累积前景下具有交易费用的最优投资

我们还观察到情况（4）中的最优解将变为θ*= -∞ 如果没有卖空限制被取消。3.4关于y=0的讨论为了得到定理1中的结论，我们在假设2中假设y>0。如果投资者在时间0（y=0）没有持有任何风险资产，我们可以消除不卖空的约束，仍然可以获得明确的解决方案。请注意，y=0时B=（1+r）X，这是引用点最常见的选择，被[2]、[10]、[21]和许多其他人使用。子问题（P1）的解与定理2中的解完全相同。然而，子问题（P2）的解决方案与OREM 3中的结果不同。给定y=0，我们有y+θ≤ 0表示所有θ≤ 0（回忆y+θ）≥ 第3.3小节中的0）。定义Z:=1+R- (1 - λ） （1+r）。那么我们有d=W（θ）- 对于所有θ，B=Z·θ≤ 0.通过A:={Z>0}={1+R>（1）确定损失集合- λ） （1+r）}。非套利条件（1）意味着P（A）>0，而P（A）=0在第3.3节中是可能的。通过替换Zby Z，Aby a，去掉定理2中的情况（4a），我们在y=0的情况下解（P2）。然后，对于y=0的情形，在不受投资策略约束的情况下，可以很容易地得到与定理1类似的定理。为了研究这两种情况（y>0和y=0）之间的联系，我们修改了J（θ）的符号。对于y>0的初始位置（x，y），我们用‘J（θ；x，y）代替J（θ）。如果我们将x和θ相乘，并将J视为y的函数，那么J就变成了参数y中的连续函数。

然后我们用J（θ；x，0）=limy来扩展J的定义→对于所有x，0′J（θ；x，y）∈ R、 θ≥ -y、 16 Bin Zou，Rudi Zagst用θ表示最佳策略*当y>0且施加无卖空约束时，即‘θ*（x，y）=arg maxθ≥-y′J（θ；x，y）。尽管符号不同，我们显然有‘θ*= θ*由定理1给出。如果投资者在时间0（即y=0）时没有持有任何风险y，我们使用J（θ；x）代替J（θ），其中θ∈ R.在这些新的符号下，对于一个ll x，J（θ；x）=J（θ；x，0）∈ R、 θ≥ -y、 如果我们从θ扩展定义J≥ -ytoθ∈ R、 然后上述等式在θ的整条实线上成立。用θ表示最优策略*当ny=0且不施加卖空约束时，即∧θ*（y） =arg maxθ∈R~J（θ；x）。关于这两种情况的最佳前景，我们有以下建议。命题2给定x∈ R和y>0，表示x0,1:=x+和x0,2:=x+（1- λ） y.不等式J（\'θ）*（x，y）；x、 y）≤~J（~θ）*（x0,1）；如果定理1的情况（8）中的两个条件都不满足，则x0,1）成立。不等式‘J（‘θ’*（x，y）；x、 y）≥~J（~θ）*（x0,2）；如果0，则x0,2）保持不变≤~θ*（x0,2）<∞.我们首先观察到的证据是*（x，y）；x、 y）<+∞ 当且仅当定理1案例（8）中的两个条件均不满足时，考虑无风险资产中初始投资组合（x，y）的投资者和x0,1的投资者。无论θ投资者I选择什么策略，投资者I都可以选择θ′=θ+y来胜过投资者I≥ 0在作出投资决定后的时间0，投资者和投资者Ibecome的投资组合（x- θ、 y+θ）。--Y≤ θ ≤ 0在作出投资决定后的时间0，投资者的投资组合现在（x- (1 - λ） θ，y+θ），而投资组合仍然（x- θ、 y+θ）。

注意x- θ ≥ 十、- (1 - λ)θ.上述事实消除了第一种不平等。如果0≤~θ*（x0,2）<∞, 然后是∧J（∧θ）*（x0,2）；x0,2）<+∞ θ′＝θ*（x0,2）-Y≥ -对于具有初始投资组合（x，y）的投资者来说，Yi是一种可行的投资策略。遵循与“J（θ′；x，y）的第一个不等式证明类似的论证≥~J（~θ）*（x0,2）；x0,2），这意味着第二个不等式。在CPT 173.5讨论下，当λ=0时，我们允许λ≥ 0.到目前为止，当λ>0时，该函数中的分析和结果更有趣，因为在无摩擦市场（对应于λ=0）中获得了相似的结果，参见，例如[2]、[10]和[21]。在本节的最后，我们对λ>0和λ=0.1的两种情况进行了比较。如果λ>0，Z=（1- λ） （1+R）- （1+r）<Z=（1）- λ） （R）- r） 。如果λ=0，Z=Z=R- r、 二,。回想一下A={Z<0}和A={Z>0}。给定无套利条件（1），0<P（A）≤ 1和0≤ P（A）≤ 如果λ>0，则为1；如果λ=0.3，则0<P（A）<1和0<P（A）<1。如果λ=0，则定理1的结果将简化为无摩擦市场中的结果（例如，参见[2，定理3.1]和[10，定理3]）。此外，作为前面比较的结果，定理1中的几种情况永远不会发生，这些情况包括（1a）-（1c）、（2a）、（3a）、（4a）-（4c）、（5a）、（6a）和（8a）。使用CPT定义n（7），我们重写了gi（Zj），i，j=1，2，在（10）和（12）中定义，asg（Z）=Z∞w+（SZ（z））du+（z），l（z）=kZ∞W-（FZ）(-z） ）杜-（z） ，g（z）=z∞w+（FZ(-z） du+（z），l（z）=kZ∞W-（SZ（z））du-（z） 。如果λ>0，我们有Z>Z，这意味着FZ（Z）≤ FZ（z）表示所有z（严格不等式适用于某些z）。此外，如果Zis在0左右对称分布（相当于R在R周围对称分布），我们有， z>0FZ(-z） =1- FZ（z）≥ 1.- FZ（z）=SZ（z），FZ(-z） =1- SZ(-z）≥ 1.- SZ(-z） =SZ（z）。因此g（Z）>g（Z）和l（Z）<l（Z）。

因此，K（Z）>K（Z）成立，然后KM=K（Z）。如果λ=0，且Zis对称分布一轮0，则K（Z）=K（Z）。4显式解当R具有二项式分布时，在本节中，当风险资产的收益具有二项式分布时，我们显式解决问题1，具体为1+R=（u），概率为1- pd，概率p，（14）18 Bin Zou，Rudi Zagstu，其中u>d>0和0<p<1。该模型中的无套利条件（1）为asu>（1）- λ） （1+r）>（1）- λ） d.给予报酬ξ∈ FT，假设ξ=（ξu，当1+R=uξd时，当1+R=d时。在下文中，我们可以表示上述意义上的ξ=（ξu，ξd）。在由（14）建模的市场中，假设我们可以通过策略θξ和初始投资xξ复制ξ如果ξu≥ ξd，那么我们得到θξ=ξu- ξd（1）- λ） （u）- d） ，（15）xξ=1+rpbu·ξu+pbd·ξd, （16） 其中PBU和pbdare由PBU定义：=（1+r）- (1 - λ） d（1）- λ） （u）- d） 和pbd:=（1）- λ） u- （1+r）（1）- λ） （u）- d） .–如果ξu<ξd，那么我们得到θξ=ξu- ξdu- d、 （17）xξ=1+r（psu·ξu+psd·ξd），（18）其中psu和psd由psu定义：=（1）- λ） （1+r）- 杜- d、 psd=u- (1 - λ） （1+r）u- d、 备注5如果ξu≥ ξd（或ξu<ξd），复制策略包括购买（或出售）风险资产（自θξ起）≥ 0 in（15）和θξ<0 in（17））。请注意，pbu+pbd=1，psu+psd=1，pbu，psd>0，但pbd和psu可能为负值，因此（pbu，pbd）和（psu，psd）不一定是风险中性概率测量。然而，如果λ=0，我们有pbu=psu，pbd=psd，并且（pbu，pbd）是唯一的风险中性概率度量。为了解决问题1，我们声称以下各项适用于本节剩余部分。在这种情况下，复制策略涉及长时间的风险集合。θξ和xξ由（1+r）·（xξ）求解- θξ) + (1 - λ） u·θξ=ξuand（1+r）·xξ- θξ) + (1 - λ） d·θξ=ξd。在这种情况下，复制策略涉及做空风险资产。

θξ和xξ由（1+r）·（xξ）求解- (1 - λ） θξ）+u·θξ=ξuand（1+r）·xξ- (1 - λ） θξ）+d·θξ=ξd.CPT假设下的交易费用最优投资。投资者从初始投资组合（x，0）开始，即投资者在开始时不持有任何风险资产，y=0.2。市场中的风险收益率R由（14）建模。效用函数是（3）给出的分段指数效用，η+=η-= η > 0.注释6当y=0时，由（8）给出的参考点B变为（1+r）X。回想一下（16）和（18），B也可以重写为B=pbu·ξu+pbd·ξd=psu·ξu+psd·ξd。由于y=0，我们设置xξ=x，只考虑初始财富x的投资策略。注意，如果θξ是一个复制策略，由（15）或（17）给出，那么W（θξ）=ξ和J（θξ）=）=V（ξ）。在假设3中，我们考虑分段指数效用函数。分段幂效用和分段指数效用之间的一个主要区别是，指数效用下的前景效用总是有限的，因为0≤ u±（x）≤ ζ表示所有x≥ 0.因此，假设1总是在指数效用下确定的。4.1主要结果我们分离出素数表m supθ∈RJ（θ）分为两个子问题：（P3）supθ≥0J（θ）和（P4）supθ<0J（θ）。前面评论中的结果促使我们考虑两组随机支付：Ξb:={ξ=（ξu，ξd）∈ FT:ξu≥ ξd，pbu·（ξu）- B） +pbd·（ξd）- B） =0}，Ξs:={ξ=（ξu，ξd）∈ FT:ξu<ξd，psu·（ξu- B） +psd·（ξd）- B） =0}，以及两个子问题：（P3’）supξ∈ΞbV（ξ）和（P4\'）supξ∈ΞsV（ξ）。注意ξ∈ Ξb<=> θξ≥ 0和ξ∈ Ξs<=> θξ< 0 .因此，（P3）等同于（P3\'），（P4）等同于（P4\'）。一旦我们解出（P3\'）（或（P4\'），我们就可以通过使用（15）很容易地得到（P3）（或（P4））的解。结果解释了ΞbandΞs中的上标符号（“b”代表“买”，而“s”代表“卖”）。20 Bin Zou，Rudi Zagst（或（17））。

最后，通过比较（P3）和（P4）的最大值来求解表m 1。为了给出主要定理，我们做了以下定义：‘ζ：=w+（1）- p） w-（p） ζ：=pbd·w+（1）- p） pbu·w-（p） ，（19）ζ：=w+（p）w-(1 - p） ζ：=psu·w+（p）psd·w-(1 - p） ，（20）和θ：=η（（1）- λ） （u+d）- 2（1+r））lnζζ, (21)θ:= -η2(1 - λ） （1+r）- （u+d）自然对数ζζ. （22）定理4和定理5分别总结了（P3）和（P4）的解。我们在第4.2节和第4.3节中为这两个定理提供了详细的证明。定理4如果假设3成立，我们从下列情况得到（P3）的显式解。1.最优解为θ*= 0和J（θ）*) = 如果下列条件之一成立，则为0：（a）pbd≤ 0;（b） pbd=pbu>0且ζ>ζ；（c） 0<pbd<pbu和ζ≥ζ;（d） pbd>pbu>0和ζ≥ζ.2. 任意θ*∈ [0, +∞) 是最优解，J（θ）*) = 如果pBD=pbu>0且ζ=°ζ。最优解是θ*= + ∞ 和J（θ）*) = w+（1）- p）- ζ·w-（p） >0如果下列条件之一成立：（a）pbd=pbu>0且ζ<ζ；（b） 0<pbd<pbu和ζ<ζ。最优解是θ*= θ和J（θ）*) = J（θ）>0ifpbd>pbu>0和ζ<ζ。定理5如果假设3成立，我们从下列情况得到（P4）的显式解。1.最优解为θ*= 0和J（θ）*) = 如果以下条件之一成立，则为0：（a）psu≤ 0;在CPT 21（b）psu=psd>0且ζ>ζ条件下，交易成本最优投资；（c） 0<psu<PSDζ≥ ζ;（d） psu>psd>0和ζ≥ ζ.2. 任意θ*∈ (-∞, 0）是最优解，J（θ）*) = 0如果PSU=psd>0且ζ=ζ。最优解是θ*= - ∞ 和J（θ）*) = w+（p）- ζ·w-(1 - p） >0如果下列条件之一成立：（a）psu=psd>0且ζ<ζ；（b） 0<psu<psd，ζ<ζ。最优解是θ*= θ和J（θ）*) = J（θ）>0ifpsu>psd>0，ζ<ζ。为了简化上述两个定理案例的引用，我们引入符号[Th.4；1]来表示定理4的案例（1）。

类似的注释也适用于定理5。根据定理4，（P3）J（θ）的最大前景*) 取三个可能的值：0 in[Th.4；1,2]；w+（1）- p）- ζ·w-（p） 大于0英寸[Th.4；3]；andJ（θ）>0英寸[Th.4；4]。关于（P4），它的最大前景J（θ）*) 也可以取三个可能的值：0 in[Th.5；1,2]；w+（p）- ζ·w-(1 - p） 大于0英寸[Th.5；3]；J（θ）>0 in[Th.5；4]。通过比较（P3）和（P4）的两个最大前景，我们找到了问题1的最大前景和最优投资策略。定理4和5中的结果立即与下面的定理6一致。定理6如果假设3成立，我们得到了最优投资策略θ*通过以下案例来解决问题1。1. θ*= 如果[Th.4；1]和[Th.5；1]同时保持，则为0。2. θ*= θ如果[Th.4；4]成立，并且满足以下条件之一：（a）[Th.5；1，2]成立；（b） [Th.5；3]保持和J（θ）≥ J(-∞);（c） [Th.5；4]保持和J（θ）≥ J（θ）。θ*= θ如果[Th.5；4]成立，并且满足以下条件之一：（a）[Th.4；1，2]成立；（b） [Th.4；3]保持和J（θ）≥ J(+∞);（c） [Th.4；4]保持和J（θ）≥ J（θ）。任意θ*∈ [0, +∞) 如果[Th.4；2]和[Th.5；1]同时持有，则为最佳投资策略。5.任意θ*∈ (-∞, 如果[Th.4；1]和[Th.5；2]同时持有，则0]是最佳投资策略。22邹斌，鲁迪·扎格斯特6。任意θ*∈ (-∞, +∞) 如果[Th.4；2]和[Th.5；2]同时成立，则为最优投资策略。7. θ*= +∞ 如果[Th.4；3]成立，且以下满足条件之一也成立：（a）[Th.5；1，2]成立；（b） [Th.5；3]持有和持有(+∞) ≥ J(-∞);（c） [Th.5；4]持有和持有(+∞) ≥ J（θ）。

θ*= -∞ 如果[Th.5；3]成立，且以下满足条件之一也成立：（a）[Th.4；1，2]成立；（b） [Th.4；3]持有和持有(-∞) ≥ J(+∞);（c） [Th.4；4]保持和J(-∞) ≥ J（θ）。备注7回顾（21）和（22）中的定义，当风险规避参数η增加时，最佳投资θ和θ的两个候选者的绝对量减少。如果λ≥\'\'λ：=max{1-1+ru，1-d1+r}，均为pbd，psu≤ 0，然后根据定理6，最优投资θ*= 0.这个结果表明，最优投资对交易成本的依赖很大。只要λ高于阈值λ，CPT投资者就不会交易风险资产。然而，如果市场中没有交易成本（λ=0），则无套利条件d<1+r<u意味着¨λ>λ=0。当λ=0时，我们通过讨论上述理论的结果来结束这一小节。如果λ=0，则薄膜是无摩擦的。回想一下pbu、pbd、psu和psd的定义。我们将它们简化为aspbu=psu=1+r- 杜- d:=pu>0，pbd=psd=u- （1+r）u- d:=pd>0，其中我们使用无套利条件来推导pu，pd>0。因此，我们可以放弃所有pbd病例≤ 0或psu≤ 理论4、5和6中的0。此外，在三种情况下更容易列出结果：pu=pd；pu>pd；和pu<pd，这将减少theoremsabove的案例。例如，如果pu<pd，那么问题1的最优解由θ给出*=0，如果ζ≥ 最大{ζ，ζ}θ，如果ζ≤ ζ<ζ或ζ<最小{ζ，ζ}和J（θ）≥ J（θ）θ，如果ζ>ζ≥ζ或ζ<min{ζ，ζ}和J（θ）≤ J（θ）。θ的上述表示*在第4.2和4.3小节中也有使用。用λ=0的ab-ove表示法重新表述定理4、5和6是一个简单的过程，留给感兴趣的读者作为练习。在CPT 234.2子问题（P3）的解法中，我们为T定理4提供了分析和证明。

由于（P3）和（P3\'）是等价的，我们关注（P3\'）：supξ∈ΞbV（ξ）。如果pbd≤ 0，即美国≤1+r1-λ（对应于第3.2小节中的P（A）=1），然后V（ξ）≤ 0=V（（B，B））。因此ξ*= （B，B）∈ Ξb和θ*= 0，因为（15）。在本小节的其余部分中，我们将研究pbd∈(0, 1). 马上，我们得到ξd- B≤ 0≤ ξu- B、 及 ξ ∈ Ξb，b- ξd=pbupbd（ξu）- B） 。根据CPT的定义，我们写出V（ξ）asV（ξ）=w+（1）- p） ·u+（ξu- B）- W-（p） ·u-（B）- ξd）=w+（1）- p） ·u+（ξu- B）- W-（p） ·u-pbupbd（ξu）- B）:= Lb（ξu）。那么子问题（P3\'）等价于supξu≥BLb（ξu）。-在这种情况下，使用假设3，我们重写Lb（ξu）asLb（ξu）=w+（1）- p）- ζ·w-（p）· u+（ξu）- B） 。自u+（ξu）- B） 是ξu和w+（1）的递增函数- p） >0，符号（（Lb）′（ξu））=符号（\'）ζ- ζ).召回ζ=w+（1- p） /w-（p） 定义见（19）。因此，我们得到了最优的payoffξ*ubyξ*u=B、 当ζ>ζ[B+∞), 当ζ=ζ+∞, 当ζ<ζ时。因此，使用（15）和ξd=2B- ξu，最优解θ*到[0]中的（P3）+∞) 由θ给出*=0，当ζ>ζ[0+∞), 当ζ=ζ+∞, 当ζ<ζ.24 Bin Zou，Rudi Zagst–pbu>pbdWe计算（Lb）′（ξu）为（Lb）′（ξu）=w+（1- p） ·ηe-η（ξu）-B）1.-ζ′ζe-η（pbu/pbd）-1） （ξu）-B）.如果ζ≤对于所有ξu>B，则为（Lb）′（ξu）>0。前景Lb（ξu）是ξu（以及θ）的一个严格递增函数，因此是[0]的最佳投资+∞) 是θ吗*= +∞.如果ζ>ζ，我们得到（Lb）′（ξ）*u） =0<=> ξ*u=B+lnζ/ζηpbupbd- 1.> B、 （Lb）′（ξu） 0<=> ξu ξ*u、 即ξ*uis最小值。约束θ∈ [0, +∞) 等于ξu∈ [B]+∞).