累积前景下具有交易费用的最优投资

为了应对这些风险态度，CPT采用了S形效用函数，该函数由两个不同的函数组成，即u+和u-, 分别用于收益和损失。投资策略（以及相关财富X）的路径效用由U+（X（ω）定义- B（ω））·1X（ω）-B（ω）≥0- U-（B（ω）- X（ω））·1X（ω）-B（ω）<0，对于所有ω∈ Ohm, 式中，1a是集合A的指示函数。在本文中，我们假设u±：R+→ R+是两次可微的，严格递增，严格凹，满足u±（0）=0。这些假设有完美的经济和数学解释，并且与人们的投资行为一致。例如，收益的凹性（收益由u+评估）和损失的凸性（损失由u+评估）-U-) 捕捉风险厌恶和风险寻求。此外，研究还表明，人们倾向于避免损失而不是获得同等的收益，也就是说，人们对损失比收益更敏感，例如[3]、[10]、[31]、[32]和[34]。在经济学和决策学中，CPT理论下具有交易成本的最优投资，这种行为被称为损失厌恶。在数学模型中，为了捕捉损失厌恶，我们假设-（x） >u′+（x），对于所有x≥ 0.在CPT应用中，效用函数最常见的选择是各方面的电力效用，首先由[32]u+（x）=xα和u提出-（x） =kxβ，对于所有x≥ 0，（2）其中k>1，0<a≤ β ≤ 1.请注意，上述参数假设是效用函数所有假设满足的充分条件。特别是k>1和0<α≤ β ≤1一起意味着u′的-（x） 所有x的u′+（x）≥ 0，从而导致lossaversion行为。[1]、[2]、[10]第5.1节、[21]第4.1节、[25]和许多其他内容中都有在CPT应用中应用分段电源实用程序的示例。

在[32]中，参数估计为α=β=0.88，k=2.25，这显然满足上述所有参数假设。由（2）给出的功率效用函数是无界的，因此可能会导致不适定问题（无论是有限的CPT值还是有限的投资），详细讨论请参见[10]。一些人还认为，正如[27]所指出的，权力效用函数可能无法解释高风险规避行为。因此，有些人更喜欢在CPT应用中使用分段指数效用函数，参见[18]中的参数。分段指数效用函数由u+（x）=1给出- E-η+x和u-（x） =ζ1.- E-η-十、, （3） 式中η+，η-> 0, ζ > 1. 在MOST应用中，η+=η-也假设，这与ζ>1一起产生损失厌恶。[21]第4.3节、[26]和[34]中的CPT相关优化问题中使用了分段经验函数。概率权重函数投资者倾向于对极端事件（小概率事件）的权重过高，而对正常事件（大概率事件）的权重过低。在CP T中，通过使用概率加权函数（也称为概率失真函数）将客观累积概率转换为主观累积概率来捕获这种行为。加权函数有一个反向的S形，两个独立的部分是放弃和损失，用w+（·）和w表示-（·）分别。我们假设w±：[0,1]→ [0,1]是严格递增和可微分的，并且满足w±（0）=0，w±（1）=1.8 Bin Zou，Rudi zagst[32]中使用的加权函数由w+（x）=xγ（xγ+（1）给出- x） γ）1/γ和w-（x） =xδ（xδ+（1- x） δ）1/δ。（4） 正如[28]中指出的，当γ、δ≤ 0.25，但当γδ≥0.5.

将严格增加加权函数的条件放宽为γ，δ≥ 0.28英寸[1]。[32]中的估计参数为γ=0.61和δ=0.69，满足所有设计假设。在[22]中，Prelec引入了以下加权函数W+（x）=e-δ+(- ln（x））γ和w-（x） =e-δ-(- ln（x））γ，（5）式中γ∈ （0,1）和δ+，δ-> 0 . [28]使用带有δ+=δ的Perlec加权函数-= 1.设X为随机财富，B为参考点。我们定义了正向预测V+（X）和负向预测t V-（十） 对于X byV+（X）：=Z∞Bu+（x）- B） d[-w+（SX（x））]，V-（十） ：=ZB-∞U-（B）- x） d[w-（FX（x））]。X的潜在效用由V（X）：=V+（X）定义- 五、-（十） 假设V+（X）和V-（十） 两者并非同时存在。表示D:=X- B、 那么我们有V（X）=V+（X）- 五、-（十） =Z∞u+（x）d[-w+（SD（x））]-Z-∞U-(-x） d[w-（FD（x））]（6）：=VD（D）。通过分段积分和变量的变化，我们重写了（6）中的VD（D）asVD（D）=Z∞w+SD（x）du+（x）-Z∞W-FD(-十）杜-（x） 。（7） CPT下的交易成本最优投资92.3第2.1小节中描述的金融市场问题，投资者根据第2.2小节中介绍的CPT框架选择投资策略θ。换句话说，投资者希望最大化前景效用VD（W（θ）-B） ，由（6）或（7）定义。投资者的最终财富W（θ）是投资策略yθ的函数，前景效用VD（W（θ）也是- B） 。

Wethen表示j（θ）：=VD（W（θ）- B） 。参考点B由B=W（0）=（1+r）x+（1+r）给出Y- λy+, （8） 也就是说，参考点是“无所事事战略”的终极财富。参考点的上述选择也可以在[2]、[10，第5.1节]和[21]中看到。在上述市场环境中，我们隐含地假设我们考虑的投资者是“小投资者”，他/她的投资活动对风险资产的价格没有任何影响。如果以下假设成立，则J（θ）是有限的。假设1我们假设V+（W（θ））和V-（W（θ））是所有θ的定义∈ R.如果满足以下条件之一，则命题1假设1满足：风险回报率R是有界的，例如，R是一个离散随机变量，且| R | 6=∞.– 风险收益R服从正态分布、对数正态分布或student-t分布，对于足够小的x，存在一些0<<1，使得w′±（x）=O十、-, w′±（1）- x） =O十、-.第一个结果是显而易见的。关于第二个结果的证明，请参考[10，命题1]和[21，命题2.1]。然后，我们用CPT下的交易成本来描述最优投资问题，如下所示。问题1在有交易成本的金融市场中（如第2.1小节所示），投资者寻求最佳投资策略，以最大化其终端财富的预期效用J（θ）。同样地，投资者会看到最大值θ*关于问题j（θ）*) = supθ∈RJ（θ）=supθ∈RVD（W（θ）- B） .10邹斌，Rudi Zagst3显式解当R具有连续分布时，在本节中，我们考虑风险回报R具有连续分布的情况。为了获得问题1的明确解决方案，我们假设本节中的所有假设都成立。假设21。风险资产的初始头寸为正，y>0.2。不允许卖空，即θ≥ -y、 三,。

效用函数为幂型，由（2）给出。备注2我们对假设2进行了一些评论。我们允许投资者出售风险资产（θ可以为负），但不超过他们目前拥有的资产。然而，在[2]中施加的无卖空约束等于θ≥ 0.y<0的情况不那么有趣，因为无短期销售约束意味着θ>0.3.1主要结果为了找到问题1的最佳解决方案，我们将主要问题SUPθ分开∈RJ（θ）分为两个子问题：（P1）supθ≥0J（θ），a和（P2）supθ≤0J（θ）。通过比较两个子问题（P1）和（P2）的最优前景效用，我们得到了问题1的最优投资策略。因为在假设2中，我们施加了无卖空约束，即θ≥ -y、 子问题（P2）简化为（P2）sup-Y≤θ≤0J（θ）。表示所有“购买策略”（θ）的lo-sses集合≥ 0）所有“销售策略”（θ）≤ 分别为0）。也就是说，如果ω∈ A（或ω）∈ A） ，然后d=W（θ）- B<0表示所有θ≥ 0（或所有θ）≤ 0 ). A和A的正式数学定义在相应的小节中推迟。定义：=（1）- λ） （1+R）- （1+r）和Z:=（1）- λ） （R）- r） ，以及θ：=αβkK（Z）β-α、 θ：=-αβkK（Z）β-α、 （9）式中，K（Z）和K（Z）由（11）和（13）定义。表示km=max{K（Z），K（Z）}。然后，我们在下面的定理中总结这一部分的主要结果。CPT定理1下的交易费用最优投资如果假设2成立，对于最优投资θ，我们有以下结果s*问题1.1。θ*= 如果下列条件之一成立，则为0：（a）P（a）=P（a）=1；（b） P（A）=1，0<P（A）<1，α=β，k>k（Z）；（c） 0<P（A）<1，P（A）=1，α=β，k>k（Z）；（d） 0<P（A），P（A）<1，α=β，k>KM。2. θ*= θ如果下列条件之一成立：（a）0<P（a）<1，P（a）=1，α<β；（b） 0<P（A），P（A）<1，α<β，J（θ）≥ max{J（θ），J(-y） 3。

θ*= θ如果下列条件之一成立：（a）P（a）=1，0<P（a）<1，α<β，以及-Y≤ θ;（b） 0<P（A），P（A）<1，α<β，-Y≤ θ、 和J（θ）≥ J（θ）。θ*= -如果下列条件之一成立：（a）P（a）=1且P（a）=0；（b） P（A）=1，0<P（A）<1，α=β，k<k（Z）；（c） P（A）=1，0<P（A）<1，α<β，和-y> θ；（d） 0<P（A），P（A）<1，α<β，-Y≥ θ、 还有J(-y）≥ J（θ）。任意θ*∈ [0, + ∞) 如果满足以下条件之一，则为最优策略：（a）0<P（a）<1，P（a）=1，α=β，k=k（Z）；（b） 0<P（A），P（A）<1，α=β，k=k（Z）>k（Z）。任意θ*∈ [-y、 如果满足以下条件之一，则0]是最佳策略：（a）P（a）=1，0<P（a）<1，α=β，k=k（Z）；（b） 0<P（A），P（A）<1，α=β，k=k（Z）>k（Z）。任意θ*∈ [-Y∞) 如果满足以下条件，则为最优策略：0<P（A），P（A）<1，α=β，k=k（Z）=k（Z）。θ*= +∞ 如果下列条件之一成立：（a）0<P（a）<1，P（a）=1，α=β，k<k（Z）；（b） 0<P（A），P（A）<1，α=β，k<KM。一旦我们解决了第3.2小节和第3小节中的两个子问题（P1）和（P2），定理1的严格证明就是一个即时观察。3.我们为定理1中的一些代表性案例提供了一些经济意义和不完整的数学推理（测试可以用类似的方式进行解释），读者可能会发现这有助于理解定理1。备注3–P（A）=1（或者，P（A）=1）意味着所有长期策略（或者，所有短期策略）几乎肯定会导致损失。因此，如果P（A）=1和P（A）=1，最优投资策略显然为零，即θ*= 与案例（1a）中的0相同在（P1）中，我们有符号（J′（θ））=符号（K（Z）- k） 当α=β时。

在（P2）中，我们有符号（J′（θ））=符号（K（Z）- k） 当α=β时（两者都在后面显示）。12 Bin Zou，Rudi Zagst–如果P（A）=1，根据上述分析，最优投资策略将是s-hort策略（θ）*∈ [-y、 0]）。当α=β且k<k（Z）时，J′（θ）<0，且J（θ）是递减函数，这意味着θ*= - y、 这正是案例（4b）的结果。同样的分析也适用于案例（1b）和案例（6a）。-当P（A）=1和α=β时，我们直接从对称情况下获得结果，如情况（1c）、情况（5a）和情况（8a）——在所有非平凡情况下（即，投资者可能最终以严格正概率获得收益或损失），以及当α<β，J（θ）在（P1）中有唯一最大化子θ>0，在（P2）中有唯一最大化子θ<时。在（P1）中，可行域是无界的，所以θ是可实现的。但在（P2）中，可行区域的边界如下：-y、 所以θ是最大imizer当且仅当θ≥ -Y这种额外情况可以在案例（3a）、案例（3b）、案例（4c）和案例（4d）中看到。然后通过比较J（θ）和J（θ）（或J）得到最优投资策略(-y） ），例如，参见案例（2b）和案例（3b）。如果约束θ≥ -在上述情况下（即0<P（A）、P（A）<1和α<β），我们得到了案例（2b）和案例（3b）的更好结果：（i）如果α<β和（g（Z））β/（l（Z））α≥ （g（Z））β/（l（Z））α，然后是θ*= θ.（ii）如果α<β和（g（Z））β/（l（Z））α<（g（Z））β/（l（Z））α，那么θ*= θ.上述结果基于J（θ）和J（θ）之间的比较，见[10，附录]。-最优投资θ*最佳前景J（θ）*) 除情况（8）外，所有情况下都是相同的，其中θ*= +∞. 如果情况（8）中的任一条件满足，则问题1不适定。请参阅[10，第3节]了解更多关于该问题适定性的讨论。3.2如果θ，子问题（P1）的解决方案≥ 0，然后y+θ≥ 0

因此，投资者需要在清算时出售风险资产中的所有股份。回忆Z=（1）- λ） （1+R）- （1+r），我们得到d=W（θ）- B=Z·θ。定义集合Aby A:={Z<0}=n1+R<1+r1-λo.注意，set Ais是投资者的损失集合（回忆θ≥ 0). 由于无套利条件（1），P（A）>0。通过定义（6）并改变变量（x=zθ，θ>0），子问题（P1）中的效用J（θ）可以重写为J（θ）=z∞xαd[-w+（SD（x））]-Z-∞k(-x） βd[w-（FD（x））]=Z∞zαd-w+SZ（z）· θα-Z-∞(-z） βdW-FZ（z）· kθβ。根据CPT 13We定义，对于任何可测量的随机变量Z，具有交易成本的最优投资，thatg（Z）：=Z∞zαd-w+SZ（z）,l（Z）：=Z-∞(-z） βdW-FZ（z）.（10） 一般来说，g（Z）（或l（Z））可以理解为随机财富X与X的收益（或损失）的现值- B=Z。在我们这里的设置中，g（Z）和l（Z）正是W（1）的收益预期值和损失预期值（除以标量k），这是与策略θ=1相关的终端财富。数学上，我们有g（Z）=V+（W（1））和k·l（Z）=V-（W（1））。根据gand l的定义，前景效用J（θ）简化为J（θ）=g（Z）·θα- l（Z）·kθβ，θ≥ 0.定义K（Z）byK（Z）：=g（Z）l（Z）。（11） 由于P（A）>0，我们将定义K（Z），K（Z）>0。请注意，K（Z）与[17]中提出的ω度量值具有相似的特征，请参见[2，第4.1节]进行比较。下面我们总结子问题（P1）的解决方案。定理2如果假设2成立，那么最优解θ*子问题（P1）是从以下场景之一获得的。1. θ*= 如果（a）P（a）=1或（b）0<P（a）<1，α=β，且k>k（Z）成立，则为0。2. θ*= θ、 由（9）给出，如果0<P（A）<1且α<β。任意θ*∈ [0, +∞) 如果0<P（A）<1，α=β，K=K（Z），则为最优解。

θ*= +∞ 如果0<P（A）<1，α=β，k<k（Z）。证明如果P（A）=1，则所有长期策略θ的支撑损失概率为1≥ 因此，购买r isky资产，即θ，永远不是最佳选择*= 0 .数学上，P（A）=P（Z<0）=1=> g（Z）=0。那么我们有j（θ）=-l（Z）·kθβ<J（0）=0，对于所有θ>0，直接表示θ*= 我们接下来考虑非平凡的情况：0<P（A）<1。微分J（θ）给定J′（θ）=l（Z）θα-1.α·K（Z）- βk·θβ-α.如果α=β，我们有符号（J′（θ））=符号（K（Z）- k） 。因此，J（θ）要么是严格递减函数，要么是严格递增函数，要么是常数，取决于14 Bin Zou，Rudi Zagst k的值。如果满足情况（4）中的条件，J（θ）严格递增，且limθ→∞J（θ）=+∞. 因此（P1）是一个不适定问题。如果α<β，则由（9）定义的θ是正轴上J′（θ）=0的唯一解。此外，对于所有θ，J′（θ）>0∈ （0，θ）和J′（θ）<0表示所有θ∈ (θ, ∞). 因此，θ是（P1）的唯一最大化子。3.3子问题（P2）的解由于假设2中没有卖空约束，我们有y+θ≥ 总共0- Y≤ θ ≤ 因此，在终端时间T的清算指令是出售所有资产。回忆Z=（1）- λ） （R）- r） 在这种情况下，我们得到d=W（θ）- B=Z·θ。定义集合Aby A:={Z>0}={R>R}。

因为投资θ仅限于做空策略（θ≤ 0）在本小节中，集合A的差异D为负值，这意味着集合A是投资者的损失集合。在这种情况下，我们得到如下J（θ）：J（θ）=Z∞xαd[-w+（SD（x））]-Z-∞k(-x） βd[w-（FD（x））]=Z-∞(-z） αdw+FZ（z）(-θ)α-Z∞zβd-W-SZ（z）· k(-θ） β，我们在第二等式中应用了变量x=zθ（θ<0）的变化。我们定义，对于任何可测量的随机变量Z，thatg（Z）：=Z-∞(-z） αdw+FZ（z）,l（Z）：=Z∞（z） βd-W-SZ（z）.（12） g（Z）和l（Z）的经济意义与g（Z）和l（Z）的相似，只是在两种情况下，由于θ的符号不同，收益/损失s位于完全相反的尾部。定义K（Z）byK（Z）：=g（Z）l（Z），（13），如果P（A）>0，则定义良好且严格为正。使用g（·）和l（·）的符号，我们重写了J（θ）asJ（θ）=g（Z）·(-θ)α- l（Z）·k(-θ）β- Y≤ θ ≤ 负轴上J′（θ）=0的唯一解是θ，由（9）给出。我们直接将结果提供给子问题（P2）。请参考orem 2以获得类似的证明。CPT定理3下有交易费用的最优投资如果假设2成立，则最优解θ*子问题（P2）是从以下场景之一获得的。1. θ*= 如果（a）P（a）=1或（b）0<P（a）<1，α=β，且k>k（Z）成立，则为0。2. θ*= θ、 由（9）给出，如果0<P（A）<1，α<β和θ≥ -y、 三,。任意θ*∈ [-y、 如果0<P（A）<1，α=β，K=K（Z），则0]是最优解。θ*= -如果下列条件之一成立：（a）P（a）=0；（b） 0<P（A）<1，α=β，k<k（Z）；（c） 0<P（A）<1，α<β，θ<-y、 备注4注意，P（A）严格为正，但P（A）可能为零。此外，如果P（A）=0，那么P（A）=1。这一发现有助于减少OREM 1中的病例。