随机系统中同位旋前向性能过程的表示

相关的最优投资组合权重用π表示*,ρ、 Ts，s∈ [t，t]。在[19]和[25]中，对于布朗运动设置和一般半鞅框架，我们分别使用二次BSDE方法解决了经典的具有电力效用的最优投资问题。命题9 i）让uρ（x，t；t）和uρ（x，t）分别在（33）和（29）中给出。然后，对于ρ>0和（x，t）∈ R+×[0，∞) ,极限↑∞uρ（x，t；t）uρ（x，t）=1，最优投资组合权重s满足∈ [t，t]，极限↑∞出口加工区π*,ρ、 屠- π*,ρudu=0。ii）设U（x，t）为（17）中的前向过程。然后，对于每个任意参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞) ,limρn↓极限↑∞uρn（x，t；t）e-yρn（v）U（x，t）=1，对于s，最优投资组合权重s满足∈ [t，t]，limρn↓极限↑∞出口加工区π*,ρn，Tu- π*Udu=0。证据我们只展示第一部分）。根据[6]中的定理3.3，我们得到| Yρ，Tt |≤Kρ，因此，量ΔξT=-RTρYρ，Tudu是有界的。另一方面，驱动因素F（·，·）满足属性（58）和（59）。因此，使用与[19]第3节中使用的参数类似的参数，可以得出值函数过程由uρ（x，t；t）=xΔδeYt给出，YT是二次BSDEYt=Δξt+ZTtF（Vs，Zs）ds的唯一解-ZTt（Zs）TdWs（36）代表t∈ [0，T]。

此外，最优投资组合权重由π给出*,ρ、 Tt=proj∏（Zt+θ（Vt）1-δ).然而，请注意，这对过程（Yρ，Tt-RtρYρ，Tsds，Zρ，Tt），t∈ [0，T]，通过（Yρ，Tt，Zρ，Tt）求解（35），lso满足上述二次BSDE（36）。因此，我们必须有Yt=Yρ，Tt-RtρYρ，Tsds，t∈ [0，T]因此，uρ（x，T；T）=xδexpYρ，Tt-ZtρYρ，Tsds.反过来，uρ（x，t；t）uρ（x，t）=exp（Yρ，Tt）-ZtρYρ，Tsds）- （Yρt）-ZtρYρsds）.用（65）我们推断出极限↑∞Yρ，Tt=Yρt，我们很容易得出结论。最优投资组合权重的收敛性来源于凸se t∏上投影算子的Lipschitz连续性和Lρ[t]中Zρ，To Zρ的收敛性，∞). 空间Lρ[t，∞) 定义见附录（66）中的第（67）条。3.4一般（非马尔可夫）前向性能过程和er godic BSDE与因子形式的前向性能过程分离，我们仍然可以使用我们之前开发的遍历BSDE方法来构造一般形式的过程（x，t）=xδeKt，对于一些F-逐步可测过程Kt，t≥ 0，独立于x。实际上，考虑一个任意进程Z∈ LBMO，然后依次选择（Yt，λ），t≥ 0, λ ∈ R a和Y b使F逐步可测，这样三重态（Yt，Zt，λ）解出遍历BSDE（15）。利用与定理1证明中的类似论点，我们可以推导出过程u（x，t）=xδeYt-λt，（37）（x，t）∈ R+×[0，∞) 满意度定义1。然后，SPDE（10）将产生由过程a（x，t）=U（x，t）Zt，t给出的远期波动率≥ 0.一个人也可以与有限水平BSDE和带有终端（乘法）支付的价值函数过程建立类似的联系，如第3.2节和第3节所示。3.一般功率前向过程的分析属于本文的范围，将单独进行。

在此，我们仅举出三个例子，在没有投资组合约束的情况下，∏=Rd.i）时间单调的情况下：Let Zt≡ 0，t≥ 0，然后选择（Yt，λ）asYt- λt:=Y-Ztδ1- δ|θ（Vs）| ds，对于任何常数Y∈ R.然后，（Yt，0，λ）满足（15）。反过来，我们利用（37）和above推导出过程u（x，t）：=eYxδe-δ1-ΔAt，At=Rt |θ（Vs）| ds，是功率性能。该过程具有零波动性（a（x，t）≡ 0），它随时间和路径而减少（参见[32]了解一般性研究）。可以构造具有非零远期波动率的该解决方案的变体，如下所示。然而，我们强调，这些远期流程对一个具有不同风险溢价的活跃市场至关重要，因此，它们并不构成原始市场的真正新解决方案。ii）市场视图案例：L et Zt=φtwithφ∈ LBMO，并选择（Yt，λ），t≥ 0，asYt- λt:=Y-δ1 - δZt |φs+θ（Vs）| ds-Zt |φs | ds+ZtφTsdWs。然后我们可以验证（Yt，φt，λ）满足方程（15）。利用（37）项和重排列项，我们推导出repr-resentationu（x，t）=xδeY-δ1-δRt |φs+θ（Vs）| dsEZ·φTsdWst=eYxδe-δ1-δAφtMtwith Aφt=Rt |φs+θ（Vs）| ds和Mt=E（R·φTsdWs）t.iii）基准案例：不同的参数化产生了解决方案的替代表示和解释。设Zt=Δφ乘以φ∈ LBMO，并选择（Yt，λ），t≥ 0，asYt=Y+λt-Ztδ1- δ|Δφs+θ（Vs）| ds-Zt |Δφs | ds+ZtΔφTsdWs。然后，（Yt，Δφt，λ）解方程（15），然后，（37）得到功率前向过程u（x，t）=xΔδeY-Rtδ1-δ|δφs+θ（Vs）| dsEZ·ΔφTsdWst=eYxδe-Rtδ1-δ|φs+θ（Vs）|EZ·-φTs（dWs+θ（Vs）ds）T-δ=eYδxMtδe-δ1-δAφt，其中Aφt=Rt |φs+θ（Vs）| ds和Mt=ER·-φTs（θ（Vs）ds+dWs）T

然后，我们可能会将此过程视为衡量与“基准”相关的投资策略绩效，以过程Mt为代表。有关上述过程和进一步解释的更多细节，以及相关近视和非近视投资组合组件的具体说明，以及相应的财富过程，我们请读者参考[33]。4指数情况我们以指数因子形式（x，t）=-E-γx+f（Vt，t），（38），其中f是一个（确定性）函数，需要指定。对于指数远期绩效过程，控制政策更方便地表示投资于个人股票账户的贴现金额（而不是贴现财富的比例）。因此，我们设置△t=△πtXπt。反过来，我们根据股票的波动性重新缩放△t，并推断财富过程解决了t≥ 0，dXαt=αTt（θ（Vt）dt+dWt），（39）与αTt=~αTtσ（Vt）。容许概率的集合是A，我们将容许财富域设为D=R。在幂的情况下，（38）和（10）f必须满足的收益率，对于（v，t）∈ R+×[0，∞) , 一个半线性偏微分方程，给定byft+T竞赛κTF+ η（v）Tf+G（v，κT）f） =0，（40）带g（v，z）=γ距离π，z+θ（v）γ-|z+θ（v）|+|z |，（41），它是不适定的，至今没有已知的解。另一方面，与前一种情况一样，我们将直接从遍历BSDE的马尔可夫解构造过程f（Vt，t），其驱动程序为上述形式（参见（43））。4.1通过遍历BSDE构造结果与前一节中导出的结果类似，因此，无需证明。命题10假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。

然后，遍历BSDEdYt=(-G（Vt，Zt）+λ）dt+ZTtdWt，（42）驱动器G（·，·）由G（Vt，Zt）=γ距离给出π，Zt+θ（Vt）γ-|Zt+θ（Vt）|+|Zt |，（43）允许唯一的马尔可夫解（Yt，Zt，λ），t≥ 0.具体而言，存在唯一的λ∈ R和函数y:Rd→ R和z:Rd→ 使（Yt，Zt）=（y（Vt），z（Vt））。函数y（·）在一个常数之前是唯一的，并且最多具有线性增长，z（·）与| z（·）|有界≤CvCη-Cv，其中Cη和Cv分别如（3）和（57）所示。定理11 Let（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），t≥ 0是遍历BSDE（42）的唯一马尔可夫解。然后，i）过程U（x，t），给定，对于（x，t）∈ R×[0，∞) , byU（x，t）=-E-γx+y（Vt）-λt（44）是一个指数型正向性能过程，其波动率为a（x，t）=- E-γx+y（Vt）-λtz（Vt）。ii）最优投资组合α*tand最优财富过程X*皮重分别由α给出*t=Proj∏z（Vt）+θ（Vt）γ, 十、*t=X+Zt（α*t） t（θ（Vt）dt+dWt）。（45）在[40]中，针对半鞅市场开发了指数性能过程的公理结构。这些过程被用于构建远期差异价格（见[27]、[28]、[30]和[17]等），以及[39]中所谓的成熟度独立熵风险度量的公理化构造和表征。正如在幂级数中一样，我们可以证明以下结果。命题12考虑病态半线性PDEft+Lf+G（v，κT）f） =0，（46）（v，t）∈ Rd×[0，∞), G（·，·）如（41）（或（43））所示，L如（26）所示。

对于初始条件f（v，0）=y（v），其中y（·）是在遍历BSDE（42）的马尔可夫解（y（Vt），z（Vt），λ）中出现的函数，方程（46）允许f（v，t）=y（v）给出一个小解- λt.4.2通过有限视界BSDE表示与第3.2节的结果类似，我们使用有限视界BSDE推导出指数正向性能过程的替代表示。pro of遵循类似的论点，因此被省略。命题13假设风险向量θ（v）的市场价格满足假设1。设集合∏如（7）所示。设ρ>0。然后，单位原点BSDEdYρt=(-G（Vt，Zρt）+ρYρt）dt+（Zρt）TdWt，（47）t≥ 0和（42）中的驱动程序G（·，·）允许使用独特的马尔可夫解决方案。具体而言，对于每个ρ>0，都存在唯一的函数yρ：Rd→ R和zρ：Rd→ 使（Yρt，Zρt）=（Yρ（Vt），Zρ（Vt）），带有| Yρ（·）|≤Kρ和| zρ（·）|≤CvCη-Cv，其中Cη如（3）所示，Cv，K分别如（57）和（59）所示。定理14 Let（yρ（Vt），zρ（Vt）），t≥ 0，成为有限地平线BSDE（47）的独特马尔可夫解决方案。然后，i）过程Uρ（x，t），（x，t）∈ R×[0，∞) , 给定byUρ（x，t）=-E-γx+yρ（Vt）-Rtρyρ（Vu）du（48）是一个指数型的前向性能过程，其挥发度aρ（x，t）=-E-γx+yρ（Vt）-Rtρyρ（Vu）duzρ（Vt）。ii）最优投资组合α*,ρtand最优财富过程X*,ρt（cf（39）），t≥ 分别给出0，如（45）所示，z（Vt）替换为zρ（Vt）。根据命题8，我们在指数过程的遍历和有限视界表示之间有以下联系。命题15假设Uρ（x，t）和U（x，t）分别是指数型正向性能过程（44）和（48）。

那么，对于任何参考点V∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R×[0，∞) ,limρn↓0Uρn（x，t）e-yρn（v）U（x，t）=1。此外，对于t≥ 0，相关的最优投资组合满足度ρn↓0EPZt |α*,ρnu- α*u | du=0.4.3与经典的长期指数预期效用相联系。在第3.3节中，我们讨论了指数正向性能过程u（x，t）与其传统的有限期预期效用模拟之间的关系，后者包含终端r和OM。为此，设ρ>0和[0，T]为任意交易水平。考虑一类最大期望效用问题suρ（x，t；t）=ess supα∈A[t，t]EP-E-γ（XαT+ξT）|Ft，XαT=X, （49）对于（x，t）∈ R×[0，T]与财富过程Xαs，s∈ [t，t]，求解（39）。公式ξ被定义为ξT=γRTρYρ，Ttdt，其中Yρ，tti是有限视界二次BSDEYρ，Tt=ZTt的解G（Vs，Zρ，Ts）- ρYρ，Tsds-ZTtZρ，TsTdWs，艾弗·G（·，·）博士在（43）中给出。最优投资组合用α表示*,ρ、 TSS∈ [t，t]。我们得到了以下收敛结果。命题16 i）让uρ（x，t；t）和uρ（x，t）分别在（49）和（48）中给出。然后，对于ρ>0和（x，t）∈ R×[0，∞) ,极限↑∞对于s，uρ（x，t；t）uρ（x，t）=1，且最优投资组合满足∈ [t，t]，极限↑∞出口加工区α*,ρ、 屠- α*,ρudu=0。ii）设U（x，t）为（44）中的指数向前过程。那么，对于任何参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R×[0，∞) ,limρn↓极限↑∞uρn（x，t；t）e-yρn（v）U（x，t）=1，且s的最优投资组合满足∈ [t，t]，limρn↓极限↑∞出口加工区α*,ρn，Tu- α*Udu=0.5对数情况我们以因子形式的对数正向性能过程得出结论，即，对于要确定的函数f，公式u（x，t）=lnx+f（Vt，t），（50）。

“加法”格式更适合于lo garithmic类，因为后者在经典alsetting中具有“近视”特征。然后，（50）和（10）得到f:（v，t）∈ Rd×[0，∞) 必须满足线性方程FT+T竞赛κTF+ η（v）Tf+~f（v）=0，（51）与~f（v）=-距离{∏，θ（v）}+|θ（v）|。以下结果与第3节中的结果相似，因此，它们以缩写的方式陈述。为此，DYT=(-带驱动器的<<F（Vt）+λ）dt+ZTtdWt（52）>>F（Vt）=-dist{∏，θ（Vt）}+|θ（Vt）|，因为上面等式（51）中出现的算子形式很容易猜到。与命题2的证明一样，我们推断（52）对于某些函数y（·）和z（·）有唯一的马尔可夫解，比如（Yt，Zt，λ）=（y（Vt），z（Vt），λ），其性质与其中的函数相似。我们验证了进程u（x，t）：=lnx+y（Vt）- λt（53）是因子形式的对数正向性能过程。然后，SPDE（10）产生波动率a（x，t）=z（Vt）。此外，最优政策及其产生的财富分别由π给出*t=P roj∏θ（Vt），和x*t=XEZ·（P roj∏θ（Vs））T（θ（Vs）ds+dWs）t、 常数λ的解释为λ=supπ∈阿利姆·苏普特↑∞TEP（lnxπT）。这个结果的一个副产品是，不适定线性偏微分方程（51）对初始数据f（v，0）=y（v）有一个光滑解，由f（v，t）=y（v）给出- λt。这也与有限水平BSDE有关。

事实上，我们可以很容易地推断出最终的视界是BSDEdYρt=-~F（Vt）+ρYρtdt+（Zρt）TdWt，（54）有一个唯一的马尔可夫解（yρ（Vt），Zρ（V）），反过来，过程ρ（x，t），（x，t）∈ R+×[0，∞), 定义的asUρ（x，t）：=lnx+yρ（Vt）-Ztρyρ（Vs）ds，（55）是一个路径依赖的对数正向性能过程。（53）和（55）中的过程U（x，t）和Uρ（x，t）的连接方式与命题8中的幂相似。也就是说，对于任意的参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞),limρn↓0（Uρn（x，t）- yρn（v）- U（x，t））=0。最后，为了将U（x，t）和Uρ（x，t）与其经典对应关系联系起来，我们引入了对数期望效用问题Uρ（x，t；t）=es s supπ∈A[t，t]EP（lnxπt+ξt | Ft，Xπt=X），（56），其中ξt=-RTρYρ，Tudu和Yρ，Tt，t∈ [0，T]是[0，T]上BSDE的唯一解，Yρ，Tt=ZTt~F（Vu）- ρYρ，Tu杜-ZTtZρ，TuTdWu。使用与命题N9中的参数类似的参数，我们推断出对于任何参考点v∈ Rd，存在一个子序列ρn↓ 0（取决于v），对于（x，t）∈ R+×[0，∞),limρn↓极限↑∞（uρn（x，t；t）- yρn（v）- U（x，t））=0。附录九：求解遍历和有限视界BSDE我们给出了遍历BSDE（15）和（42）的马尔可夫解的背景结果。作为命题2和命题10证明的中间步骤，我们还获得了有限视界BSDE（28）和（47）的有界马尔可夫解的存在性和唯一性。

对数情况下出现的等式（52）和（54）是（15）和（28）的简并版本，因此不讨论它们。我们从关键观察开始，使用假设1。ii根据风险过程的市场价格，以及容许集A的定义和距离函数dist（π，·）的Lipschitz连续性，我们推断（16）和（43）中出现的driversH=F，G满足|H（v，z）- H（\'v，z）|≤ Cv（1+| z |）| v- \'v |，（57）| H（v，z）- H（v，\'z）|≤ Cz（1+| z |+| z |）| z- |z |，（58）和|H（v，0）|≤ K、 （59）对于任何v，\'v，z，\'z∈ Rd，Cv，Cz，K>0为正常数。建立解的存在唯一性的主要思想来自于[6]中的定理3.3、[7]中的定理3.3、[16]中的定理4.4和[22]中的定理2.3。为此，我们首先定义截断函数q:Rd→ Rd，q（z）：=min（|z |，Cv/（Cη）- Cv）|z | z1{z6=0}，（60），考虑截断遍历BSDE，dYt=(-H（Vt，q（Zt））+λ）dt+ZTtdWt，（61）t≥ 0，其中q如（60）所示，且驱动器H（·，·）满足条件（57）-（59）。我们很容易得到Lipschitz连续性条件|H（v，q（z））- H（\'v，q（z）|≤CηCvCη- Cv | v- \'v |，（62）和| H（v，q（z））- H（v，q（\'z）|≤ CzCη+CvCη- Cv|z- “z”。（63）因此，如果我们可以证明BSDE（61）允许一个用（Yt，Zt，λ）和|Zt|表示的马尔科夫解≤CvCη-Cv，t≥ 0，那么q（Zt）=Zt，t≥反过来，这个过程（Yt，Zt，λ）也将分别求解命题10中的遍历BSDE（15）在Proposition 2中和（42）。我们首先建立了f（61）的马尔可夫解的存在性。为此，我们在有限维环境中采用了[16]第4节中使用的微扰技术和Girsanov变换。