单期投资组合选择问题的情景生成

这就导致了具有ghost约束的聚集抽样的最佳最优性差距要小得多。由于我们无法验证重影约束是否有效，因此我们必须谨慎看待这一差距。然而，最终验证后的样本外验证表明，与无ghost约束的聚合抽样相比，具有ghost约束的聚合抽样确实产生了更高质量的解决方案。8结论在论文[FTW17]中，我们提出了一种使用带有尾部风险度量的仓促计划的风险区域生成情景的通用方法。作为概念证明，我们演示了如何将其应用于椭圆分布回报的投资组合选择问题。在这项工作中，我们介绍了如何将这种方法用于更现实的投资组合选择问题，特别是那些高维、具有非椭圆资产收益率和整数决策变量的问题。将该方法应用于更现实的问题的主要问题是它对非椭圆分布的扩展。为了做到这一点，我们建议使用近似风险区域，得出的结果表明，我们的方法将对风险区域的小错误具有鲁棒性。虽然本文的重点是投资组合选择，但其结果是针对一般随机规划得出的，这意味着使用近似风险区域可以解决其他具有尾部风险度量的问题。我们测试了我们的方法在解决实际问题时的性能，这些问题的回报分布是根据真实的财务回报数据确定的。在溶液质量和稳定性方面，聚合采样通常优于基本采样。我们还表明，对于大小合理的场景集，聚合减少在解决方案中几乎没有错误。

这些结果不仅适用于椭圆分布，也适用于我们使用近似风险区域的非椭圆分布。使用风险区域生成情景的效果取决于风险区域的概率：非风险区域的概率越大，可以聚合的情景就越多。直接从风险区域的定义可以看出，随着问题变得更加受限，这种可能性会降低。基于这一观察结果，提出了一种基于SAA方法的启发式方法，该方法在问题中添加了称为ghost约束的人工约束。随着算法的发展，重影约束变得更加严格，这使得人们能够专注于高质量的解决方案。该算法在一个困难的案例研究问题上进行了演示，结果表明，该算法在没有重影约束的情况下显著优于基本采样和聚合采样。该算法是以一种非问题的特定方式提出的，有可能应用于其他具有尾部风险度量的随机规划。参考文献[AC03]Adelchi Azzalini和Antonella Capitanio。由对称性扰动产生的分布，重点是多元斜t分布。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），65:367–389，2003年。[ADEH99]P.Artzner、F.Delbaen、J.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–228，1999年。卡洛·阿塞比和德克·塔什。关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》，26（7）：1487-15032002。[BM06]G–uzin Bayraksan和David P.Morton。随机规划中解的质量评估。数学规划，108（2-3）：495-5142006年9月。[BT06]Dimitris Bertsimas和Aur\'elie Thiele。稳健的数据驱动优化：不确定性下的现代决策。

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多面体讲座（数学研究生教材）。斯普林格42008.100 200 500场景数量。0000.0050.0100.0150.0200.025最优间隙分布：正常，尺寸：10，β=0.95抽样。抽样500 1000 2000场景数量。0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.016最优间隙分布：正常，尺寸：30，β=0.99抽样。抽样100 200 500个场景。000.010.020.030.040.050.06最优间隙分布：t4。0，尺寸：10，β=0.95取样。抽样500 1000 2000场景数量。000.010.020.030.040.050.06最优间隙分布：t4。0，尺寸：30，β=0.99取样。抽样100 200 500个场景。0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.035最优性间隙分布：斜T，尺寸：10，β=0.95抽样。抽样500 1000 2000场景数量。000.010.020.030.040.050.06最优性间隙分布：斜T，尺寸：30，β=0.99抽样。采样图8：稳定性测试，比较采样和聚集采样的性能200 300 400 500场景数量0。0250.0500.075取样。采样（无重影约束）Agg。抽样（幽灵约束）（a）最佳最优性gapAgg。采样（重影约束）Agg。采样（无重影约束）采样方法0。120.130.140.150.16样本外值（b）样本外值200 300 500场景数量0。850.900.95非风险区域概率（c）概率。非风险区域图9：案例研究结果B聚合抽样表下表列出了聚合抽样与各种分布抽样相比，最优性差距的平均值和标准偏差的相对减少。详见第6.3节。n=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D。

Imp.2.747 2.542 3.226 3.321 3.697 2.8713.905 4.427 3.226 3.323 3.646 4.4393.803 2.993 4.889 3.538 4.567 3.9273.376 3.040 3.402 2.517 5.182 4.3573.240 3.257 3.432 2 2 2 4.246 4.807 4.708表9：d=5的比较，β=0.95，正常回报率SN=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.989 1.876 2.670 2.422 2.460 2.4952.018 2.494 2.711 2.227 3.126 2.8641.559 1.652 1.736 1.230 2.727 2.6781.869 2.089 2.275 2.181 2.551 2.7311.996 2.085 2.285 2.061β=4610.8β=2.8210的比较表，正常回报率SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击2.357 2.124 2.890 3.039 3.026 2.8092.504 3.054 2.750 2.839 2.873 2.6892.308 1.963 2.546 2.854 2.803 2.803.948 3.369 2.592.3672.657 3.421 2.723.792.7β=2.792.792.549 2.549 2.9 2.542.9β=2.9β=2.7β=2.549，表10，正常回报率SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.943 1.842.1612.1482.901 2.8461.779 2.1952.197 2.067 2.590 2.4831.990 2.227 2.246 2.033 2.405 2.5142.019 2.012 2.076 2.057 2.010 1.8911.866 1.769 2.457 2.921.12，用于比较的表，正常回报率SN=100 n=200 n=500平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口2.857 2.661 2.762 1.981 3.500 3.7093.407 3.431 3.692 3.416 5.572 6.1674.335 3.062 3.872 4.195 3.244 3.1494.280 3.748 4.636 6.732 4.974 6.5932.578 1.773.664 3.1604.500，用于比较的β=T40.019和T40.95。0returnsn=100 n=200 n=500平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口平均进口标准差进口1.899 2.091 2.169 1.805 2.939 2.5992.078 1.910 2.358 2.229 2.982 2.3401.996 2.923 2.639 3.9802.088 1.7272.658 2.958 2.436 2.222 2.357 2.080 2.171 1.1.1.1.232.10，用于比较的β=T42.952.10和T42.10。0returnsn=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击。

平均Imp.S.D.Imp.4.142 5.028 4.215 4.383 5.571 5.2213.039 3.843 4.096 4.346 4.857 6.0843.378 3.831 4.020 4.267 5.007 5.6173.722 4.886 3.744 3.247 4.3363.616 3.524 4 4 4.999 3.739 5.116 6.277表15：D=20、β=0.99和t4的比较。0returnsn=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击3.035 3.068 2.950 2.547 3.741 4.0422.359 1.983 3 3.513 5.068 3.384 3.0293.507 4.356 2.977 3.966 3.686 4.9152.950 3.005 3.079 1.964 3.936 4 4 4.2402.228 2.043.549 3.227 3.227 3.16β=267β=0.974比较表。0returnsn=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.917 1.601 2.766 3.020 3.352 2 2.6441.887 1.857 2.748 2.416 3.414 3.2903.1713.489 4.433.427 3.949 3.7742.620 3.170 3.038 3.518 2.872 3.1782.391 2.408 2.027 1.891.433.465β=0.4β=0.4β=0.4β=0.4β=0，偏态T回归SN=100 n=200 n=500平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击1.839 2.189 2.215 1.925 2.977 2.6501.631 2.021 2.203 2.087 2.150 2.5541.962 1.671 1 1 1.872 1.187 3.172 3.5131.627 1.868 1.661 2.136 1.775 1.4392.502 2.417 2.572.647 2.152，用于比较的表：β=5802.647，和倾斜T返回SN=500 n=1000 n=2000平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击平均冲击S.D.冲击4.646 5.803 4.921 4.384 5.843 6.2684.639 4.025 6.296 5.028 6.513 7 7 7.4383.355 3.840 3.655 3 3.1633.305 3.3593.317 2.257 3.448 3.623.794 4 4.7323.395 3.365 3.164 3.354β=1.19进行比较，表1.0，和歪斜T回报SN=500 n=1000 n=2000平均进口标准偏差进口平均进口标准偏差进口平均进口标准偏差进口2.631 3.659 3.364 4.298 4.000 4.0992.285 2.809 2.667 3.201 3.482 2 2.8823.266 4.545 3.617 4.340 3.791 3.1382.923.334 3.750 3.796 4.304 5.4922.289 2.658 2.754 2.284β回报率比较表