单期投资组合选择问题的情景生成

（3） 如果Y是一个随机向量，则以下等式成立：P（Y∈ A） =P~Y∈ A.对于任何一个 R、 （4）那么ρβ（f（x，Y））=ρβf（x，~Y）为了所有的x∈ 十、 对于任何β-尾部风险度量ρβ。关于情景生成，该定理表示，非风险区域中的任何情景都可以聚合为一个点，从而减少问题的规模，而不影响风险度量的值。这激发了（3）的术语聚合条件。变换后的随机向量在这项工作中起着特殊的作用，其中一个区域中的所有质量都集中在它的条件期望中。我们称之为聚合随机向量。定义2.6（聚合随机向量）。为了某个布景 Y，x聚合随机向量定义如下：ψR（Y）：=（Y如果Y∈ R、 E[Y | Y∈ 否则。条件期望E[Y | Y∈ 例如，如果损失函数是凸的[FTW17，命题3]，则Rc]保证落入非风险区域。2.2风险区域的近似本文提出的方法要求对风险区域进行表征，从而允许一个简单的测试成员资格。通常不可能对（1）中定义的确切风险区域进行方便的表征，因为该集合由损失函数、随机向量分布和问题约束决定。即使对于具有简单损失函数的投资组合选择，我们也无法找到一种方便的形式来任意分配资产收益。回想一下，定理2.5适用于任何包含风险区域的集合。因此，规避准确风险区域问题的一种方法是使用保守风险区域，即包含准确风险区域的aset。

这种方法特别适用于具有不易考虑的约束的问题，例如投资组合选择问题中涉及整数变量的约束。根据定义2.4，如果X X，X 因此，忽略某些约束将产生一个保守的风险区域。如果不能为给定的损失函数或分布构造风险区域，可能很难找到保守的风险区域。此外，保守的风险区域可能过于保守，没有任何用处。相反，我们可以尝试使用一个近似的风险区域。对于投资组合选择问题，我们处理的分布不能通过使用与真实分布相似的替代分布的风险区域来方便地描述确切的风险区域。用R表示 一个近似的风险区域。当使用近似风险区域时，决策x的尾部风险度量值可能会失真∈ X如果R不包含β-尾的所有结果，也就是说，除非以下条件成立：supy∈循环贷款（x，y）≤ F-1x（β）。（5） 如果（5）成立，那么我们说近似风险区域R对决策x有效。我们在本节中表明，如果近似风险区域对特定决策无效，那么在温和的假设下，β-VaR和β-CVaR尾部风险度量值向下扭曲。在第3节中，我们将利用这一观察结果来证明，对于我们感兴趣的问题，如果最优解的尾部风险度量值没有失真，那么这个解对于真实问题也是最优的。对于本节中的结果，我们使用以下符号：^fx和^F-分别给出ψR（Y）的分布函数和分位数函数。

我们需要下列条件：（A）z 7→ Fx（z）对所有x是连续的∈ X（B）E[Y | Y∈ [Rc]∈ RcY，X假设（B）要求近似风险域补中Y的条件期望属于精确非风险域。这意味着，对于所有可行决策x，聚集点的损失将比f（x，Y）的β分位数低很多∈ 在陈述和证明关键结果之前，我们需要以下引理。引理2.7。在假设（A）和（B）下，所有x的近似分布函数^fx是连续的∈ X在z处表示z>f（X，E[Y | Y∈ R] ）。证据修正x∈ X和z>f（X，E[Y | Y∈ R] ，并且在不丧失一般性的情况下，假设f（x，E[Y | Y∈ R] ）<z<z.现在，^Fx（z）-^Fx（z）=P（f（x，ψR（Y））<z）- P（f（x，ψR（Y））<z）=（P（{Y∈ R}∩ {f（x，Y）≤ z} ）+P（Y）∈ Rc））- （P{Y∈ R}∩ {f（x，Y）≤ z） +P（Y）∈ Rc））=P（{Y∈ R}∩ {z<f（x，Y）≤ z} )≤ 外汇（z）- 外汇（z）→ 0作为z→ z根据假设（A）。关键结果表明，在上述假设下使用近似风险区域时，聚集随机向量的β分位数（或β-VaR）和β-CVaR不能增加。这一结果对投资组合选择问题的影响在第3.1节中明确。提议2.8。根据假设（A）和（B），我们有o^F-1x（β）≤ F-1x（β）oβ-CVaR（f（x，ψR（Y）））≤ 如果R对x有效，则β-CVaR（f（x，Y））等于∈ X（在（5）的意义上）和聚集条件成立。证据Pf（x，ψR（Y））≤ F-1x（β）= P{Y∈ R}∩ {f（x，Y）≤ F-1x（β）}+ P（Y）∈ Rc）=Pf（x，Y）≤ F-1(β)| {z}=β，假设（A）+P{Y∈ Rc}∩ {f（x，Y）>f-1x（β）}≥ β.因此，^F-1x（β）≤ F-1x（β）。对于β-CVaR，回想一下，对于一个随机变量Z，它可以写成如下[AT02]：β-CVaR（Z）=1- βEhZZ≥F-1Z（β）i- F-1Z（β）β - PZ<F-1Z（β）其中表示事件A的指示器功能。

因为fx是连续的，我们可以写：β-CVaR（f（x，Y））=1- βEhf（x，Y）f（x，Y）≥F-1x（β）i.另一方面，^fx可能在^F处存在不连续性-1x（β）if^F-1x（β）=f（x，E[Y | Y∈ R] ）。因此，我们考虑两种情况：1。^F-1x（β）>f（x，E[Y | Y∈ R] ）2。^F-1x（β）=f（x，E[Y | Y∈ R] ）在第一种情况下，^Fxin在^F连续-1x（β）由引理2.7得到，所以我们可以写：β-CVaR（f（x，ψR（Y））=1- βEhf（x，ψR（Y））f（x，ψR（Y））≥F-1x（β）i=ZR∩{y:^F-1x（β）≤f（x，y）<f-1x（β）}f（x，y）dP（y）+ZR∩{y:f（x，y）≥F-因此，β-CVaR（f（x，y））- β-CVaR（f（x，ψR（Y））=1- βZRc∩{y:f（x，y）≥F-1x（β）}f（x，y）dP（y）-锆∩{y:^F-1x（β）<f（x，y）<f-1x（β）}f（x，y）dP（y）.注意，在相应的积分域上，第一项的被积函数大于第二项的被积函数。因此，为了证明上述量是非负的，就足以证明第一项的积分域与第二项具有相同的概率。

为了证明这一点，首先不是那样：Pf（x，Y）≤ F-1x（β）= β、 Pf（x，ψR（Y））≤^F-1x（β）= P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）≤^F-1x（β）= β.因此，Pf（x，Y）≤ F-1x（β）= P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）≤^F-1x（β）,重新安排哪一个R∩ {^F-1x（β）<f（x，Y）≤ F-1x（β）}= P钢筋混凝土∩ {f（x，Y）>f-1x（β）,按要求。在第二种情况下，^fx在^F处具有不连续性-1x（β），因此β-CVaR写为：β-CVaR（f（x，ψR（Y））=1- β^F-1x（β）P（Y）∈ Rc）+ZR∩{y:^F-1x（β）≤f（x，y）}f（x，y）dP（y）-^F-1x（β）β - PR∩ {f（x，Y）≤^F-1x（β）!注意到，{f（x，Y）≥ F-1x（β）}={Y∈ R}∩ {f（x，Y）≥ F-1x（β）}[{Y∈ Rc}∩ {f（x，Y）≥ F-1x（β）}和{Y∈ R}∩ {f（x，Y）>^f-1x（β）}\\{Y∈ R}∩ {f（x，Y）≥ F-1x（β）}= {Y∈ R}∩ {^F-1x（β）<f（x，Y）<f-1x（β）}，我们可以写出β-CVaR（f（x，Y））- β-CVaR（f（x，ψR（Y））as:1- β-ZRc∩{y:f（x，y）≥F-1x（β）}f（x，y）dP（y）-锆∩{y:^F-1x（β）<f（x，y）<f-1x（β）}f（x，y）dP（y）-^F-1x（β）P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）<^f-1x（β）}- β!≥1.- βF-1x（β）P{Y∈ Rc}∩ {^F-1x（β）<f（x，Y）<f-1x（β）}- P{Y∈ R}∩ {^F-1x（β）<f（x，Y）<f-1x（β）}-^F-1x（β）P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）<^f-1x（β）!.最后，对上述概率的操纵产生了以下结果：1- βF-1x（β）P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）<^f-1x（β）- β-^F-1x（β）P（Y）∈ Rc）+PR∩ {f（x，Y）<^f-1x（β）- β!≥ 0，自^F-1x（β）≤ F-1x（β），根据需要。如果R对决策x有效，则不等式成立，且聚合条件成立，这一事实直接来自定理2.5，对于特殊情况x={x}。3投资组合选择的风险区域在本节中，我们给出了与投资组合选择问题的风险区域有关的结果。在第3.2节中，我们定义了问题，并给出了[FTW17]与该问题风险区域相关的一般结果。其余两小节讨论椭圆分布的风险区域，因为这些区域被用作近似风险区域。

具体而言，在第3.2节中，我们正式定义了椭圆分布，并对其相应的风险区域进行了方便的描述，在第3.3节中，我们给出了一些与测试风险区域成员资格相关的新结果。3.1问题陈述和风险区域的应用我们使用以下基本设置：我们有一组金融资产，指数为i=1，d、 由xiwe表示我们对资产i的投资量，由yi表示资产i的随机未来收益。与特定投资决策相关的投资组合收益x=（x，…，xd）和收益Y=（Y，…，Yd）是xty=Pdi=1xiYi。因此，与投资决策相关的损失函数为f（x，Y）=-对于给定的β-尾部风险度量ρβ，我们希望投资的尾部风险ρβ较小(-xTY）。投资组合选择问题的核心是选择一个决策，在选择高预期投资组合收益和选择低风险投资组合之间进行平衡。这通常对应于解决以下形式之一的问题：（i）最小化∈Xρβ(-xTY）（P1）根据ExTY≥ t、 （二）最大化∈XExTY（P2）受以下条件限制：(-（xTY）≤ s、 (iii)∈Xλρβ(-xTY）+（1- λ） E-xTY, （P3）其中0≤ λ ≤ 1和X RDM代表一组可行的投资组合。该可行性区域通常包括一个限制条件，该限制条件规定了投资的资本金额，还可能包括其他限制条件，例如排除卖空，或限制某些行业的投资金额。在投资组合选择问题中，风险区域为RY，X（β）：=Sx∈X{y∈ Rd:-xTy≥F-1x（β）}，也就是说，它是所有可行投资组合的并集，即收益高于β分位数的点的半空间。我们可以通过蛮力找到这个区域，图1左侧的一个假设离散域向量说明了这一点。

图中还显示了一组收益，其中非风险区域中的质量已聚合为非风险区域中随机向量的条件期望，即聚合随机向量。如定理2.5所示，该图还表明，聚集后β-分位数线不会改变。3.2.1.1.2.3资产收益率1431201234资产收益率低于β-分位数高于β-分位数的完整场景集（500个场景）3.1.1.2.3资产收益率1431201234资产收益率低于β-分位数高于β-分位数的汇总场景集（87个场景）图1：所有非负投资组合（左）和汇总场景集（右）损失低于β-分位数的两项资产的收益点假设E[Y | Y∈ [Rc]∈ 除了保留尾部风险度量的值外，aggregatedrandom向量还具有保留原始随机向量的总体预期收益的附加属性。以下来自[FTW17]的推论总结了这一结果，并提供了（3）成立的充分条件。推论3.1。假设RY，X（β） R Rd，Y是一个支持度为Y=Rd的连续随机向量，X至少包含两个线性独立的元素。然后是Y满意度（3）。此外，如果Rcisconvex，则≈Y=ψR（Y）满足条件（4），因此对于所有x∈ 我们有：ρβ-xTY= ρβ-xT~Y,ExTY= 嗯!。在第2.2节中，我们表明，在温和条件下，当使用近似风险区域时，对特定决策的错误指定将降低β-VaR和β-CVaR的值。在这个结果的基础上，下面的推论给出了一个条件，在这个条件下，使用近似风险区域得到的最优解对于真实问题也是最优的。推论3.2。

在假设（A）和（B）下，对于问题（P1）、（P2）和（P3），假设用近似风险区域R的聚合随机向量ψR（Y）替换解随机向量Y，得到最优解^x。然后，如果R对^x有效，且聚合条件对R成立，则^x也是真实问题的最优解。证据我们只为P1证明了这一点。其他问题的证明非常相似。首先要注意的是（5）意味着β-CVaR-^xTψR（Y））= β-CVaR-^xTY）根据提案2.8。还请注意，从那时起-xTψR（Y）= E-xTY为了所有的x∈ rdx证明，就真正的问题而言，^x是可行的。现在，如果x是真正问题的最优解，那么β-CVaR(-~xTY）≥ β-CVaR-~xTψR（Y）根据提案2.8≥ β-CVaR-^xTψR（Y））定义^x=β-CVaR(-^xTY）。因此，就真实问题而言，^x是最优的。这一结果保证了对近似风险区域的误判具有一定的稳健性。虽然检查近似风险区域是否对决策有效原则上可以用作最优性检查，但我们不会以这种方式使用它，因为直接检查条件（5）可能很困难。如第7节所示，我们将依靠样品外测试来验证溶液的质量。3.2椭圆分布的风险区域为了利用风险区域生成场景，必须能够以一种方便测试某个点是否属于该点的方式来描述这些风险区域。在我们之前的论文中，我们能够在资产收益率具有椭圆分布的情况下做到这一点。椭圆分布是一类一般的分布，其中包括多元正态分布和多变量分布。有关该主题的完整概述，请参见[FKN89]。定义3.3（椭圆分布）。设X=（X。

，Xd）是Rd中的一个随机向量，那么X是球形的，ifX~ UX适用于所有正交矩阵Uwhere~ 表示两个操作数具有相同的分布函数。设Y是Rd中的随机向量，如果Y可以写成Y=PTX+u，则Y称为椭圆，其中P∈ Rd×dis非单数，u∈ Rd，X是球形分布的随机向量。这种非椭圆分布将表示为椭圆（X，u，P）。该定义表示，具有球形分布的随机向量是旋转不变的，椭圆分布是球形分布的一种有效变换。椭圆分布在投资组合选择中很方便，因为我们可以准确地记录投资组合的损失分布。特别是，如果~ 椭圆（X，u，P）和X∈ 那么-xTY~ kP-xkX- xTu，其中k·k表示标准欧几里德范数，Xis是球面随机向量X的第一个分量。因此，损失的β分位数-xTY如下所示：F-1x（β）=kP xkF-1X（β）- xTu。为了你~ 因此，我们可以将（1）中的风险区域改写为：RY，X（β）：=[X∈X{y∈ Rd:-xTy≥ kP-xkF-1X（β）- xTu}。（6） 在这种形式下，仍然很难检查给定的点是否为y∈ 它属于它。在[FTW17]中，我们为椭圆收益率的风险区域提供了更方便的描述。这个特征利用了可行域X的圆锥壳 Rd定义3.4（凸锥和圆锥壳）。一套K RDI是一个圆锥体，如果所有x∈ K和λ≥ 我们有λx∈ K.如果对于所有x，x，一个圆锥体是凸的∈ K和λ，λ≥ 我们有λx+λx∈ K.集合a的圆锥形 RDI是包含A的最小凸锥，表示为二次曲线（A）。例如，假设我们的可行区域由具有非负投资（即。

没有卖空）并且其总投资被标准化为1，即：X={X∈ Rd：dXi=1xi=1，xi≥ 每i=1，…，0，d} ，那么它的圆锥壳就是正象限，即圆锥（X）=Rd+。另一种特征也利用了投影。定义3.5（预测）。让C Rd可以是一个闭凸集，那么对于任意点y∈ Rdwe定义C上的投影为唯一点pC（y）∈ C这样的信息∈Ckx- yk=kpC（y）- yk。我们现在准备对风险区域进行描述。为此，我们使用以下方便的符号：对于集合a RDT和矩阵T∈ Rd×d，我们写T（A）：={tyy:y∈ A} 。以下结果在[FTW17]中得到了证实。定理3.6。假设Y~ 椭圆形（X，P，u），X Rdi是凸的，设K=conic（X）。那么风险区域可以精确地表示为：RY，X（β）=PT{y∈ Rd:kpK（~y）- u）k≥ F-1X（β）}, （7） 其中K=pk是圆锥壳K的线性变换。当u=0且P=Id时，风险区域可简化为RY，X（β）={y∈ Rd:kpK（y）k≥ F-1X（β）}.这使我们能够将y向K的投影解释为导致最大损失的投资组合。3.3测试风险区域的成员资格利用风险区域的场景生成算法依赖于测试随机采样点的风险区域成员资格的能力。（7）中给出的投资组合选择问题的风险区域的表征依赖于能够计算可行投资组合集合的圆锥壳，以及将点投射到该集合的变换上的能力。在第3.3.1节中，我们展示了如何为投资组合选择问题的典型约束找到可行区域的圆锥壳。该圆锥壳是一个完整生成的圆锥。在第3.3.2节中，我们将展示如何将点投影到这种类型的圆锥体上。