指数Léevy模型下两种资产期权的有限元定价

如果4τ足够小-2βT-β（4τ）>0那么我们有，对于m=0，1，[T/4τ]：em+1L(OhmM） +M+1Xn=1 | | en | H(OhmM）≤ C（4τ）ZT（||uττ（ξ）|L）(OhmM） +| | uττ（ξ）|H(OhmM） ）dξ！，（3.31）其中C是一个通用常数，与4τ无关，但取决于T和畴的大小OhmM.这给出了任意有限时间间隔内Crank-Nicolson方案的误差估计。3.4. 有限元法的误差分析。对于有限元空间离散化，我们引入了一种三角形划分方法OhmM.我们用分区的所有不重叠三角形K的集合和K的最长边d（K）表示。然后表示h=maxK∈Thd（K）。然后我们构造一个连续的分段多项式有限元空间Vh，即Vh={v∈ C(OhmM） ：v|K∈ Pk（K），K∈ Th，v|OhmM=0}，其中Pk（K）是定义在K上的多项式函数集，其最高阶为K。基于[37]对FEM中投影算子的逼近性质，我们在FEM 19下对双资产期权进行定价可能具有类似的逼近性质∈ Hk+1η(OhmM） 有一个项目P，这样Pu∈ Vhand | | u- Pu | | Hsη≤ Chk+1-s | | u | | Hk+1η。（3.32）请注意，我们的域局限于一个有界的域，加权的Sobolev空间并不一定。然而，我们只是用加权的Sobolev空间来陈述结果，通常的Sobolev空间是特例。应用v∈ v在有界区域内的变分形式（3.12）OhmM、 我们获得了有限元素解决方案：(UHτ、 v）Lη(OhmM） +aηM（uh，v）=a[~g]， 五、∈ Vhuh（0，x）=0， 十、∈ OhmMuh（τ，x）=0， （τ，x）∈ [0，T]×OhmM.（3.33）现在我们要估计（3.12）的解u和有限元解uh之间的误差。提议3.6。让eh=u- uh和u有足够的规律性，即u∈Hη(OhmM） 。

对于VH中的分段线性有限元，我们有以下误差估计：||eh |Lη(OhmM）+Zτ| | eh | | Hη(OhmM） dξ≤ 中国Zτ| | u | | Hη(OhmM） dξ,其中C是一个通用常数，取决于给定的时间τ和Ohm不在h.证明上。设eh=θ+φ，其中θ=u- Pu，φ=Pu- 算符P是Hη的投影(OhmM） 到Vh。从（3.33）中减去3.32中的方程式（3.12），我们得到了误差方程式dehdτ，vLη(OhmM） +aηM（eh，v）=0， 五、∈ VhLet v=φ。因为（θ，v）Hη(OhmM） =0表示所有v∈ Vh，我们有dτ| |φ| | Lη(OhmM） +aηM（φ，φ）=-aηM（θ，φ）。通过Garding不等式（3.3），我们得到了Dτ| |φ| Lη(OhmM） +c | |φ| | Hη(OhmM）- β| |φ| | Lη(OhmM）≤ c | |θ| | Hη(OhmM） | |φ| | Hη(OhmM）≤c4ε| |θ| | Hη(OhmM） +cε| |φ| | Hη(OhmM） 取ε=C2C，将上述不等式乘以e-2βτ，我们有-2βτddτ| |φ| | Lη(OhmM）- 2βe-2βτ| |φ| | Lη(OhmM） +ce-2βτ| |φ| | Hη(OhmM）≤cce-2βτ| |θ| | Hη(OhmM） 注意到初始条件为零，并将τ从τ=0积分到s，我们得到了| |φ| Lη(OhmM） +cZsτe-2β(τ-s） | |φ| | Hη(OhmM） dξ≤ccZsτe-2β(τ-s） | |θ| | Hη(OhmM） dξ。因此，结合投影P的近似性质（3.32），我们完成了证明。20李克强、林炳、戴克强和周俊华4。数值实验。在这一部分中，我们将展示本文提出和分析的有限元及其相关技术的性能。我们采用线性有限元素。时间步长是τ = 0.01. 在空间离散化中，我们将计算域（S，S）定位在[0,80]×[0,80]中。我们将为定价PIDE显式地实现积分项，隐式地实现微分项。4.1. 多项式选项的案例研究。为了确保多资产期权定价的有限元方法的准确性，我们以一个简单问题为例测试了该算法，即带支付（S+S）的多项式期权，其在Black-Scholes模型和Merton跳跃扩散模型下的解析解在附录B中给出。

跳跃扩散模型和多项式选项的参数如表4.1所示。参数值扩散波动率（σ，σ）0.1-0.3, 0.1 -0.3平均跳跃大小（ν，ν）-0.9, -0.9平均跳跃波动率（γ，γ）0.45，0.45跳跃强度（λ，λ）0.1，0.1相关性（ρ）0.3或-0.3基础价格40执行价格80利率0.05到期时间-t） 0.1或0.9表4.1多项式选项的参数：（S+S）τρσBS解析JD解析有限元相对误差0。1 0.3 0.1 0.1 6.4363 6.4899 6.5695 1.23%0.1 0.3 0.1 0.2 6.4421 6.4958 6.4785 0.27%0.1 0.3 0.1 0.3 6.4511 6.5050 6.4434 0.95%0.1 0.3 0.2 0.2 6.4488 6.5026 6.4977 0.08%0.1 0.3 0.2 0.3 6.4589 6.5128 6.4611 0.79%0.1 0.3 0.3 0.3 6.4699 6.5239 6.4646 0.91%0.9 0.3 0.1 0.1 6.7339 7.2753 7.3561 1.11%0.9 0.3 0.1 0.2 6.7892 7.3380 7.2909 0.64%0.9 0.3 0.1 0.3 6.8781 7.4398 7.3828 0.77%0.9 0.3 0.2 0.2 6.8536 7.5208 7.5093 0.15%0.90.30.20.36.9518 7.6412 7.6183 0.30%0.90.30.3 7.0593 7.4098 7.4093 0.01%表4.2正相关多项式期权的结果：ρ=0.3。在表4.2和4.3中，我们报告了两种标的资产的不同波动率的价格：（0.1,0.1），（0.1,0.2），（0.2,0.2），（0.2,0.3），（0.3,0.3），到期时间0。1或0.9，相关性：正（表4.2）或负（表4.3）。我们使用解析法和有限元法计算了两种资产期权在有限元域下的平方定价。并给出了相对误差。从FEM计算出的价格与解析解相差很小。在最新的三角测量中，差异尤其小。

正相关的价格略高于负相关的价格。τρσBS解析JD解析有限元相对误差0。1.-0.3 0.1 0.1 6.4343 6.4880 6.5622 1.14%0.1 -0.3 0.1 0.2 6.4382 6.4919 6.5573 1.01%0.1 -0.3 0.1 0.3 6.4453 6.4992 6.4784 0.32%0.1 -0.3 0.2 0.2 6.4411 6.4949 6.4699 0.39%0.1 -0.3 0.2 0.3 6.4473 6.5012 6.4816 0.30%0.1 -0.3 0.3 0.3 6.4525 6.5065 6.4540 0.81%0.9 -0.3 0.1 0.1 6.7158 7.2572 7.1881 0.95%0.9 -0.3 0.1 0.2 6.7530 7.3018 7.2686 0.46%0.9 -0.3 0.1 0.3 6.8239 7.3855 7.3250 0.82%0.9 -0.3 0.2 0.2 6.7813 7.3375 7.2680 0.95%0.9 -0.3 0.2 0.3 6.8433 7.4124 7.4990 1.17%0.9 -0.3 0.3 0.3 6.8966 7.4785 7.4422 0.49%表4.3负相关多项式选项的结果：ρ=-0.3 Black-Scholes模型的价格低于其跳跃差异模型。这是因为除了差异波动性之外，跳跃成分还解释了基础波动性。我们可以看到，跳跃式波动解释了价格大约10%的波动。图4.1给出了带跳跃扩散模型的多项式选项的解面。图4.1。默顿跳跃扩散模型下的多项式期权备注4.1。在表4.2和4.3中，价格单位为1000，τ为到期时间。“BS分析”和“JD分析”是提供的分析解决方案22 X.LI、P.LIN、X.-C.TAI和J.H.Zhou参数值扩散波动率（σ，σ）0.3，0.3平均跳跃大小（ν，ν）-0.9, -0.9平均跳跃波动率（γ，γ）0.45，0.45跳跃强度（λ，λ）0.1，0.1相关性（ρ）0.3基础价格（S，S）40，40权重（w，w）0.5，0.5执行价格（K）40利率（r）0.05到期时间（T-t） 表4.4篮子看跌期权的参数：K-Pi=1wiSi+在附录B中，FEM是由FEM计算的解，相对误差定义为| F EM-jdAnalytical | jdAnalytical。4.2. 其他多资产选项的案例研究。

篮子看跌期权与普通期权类似，只是基础期权被组成篮子的资产的加权总和所取代。具有正权重（w，w，··，wd）和履约价格K的篮子看跌期权的支付由K给出-dXi=1wiSi（T）！+。表4.4给出了基础动态和篮子看跌期权的参数。