随机系统中同位旋前向性能过程的表示

原始定义的变化和放松也可以在[4]、[12]、[17]和[34]中找到。定义1过程U（x，t），（x，t）∈ D×[0，∞) 是针对每个x的正向性能流程（ifi）∈ D、 U（x，t）是F-逐步可测的；ii）对于每个t≥ 0，映射x 7→ U（x，t）严格递增且严格相关；iii）对于任何π∈ A和0≤ T≤ s、 EP（U（Xπs，s）|Ft）≤ U（Xπt，t），（8）存在一个最优投资组合π*∈ A这样，对于0≤ T≤ s、 EPUs（Xπ）*s、 s）|英尺= UXπ*t、 t. （9） 如前所述，在[33]中表明，U（x，t）与一个全非线性SPDE有关，它在经典有限维环境中扮演着Hamilton-JacobiBellman方程的角色。形式上，这个正向SPDE是通过首先假设U（x，t）允许It^o分解du（x，t）=b（x，t）dt+a（x，t）TdWt，对于一些F-逐步可测过程a（x，t）和b（x，t），并且所有的不可分辨量都有足够的规律性，使得It^o-Ventzell公式可以应用于所有可容许的π。然后，要求（8）和（9）得出，对于选定的波动过程a（x，t），漂移b（x，t）必须具有特殊形式。在这里的设置中，前向性能SPDE采用形式du（x，t）=-xUxx（x，t）区Π, -θ（Vt）Ux（x，t）+ax（x，t）xux（x）+|θ（Vt）Ux（x，t）+ax（x，t）|Uxx（x，t）dt+a（x，t）TdWt，（10），其中dist（π，x）re表示与x的距离函数∈ Rdto∏。此外，如果（6）存在强解，比如Xπ*t、 当反馈策略π*t=Proj∏-θ（Vt）Ux（Xπ）*t、 t）Xπ*tUxx（Xπ）*t、 （t）-ax（Xπ）*t、 t）Xπ*tUxx（Xπ）*t、 （t）, （11） 然后控制过程π*这是最佳选择。

我们注意到，这些论证是形式化的，仍然缺乏一个通用的验证定理。在此，我们绕过这些困难，直接使用相关遍历BSDE的马尔可夫解，以因子形式构造同位旋前向性能过程。SPDE只是用来猜测后者的适当形式。3.功率情况我们从构建δ度均匀的正向性能过程开始∈ （0，1），并具有因子公式u（x，t）=xδef（Vt，t），（12），其中f:Rd×[0，∞) → R是一个（确定性）函数。对于δ的这个范围，可容许财富域被认为是D=R+。利用形式（12）和SPDE（10），我们推导出f必须满足，对于（v，t）∈ Rd×[0，∞), 半线性PDEft+T竞赛κTF+ η（v）Tf+f（v，κT）f） =0，（13）带f（v，z）：=-δ(1 - δ） 距离π，z+θ（v）1- δ+δ1 - δ| z+θ（v）|+| z |。（14） 然而，上述方程是不适定的，迄今为止还没有已知的解。另一方面，正如我们在下文中所展示的，过程f（Vt，t）实际上可以直接从一个遍历BSDE的马尔可夫解构造而来，而该BSDE是上述形式的（参见（16））。3.1通过遍历BSDE构造首先引入了底层的遍历BSDE，并提供了马尔可夫解的主要存在性和唯一性结果。为了方便读者，我们在附录中预先寄出了证据。命题2假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。然后，遍历BSDEdYt=(-F（Vt，Zt）+λ）dt+ZTtdWt，（15）与驱动器F（·，·）定义的asF（Vt，Zt）：=-δ(1 - δ） 距离π，Zt+θ（Vt）1- δ+δ1 - δ| Zt+θ（Vt）|+|Zt |，（16）允许唯一的马尔可夫解（Yt，Zt，λ），t≥ 0.具体而言，存在唯一的λ∈ R和函数y:Rd→ R和z:Rd→使（Yt，Zt）=（y（Vt），z（Vt））。

函数y（·）在常数之前是唯一的，并且最多具有线性增长，z（·）与| z（·）|有界≤CvCη-Cv，其中Cη和Cv分别如（3）和（57）所示。我们接下来介绍一个主要结果。定理3 Let（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是（15）的唯一马氏解。然后，i）过程U（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞) , 给定byU（x，t）=xδy（Vt）-λt，（17）是一个功率前向性能过程，其挥发度为a（x，t）=xΔδey（Vt）-λtz（Vt）。（18） ii）最优投资组合权重π*tand相关的财富过程X*t（参见（5）和（6））分别由π给出*t=P roj∏z（Vt）+θ（Vt）1- δ还有X*t=XEZ·（π）*s） T（θ（Vs）ds+dWs）t、 （19）证据。很快，过程U（x，t）是F-逐步可测的，严格递增且在x上是严格凹的，δ度是均匀的。为了表明它也满足定义1的（ii）和（iii）要求，我们将确定≤ T≤ s、 如果π∈ A、 EP（Xπs）Δδ-λs | Ft≤（Xπt）ΔδeYt-λt，而π*由EP（19）给出（Xπ）*s） ΔδeYs-λs | Ft=（Xπ）*t） ΔδeYt-λt.为此，财富方程（6）和它的公式产生（Xπs）δ=（Xπt）δexpZstδπTuθ（Vu）-|πu|du+ZstΔπTudWu.另一方面，根据遍历BSDE（15），我们有- λs=Yt- λt-ZstF（Vu，z（Vu））du+Zstz（Vu）TdWu。（20） 结合上述结果，得到（Xπs）δeYs-λs=（Xπt）δeYt-λtexpZstδπTuθ（Vu）-|πu|- F（Vu，z（Vu））du+ZstΔπTu+z（Vu）TdWu.因此，EP（Xπs）δeYs-λs | Ft= （Xπt）δeYt-λtEP经验ZstδπTuθ（Vu）-|πu|- F（Vu，z（Vu））du+ZstΔπTu+z（Vu）TdWu英尺.下一步，为s≥ 0和π∈ A、 我们通过产生氡Nikodym密度过程Zu，u来定义一个概率测度，比如Qπ∈ [0，s]，Zu=dQπdPFu=E（N）uwhith Nu=ZuΔπTt+ZTtdWt。（21）我们称之为πu和z（Vu），u∈ [0，s]，满足BMO条件（直到时间s）。

因此，过程Nu，u∈ [0，s]是一个BMOmartingale，反过来，E（N）在Doob的D类中，因此是一致可积的。反过来，EP经验Zst（Fπ（Vu，z（Vu））- F（Vu，z（Vu））duZsZt英尺= 等式π经验Zst（Fπ（Vu，z（Vu））- F（Vu，z（Vu））du英尺,式中fπ（Vt，z（Vt））：-δ(1 - δ） |πt |+ΔπTt（z（Vt）+θ（Vt））+|z（Vt）|=-δ(1 - δ)πt-z（Vt）+θ（Vt）1- δ+δ1 - δ| z（Vt）+θ（Vt）+z（Vt）|。用这个Fπ（Vt，z（Vt））≤ F（Vt，z（Vt）），我们很容易推断出（Xπs）δeYs-λs | Ft≤ （Xπt）δeYt-λt。此外，对于π=π*如（19）所示，Fπ*（Vt，z（Vt））=F（Vt，z（Vt）），因此，EP（Xπ）*s） δeYs-λs | Ft= （Xπ）*t） δeYt-λt.为了表示（18），我们回顾了SPDE（10），并观察到表示（17）yieldsdU（x，t）=U（x，t）(-F（Vt，z（Vt））+|z（Vt）| dt+U（x，t）z（Vt）TdWt。其余的证据都很容易理解。3.1.1与风险敏感优化的联系我们提供了对常数λ的解释，该常数出现在远期绩效过程（17）的表示中，作为风险敏感控制问题（23）的解决方案。事实证明，常数λ也是[5]、[14]和[15]中考虑的长期效用最大化问题的最佳增长率（见下文（24））。命题4设T>0和π∈ A、 并使用氡-尼科德姆密度过程Zu，u确定概率测度Pπ∈ [0，T]，Zu=dPπdPFu=EZ·△πTudWuu、 （22）和随机泛函（Vs，πs）：=-δ(1 - δ） |πs |+Δθ（Vs）Tπs，对于s∈ [0，T]。设（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是遍历方程（15）和财富方程（6）的Xπ的唯一马尔可夫解。那么，λ是风险敏感控制问题的长期增长率λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞Tln-EPπeRTL（Vs，πs）ds, （23）或者，λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞Tln EP（XπT）Δδ. （24）对于（23）和（24）两个问题，相关的最优控制过程π*t、 t≥ 0，如（19）所示。证据

我们首先观察到，（16）中的驱动程序F（·，·）可以写成asF（Vt，Zt）=supπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt+|Zt |。因此，对于任意∧π∈ A、 我们重写了概率测度PπasdYt下的遍历BSDE（15）=- supπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt+ ZTtδ∧πt+λ-|Zt|dt+ZTtdWPπt，其中过程WPπt:=Wt-Rtδ∧πudu，t≥ 0是一个布朗运动。反过来，eλT+Ye-YTEZ·ZTudWPπuT=expZTsupπt∈ΠL（Vt，πt）+ZTtΔπt-L（Vt，πt）+ZTtδπtdt！eRTL（Vt，~πt）dt。接下来，我们观察到，对于任何∧π∈ A、 右手边的第一个指数项的下限为1。在Pπ下取期望值，然后使λT+YEPπE-YTEZ·ZTsdWPπsT≥ EPπeRTL（Vs，~πs）ds.使用（21）中定义的测量值Qπ，我们推断λ+YT+Tln EQπE-YT≥Tln-EPπeRTL（Vs，~πs）ds.然而，请注意，存在一个常数，比如说C，独立于T，例如C≤ 等式πE-YT≤ C.这源于函数y（·）的线性增长性质和遍历性条件（4）（例如，参见[13]）。发送T↑ ∞ 然后得出，对于任何∧π∈ A、 λ≥ 林监督↑∞Tln-EPπeRTL（Vs，~πs）ds,用等式选择∧πs=π*s、 π*sas（19）。为了证明λ也解（24），我们观察到对于π∈ A、 我们有（XπT）Δδ=XδδEPeRTL（VS，πs）dsEZ·ΔπTsdWsT=XΔδEPπeRTL（Vs，πs）ds,其余的论点如下。3.1.2与不适定的多维半线性偏微分方程的联系——前面结果的副产品——是对（25）中给出的不适定半线性偏微分方程的光滑解的构造。回想一下，当我们寻求表单（12）的向前处理时，后者是从（10）中派生出来的一个必要条件。我们在下面建立，对于一个合适的初始数据，这个不适定偏微分方程有一个解，它在时间和空间上是可分离的。我们注意到，这个半线性方程的良好姿势d模拟，以及指数情况下的一个应用（参见。

（40）），已被广泛分析，并用于表示差异价格、风险度量、幂函数和指数函数等。然而，据我们所知，除了[35]中研究的一维情况外，还没有研究过它们的不适定版本。另一方面，这种情况可以线性化，并使用Widder定理的一个扩展构造解。我们在3.1.3中详细介绍了该案例。然而，多维情况无法线性化，据我们所知，目前尚无关于这种情况的结果。命题5考虑病态半线性偏微分方程+Lf+F（v，κT）f） =0，（25）（v，t）∈ Rd×[0，∞), F（·，·）如（14）（或（16））所示，L是因子过程V的单位生成器，L=轨迹κT+ η（v）T. （26）对于初始条件f（v，0）=y（v），其中y（·）是遍历BSDE（15）的马尔可夫解（y（Vt），z（Vt），λ）中出现的函数，方程（25）允许f（v，t）=y（v）给出的光滑解- λt.证明。首先，假设命题2中出现的函数y（·）是inC（Rd）。它的公式给出了y（Vt）=Ly（Vt）dt+κTy（Vt）TdWt与（15）结合产生Zt=z（Vt）=κTy（Vt）和-λ+Ly（Vt）+F（Vt，κT）y（Vt））=0。因此，仍然需要证明y（·）∈ 丙(右)。实际上，对于任何ρ>0，考虑半线性椭圆偏微分方程ρyρ=Lyρ+Fv、 κTyρ. （27）经典偏微分方程结果表明，上述方程允许唯一有界解yρ（·）∈ 丙(右)。使用类似于附录中的参数，我们推断| yρ（v）|≤Kρ和|yρ（v）|≤CvCη-个人简历因此，对于任何参考点，比如v∈ Rd，我们得到ρyρ（v）是统一的，而且，差分yρ（v）-yρ（v）是等连续的。使用对角参数（参见。

（74）在附录中），我们推断出有一个子序列ρn↓ 使得ρnyρn（v）→ λ和yρn（v）- yρn（v）→ y（v），在Rd的紧集上一致。然而，由于ρnyρn（v）和yρn（v）在ρn中一致有界，yρn（v）在紧集上也是有界的，因为它遵循上面的等式（27）。反过来，这会产生一个H？older估计值yρn（v），在紧集上一致。椭圆方程的标准参数给出了极限y（·）∈ C（Rd）（例如，se，文献[13]中的定理3.3]）3.1.3示例：单一股票和单一随机因素对于状态方程（1）和（2），设n=1和d=2。然后，股票和随机因素过程分别遵循dSt=b（Vt）Stdt+σ（Vt）StdWt，dVt=η（Vt）dt+κdWt+κdWt和dVt=0，min（κ，κ）>0，|κ|+κ| 1和σ（·）以正常数为界。设∏=R×{0}，使πt≡ 然后，财富等式（6）将todXπt=Xπtπt减少θ（Vt）dt+dWtθ（Vt）=b（Vt）/σ（Vt）。反过来，（15）的驱动程序采用形式f（Vt，Zt，Zt）=δ1- δ| Zt+θ（Vt）|+|Zt |+|Zt |。根据定理3，最优投资组合权重为π*,1t，π*,2t=Zt+θ（Vt）1-δ, 0.接下来，请注意，如果Cθ和Kθ分别是Lipschitiz常数和风险θ（v）的市场价格界限（参见假设1.ii），那么| F（v，z，z）- F（\'v，z，z）|≤δ1 - δ| z+θ（v）|θ（v）- θ（°v）|≤δ1 - δmax{1，Kθ}Cθ（1+| z |）v- v|。因此，我们可以在不等式（57）中取常数Cv，将其定义为Cv=δmax{1，Kθ}Cθ/（1）- δ).为了找到过程Zt和Zt，我们为一些待确定的过程Zt设置Zt=κiZt，i=1,2。然后，等式（15）进一步减少了todYt=-^δ| Zt|-δκ1 - Δθ（Vt）Zt-δ2(1 - δ） |θ（Vt）|+λ！dt+ZtκdWt+κdWt,^δ=1-δ+δ|κ|1-δ.下一步，让∧Yt:=e^δ（Yt-λt）和<<Zt:=^δ>>YtZt。

那么，dYt=-^δδ2(1 - δ） |θ（Vt）|Ytdt+|Ztd | Wt，其中| Wt:=κWt+κWt-Rtδκ1-Δθ（Vu）du，t≥ 0，是一个布朗运动在某些概率测度下等价于P。设βt:=expRt^Δδ2（1）-δ） |θ（Vu）|du. 将It^o公式应用于)Ytβtyields)Yt=βt)Y+Ztβuβt)Zud)Wu。功率前向性能过程可以写成asU（x，t）=xδδ（~Yt）1/δ=xδδβ-βtY+ZtβuβtZudWu1/^δ.上述结果给出了[35]中导出的解决方案的另一种表示形式，其中考虑了相同的市场模式l，绕过了简化线性化前向SPDE的各种长度步。事实上，我们可以很容易地推断出，通过编写Yt=y（Vt，t）并使用随机因子（2）的动力学，可以得出y（v，t）必须满足Yt（v，t）+yvv（v，t）+η（v）+Δκ1- Δθ（v）~yv（v，t）+Δδ2（1）- δ） θ（v）~y（v，t）=0，直接恢复[35]的结果。3.2在本节中，我们结合有限视界BSDE，建立了有限视界BSDE族的因子形式的功率推进过程与非马尔可夫解之间的联系。这种贡献有三重。首先，这些解决方案本身就是向前推进的支持者，尽管不是以一种积极的形式。其次，我们将它们的极限视为参数ρ（在有限视界BSDE中自然出现）收敛到零。我们建立了适当的折扣，它们提供了过程U（x，t）的近似值ρ↓ 第三，当视界较长（T）时，我们与有限视界中的一系列经典价值函数过程建立了联系，比如[0，T]↑ ∞).我们从BSDE上的有限水平仪的一些背景结果开始。在其他文献中，我们记得[7]是第一篇利用Girsanov变换用Lipschitz驱动程序求解有限视界BSDE的论文之一，而[6]中求解了二次驱动程序case。

我们请读者参考[6]以获取更多参考资料。命题6假设ρ>0，并考虑最终视界BSDEdYρt=(-F（Vt，Zρt）+ρYρt）dt+（Zρt）TdWt，（28）其中驱动器F（·，·）在（15）中给出，θ（·）、π和V满足第1节中的假设。然后，等式（28）允许唯一的马尔可夫解（Yρt，Zρt），t≥ 0.具体而言，对于每个ρ>0，都存在唯一的函数s yρ：Rd→ R和zρ：Rd→ 使（Yρt，Zρt）=（Yρ（Vt），Zρ（Vt）），带有| Yρ（·）|≤Kρ和| zρ（·）|≤CvCη-Cv，其中Cη如（3）所示，Cv，K分别如（57）和（59）所示。（28）的可解性是求解（15）的中间步骤，包含在附录中命题2的证明中。定理7 Let（yρ（Vt），zρ（Vt）），t≥ 0，是有限层位BSDE（28）的唯一马尔科夫溶质。然后，i）过程Uρ（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞) , 给定byUρ（x，t）=xΔδeyρ（Vt）-Rtρyρ（Vs）ds（29）是一个具有挥发性的功率前向性能过程aρ（x，t）=xΔδeyρ（Vt）-Rtρyρ（Vs）dszρ（Vt）。ii）最优投资组合权重π*,ρtand相关的财富过程X*,ρt（cf.（5）、（6）），t≥ 0分别由π给出*,ρt=P roj∏zρ（Vt）+θ（Vt）1- δ还有X*,ρt=XEZ·（π）*,ρs）T（θ（Vs）ds+dWs）t、 的pro类似于定理3的pro，因此省略了它。下一个结果涉及来自正向过程U（x，t）（参见定理3）和路径依赖过程Uρ（x，t）（参见定理7）的因子，以及它们相应的最优投资组合策略。我们使用supe rscript v来表示对初始条件的依赖。（x，t）的命题8∈ R+×[0，∞) , 设U（x，t）和Uρ（x，t）是（17）和（29）中给出的前向过程，y（Vt）是遍历BSDE（15）的马尔可夫解的分量。然后，对于任意的参考点V∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞) ,limρn↓0Uρn（x，t）e-yρn（v）U（x，t）=1。

（30）此外，对于每个t≥ 0，相关的最优投资组合权重π*,ρ与π*满意度ρn↓0EPZt |π*,ρns- π*s | ds=0。（31）证据。对于任意参考点v∈ 根据表示式（17）和（29），我们得到了uρ（x，t）e-yρ（v）U（x，t）=exp（yρ（Vvt）-Ztρyρ（Vvu）du）- （y（Vvt）- λt）- yρ（v）= 经验（yρ（Vvt）- yρ（v）- y（Vvt））-Ztρ（yρ（Vvu）- yρ（v））du- （ρyρ（v）- λ） t.另一方面，附录中确定的极限（74）和（75）表明存在子序列ρn↓ 0使得limρn↓0（yρn（Vvt）- yρn（v）- y（Vvt））=0，limρn↓0ρn（yρn（Vvt）- yρn（v））=0和limρn↓0（ρnyρn（v）- λ） =0，我们得出结论。为了证明断言（31），我们使用凸集∏上投影算子的Lipschitz连续性和收敛极限ρn↓0EPZt | zρn（Vvs）- z（Vvs）| ds=0，（32）表示t≥ 0.后者见附录。3.3与经典功率预期效用的联系我们研究了正向过程U（x，t）和Uρ（x，t）是否可以解释为经典值函数过程的长期极限。我们证明，对于一系列具有适当的Hosen终端随机（乘法）支付的预期效用模型来说，情况确实如此。为此，让[0，T]成为任意的交易区间，并在ρ>0时引入值函数processuρ（x，T；T）=es s supπ∈A[t，t]EP（XπTeξT）Δδ| Ft，XπT=X, （33）对于（x，t）∈ R+×[0，T]与财富过程Xπs，s∈ [t，t]解决（6）。收益ξ定义为ξT:=-δZTρYρ，Ttdt，（34），其中Yρ，tti是有限视界二次BSDEYρ的解，Tt=ZTtF（Vs，Zρ，Ts）- ρYρ，Tsds-ZTtZρ，TsTdWs，（35）以及（16）中给出的驱动器F（·，·）。