随机系统中同位旋前向性能过程的表示

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英文标题：
《Representation of homothetic forward performance processes in stochastic
  factor models via ergodic and infinite horizon BSDE》
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作者：
Gechun Liang, Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In an incomplete market, with incompleteness stemming from stochastic factors imperfectly correlated with the underlying stocks, we derive representations of homothetic (power, exponential and logarithmic) forward performance processes in factor-form using ergodic BSDE. We also develop a connection between the forward processes and infinite horizon BSDE, and, moreover, with risk-sensitive optimization. In addition, we develop a connection, for large time horizons, with a family of classical homothetic value function processes with random endowments.
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中文摘要：
在不完全市场中，由于不完全性源于与标的股票不完全相关的随机因素，我们使用遍历BSDE导出了因子形式的同质（幂、指数和对数）正向性能过程的表示。我们还开发了远期过程与无限期BSDE之间的联系，以及与风险敏感优化之间的联系。此外，对于大的时间范围，我们建立了一个与一系列具有随机禀赋的经典同位旋值函数过程的联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Representation_of_homothetic_forward_performance_processes_in_stochastic_factor_.pdf (380.87 KB)

2022-5-9 12:13:54 上传

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关键词：随机系统 Presentation Mathematical Quantitative Optimization

伦敦国王学院数学系和牛津大学牛津人学院；电邮：格春。liang@kcl.ac.uk部门。德克萨斯大学奥斯汀分校数学与IROM研究所和牛津大学牛津曼研究所；电子邮件：zariphop@math.utexas.edu.[30]（另见[29]、[31]和[32]）。它们补充了经典的预期效用范式，即效用是在单一时间点（终端视界）选择的确定性函数。按照动态规划原理，值函数过程反过来是在时间上向后构造的。因此，如果有人要求始终保持时间一致性，那么将风险偏好、滚动视野、学习和其他现实的“自然向前”特征的更新结合起来的灵活性是有限的。远期投资绩效标准克服了其中一些缺陷，并有助于建立一个真正的动态机制，随着市场在（任意）交易地点的演变，评估投资策略的绩效。在[33]中，提出了一种随机偏微分方程（参见本文（10））来描述具有It^o扩散价格过程的市场中的正向性能过程。它可以被视为有限维经典Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）方程的正向模拟，该方程出现在最优投资组合选择的马尔可夫模型中。与HJB方程式一样，前锋SPDE是完全非线性的，并且可能退化。然而，除此之外，它是不适定的，其波动系数是投资者选择的输入，而在经典情况下，相应的波动率是由价值函数过程的it^o分解唯一确定的。这些特点导致了重大的技术难题，因此，在一般It^o-DiffusionMarket动态中使用前向SPDE受到了限制。

时间单调过程（零远期波动率）的结果可在[32]中找到，在[12]中探讨了远期绩效过程与最优投资组合之间的联系（另见[11]）。在半鞅市场中，可以在[40]中找到e指数参考的一个构造。如本文所述，当市场系数明确依赖于随机因素时，可以通过寻求表现为这些因素的确定性的性能标准来探索更多的结构。正如在[33]中首次指出的，SPDE将这些函数预期满足的有限维HJB方程（见其中的方程（51））简化为一个有限维HJB方程。然而，这个问题仍然没有得到解决，如何解决它是一个悬而未决的问题。对于单个随机因素，到目前为止已经分析了两种情况，特别是功率和指数情况。[35]中对功率情况进行了处理，其中同感将正向HJB降低为半线性PDE，该PDE使用失真变换进行线性化。然后一个人得到了一个模糊的答案。具有状态相关系数的不适定线性方程，利用Widder定理的推广求解。[29]（另见[28]和[23]）在远期指数差异价格的背景下研究了指数情况。[34]中考虑了远期绩效过程的多因素模型，其中详细分析了完整的市场环境。由于市场的完备性，Legendre-Fenchel变换将forwardSPDE线性化，并将其多维化。出现了与空间/时间相关的病态线性方程组。它的解决方案反过来又通过作者开发的Widder的theo-rem的扩展来描述。

最近，在[37]中研究了不完全市场中不同（慢和快）标度的多因素，并导出了极限状态的渐近展开式。主序项表示为时间单调FORWAR性能，具有适当的随机时间重标度，由平均现象产生。第一顺序条款反映了投资者根据市场变化和过去表现而产生的偏好变化。在此，我们发起了一项研究，将考虑市场不完全性、多个股票和多个仓促因素的因子形式的远期过程的现有结果进行一般化。我们首先关注同感过程（幂、指数和对数），因为这些也是经典环境中风险偏好的常见选择。在这种情况下，同感性将前向SPDE降低为病态的多维半线性PDE（参见（13），（40）），然而，这是不可信的。据我们所知，迄今为止还没有关于此类不适定方程的结果。本文的主要贡献在于，我们通过直接从遍历BSDE族的马尔可夫解构造因子形式的前向过程，绕过了由病态性产生的困难。虽然它们的驱动形式是由算子提出的，出现在不适定偏微分方程中，但我们使用遍历方程的排他性结果来构造for ward解，而不是（正向）随机优化。作为副产品，我们利用这些发现构造病态d多维半线性偏微分方程的光滑解。据我们所知，这种方法是新的。

这是一个很好的假设，需要对事实的动态性，本质上是遍历性条件（4）进行Milda假设。第二个贡献是，我们提供了风险敏感性优化和遍历BSDE解中出现的常数之间的联系。因此，我们在正向优化的背景下，对[5]、[14]和[15]关于长期效用最大化问题的最优增长率的经典结果提供了一种新的解释。在不同的方向上，我们发展了同感正向过程与有限视界BSDE之间的联系。我们的贡献是三倍的。首先，我们确定后者的解本身是同位旋过程，尽管不是马尔可夫过程。其次，我们证明了当这些BSDE中自然出现的参数ρ收敛到零时，相关解将收敛到它们的马尔可夫遍历对应解。第三，我们使用有限视界BSDE在我们构造的同位旋前向过程和经典类似物之间建立联系，特别是有限视界值函数过程与适当选择的最终禀赋之间。我们表明，随着交易中心趋于一致，这些价值函数趋于同质化过程。[22]首次研究了有限水平环境下的（二次）BSDE，随后许多作者对其进行了分析。它们是金融数学研究中最活跃的领域之一，因为它们直接应用于风险度量（[2]）、差异价格（[1,18,24]）和同质效用的价值函数（[19]）。后一系列应用的几个扩展包括[25]和[3]，其中[19]的结果分别被推广到连续鞅集和跳跃微分。

我们注意到，在传统的框架中，价格、投资组合、风险度量和价值函数在时间上是一个内在的“向后”构造，因此，它提供了理想的分析工具。尽管（二次）BSDE在有限视界环境中很普遍，但它们的遍历或有限视界对应物至今都没有受到太多关注。在有限维环境中，为了解决遍历随机控制问题，在[16]中引入了遍历L ipschitz BSDE；参见[8,10,36]和mo-re最近的[9]和[20]了解各种扩展。在[6]中，通过结合[7]和[22]中使用的技术，首次解决了内部二次BSDE。据我们所知，这两种类型的rgodic和in-finite horizon方程的动机主要来自理论兴趣。然而，我们的结果表明，这两种类型的方程都是表征远期绩效过程及其相关最优投资组合和财富的自然候选方程。值得一提的是，遍历的和有限的ho rizon BSDEwe c考虑实际上都是Lipschitz，因为可以证明相关过程Z的部分是有界的。换句话说，二次增长，这是有限环境下的标准假设，并没有起到关键作用。实际上，正如我们在附录中所示，遍历Lipschitz BSDE[16]和有限视界Lipschitz BSDE[7]的现有结果可以很容易地适应于求解手头的正向方程。最后，我们提到，虽然我们以因子形式关注正向过程，但大多数结果也适用于非马尔可夫正向过程（例如，第3.1.3节中的结果）。

此外，我们强调，度量转换（见3.1.3中的示例）可能表明，可以直接从具有ze-ro波动性的过程构造新的同位旋过程，从而使本文的结果冗余。然而，事实并非如此。一方面，改变措施对应于改变风险溢价，这本质上意味着改变原有的市场模式。因此，在原始市场中，不会产生任何真正新的远期流程。更重要的是，对于随机因素，零波动远期过程在时间上和路径依赖性上都在减少。不可能使用度量值变化变换从它们产生马尔可夫对应物。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了市场模型，并重新审视了远期绩效过程和远期SPDE的概念。在第3、4和5节中，我们以因子形式构建了相应的远期绩效过程，以及相关的最优投资组合和财富过程。在每一节中，我们还介绍了与不适定半线性偏微分方程的关系，以及与相关的有限域BSDE和有限域对应解的（非马尔可夫）解的关系。为方便读者阅读，我们在附录中给出了遍历和非完整BSDE的技术背景结果。2随机因素模型及其前瞻性表现过程市场由无风险股票和n只股票组成。债券被视为数字和个人（通过债券贴现）股票价格≥ 0，求解，对于i=1。。。，n、 dSitSit=bi（Vt）dt+dXj=1σij（Vt）dWjt，（1）Si>0。过程W=（W，·，Wd）是过滤概率空间上的标准d维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P）满足通常条件。

上标T表示matr ix转置。d维过程V=（V，···，Vd）对影响股价动态的随机因素进行建模，假设其分量为i=1。。。，d、 dVit=ηi（Vt）dt+dXj=1κijdWjt，（2）带Vi∈ R.我们引入以下模型假设。假设1 i）市场系数b（v）=（bi（v））和σ（v）=（σij（v）），1≤ 我≤ n、 1个≤ J≤ d、 五∈ 风险向量θ（v）的市场价格∈ Rd，定义为方程σ（v）θ（v）=b（v）的解，由θ（v）=σ（v）T[σ（v）σ（v）T]给出-1b（v），一致有界且Lipschitz连续。假设2随机因素的漂移系数满足耗散条件（η（v）- η（v））T（v- “（v）≤ -Cη| v- |v |，（3）对于任何v，|v∈ Rd和一个足够大的常数Cη。波动性矩阵κ=（κij），1≤ i、 j≤ d、 是一个常数矩阵，具有κ-κt正定义和规范化的To |κ|=1。当我们引入另一个与即将到来的BSDE驱动因素相关的辅助常数Cv（参见（57）和示例3.1.3）时，上述常数Cη的“足够大”特性将在后面重新定义。耗散条件（3）意味着

任何满足不等式（4）的扩散过程都可以作为一个随机因子向量。接下来，我们考虑一个投资者，他在时间t=0时开始初始捐赠，并在（n+1）资产之间进行交易。我们用△π=（△π，·π，·πn）t表示她在个人股票账户中总财富（债券贴现）的比例。假设标准的自我融资条件成立，并使用（1），我们推断她（通过Bond贴现）的财富过程解Xπt=nXi=1πitXπtdSitSit=XπtπTt（b（Vt）dt+σ（Vt）dWt），X=X∈ D、 布景在哪里 R表示财富可接受域。为了方便起见，我们将始终使用波动性衡量的交易策略，即πTt=＠πTtσ（Vt）。（5） 然后，财富过程解Xπt=XπtπTt（θ（Vt）dt+dWt）。（6） 无论如何≥ 0，我们用A[0，t]表示交易区间[0，t]中的容许策略集，由A[0，t]={（πu）u给出∈[0，t]：π∈ LBMO[0，t]，πu∈ π和Xπu∈ D、 u∈ [0，t]}。（7） 布景∏ RDI是封闭凸的，空间LBMO[0，t]定义为LBMO[0，t]=（πu）u∈[0，t]：π是F-逐步可测的，并且是supτEPZtτ|πu | duFτ< ∞, 对于任何F-停止时间τ∈ [0，t].上述可积条件也称为BMO条件，因为对于任何π∈ LBMO[0，t]，ess supτ∈[0，t]EPZtτπTudWuFτ= ess supτ∈[0，t]EZtτ|πu | duFτ< ∞,因此，随机积分πTudWu∈ [0，t]是一个BMO鞅。反过来，我们为所有t≥ 0作为一个：∪T≥0A[0，t]。接下来，我们回顾了[28]-[33]中介绍和发展的前瞻性绩效流程。