基于反弹几何的订单动态随机模型

特别地，它表明{Tδ，n}n∈也就是原价格过程A和B的相遇时间，（Aδ（t），Bδ（t））几乎肯定地收敛到[0，∞) asδ→ 0.提案3.1。（i） 对于δ>0和n∈ N、 A（Tδ，N）=B（Tδ，N）。（ii）对于δ>0和t≥ 0，Aδ（t）≥ A（t）和Bδ（t）≤ B（t）。（iii）对于t≥ 0，sup0≤s≤tAδ（t）A（t）→ 1和sup0≤s≤tB（t）Bδ（t）→ 1，几乎可以肯定为δ→ 为了方便起见，我们表示uδ，n+1=ln（Pδ，n+1/Pδ，n），Vδ，n+1=Tδ，n+1- Tδ，n，n≥ 1，Uδ，1=lnpδ，1，Vδ，1=Tδ，1。我们对交易价格的演变很感兴趣。t的定义≥ 0，Nδ（t）=max{N≥ 0:Tδ，n≤ t} ，（3.6）给出了截至时间t的交易数量。现在，最新的交易价格可以用asPδ（t）=Pδ，Nδ（t）来表示≥ Tδ，1。（3.7）对于t≥ Tδ，1，设Zδ（T）=ln（Pδ（T）），因此Zδ（T）=PNδ（T）n=1Uδ，n≤ t<tδ，1，我们简单地让zδ（t）=0。因此我们有zδ（t）=Nδ（t）Xn=1Uδ，N，（3.8），按照pn=1Uδ，N=0的约定。我们将在引理4.5中看到{Zδ（t），t≥ 0}是一个续订奖励过程。我们的目标是建立Z为δ的标度极限定理→ 0，并为实际财务数据开发无符号模型。4主要结果我们在本节介绍了我们的主要结果。特别是，（Uδ，n，Vδ，n），n≥ 2是i.i.d.随机变量（见引理4.1），Uδn服从NIG分布，Vδn服从IGNIS分布（见推论4.3）。利用这些结果，很明显{Zδ（t），t≥ 0}是一个更新报酬过程，定理4.7建立了标度极限定理。所有的证据都在附录中提供。（Uδ，n，Vδ，n）的分布我们推导出每个n的（Uδ，n，Vδ，n）的联合分布≥ 1在下面的引理中。注意，如果初始值A（0）和B（0）与δ无关，则（Uδ，1，Vδ，1）与δ无关。引理4.1。（i） 假设A（0）=eα，B（0）=eβ，α>β。

对于t≥ 0和x∈ R、 我们有pr（Uδ，1）∈ dx，Vδ，1∈ dt）=α- β2πtσaσbexp-hσbσa（x- α - uat）+σaσb（x- β - ubt）i+[α- β - （ub）- ua）t]2（σa+σb）tdxdt。（4.1）特别是，Vδ，1遵循IG分布，具有以下密度函数Pr（Vδ，1∈ dt）=α- βq2π（σa+σb）texp-[α - β - （ub）- ua）t]2（σa+σb）tdt，（4.2）给定Vδ，1=t，Uδ，1服从正态分布，平均值σb（α+uat）+σa（β+ubt）σa+σ带方差σaσbtσa+σb。（ii）序列（Uδ，n，Vδ，n）n≥2是一个独立于（Uδ，1，Vδ，1）的i.i.d.序列，其分布与（i）中的α=δ和β=-δ.推导Un，n的边际分布≥ 1.我们介绍了以下关于配体NIG分布的定义（见[26]）。定义4.2。（i） 具有参数a和ahas密度函数F（x；a，a）=a的逆高斯（IG）分布√2πxexp-（a）- ax）2x, x>0，通常用IG（a，a）表示。（ii）随机变量X遵循正态逆高斯（NIG）分布，参数为“α”、“β”、“u”、“δ”，符号为NIG（“‘α”、“β”、“u”、“δ”）|X=X~ N（‘u+’βx，x）和x~ IG（‘δ，q’α-β).Y的密度函数为asf（Y；’α，’β，’u，’δ）=απ‘δexpq′α-\'\'β+\'\'β\'\'δ（y- u)K\'-αq1+（y）-uδ)q1+（y）-其中K（z）=R∞E-z（t+t）-1） /2dt是第三类贝塞尔函数的修正值，带有index1。利用上述定义，我们对（Un，Vn），n的边际分布得出以下结论≥ 1.推论4.3。（i） 假设A（0）=eα，B（0）=eβ，α>β。那么vδ，1~ 搞笑α - βqσa+σb，ub- uaqσa+σb,andUδ，1~ 尼格q（σa+σb）（uaσb+ubσa）σaσb，uaσb+ubσaσb，ασb+βσaσa+σb，（α- β） σaσbσa+σb.（ii）对于n≥ 2，Vδ，nand Uδ，n遵循与（i）中相同的IG和NIG分布，α=δ，β=-δ.设（Uδ，Vδ）是与（Uδ，n，Vδ，n），n）具有相同联合分布的一般随机变量≥ 2.接下来我们找到（Uδ，Vδ）的矩母函数，它将用于定理4的证明。第7节和第5节。引理4.4。

存在h>0，使得|（s，t）|存在（Uδ，Vδ）的矩母函数≤ h、 由φδ（s，t）=E[exp{sUδ+tVδ}]=exp{[2θ（s，t）给出- s] δ}，（4.3），其中θ（s，t）定义如下。θ（s，t）=（ub）- ua+sσb）-q（ub）- ua+sσb）- （σa+σb）（sσb+2t+2sub）σa+σb.（4.4）尤其是（Uδ，Vδ）的前两个矩如下所示：E（Vδ）=2δub- ua，E（Uδ）=δ（ub+ua）ub- ua，Var（Vδ）=2（σa+σb）δ（ub- ua），Var（Uδ）=2（ubσa+uaσb）δ（ub- ua），Cov（Uδ，Vδ）=2（ubσa+uaσb）δ（ub- ua）。此外，对于k，l∈ N∪ {0}和k+l≥ 1，存在一些常数C，比如（UkδVlδ）δ→ c、 asδ→ 0.（4.5）4.2{Zδ（t），t的渐近性≥ 在本节中，我们研究{Zδ（t），t≥ 0}进程作为t或→ ∞ 或δ→ 首先，从推论4.3可以看出，对于每个δ，{Zδ（t），t≥ 0}是一个更新奖励过程，我们在下面的引理中对其进行总结。引理4.5。对于δ>0，{Zδ（t），t≥ 0}是一个更新奖励过程，且{Pδ（t），t≥ 0}是一个半马尔可夫过程。Brown和Solomon[9]的下一个结果将Zδ（t）的一阶和二阶渐近矩刻画为t→ ∞, 这也有助于在定理4.7中确定适当的标度。定理4.6（布朗和所罗门[9]）。我们有（Zδ（t））=mt+O（1），（4.6），其中m=（ua+ub），（4.7）和var（Zδ（t））=st+O（1），（4.8），其中s=（σa+σb）。（4.9）这里O（1）是一个函数，它收敛到一个有限常数t→ ∞.以下定理给出了主要结果。对于t≥ 0，定义^Zδ（t）=δZδ（t/δ）- mt√sδ，其中m和s如（4.7）和（4.9）所示。定理4.7。假设E（ln[A（0）/B（0）]<∞. 然后，过程^Zδ弱收敛到标准布朗运动δ→ 0.备注4.8。我们注意到Zδ（t）=rsδ^Zδ（δt）+mt，t≥ 根据定理4.7，对于小δ，我们将在第6节中使用对数交易价格Z（t）的以下渐近模型：rsδB（δt）+mt，（4.10），其中{B（t），t≥ 0}是标准的布朗运动。

我们注意到（4.10）是正态分布，具有平均mt和方差st.5参数估计过程{P（t），t≥ 0}是可观察的，而{（A（t），B（t）），t≥ 0}可能不可公开观察。经纪人和交易商可以进入市场询问和出价流程，但普通交易员无法进入。问题变成了如何找到{（A（t），B（t）），t的参数≥ 0}通过观察{P（t），t≥ 0}. 在本节中，我们将使用矩量法估计参数ua、ub、σa、σ带δ。假设第i个交易时间Tian和第i个交易价格Pia的样本数据为i=1，2，··，n。Letu=ln P，v=t，ui+1=ln（pi+1/pi），vi+1=ti+1- ti，我≥ 1.然后样本数据由{（ui，vi）}ni=1给出。Letx=nXi=1vin，x=nXi=1IN，x=nXi=1vin，x=nXi=1IN，x=nXi=1viuin。我们的目标是利用矩估计推导五个参数ua、ub、σa、σb、δ的显式估计。定义ua，ub，σa，σb，δ的估计值如下。^una=y-qy-4（yy）-y） y，^unb=y+qy-4（yy）-y） y，σna=q（y- ^unay）（^unb）- ^una），^σnb=q（^unby）- y） （^unb）- ^una），^δn=（^unb）- ^una）x，（5.1）其中y=2xx，y=x- xx，y=x- xx，y=x- xxx。为了方便起见，表示Θ=（ua，ub，σa，σb，δ）和^Θn=（^una，^unb，^σna，^σnb，δn）。让g:R→ Rbe可微函数，使得^Θn=g（x，x，x，x，x）。注意，g可以由（5.1）唯一确定，并且有一个显式表达式。引理5.1。估值器定义明确，即y-4（yy）- y） y≥ 0，（y）- ^unay）（^unb）- ^una）≥ 0，（^unby）- y） （^unb）- ^una）≥ 0，（5.2）和as n→ ∞,^Θn→ 几乎可以肯定。（5.3）此外，√n（^Θn）- Θ）弱收敛到具有零均值和协方差矩阵的五维正态分布g（Θ）∑，其中∑是（Vδ，Uδ，Vδ，Uδ，UδVδ）的协方差矩阵g是g.6数值例子的梯度在本节中，我们将我们的模型应用于实际数据，目的是预测短期内的交易价格变动。

我们建立了交易价格的渐近GBM模型，如下所示。假设样本数据{（ui，vi）}ni=1，我们首先估计参数ua、ub、σa、σ带δ，如（5.1）所示，并使用估计器^una、^unb、^σna和^σnb分别在（4.7）和（4.9）中用^una、^unb、^na、^σnb计算m和s。通常，估计量^δ很小（见图6-9），因此根据定理4.7，我们用N（st，mt）随机变量近似Z（t）。因此，LnP（t）的预测公式- lnp（0）是（^una+^unb）t，上界和下界被选择为（^una+^unb）t+P[（^σna）+（^σnb）]t，（^una+^unb）t-p[（σna）+（σnb）]t.我们接下来将上述公式应用于实际数据。这里我们选择股票SUSQ（SusquehannaBancshares Inc.）。数据选择时间为2010年4月1日上午9:30至2010年4月1日下午4:00，包括交易价格和交易时间。交易价格的单位是美元，连续交易时间差的单位是秒。我们进行反向测试来评估预测的性能。准确地说，我们使用交易时间前1分钟的10分钟数据预测每个交易时间的对数交易价格。例如，观察到10:34:56有一个交易，然后我们使用10:23:56到10:33:56的数据来估计参数并预测10:34:56的对数交易价格，10:23:56到10:33:56的时间间隔内的最后一个交易价格被视为P（0）。同时，我们计算该交易时间预测的上限和下限。我们注意到，尽管渐近模型（4.10）中的漂移和波动参数是常数，但预测的估计参数实际上是时变的。我们将预测的对数交易价格与图2中的实际交易价格进行比较。

我们对每个交易时间进行类似的预测，但分别使用交易时间前2、5、10分钟的10分钟数据。比较如图3-5所示。定义相关误差（RE）=实际价格-预测价格实际价格。对于未来1、2、5、10分钟的预测，最大绝对分辨率分别为0.0055、0.0058、0.0080和0.0152。我们看到，对未来1分钟的预测提供了非常好的预测，而当我们试图预测未来时，预测的准确性会下降，这是意料之中的。我们注意到，我们的渐近模型是在δ很小时得到的。我们在图6-9中给出了所有四个预测的^δ值，并观察到所有值都是O（10）-3). 因此，在δ区使用渐近结果是合理的→ 0.图2：使用每次交易时间前1分钟的10分钟数据预测交易价格。图3：在每个交易时间前2分钟，使用10分钟数据预测交易价格。图4：在每个交易时间前5分钟，使用10分钟数据预测交易价格。图5：在每个交易时间前10分钟使用10分钟数据预测交易价格。图6：在每个交易时间前1分钟使用10分钟数据时的^δn值。图7：每次交易时间前2分钟使用10分钟数据时的^δnw值。图8：每次交易前5分钟使用10分钟数据时的^δnw值。图9：每次交易时间前10分钟使用10分钟数据时的^δnw值。附录引理2.1的证明。我们注意到a（t）B（t）=eYa（t）-Yb（t）和Ya（t）- Yb（t）是平均值为ua的RBM- ub<0，方差σa+σb。

因此，使用泰勒级数展开和富比尼定理，Wehave“A（t）B（t）k#=Ehek（Ya（t）-Yb（t））i=1+E∞Xj=1kj（Ya（t）- Yb（t））jj！= 1 +∞Xj=1kjE[（Ya（t）- Yb（t））j]j！，（6.1）其中，根据[1]中的定理1.3，E[（Ya（t）- Yb（t））j]=E[（Ya(∞) - Yb(∞))j] Z∞gj（x）F（t；x，0）dx。（6.2）给你(∞) - Yb(∞) 是Ya（t）的弱极限- Yb（t）as t→ ∞, gk（x）是平均k/2和方差k/4的伽马密度。我们注意到，从（2.8）开始(∞) - Yb(∞) 遵循平均值为u的指数分布≡ （σa+σb）/[2（ub- ua）]，以及thusE[（是）(∞) - Yb(∞))j] =j！uj.（6.3）此外，伽马密度函数由gj（x）=jxj给出-1（j）- 1)!E-2x，x≥ 0.（6.4）将（6.3）、（6.4）和（6.2）放入（6.1），再次使用富比尼定理，我们有“A（t）B（t）k#=1+∞Xj=1Z∞kjujxj-1（j）- 1)!E-2xF（t；x，0）dx=1+Z∞∞Xj=1kjujjxj-1（j）- 1)!E-2xF（t；x，0）dx=1+2kuZ∞e2kux-2xF（t；x，0）dx。命题3.1的证明。对于（i），回想一下t≥ 0，A（t）=expXa（t）+L（t）,B（t）=expXb（t）-L（t）,其中L（t）=sup0≤s≤t（Xa（s）- 预算外（s））-. 所以必须证明xa（Tδ，n）- Xb（Tδ，n）=L（Tδ，n）。现在回想一下Tδ，0=0和Tδ，n=inf{T≥ 0:Xa（t）- Xb（t）=-2（n）- 1） δ}，so Xa（Tδ，n）-Xb（Tδ，n）=-2（n）- 1） δ和Xa（t）- Xb（t）≥ -2（n）- 1） 对于t∈ [0，Tδ，n]。ThusL（Tn，δ）=2（n- 1） δ和soXa（Tδ，n）- Xb（Tδ，n）=L（Tδ，n）=2（n- 1)δ.为了说明（ii）和（iii），我们首先回顾aδ（t）=exp（Xa（t）+∞Xn=1（n- 1） δ1{t∈[Tδ，（n-1） ，Tδ，n）}）Bδ（T）=exp（Xb（T）-∞Xn=1（n- 1） δ1{t∈[Tδ，（n-1） ，Tδ，n）}）。现在是t∈ [Tδ，n]-1，Tδ，n），n=1，2。，注意到Xa（Tδ，n-1) -Xb（Tδ，n-1) = -2（n）-2） δ和thatXa（t）- Xb（t）必须大于-2（n）- 1） δ，我们有l（t）=sup0≤s≤t（Xa（s）- 预算外（s））-∈ [2（n）- 2） δ，2（n- 1)δ). （6.5）因此对于t≥ 0，Aδ（t）≥ A（t）和sup0≤s≤tAδ（s）A（s）=sup0≤s≤T∞Xn=1s∈[Tδ，n]-1，Tδ，n）exp（n）- 1)δ -L（s）∈ [eδ，1），（6.6）哪个屈服于p0≤s≤tAδ（s）A（s）→ 1，asδ→ 0

（6.7）类似地，可以证明，对于t≥ 0，B（t）≥ Bδ（t）和sup0≤s≤tB（s）Bδ（s）→ 1，asδ→ 0.（6.8）引理的证明4.1。让我们来看看t≥ 0，X（t）=Xa（t）Xb（t）=αβ+uatubt+σaWa（t）σbWb（t）.然后Vδ1和Uδ1是xa和Xb的第一次相遇时间和点。设θ=arctan（σaσ-1b）和定义=cosθsinθ-sinθcosθσ-1a0σ-1b,对于t≥ 0，ˇX（t）=MX（t）=ασ-1acosθ+βσ-1bsinθ-ασ-1asinθ+βσ-1bcosθ+uaσ-1acosθ+ubσ-1bsinθ-uaσ-1sinθ+ubσ-1bcosθt+Wa（t）cosθ+Wb（t）sinθ-Wa（t）sinθ+Wb（t）cosθ.设ˇa=ασ-1acosθ+βσ-1bsinθ，ˇb=-ασ-1asinθ+βσ-1bcosθ，ua=uaσ-1acosθ+ubσ-1bsinθ，ub=-uaσ-1sinθ+ubσ-1bcosθ，ˇBa（t）=Wa（t）cosθ+Wb（t）sinθ，ˇBb（t）=-Wa（t）sinθ+Wb（t）cosθ。我们注意到vδ，1=inf{t≥ 0:Xa（t）=Xb（t）}=infT≥ 0:X（t）∈ {（x，y）：y=0}= inf{t≥ 0:ˇBb（t）+ˇubt=-ˇb}。注意到bb是标准布朗运动，使用Girsonov定理，从[20，第3.5.C章]中的（5.12），我们得到了t≥ 0，Pr（Vδ，1∈ dt）=||b|√2πtexp-(-ˇb- 1μbt）2tdt=α- βq2π（σa+σb）texp-[α - β - （ub）- ua）t]2（σa+σb）tdt。接下来注意到Baand Vδ，1是独立的，我们对t≥ 0和x∈ R、 Pr（Vδ，1∈ dt，Uδ，1∈ dx）=Pr（Vδ，1∈ dt，Xa（Vδ，1）=Xb（Vδ，1）∈ dx）=PrVδ，1∈ dt，ˇa+ˇuaVδ，1+ˇBa（Vδ，1）σ-1acosθ+σ-1bsinθ∈ dx！=Prˇa+ˇuat+ˇBa（t）σ-1acosθ+σ-1bsinθ∈ dxVδ，1∈ dt！Pr（Vδ，1∈ dt）=σ-1acosθ+σ-1bsinθ√2πtexp(-((σ-1acosθ+σ-1bsinθ）x- ˇa- ˇuat）2t）dx-Pr（Vδ，1∈ dt）=α- β2πtσaσbexp-hσbσa（x- α - uat）+σaσb（x- β - ubt）i+[α- β - （ub）- ua）t]2（σa+σb）tdxdt，其中最后一个等式来自等式cosθ=σbqσa+σb，sinθ=σaqσa+σb。这证明了（i）。对于（ii），我们看到t∈ [0，Tδ，n+1- Tδ，n），n=1，2。

.~Xa，n（t）≡ lnaδ（t+tδ，n）- lnaδ（Tδ，n-) = Xa（t+tδ，n）- Xa（Tδ，n）+δ，~Xb，n（T）≡ lnbδ（t+tδ，n）- lnbδ（Tδ，n-) = Xb（t+tδ，n）- Xb（Tδ，n）- δ.因此，根据布朗运动的强马尔可夫性质，{Xa，n（t），t≥ 0}和{Xb，n（t），t≥ 0}是初始值为δ和的独立布朗运动-δ、 和Xa和Xb一样的漂移和方差。此外，它们独立于FTδ，n，其中FT=σ{（Xa（s），Xb（s）），0≤ s≤ t} 。（6.9）因此，如果我们让<<Tn和<<Ln表示<<Xa，nand>>Xb，n的第一次会面时间和会面点，那么{（<<Ln，<<Tn），n=1，2，…}是一个独立于（Uδ，1，Vδ，1）的i.i.d.序列，其分布与（Uδ，1，Vδ，1）相同，α=δ，β=-δ. 最后，注意到Xa（Tδ，n）- Xb（Tδ，n）=-2（n）- 1） δ，我们有第一次见面的时间~Xa，nand，Xb，nis，由~Tn=inf{t给出≥ 0:Xa，n（t）=Xb，n（t）}=inf{t≥ 0:Xa（t+tδ，n）- Xa（Tδ，n）+δ=Xb（T+Tδ，n）- Xb（Tδ，n）- δ} =inf{t≥ 0:Xa（t+tδ，n）- Xb（t+tδ，n）=-2nδ}=Tδ，n+1- Tδ，n=Vn，以及Xa，nandXb，nis的第一个汇合点，由Ln=~Xa，n（~Tn）=lnaδ（Tδ，n+1）给出-) - lnaδ（Tδ，n-) = ln Pn+1- ln Pn=Un。总之，我们已经证明{（Un，Vn），n=2，3，…}是一个独立于（Vδ，1，Uδ，1）的i.i.d.序列，其分布与（Vδ，1，Uδ，1）相同，α=δ，β=-δ.引理4.4的证明。假设A（0）=eδ，B（0）=e-δ. 那么（Uδ，1，Vδ，1）与（Uδ，Vδ）具有相同的分布。LetYa（t）=expθXa（t）- （θua+θσa）t,Yb（t）=expθXb（t）- （θub+θσb）t,其中θ和θ是任意实数。然后{Ya（t），t≥ 0}和{Yb（t），t≥ 0}是独立的，并且{（Ya（t），Yb（t）），t≥ 0}是一个{Ft}t≥0马丁格尔（见[21]第7章第5节开头），FTI定义见（6.9）。我们还注意到Vδ，1是一个{Ft}t≥0具有确定性和方差的停止时间（Vδ，1遵循引理4.1中的IG分布）。

因此，可选的停止理论产生（E（Ya（Vδ，1）），E（Yb（Vδ，1））=（E（Ya（0）），E（Yb（0）），因此E[Ya（Vδ，1）Yb（Vδ，1）]=E[Ya（0）Yb（0）]。更准确地说，我们有exp{（θ+θ）Uδ，1- （θua+θσa+θub+θσb）Vδ，1}= exp{[θ- θ]δ}.设θ+θ=s，θua+θσa+θub+θσb=-t、 用s和t解θ和θ，我们得到θ（s，t）=（ub）- ua+sσb）±q（ub- ua+sσb）- （σa+σb）（sσb+2t+2sub）σa+σb，θ（s，t）=s- θ（s，t）。设s=0，注意Vδ，1服从逆高斯分布（见（4.2）），Vδ的动量母函数，1isE（exp（tV））=（ub- ua）-q（ub）- ua）- 2t（σa+σb）σa+σb。因此θ（s，t）的解应如（4.4）所示，而（Uδ，Vδ）的矩母函数φ（s，t）由（4.3）给出，θ（s，t）代替（4.4）中的θ（s，t）。为了计算矩，我们首先需要一些关于θ（s，t）的简单结果，如下所示。θ(0, 0) = 0,θ（s，t）Ts=t=0=ub- ua，θ（s，t）ss=t=0=ubub- ua，θ（s，t）Ts=t=0=σa+σb（ub- ua），θ（s，t）ss=t=0=ubσa+uaσb（ub- ua），θ（s，t）sTs=t=0=ubσa+uaσb（ub- ua），θ（s，t）Tss=t=0=3（σaub+σbua）（σa+σb）（ub）- ua）。因此，E（Vδ）=φ（s，t）Ts=t=0=texp{[2θ（s，t）- s] δ}s=0，t=0=2δub- ua.同样，我们得到（Uδ）=δ（ub+ua）ub- uaE（Vδ）=4δ（ub- ua）+2（σa+σb）δ（ub）- ua）E（Uδ）=δ（ua+ub）（ub- ua）+2（ubσa+uaσb）δ（ub- ua）E（UδVδ）=2δ（ub+ua）（ub- ua）+2（ubσa+uaσb）δ（ub- ua）。最后，对于k，l∈ N∪ {0}和k+l≥ 1，（4.5）之后指出e（UkδVlδ）=k+lφ（s，t）sk热释光s=t=0=δφ（s，t）k+lsktl（2θ（s，t）- （s）s=t=0+o（δ），其中o（δ）→ 0为δ→ 0.定理4.6的证明。从Brown和Solomon[9]中，我们得到了由{（Uδ，n，Vδ，n），n≥ 1} ：E（Zδ（t））=mt+O（1），其中m=E（Uδ）E（Vδ）。利用上述方程中引理4.4的结果，我们得到了方程（4.7）。