基于反弹几何的订单动态随机模型

同一篇论文还证明了Var（Zδ（t））=st+O（1），其中s=E（Vδ）E（Uδ）E（Vδ）-2E（UδVδ）E（Uδ）E（Vδ）+E（Uδ）E（Vδ），将引理4.4中（Uδ，Vδ）的矩代入上述方程，并简化为weget方程（4.9）。定理4.7的证明。考虑任意非负序列{δm}m≥那么δm→ 0 asm→ ∞. m、n的定义≥ 1，~Um，n=pδm（Uδm，n- E（Uδm，n）），~Vm，n=pδm（Vδm，n- E（Vδm，n））。我们注意到，对于每一个m，{（~Um，n，~Vm，n），n≥ 2} 是一个身份识别序列。此外，btδmcXn=1Var（~Um，n）→2（ubσa+uaσb）t（ub- ua）和BTδmcXn=1Var（~Vm，n）→2（σa+σb）t（ub）- ua），作为m→ ∞.我们声称{（~Um，n，~Vm，n），m≥ 1, 1 ≤ N≤ btδmc}满足林德伯格条件，即 > 0，btδmcXn=1E嗯，n{|嗯，n|≥}→ 0，btδmcXn=1E~Vm，n{|Vm，n|≥}→ 0，作为m→ ∞. （6.10）我们将在本证明结束时证明（6.10）。因此，根据[4，定理18.2]，lettingum（t）=btδmcXn=1Um，n，和vm（t）=btδmcXn=1vm，n，然后（Um，vm）=> W、 作为m→ ∞.其中W是一个具有漂移0和协方差矩阵（ub）的二维布朗运动- ua）ubσa+uaσbubσa+uaσbubσa+uaσbσa+σb.下一步从[18，定理1]和[19，推论3.33]开始，如果≈Nm（t）=（E（Vδm，1））3/2Nδm（t/δm）-tδmE（Vδm，1）=2δmub- ua3/2Nδm（t/δm）-（ub）- ua）t2δm,然后（嗯，vm，~Nm）=> （W，W，-W） 作为m→ ∞, 其中Wand Ware是布朗运动W的第一和第二部分。最后，我们注意到^Zδm（t）=√嗯δmNδm（t/δm）+ub+uaub- uaub- ua3/2纳米（t）#。此外，观察到δmNδm（t/δm）=δm“~Nm（t）（E（Vδm，1））3/2+（ub- ua）t2δm#→（ub）- ua）t，作为m→ ∞,我们有^Zδm（·）=>W（ub）-ua·）+ub+uaub-uaub-ua3/2W（·）√s、 很容易检查右边的弱极限是标准布朗运动。因此，^Zδ弱收敛于标准布朗运动δ→ 最后，我们给出了（6.10）中给出的索赔的证明。~Vm，nand，n的证明是相似的，我们只考虑~Vm，n。

我们首先注意到引理4.4中的E（Vδm，1 | A（0），B（0））=lna（0）- lnb（0）uB- ua，Var（Vδm，1 | a（0），B（0））=（lna（0）- lnb（0））（σa+σB）（uB）- ua），使用条件期望，我们得到了一些b∈ (0, ∞),Var（Vδm，1）=E（Var（Vδm，1 | A（0），B（0）））+Var（E（Vδm，1 | A（0），B（0）））≤ BE[ln（A（0）/B（0））]+E[ln（A（0）/B（0））]< ∞.接下来使用马尔可夫不等式，霍尔德不等式和（4.5），我们得到了一些c∈ (0, ∞),btδmcXn=1E~Vm，n{|Vm，n|≥}≤ E（|Vm，1）+dtδmeqE（|Vm，2）P（|Vm，2 |≥ )≤ δmVar（Vδm，1）+dtδmeqE（~Vm，2）-2E（Vm，2）≤ δmVar（Vδm，1）+-1dtδmeδ3/2mqE[（Vδm，2- E（Vδm，2））]Var（Vδm，2）≤ δmVar（Vδm，1）+-1dtδmeδ3/2mpcδm→ 0，作为m→ ∞.引理5.1的证明。为了方便起见，我们省略了上标n作为ua，ub，σa，σ带δ的估计量。利用引理4.4中的矩，我们考虑以下方程。x=Δub- ^ua（6.11）x=^δ（^ub+^ua）^ub- ^ua（6.12）x=^δ（^ub）- ^ua）+2（^σa+^σb）^δ（^ub）- ^ua）（6.13）x=^δ（^ua+^ub）（^ub）- ^ua）+2（^ub^σa+^ua^σb）^δ（^ub）- ^ua）（6.14）x=^δ（^ub+^ua）2（^ub）- ^ua）+2（^ub^σa+^ua^σb）^δ（^ub）- ^ua）。（6.15）接下来，我们用xk，k=1，2，…，来求解上述方程，5.Lety=2xx=^ub+^uay=x- xx=σa+σb（μb）- ^ua）y=x- xx=^ub^σa+^ua^σb（^ub- ^ua）y=x- xxx=^ub^σa+^ua^σb（^ub- ^ua）。然后我们注意到这一点- 4yy- yy=（^ub）- ^ua）。让^ub>^ua，我们得到^ua=y-qy- 4yy-yy^ub=y+qy- 4yy-yy和σa=p（y- ^uay）（^ub- ^ua），^σb=p（^uby- y） （b）- ^ua），^δ=（^ub- ^ua）x.要确定上述估算值，我们只需显示（5.2）。

我们首先注意到这一点-4（yy）- y） y=x（x- 十）x（x）- 十）- 2xx（x- xx）+x（x）- 十）.很明显，X=nXi=1vin！>0，x- x=nnPi=1vi-nPi=1vin>0。我们接下来注意到x（x- 十）- 2xx（x- xx）+x（x）- 十）≥ 2xxq（x- x） （十）- 十）- 2xx（x- xx）=2xx（q（x- x） （十）- 十）- （十）- xx））=2PvinPuin武普文-Pvin!普因-普因!-Pvi大头针-PvinPuin= 2PvinPuinsP（vi）-Pvi/n）nP（用户界面-贝（n）n-Pviuin-PvinPuin≥ 2PvinPuinP（vi）-Pvi/n（用户界面）-贝（n）n-Pviuin-PvinPuin= 0.这显示了（5.2）中的第一个不平等。为了说明（5.2）中的最后两个不等式，我们观察到了这一点- ^uay=yqy-4（yy）-y） y+Y-yy,^- y=yqy-4（yy）-y） y-Y-yy.因此，它需要炫耀Y-4（yy）-y） y≥Y-yy.在对上述不等式进行简化后，可以证明yy≥ y、 注意yy≥ Ys相当于（x- x） （十）- 十）≥ （十）- xx），后者在上面得到了证明。这就完成了（5.2）的证明。接下来从估计量的构造中，我们看到它们是（6.11）-（6.15）的唯一解。利用强大数定律和连续映射定理，我们得到了（5.3）。最后，^Θ的中心极限定理直接来自Delta方法（见[11]），以及（x，x，…，x）的中心极限定理，即。，√n[（x，x，x，x，x）- E（x，x，x，x，x）]=> N（0，∑），其中∑是（Vδ，Uδ，Vδ，Uδ，UδVδ）的协方差矩阵。参考文献[1]J.阿巴特和W.惠特。调节布朗运动的瞬态行为，i：从理论开始。《应用概率的进展》，19（3）：560–5981987。[2] F.阿伯格尔和A.杰迪。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，2013年第16（5）期。[3] E.贝拉克塔尔、U.霍斯特和R.瑟卡。金融价格波动的排队论方法。在J.R.伯奇和V.莱恩茨基的《OR&MS手册》中，编辑，第637-677.2008页。[4] P.比林斯利。概率测度的收敛性。威利，纽约，第二版，1999年。[5] F.布莱克和M.斯科尔斯。

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