单期投资组合选择问题的情景生成

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英文标题：
《Scenario generation for single-period portfolio selection problems with
  tail risk measures: coping with high dimensions and integer variables》
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作者：
Jamie Fairbrother, Amanda Turner, Stein Wallace
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we propose a problem-driven scenario generation approach to the single-period portfolio selection problem which use tail risk measures such as conditional value-at-risk. Tail risk measures are useful for quantifying potential losses in worst cases. However, for scenario-based problems these are problematic: because the value of a tail risk measure only depends on a small subset of the support of the distribution of asset returns, traditional scenario based methods, which spread scenarios evenly across the whole support of the distribution, yield very unstable solutions unless we use a very large number of scenarios. The proposed approach works by prioritizing the construction of scenarios in the areas of a probability distribution which correspond to the tail losses of feasible portfolios.   The proposed approach can be applied to difficult instances of the portfolio selection problem characterized by high-dimensions, non-elliptical distributions of asset returns, and the presence of integer variables. It is also observed that the methodology works better as the feasible set of portfolios becomes more constrained. Based on this fact, a heuristic algorithm based on the sample average approximation method is proposed. This algorithm works by adding artificial constraints to the problem which are gradually tightened, allowing one to telescope onto high quality solutions.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一种问题驱动的情景生成方法来解决单期投资组合选择问题，该方法使用尾部风险度量，如条件风险价值。尾部风险度量有助于量化最坏情况下的潜在损失。然而，对于基于情景的问题，这些都是有问题的：因为尾部风险度量的价值只取决于资产回报分布支持的一小部分，传统的基于情景的方法（将情景均匀地分布在整个分布支持上）会产生非常不稳定的解决方案，除非我们使用非常多的情景。所提出的方法通过在概率分布区域中优先构建场景来工作，该概率分布对应于可行投资组合的尾部损失。该方法适用于高维、非椭圆分布的资产收益率和存在整数变量的投资组合选择问题。还观察到，当可行的投资组合集变得更加受限时，该方法的效果更好。基于这一事实，提出了一种基于样本平均近似法的启发式算法。该算法的工作原理是向问题添加人工约束，这些约束会逐渐收紧，从而使人们能够看到高质量的解决方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

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PDF下载：
--> Scenario_generation_for_single-period_portfolio_selection_problems_with_tail_ris.pdf (905.83 KB)

2022-5-9 12:17:42 上传

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关键词：投资组合选择 选择问题 投资组合 distribution Applications

采用尾部风险度量的单期投资组合选择问题的情景生成：应对高维和整数变量Jamie Fairbrother*、Amanda Turner*和兰开斯特大学Stein W.Wallace***STOR-i博士培训中心。英国**挪威经济学院商业与管理科学系。Norway 2018年8月1日摘要本文针对单周期投资组合选择问题，提出了一种问题驱动的情景生成方法，该方法使用尾部风险度量，如条件风险价值。尾部风险度量有助于量化最坏情况下的潜在损失。然而，对于基于情景的问题，这些都是有问题的：因为尾部风险度量的价值只取决于资产收益分布支持度的一小部分，传统的基于情景的方法（将情景均匀地分布在整个分布支持度上）会产生非常不稳定的解决方案，除非我们使用大量的情景。所提出的方法的工作原理是，在概率分布区域中，优先考虑场景的构建，该概率分布对应于可行投资组合的尾部损失。所提出的方法可以应用于高维、非椭圆分布的资产收益率和存在积分变量的投资组合选择问题的困难实例。还观察到，随着可行的投资组合集变得更加受限，该方法的效果更好。基于这一事实，提出了一种基于样本平均近似法的启发式算法。

该算法的工作原理是，在问题中添加一些逐渐收紧的人工约束，使人们能够看到高质量的解决方案。1简介在投资组合选择问题中，必须决定如何投资一系列收益不确定的金融工具，这些金融工具在某种程度上平衡了投资组合收益与风险。有很多方法可以模拟这个问题。在稳健优化设置中，投资组合的收益被假定在某个不确定性集合内，并且可以最小化最坏的损失情况[BT06]。这种方法有时被认为过于保守，因为它不能有效利用现有信息。在随机规划中，用户使用他们的知识和可用数据，将资产收益明确建模为随机向量，然后优化预期收益和风险度量的某种组合。介于这两种范式之间的是分布稳健优化[HZFF10]，其中收益由分布在某个不确定性集中的随机向量建模，最坏情况下的预期损失最小化。当只有有限或不可靠的数据可用于建模不确定性时，这种方法特别有用，但可能会导致棘手的问题。除了所采用的优化范式外，投资组合选择问题还可以进一步分为单周期问题（只进行一次投资组合选择）和多周期问题（投资组合可能多次重新平衡）。本文的工作适用于投资组合选择问题的随机规划单周期公式。这种方法很受欢迎，因为它可以灵活地对分销的回报进行建模，可以轻松地纳入交易成本等问题细节[LFB07]，同时通常比其他类型的模型更易于处理。

我们特别处理各种各样的问题，包括尾部风险度量和潜在的整数变量。在典型的设置中，不确定回报由随机变量建模，投资组合的总回报是这些变量的线性组合，风险性由总回报的实值函数来衡量，总回报在某种程度上会惩罚潜在的巨大损失。马科维茨[Mar52]首先提出了这种方法，他将方差作为风险度量。尽管方差的使用仍然很受欢迎[LFB07]，因为它会导致易于处理的对流程序，但它作为风险度量的使用存在问题，原因有几个。其中最重要的一点是，差异可能会惩罚巨额利润和巨额损失。因此，如果金融资产收益率不是正态分布，使用方差可能会导致潜在的错误决策；例如，可以选择一个总有较高回报的投资组合（参见[You98]中的例子）。这一特殊问题可以通过使用“下行”风险度量来解决，该度量仅取决于大于平均值的损失，或其他特定阈值，例如半方差[Mar59，第9章]、平均后悔[DR99]或风险价值[Jor96]。最近，人们对一致性风险度量进行了大量研究，这是[ADEH99]中引入的一个概念。这些风险度量具有合理的属性，例如次可加性，特别是确保风险度量能够激励投资组合的多样化。在投资组合选择问题中使用一致的风险度量应该避免令人震惊的决策，例如在方差情况下引用的决策。在这项工作中，我们对涉及尾部风险度量的投资组合选择问题感兴趣。

这些可以被认为是风险度量，只取决于某个特定分位数以上分布的上尾。尾部风险度量的一个典型例子是风险价值（VaR）[Jor96]。β-VaR定义为随机变量的β-分位数。在投资组合选择问题中，这有一个看似合理的解释，即覆盖β×100%潜在损失所需的资本量。因此，尾部风险度量，尤其是那些主导β-VaR的度量，是有用的，因为它们可以让我们对最坏情况下的风险资本量有一些了解（1）-β） ×100%的潜在损失。与方差一样，风险价值也是有问题的，因为它不是一个一致的风险度量。具体而言，它不是次可加性的（例如参见[Tas02]）。此外，在优化环境中使用β-VaR会导致困难和棘手的问题。条件风险值（CVaR），有时被称为预期短缺，是另一种尾部风险度量，可以粗略地认为是β-VaR以上arandom变量的条件预期。它既一致[AT02]，又在优化设置[RU00]中更易于处理。然而，在投资组合选择问题中，使用风险度量，即使是一致的度量，如β-CVaR，仍然存在问题，其中资产收益率是用连续概率分布建模的。这是因为，对任意连续分布收益的许多风险度量的评估将涉及对多维积分的评估，当任何问题涉及许多资产时，这在计算上都是不可行的。另一方面，如果收益率具有离散分布，则这种积分的计算将减少为一个求和。情景生成是指在随机优化问题中使用的有限离散分布的构造。

这可能涉及对资产收益率建立参数模型，然后对该分布进行离散化，或直接用离散分布建模，例如通过矩匹配[HKW03]。在这两种情况下，标准的场景生成方法都难以用尾部风险度量充分表示问题中的不确定性。这是因为尾部风险度量值Bydefinition仅取决于随机变量支持度的一小部分，典型的场景生成方法将在整个分布支持度上均匀分布其场景。这意味着尾部风险值所依赖的区域由相对较少的场景表示。因此，除非存在大量场景，否则尾部风险度量的值是非常不稳定的（例如参见[KWVZ07]）。解决这个问题的自然方法是用更多的场景来表示铁路风险度量所依赖的分布区域。直觉会告诉我们，这些对应于分布的“尾巴”。然而，对于多变量分布，没有尾部的标准定义。如果我们所说的尾部，只是指至少一个组成部分超过一个较大值的区域，那么该区域的概率很快收敛到一个问题维度，因此该区域的优先化场景将没有什么好处。找到分布的相关尾部是一个不平凡的问题。在我们之前的论文[FTW17]中，我们讨论了具有使用尾部风险度量的任意损失函数的随机计划的情景生成问题，为此我们定义了β-风险区域的概念。在投资组合选择中，每个有效的投资组合都有一个损失（或回报）分布。

β风险区域由所有潜在资产回报组成，这些潜在资产回报会导致某些投资组合的β尾部亏损。我们已经证明，在温和的条件下，尾部风险度量效应的值只取决于风险区域内的收益分布。虽然用一种方便的方法来描述这个区域通常是不可能的，但我们已经能够在资产收益呈椭圆分布的情况下，对投资组合选择问题这样做。我们还提出了一种使用这些风险区域生成场景的抽样方法，该方法优先考虑风险区域中场景的生成。我们通过简单的例子证明，这种方法可以生成比基本采样更好、更稳定的方案集。在这篇论文中，我们讨论了将这种方法应用于现实的投资组合选择问题的相关问题。这项工作的第一个主要贡献是将该方法应用于资产收益具有非椭圆分布的问题。在这种情况下，投资组合的收益分布通常不会有一个方便的封闭形式，因此有必要用一个场景集来表示资产收益。为了应用该方法，我们用椭圆分布的风险区域来近似非椭圆分布的风险区域。此外，我们还证明了该方法对高维整数变量的困难问题是有效的。论文[FTW17]表明，随着问题变得更加受限，我们的方法更加有效。这项工作的第二个主要贡献是提出了一种基于随机平均近似（SAA）方法[KSHdM01]的启发式算法，该方法利用了这一事实。

该算法的工作原理是为问题添加人工约束，这些约束会逐渐收紧，从而使人们能够看到高质量的解决方案。该算法是以一种通用的方式提出的，可能用于投资组合选择以外的问题。论文的结构如下。在第2节中，我们正式定义了一般随机程序的风险区域，并给出了使用近似风险区域的一些新结果。在第3节中，我们定义了投资组合选择问题，并回顾了使用风险区域方法解决该问题的一些结果。我们还提供了一些与利用椭圆分布的风险区域有关的新技术结果。在第4节中，我们描述了如何利用风险区域来生成场景，并提出了一种基于SAA方法的启发式方法，该方法使用了人工约束。在第5节中，我们对非风险区域的概率（决定方法有效性的数量）如何随资产收益分布类型而变化进行了一些实证观察。在第6节中，我们使用实际资产回报数据构建的分布，对我们的抽样和缩减算法的有效性进行了广泛的数值测试，并给出了结果。在第7节中，我们将在一个困难的案例研究问题上演示所提出的启发式算法的性能。最后，第八章我们做一些总结。2一般随机规划的风险区域在本节中，我们正式定义了风险区域的概念，并给出了与之相关的结果。该理论不仅适用于投资组合选择问题，而且更普遍地适用于带有尾部风险度量的随机计划。在第2.1节中，我们回顾了我们之前的论文[FTW17]中出现的风险区域的基本定义和基本结果。

在第2.2节中，我们给出了一些与风险区域近似有关的新结果。2.1尾部风险度量和风险区域风险度量是代表损失的实值随机变量的函数。对于0<β≤ 1，β-tailrisk度量可以被认为是一个随机变量的函数，它只取决于上限（1）- β） -分布的尾部。精确定义使用广义逆分布函数或（下）分位数函数。定义2.1（分位数函数和β-尾部风险度量）。假设Z是一个具有分布函数FZ的随机变量。然后广义逆分布函数或分位数函数定义如下：-1Z:（0，1]→ R∪ {∞}β 7→ inf{z∈ R:FZ（x）≥ β} 现在，β尾部风险度量是随机变量ρβ（Z）的任何函数，它只依赖于β以上随机变量的分位数函数。示例2.2（风险价值（VaR））。设Z为随机变量，0<β<1。然后，β-VaRfor Z定义为Z的β分位数：β-VaR（Z）：=F-1Z（β）。例2.3（条件风险价值（CVaR））。设Z为随机变量，0<β<1。然后，可以将β-CVaR大致视为随机变量在其β分位数以上的条件期望。以下β-CVaR[AT02]的替代特征直接表明它是一种β-CVaR风险度量。β-CVaR（Z）=ZβF-1Z（u）dut我们在这项工作中利用的观察结果是，非常不同的随机变量将具有相同的β-尾风险度量，只要它们的β-尾相同。在优化环境中，我们假设损失取决于某个决策x∈ 十、 RK与支持向量Y的潜在随机向量Y的结果 定义在概率空间上(Ohm, F、 也就是说，我们假设我们的损失是由某个函数F:x×Rd决定的→ R、 我们称之为损失函数。

对于给定的决策x∈ 十、 因此，与损失相关的随机变量为f（X，Y）。为了避免重复使用繁琐的符号，我们为分布函数和分位数函数引入了以下简称：Fx（z）：=Ff（x，Y）（z）=P（f（x，Y）≤ z） ，F-1x（β）：=F-1f（x，Y）（β）=inf{z∈ R:Fx（z）≥ β}.在[FTW17]中，我们使用尾部风险度量为随机程序引入了风险区域的概念。我们现在将其定义为一般随机程序。定义2.4（风险区域）。与随机向量Y和可行域X相关的β-风险域 RDI如下：RY，X（β）：=[X∈X{y∈ Rd:f（x，y）≥ F-1x（β）}。（1） 风险区域正是由Y的结果组成，这些结果在损失分布的β-尾部有损失，用于一些可行的决策。我们将风险区域的补充称为非风险区域，这包括不会导致β尾部损失的结果；它可以写成：RY，X（β）c=\\X∈X{y∈ Rd:f（x，y）<f-1x（β）}。（2） [FTW17]证明了以下定理，并指出在温和条件下，atail风险度量值完全由随机向量Y在风险区域的分布决定。也就是说，对于所有可行决策，风险区域内具有相同分布的任意两个随机向量的尾部风险度量值都是相同的。（3）中的技术条件（出于下文解释的原因，我们称之为聚合条件）排除了某些退化情况。本质上，这个条件确保集合中有足够的质量，以确保β分位数不依赖于它之外的概率分布。定理2.5。让R RY，X（β）对于所有X∈ 以下条件成立：PY∈ {y:z<f（x，y）≤ F-1x（β）}∩ R> 0 z<F-1x（β）。