基于反弹几何的订单动态随机模型

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英文标题：
《A Stochastic Model of Order Book Dynamics using Bouncing Geometric
  Brownian Motions》
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作者：
Xin Liu, Qi Gong, Vidyadhar G. Kulkarni
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a limit order book, where buyers and sellers register to trade a security at specific prices. The largest price buyers on the book are willing to offer is called the market bid price, and the smallest price sellers on the book are willing to accept is called the market ask price. Market ask price is always greater than market bid price, and these prices move upwards and downwards due to new arrivals, market trades, and cancellations. We model these two price processes as \"bouncing geometric Brownian motions (GBMs)\", which are defined as exponentials of two mutually reflected Brownian motions. We then modify these bouncing GBMs to construct a discrete time stochastic process of trading times and trading prices, which is parameterized by a positive parameter $\\delta$. Under this model, it is shown that the inter-trading times are inverse Gaussian distributed, and the logarithmic returns between consecutive trading times follow a normal inverse Gaussian distribution. Our main results show that the logarithmic trading price process is a renewal reward process, and under a suitable scaling, this process converges to a standard Brownian motion as $\\delta\\to 0$. We also prove that the modified ask and bid processes approach the original bouncing GBMs as $\\delta\\to0$. Finally, we derive a simple and effective prediction formula for trading prices, and illustrate the effectiveness of the prediction formula with an example using real stock price data.
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中文摘要：
我们考虑一个限价订单簿，买家和卖家登记以特定价格交易证券。书上买家愿意提供的最大价格称为市场买入价，书上卖家愿意接受的最小价格称为市场卖出价。市场要价总是大于市场买入价，这些价格会随着新来者、市场交易和取消而上下波动。我们将这两个价格过程建模为“反弹几何布朗运动（GBMs）”，它被定义为两个相互反射的布朗运动的指数。然后，我们修改这些反弹GBM，构造一个交易时间和交易价格的离散时间随机过程，该过程由正参数$\\delta$参数化。在该模型下，交易时间服从逆高斯分布，连续交易时间之间的对数收益服从正态逆高斯分布。我们的主要结果表明，对数交易价格过程是一个更新报酬过程，在适当的标度下，这个过程收敛到一个标准的布朗运动，即$\\delta\\到0$。我们还证明了修改后的询问和出价过程以$\\delta\\to0$的形式接近原始的反弹GBM。最后，我们推导了一个简单有效的交易价格预测公式，并用实际股票价格数据举例说明了该预测公式的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_Stochastic_Model_of_Order_Book_Dynamics_using_Bouncing_Geometric_Brownian_Motions.pdf (437.44 KB)

2022-5-9 11:53:27 上传

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关键词：随机模型 Quantitative Mathematical distribution cancellation

基于跳跃几何布朗运动的订单动态随机模型*1、Vidyadhar G.Kulkarni+2和气功2克莱姆森大学数学科学系，克莱姆森，SC 29634。北卡罗来纳大学统计与运筹学系，北卡罗来纳州查佩尔希尔，北卡罗来纳州27599。2016年3月28日摘要我们考虑一个限价订单簿，买家和卖家在其中登记以特定价格交易证券。书中买家愿意提供的最大价格称为市场买入价，书中卖家愿意接受的最小价格称为市场买入价。市场要价总是大于市场买入价，这些价格会随着新来者、市场交易和取消而上下波动。我们将这两个过程建模为“反弹几何布朗运动（GBMs）”，定义为两个相互反射的布朗运动的指数。然后，我们修改这些反弹GBM，构造一个交易时间和交易价格的离散时间随机过程，该过程由一个正参数δ参数化。在该模型下，交易时间服从逆高斯分布，连续交易时间之间的对数收益服从非正态逆高斯分布。我们的主要结果表明，对数交易价格过程是一个更新报酬过程，在适当的标度下，这个过程收敛到标准布朗运动δ→ 0.我们还证明，修改后的询问和出价过程接近原始反弹GBMδ→ 0

最后，我们推导了一个简单有效的交易价格预测公式，并以实际股价数据为例说明了该预测公式的有效性。关键词：订单动态；几何布朗运动；反映布朗运动；相互反射的布朗运动；逆高斯分布；正态逆高斯分布；更新奖励过程；差异近似；缩放限制。1简介在现代订单驱动的交易系统中，限价卖出和限价买入订单带有特定的价格，并在限价订单簿（LOB）中登记。买方愿意购买的价格称为买入价，卖方愿意出售的价格称为卖出价。*电子邮件：xliu9@clemson.edu.+电子邮件：vkulkarn@email.unc.edu.——电子邮件：qgong@email.unc.edu.The订单簿根据价格和每个价格内的到达时间来组织订单。书上最高的买入价称为市场买入价，书上最低的卖出价称为市场卖出价。与限价指令相反，市场指令没有价格：市场买入指令与卖出指令以市场卖出价匹配并结算，而市场卖出指令与买入指令以市场买入价匹配并结算。（在这个简单的讨论中，我们忽略了订单的大小。）当市场买入价等于市场卖出价时，交易发生，两个匹配的交易者从LOB中移除。因此，交易结束后，市场买入价下降，市场卖出价上升。很明显，市场要价总是高于市场出价。在两个交易时段之间，由于新来者、取消、市场交易等原因，市场买卖价格会发生变化。关于LOB模型，有大量文献，包括统计分析和随机建模。

特别是，在[2,3,14,12,13,16,17,22]中已经开发了马尔可夫模型，并列举了一些。在这种模型中，点过程被用来模拟限价和市场订单的到达过程，而市场买卖价格被描述为复杂的跳跃过程。为了简化这种复杂性，人们试图开发合适的近似模型。例如，在[2,3,12]中建立了布朗运动类型近似，最近在[16,17]中研究了大数定律。很明显，市场买卖价格的随机演化是交易者行为和市场机制复杂动力学的结果。完全忽略细节动态，直接将市场的买卖价格建模为随机过程是有意义的。Welet A（t）和B（t）分别是时间t和模型{A（t），t的市场买卖价格≥ 0}和{B（t），t≥ 0}是两个随机过程，具有连续的样本路径，相互反弹，如下所示。最初A（0）>B（0）。直观地说，我们假设市场的买入价和卖出价根据两个独立的几何布朗运动（GBMs）而变化，并且在它们相遇时相互反弹。因此，我们称之为LOB的“反弹GBMs”模型。据我们所知，这是第一次使用这样的模型来描述LOB中市场询价和报价过程的动态。弹跳式GBM可由弹跳式BMs构成（具体构造见第2节）。Burdzy和Nualart在[10]中研究了反弹BMs，Saisho和Tanaka在[25]中研究了反弹布朗球的相关模型。在这两篇论文中，Burdzy和Nuaalart的一篇与我们的模型最相关。他们研究了两种布朗运动，其中下一种是从上一种向下反射的。

因此，上部过程不受下部过程的干扰，而下部过程在撞击上部过程时被向下推动（通过适当的反射图）。我们在BouncingBM模型中使用了类似的结构，只是在我们的例子中，两个过程在相遇时会以相反的方向相互反应。我们假设反射是对称的，精确到第2节。我们想说的是，当市场的要价过程满足市场的出价过程时，交易就发生了，交易价格就是它们满足的水平。不幸的是，反弹的GBM在任何有限的时间间隔内都会遇到无数次。这将在有限的时间间隔内产生数不清的交易，这不是一个很好的现实模型。事实上，交易是在离散时间发生的。用tn表示第n笔交易的时间，pn表示第n笔交易的结算价格。我们感兴趣的是研究离散时间过程{（Pn，Tn），n≥ 1}. 为了正确方便地定义这一点，我们假设一个价格分离参数δ>0，并从反弹的GBMs A和B中构造两个修改的市场询问和出价过程Aδ和Bδ。人们可以认为δ代表LOB的刻度大小，通常为1美分。Aδ和Bδ的构造使我们能够定义一个离散的时间混沌过程{（Pδ，n，Tδ，n），n≥ 1} 交易价格和时间。第3节给出了aδ、Bδ和（Pδ，n，Tδ，n）的精确定义。我们证明了交易时间Tδ，n+1- Tδ，n服从逆高斯（IG）分布，连续交易时间ln（Pδ，n+1/Pδ，n）之间的对数收益服从正态逆高斯（NIG）分布。然后，我们根据交易时间和连续对数回报率，将对数交易价格过程描述为更新奖励过程。

值得注意的是，δ通常很小，在第6节的数值例子中，δ=O（10-3).最后，我们的主要结果表明，在适当的标度下，对数交易价格过程收敛到标准布朗运动δ→ 0.我们还研究了修改后的市场询价和报价过程（Aδ，Bδ）的极限为δ→ 0，这正是原始的反弹GBMs（A，B）。利用这些渐近性，我们导出了一个简单有效的交易价格预测公式。有趣的是，我们得到了极限交易价格的渐近GBM模型。GBM模型捕捉了非重叠区间的收益率相互独立的直觉，自Black和Scholes[5]和Merton[23]取得突破以来，GBM模型已被广泛用于模拟股票价格。另一个有趣的观察结果是，连续交易时间之间的对数回报率是NIG分布的。事实上，经验研究表明，NIG分布（见[6,7,24]）可以很好地拟合资产的对数回报率，而巴恩多夫-尼尔森在[8]中提出了NIG模型。因此，我们的GBM反弹模型为GBM交易价格模型提供了另一个证明。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将详细介绍我们的bouncingGBMs模型。在第3节中，我们构建了修改后的市场买卖流程和价格交易流程。第4节总结了关于交易时间和价格分布以及限制行为的所有主要结果。在第5节中，使用矩量法导出了模型参数的估计量。在第6节中，我们使用第4节中获得的交易价格的渐近GBM模型，从中我们得出一个简单有效的预测公式。

我们还将该公式应用于实际数据，并表明估计的δ参数非常小，因此渐近结果是适用的，并且在短时间范围内工作得非常好。最后，所有的证明都在附录中给出。2市场要价和出价我们考虑一个交易系统，买家和卖家以特定的价格到达。回想一下，市场买入价是买家愿意购买的最大价格，而市场买入价是卖家愿意出售的最小价格。市场买入价不能低于市场买入价，当市场买入价和卖出价匹配时，交易发生。我们将把市场买入和卖出价格建模为反弹的GBM，定义为相互反射布朗运动（BMs）的指数。更准确地说，让A（t）和B（t）表示时间t的市场要价和出价≥ 0，并假设A（0）≥ B（0）。对于t≥ 0，定义（t）=lna（0）+uat+σaWa（t），（2.1）Xb（t）=lnb（0）+ubt+σbWb（t），（2.2），其中Wa、wb是独立于A（0）和B（0）的独立标准BMs，uA、ubandσA、σB是漂移和方差参数。我们假设ua<ub。我们首先定义了一对相互影响的BMs（Ya，Yb），如下所示。对于t≥ 0，defineya（t）=Xa（t）+L（t），（2.3）Yb（t）=Xb（t）-L（t），（2.4）式中{L（t），t≥ 0}是唯一的连续非减量过程，因此（i）L（0）=0；（ii）雅（t）- Yb（t）≥ 0代表所有t≥ 0;（iii）只有当Ya（t）时，L（t）才能增加- Yb（t）=0，即Z∞{Ya（t）-Yb（t）>0}dL（t）=0。{L（t），t的存在唯一性≥ 0}来自Skorohod引理（参见[20，引理3.6.14]）。事实上，L（t）有以下明确的公式L（t）=sup0≤s≤t（Xa（s）- 预算外（s））-, （2.5）在哪里进行∈ R、 a-= 麦克斯{-a、 0}。

粗略地说，当Ya（t）>Yb（t）时，过程Ya（t）和Yb（t）的行为就像两个独立的BMs，当它们相遇时，过程Ya（t）将被推上，而Yb（t）将被推下，从而使Ya（t）≥ Yb（t）代表所有t≥ 0.这里我们假设Ya（t）和Yb（t）的推压效应是相同的，因此我们在（2.3）和（2.4）中都有调节器过程l（t）。最后，将A（t）和B（t）定义为asA（t）=eYa（t），（2.6）B（t）=eYb（t）。（2.7）因此，当A（t）>B（t）时，A（t）和B（t）的行为就像两个独立的GBM，并且每当它们相等时，它们就会相互推开，使得A（t）≥ B（t）代表所有t≥ 0.一个重要的数量是比率a（t）B（t），它可以反映买卖价差。我们注意到a（t）B（t）=eYa（t）-Yb（t）=eXa（t）-Xb（t）+L（t），t≥ 0.从（2.5）开始，{Ya（t）- Yb（t），t≥ 0}是一个反射布朗运动（RBM）。众所周知，aRBM{R（t），t≥ 具有均值u和方差σ的0}具有以下瞬时累积分布函数（CDF）（见[15]中的第1.8节）。对于x，y∈ [0, ∞),Pr（R（t）≤ y | R（0）=x=1- Φ-y+x+utσ√T- e2uy/σΦ-Y- 十、- utσ√T, （2.8）其中Φ（·）是标准正态分布的CDF。因此对于t≥ 0时，比率a（t）B（t）具有以下CDF。假设A（0）和B（0）是确定性常数，对于y≥ 1、公关A（t）B（t）≤ Y= 1.- Φ-ln[y]+ln[A（0）/B（0）]+（uA- ub）tq（σa+σb）t- Y-2（ub-ua）σa+σbΦ-ln[y]- ln[A（0）/B（0）]- （ua）- ub）tq（σa+σb）t.因此，在ua<ub的条件下，双幂律的平稳分布以密度函数2（ub）分布- ua）σa+σb-1.-2（ub-ua）σa+σb，y≥ 1.（2.9）有趣的是，只有阶数小于2（ub）的平稳力矩-ua）σa+σ裸片。对于Fifiet，以下引理中给出了a（0）=B（0）的第k阶矩a（t）B（t）的简单描述，其证明见附录。引理2.1。假设A（0）=B（0）。

那么对于k∈ N、 E“A（t）B（t）k#=1+k（σa+σb）ub- uaZ∞经验k（σa+σb）xub- ua- 2xF（t；x，0）dx，（2.10），其中F（t；x，0）=ΦT- 十、√T+ e2xΦ-T- 十、√T, 十、≥ 0是{Ya（t）的第一次通过时间的CDF- Yb（t），t≥ 0}从x到0。注意limt→∞F（t；x，0）=1，所以limt→∞E[（A（t）B（t））k]只有在k<2（uB）时才是有限的-ua）σa+σb。这一结果与（2.9）中的幂律分布矩一致，实际上，当k<2（ub）时，人们可以很容易地检查到-ua）σa+σb，极限→∞E“A（t）B（t）k#=EA(∞)B(∞), （2.11）在哪里(∞)B(∞)是一个具有密度函数（2.9）的随机变量。其他性能分析可以通过计算（A（t），B（t））的联合分布来完成。然而，获得（A（t），B（t））瞬态行为的简单描述是非常重要的。因此，我们想在另一篇论文中研究这些问题。3交易时间和价格假设A（0）>B（0），第一次交易时间定义为市场买卖价格第一次相等，我们希望第n次交易时间定义为两个价格第n次相等。然而，零集{t≥ 0:A（t）- B（t）=0}是无法计算的，我们无法像第一个交易时间那样方便地确定第n个交易时间。还要注意的是，在实践中，每次市场的要价和出价相等时，它们都会彼此分开至少一美分。因此，我们考虑以下修改后的市场买卖价格过程Aδ和Bδ，其中正常数δ代表刻度大小。然后，我们使用Aδ和Bδ来确定交易时间和交易价格。更准确地说，让δ是一个严格的正常数，并记住a（0）和B（0）是市场询问和出价过程a和B的初始值，Xa和Xb是（2.1）和（2.2）中定义的两个独立BMs。为了n≥ 1.确定以下停止时间：Tδ，0=0，和Tδ，n=inf{T≥ 0:Xa（t）- Xb（t）=-2（n）- 1)δ}.

（3.1）然后Tδ，n≥ Tδ，n-1和Tδ，n→ ∞ 几乎可以肯定→ ∞. 接下来，我们将定义修改后的市场询价和报价流程。对于t≥ 0，Aδ（t）=exp（Xa（t）+∞Xn=1（n- 1） δ1{t∈[Tδ，n]-1，Tδ，n）}，（3.2）Bδ（T）=exp（Xb（T）-∞Xn=1（n- 1） δ1{t∈[Tδ，n]-1，Tδ，n）}）。（3.3）因此，第一笔交易发生在Tδ，1，这是修改后的市场买卖价格第一次相等，第一笔交易价格定义为asPδ，1=Aδ（Tδ，1-) = Bδ（Tδ，1-) = eXa（Tδ，1）=eXb（Tδ，1）。（注意，如果首字母A（0）和B（0）与δ无关，则Tδ1和Pδ1与δ无关。）在第一次交易发生后，市场买卖价格将按以下方式分开。Aδ（Tδ，1）=Pδ，1eδ>Pδ，1，Bδ（Tδ，1）=Pδ，1e-δ<Pδ，1。从Tδ1开始，过程Aδ和Bδ演化为两个独立的GMB，初始值为spδ，1eδ和Pδ，1e-直到他们在Tδ，2再次相遇。递归地，对于n≥ 1，停止时间Tδ，nw将是Aδ和Bδ的第n次相遇时间，第n次交易价格定义为asPδ，n=Aδ（Tδ，n-) = Bδ（Tδ，n-), （3.4）以及在Tδ，n移动到aδ（Tδ，n）=Pδ，neδ>Pδ，n，Bδ（Tδ，n）=Pδ，ne时的修改后的市场买卖价格-δ<Pδ，n.（3.5）时间价格tδ，1Tδ，2Pδ，2Pδ，1AδBδ图1：修改后的市场买卖价格（Aδ，Bδ）的动态。在Tδ，n之后，过程Aδ和Bδ演变为两个独立的gbm，其首字母为Pδ，neδ和Pδ，ne-直到它们在Tδ，n+1再次相遇。市场买卖价格的动态如图1所示。修改后的市场买卖价格（Aδ，Bδ）与原始市场买卖价格（A，B）之间的关系总结如下。其证据可在附录中找到。