即时价格和当前价格相关的定价方程（1+d∧）（S+dS）. （3） 为了简单起见，如果我们进一步假设无风险利率为零，即（d∧/∧）=0，这将意味着随机贴现因子为∧∧=-我是dz。（4） 然后，可以使用该贴现因子为期权等衍生品定价。几点观察：1。贴现系数将当前价格与未来价格联系起来。这是因为当定价公平时，未来的价格只是当时的折扣支付。2.

我们从随机过程中得出了折扣系数，我们假设价格会随之变化。对于给定的随机过程，这总是可能的，但不能保证得到的折扣系数是合理的。相反，我们也可以假定一个影响因素，然后推断股价应该如何表现。然而，折扣系数并不是唯一决定股价的因素；它只确定漂移和标准偏差之间的比率。要建立一个有效的市场模型，最简单的方法是保持定价等式不变，但放弃折扣系数应该合理的约束。然而，控制价格的随机过程完全取决于我们想要如何选择这个不合理的折扣因素。因此，真正的问题始终是如何合理定义不合理的贴现系数。2.1市场效率的根本问题选择这种有效的不合理折扣系数的一种方法是假设一个合理的折扣系数，但随后允许价格偏离定价方程（方程式1）。也就是说，我们假设有一个合理的价格遵循合理折扣系数的定价方程，但实际价格并不总是与合理价格匹配。根据方程式，它大致如下所示：P=E（Mx）；（5） dPP=f（P，P）dt+σdz。（6） Pis是合理价格，M是我们选择的合理折扣系数，xis是支付，P是实际价格。第二个等式是必要的；由于我们已经将实际价格从定价方程中分离出来，我们需要提供关于它将如何发展的额外信息。f是使价格P在更长时间内跟踪合理价格的函数。DZ是一种零均值随机噪声，与合理价格的随机噪声不同。然而，这组方程并不是自洽的。

核心问题是，如果所讨论的工具可以在t=0时以P（t=0）的价格自由交易，则该价格构成即时支付（t=0），如果该价格高于卖方对长期贴现支付的估计，则卖方可以选择接受该价格，如果该价格低于其估计，则买方可以选择支付。因此，如果遵循公式5，合理价格P（即预期折扣支付）必须高于卖方的P，低于买方的P。对于独立于市场地位的合理价格定义，唯一可能的选择是P=P，即供需平衡。为了清楚起见，让我们考虑一个简单的例子。假设合理的折扣系数M=1，并假设我们目前有一只“定价过低”的股票，其价格/支付额x在稍后时间预计将高于当前价格P。我们如何定义P？根据等式5，潜在买家的最大支付将为P=x，高于P。另一方面，一个潜在的卖家只有通过立即回购才能获得最好的回报，他的合理价格是P=P。这个合理的价格，由预期的折扣支付确定，对双方来说是不同的，因为一个人总是可以随时选择交易。从概念上讲，我们希望在本例中确定的合理价格显然是买方的，但正如我们从上面看到的，我们无法将其定义为即时预期的折扣支付。任何时候以市场价格进行交易的能力都会阻止预期的折扣支付偏离实际价格。2.2问题的补救措施为了克服这个陷阱，当我们通过公式5确定合理的价格时，我们必须想象收益更多的是长期的，当前的市场价格不应该有直接的影响。

换句话说，在我们的理论中定义支付时，我们必须让它自由偏离市场价格P，至少在短期内是如此。目前，我们如何利用变量获取长期收益？答案是帕特在下一刻就捕捉到了。事实上，如果Pis是任何给定时间的预期贴现收益，那么每个PCP都会在其时间之后获得长期收益，定价方程将这一时刻与下一时刻联系起来。给定∧=-rdt- 例如mdz（7），如果我们假设合理价格的波动与其当前值成比例，那么我们可以得到dpp=（r+mσ）dt+σdz。（8） 这里r是无风险利率，m是风险的市场价格，σ是工具价格百分比的标准差。dz描述了影响仪器的随机输入冲击；例如，这可能包括公司股票的稳定性、国债的整体宏观经济条件，或能源期货的国际关系。实际价格仍然根据公式6变化。在这里，我们对随机噪音进行了进一步说明：真实的消息和当前的市场力量影响都会影响市场价格。因此，我们写以下内容：dPP=f（P，P）dt+σdz+σdz。（9） dz代表市场力量波动，dz与价格方程中的冲击相同。在这种方法中，合理价格P现在似乎完全独立于实际市场价格P来定义，而实际市场价格正试图回归到带有一些额外噪音的P。然而，当前的市场价格可能会在某种程度上影响合理的定价。最简单的方法是在P的随机方程中加入一个项σdz。用这个项pTill满足相同的定价方程，因为额外的噪声dz不会带来风险溢价。

我们最终得到以下方程组：dPP=（r+mσ）dt+σdz+σdz；（10） dPP=f（P，P）dt+σdz+σdz。（11） 然而有趣的是，仅仅观察这两种价格，我们无法真正区分dz和dz。我们所能说的就是每种价格的波动有多大，以及它们是如何相互关联的。如果我们能从无风险利率r和风险溢价m的先验知识中推导出σ，那么我们就可以知道所有的σ。然而，如果不能，那么给出两个价格相同方差以及它们之间相关性的所有σ的可能值都是等价的。因此，在没有任何关于模型参数的先验知识的情况下，该模型等价于以下内容：dPP=adt+σdz；（12） dPP=f（P，P）dt+σdz；（13） Cov（dz，dz）=ρdt。（14） 也就是说，将该项添加到模型的演化中实际上并不会改变模型的动力学。它只是将原始模型映射到一组不同的参数值。在本文的剩余部分，我们将研究这组方程的动力学。顺便说一句，控制这组方程的数学与欧几里德时代的量子力学是相同的。如果我们选择f=-kln（P/P），这个理论是非相互作用的，完全可解的。在论文的结尾部分，我们将坚持这个选择。3模型的解析解通常，当我们谈到一组随机微分方程的解时，它指的是一个概率分布，作为时间的函数，给定价格的初始值。

在我们的例子中，有几个重要的区别：（i）我们没有遵守合理的价格P；（ii）我们只知道近期的可能性。虽然Pis的时间演化只是几何布朗运动，但将该分布插入X的演化并积分一定的时间（P本身也在方程的右侧），并不是一项简单的任务。幸运的是，对有限时间范围的预测对我们来说并不重要，因为任何新观察到的价格X都会改变它。只有在下一个时间步，我们才能知道X的行为。对我们来说，重要的问题是根据过去P（t）的演变，找到未被观察到的时刻。此外，我们还想根据观察到的价格推断模型参数。在第一小节中，我们将假设了解模型参数，并确定Pas的最可能值是时间的函数。在第二小节中，我们重点介绍了ln的结果，并讨论了市场价格P在不同参数范围内的动态变化。在最后一小节中，我们将通过积分Pin-Fourier空间的所有可能值来确定模型参数的最大似然估计（MLE）。3.1 PLet X的最大似然估计≡ P，X≡ 根据伊藤引理，我们得到dx=（a）-σ） dt+σdz；（15） dX=(-k（X）- 十）-σ） dt+σdz；（16） 我们可以写出对数似然函数lnl（a，k，σ，σ，ρ；X（t），X（t））：lnl=-2(1 - ρ） σ∑ZdtσX+σ十、- 2ρσσ十、十、+ C、 （17）与十、≡˙X- （a）- σ/2); (18)十、≡˙X+k（X- 十） +σ/2。（19） C是使似然函数标准化的参数的函数，而不是X或X的函数。考虑到参数和X（t）的一些历史，我们的第一步是找到最可能的X。