指数Léevy模型下两种资产期权的有限元定价

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英文标题：
《Pricing Two-asset Options under Exponential L\\\'evy Model Using a Finite
  Element Method》
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作者：
Xun Li, Ping Lin, Xue-Cheng Tai and Jinghui Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This article presents a finite element method (FEM) for a partial integro-differential equation (PIDE) to price two-asset options with underlying price processes modeled by an exponential Levy process. We provide a variational formulation in a weighted Sobolev space, and establish existence and uniqueness of the FEM-based solution. Then we discuss the localization of the infinite domain problem to a finite domain and analyze its error. We tackle the localized problem by an explicit-implicit time-discretization of the PIDE, where the space-discretization is done through a standard continuous finite element method. Error estimates are given for the fully discretized localized problem where two assets are assumed to have uncorrelated jumps. Numerical experiments for the polynomial option and a few other two-asset options shed light on good performance of our proposed method.
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中文摘要：
本文提出了一种求解偏积分微分方程（PIDE）的有限元方法（FEM），对两种资产期权进行定价，其基础价格过程由指数Levy过程建模。我们在加权Sobolev空间中给出了一个变分公式，并建立了基于有限元的解的存在唯一性。然后讨论了无限域问题在有限域上的局部化问题，并对其误差进行了分析。我们通过PIDE的显式-隐式时间离散化处理局部问题，其中空间离散化通过标准的连续有限元方法完成。对于完全离散的局部问题，假设两个资产具有不相关的跳跃，给出了误差估计。对多项式期权和其他两种资产期权的数值实验表明，我们提出的方法具有良好的性能。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Pricing_Two-asset_Options_under_Exponential_Lévy_Model_Using_a_Finite_Element_Method.pdf (1.08 MB)

2022-5-9 12:20:56 上传

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关键词：有限元 localization Differential Quantitative Applications

指数L’EVYMODEL下双资产期权的有限元定价*, 林平+、戴雪成§和周景辉§摘要。本文提出了一种用于部分积分微分方程（PIDE）的有限元方法（FEM），用于对两个资产期权进行定价，其基础价格过程由指数L＠evy过程建模。我们在加权Sobolev空间中给出了一个变分公式，并建立了基于有限元的解的存在唯一性。然后，我们讨论了有限域内主要问题的局限性，并分析了其误差。我们通过PIDE的显式隐式时间离散化来解决局部问题，其中空间离散化通过标准的连续有限元方法完成。对于完全离散的局部问题，假设两个资产具有不相关的跳跃，给出了误差估计。多项式期权和其他两种资产期权的数值实验表明，我们提出的方法具有良好的性能。关键词。L’evy过程，部分积分微分方程，有限元法，指数L’evy模型1。介绍众所周知，当存在正常的市场波动时，差异期权定价模型（参见[6,32,8,12,22,21,20]）在捕捉风险方面存在缺点。最近的实证研究和高冲击市场崩盘表明，资产动态中戏剧性波动的特性应该纳入差异模型（参见[5]）。另一方面，在资产价格建模中包含跳跃已经发展了很多年。默顿（Merton，参见[33]）最初将泊松跳过程引入扩散模型。泊松跳跃扩散模型是指数L’evy模型（ELM）的一个例子，其基本价格动态表示为L’evy过程的指数（参见[4,35,14,38,25,23,19]）。

将差异模型扩展到指数evy模型，可以根据期权的市场价格对模型进行校准，并产生各种隐含的波动率偏差/微笑。通常，在微分模型（或BlackScholes-Merton框架）下的期权估值需要解抛物线偏微分方程。详细的治疗方法见[41,40]。假设系统风险可以在指数L’evy模型下分布，我们可以用抛物线积分微分方程（PIDE）的解来表示期权价格，该方程包括一个二阶微分算子和一个非局部积分算子。最近的文献[18,36,10]研究了指数L’evy模型下的期权定价。已经提出了各种有限差分方法来解决一维PIDE*香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡(malixun@polyu.edu.hk)。本文作者感谢香港特别行政区普通研究基金（编号：15209614和15224215）的财政支持。+英国苏格兰邓迪大学数学系DD1 4HN(plin@maths.dundee.ac.uk)本文作者感谢中国国家科学基金会第91430106号、中央大学基础研究基金第06108037号和FRF-BR13-023号的资助卑尔根大学数学系，约翰内斯·布伦斯盖特12号，卑尔根5008，挪威(tai@cma.uio.no)§新加坡南洋路21号南洋理工大学物理与数学科学学院数学科学系637371(xctai@ntu.edu.sg, jhzhou@ntu.edu.sg)该研究得到了南洋理工大学SUG 20/07的支持。此外，还感谢教育部二级项目T207N202和IDM项目NRF2007IDM-IDM002-010的支持。2 X.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H。

最近（参见[16,2,42,7,1,3,13,15,11,9,34]）。作为等价物，Admin（参见[2]）中采用了双模拟法，用于具有有限跳跃强度的一维跳跃微分模型。Andersen和Andreasen（参见[3]）提出了一种算子分裂方法，其中局部部分用隐式步长处理，非局部部分用显式格式处理。Zhang（参见[42]）为跳差模型开发了一个半隐式有限差分方案，用于美国期权定价。虽然有限差分法对一维定价问题相对有效，但有限元法可以为解决多个资产的定价问题提供更通用的方法。除了有限差分法外，Matache等人（参见[29,30,31]）最近还将变分公式引入了一维PIDE。这些论文对小波-伽辽金有限元方法的一致性、稳定性和收敛性进行了严格分析。他们基于加权Sobolevspace的分析为无限域中的PIDE提供了一个很好的工具。Topper（参见[39]）对期权定价模型使用有限元法进行了广泛讨论。与有限差分方法相比，它在处理域几何、边界条件和解的光滑性方面有几个优势。指数L’evy模型下的多资产定价涉及多种技术：平滑初始和边界条件，处理可能不规则的映射域，将无界域定位到有界域，处理与某些跳跃相关的可能奇异性，在时间和空间变量中离散方程。有几篇论文在ELM框架内讨论了双资产期权的定价问题。带有跳跃的双资产期权通过马尔科夫链方法定价或建模（参见。

[28]). Forsyth等人（参见[9]）对二维PIDE使用有限差分方案，但他们的研究中没有对PIDE进行理论误差分析。在本文中，我们提出了一种用于指数L’evy双资产期权定价或二维PIDE的有限元方法。我们将同时考虑看跌期权和看涨期权。第2节介绍了双资产期权的指数L’evy模型和定价方程的一些细节。此外，本节还将构造平滑的初始和边界条件，并估计平滑问题与理论原始问题之间的误差。第3节从加权Sobolev空间中的PIDE的变分公式开始，以及其解的存在性和唯一性。然后我们将有限域定位到有界域。在有界域中，将显式-隐式时间离散与连续有限元方法相结合，用于PIDE，并在假设两个资产具有不相关跳跃的情况下进行误差分析。第四节对多项式期权和其他两种资产期权进行了数值实验。2.两种资产的指数L’evy模型。在指数L’evy模型中，风险资产S（·）=（S（·），S（·））与初始价格（S，S）的随机动力学表示为L’evy过程的指数：Si（t）=Siert+Xi（t），i=1，2，其中r是无风险利率，X（t）=（X（t），X（t））是在风险中性概率Q下从0开始的二维全evy过程。关于L'evy过程的详细信息可在[4,10]中找到。由于没有套利行为，折扣价格会降低-rtS（t）是在这样的测度Q下的鞅。在L’evy It^o分解的上下文中（参见。

[35]第119-135页，在Si（·）的FEM 3动力学下，风险中性定价双资产期权由i（t）=Si+ZtrSi（u）给出-)du+ZtσiSi（u-)dWi（u）+ZtZR（eyi）- 1） Si（u）-)JXi（du·dyi），其中σii是Si（·）、W（·）、W（·）的扩散波动率，是由ρ关联的标准布朗运动，JXi是描述xi跳跃的补偿度量。在下面，我们将考虑指数L′evy模型下双资产期权的定价方程以及方程的初始和边界条件。2.1. 双资产期权的积分微分方程。在[6,32,33,10]中的经典鞅定价方法中，欧式期权的价值定义为风险中性概率Q下其最终支付的贴现条件预期。遵循[11,29,30]中关于一维情况的思想，并假设跳跃分量是独立的，我们用以下抛物线积分微分方程来描述时间t的欧式双资产期权的定价问题，其中履约价格为K，到期日为t，付息时间为H（·，·）五、t+rS五、S+rS五、s- rV+σS五、S+ρσSS五、sS+σS五、S+ZRV（t，Sey，S）-V（t，S，S）-（哎- 1） S五、sν（dy）+ZRV（t，S，Sey）-V（t，S，S）-（哎- 1） S五、sν（dy）=0，V（T，S，S）=H（S，S），（2.1），其中νi（dyi）是描述下伏资产Si的跳跃大小yi活动的L’evy度量。V（t，S，S）的正则性和边（2.1）的详细推导可在[43]中找到。表2.1给出了特定两种资产的支付函数H（·，·）。期权类型支付（S，S）篮子买入最大值（（wS+wS）-K、 0）篮下推杆最大值（K）- （wS+wS），0）最差的2个资产最大值（最小值（S，S），0）最差的2个资产最大值（K- min（S，S），0）表2.1部分两种资产选项的支付功能。在用数值方法解决问题（2.1）之前，我们先介绍vari4 X.LI，P.LIN，X.-C。

TAI和J.H.ZHOUable变换，并规定了L’evy度量（见[32]），如下所示：τ=T-t、 xi=ln-Si，νi（dyi）=ki（yi）dyi，ki（yi）=λi√2πγiexp-（易）-νi）2γi,h（x，x）=h（ex，ex），u（τ，x）=e-r（T）-t） V（t，ex，ex），（2.2），其中λiI为正态分布跳跃的强度，平均值为νi，方差为γi（参见[10,43]）。我们现在将（2.1）重新表述为一个算子版本，如下所示：uτ=D[u]+J[u]，（τ，x）∈ [0，T]×R（2.3）加上初始条件u |τ=0=h（x），x∈ R、 （2.4）其中【u】=· (κu） + · （αu）=Xi，j=1κi，jUxixj+Xi=1αiUxi，J【u】=ZRu（τ，x+ye）-u（τ，x）- （哎- 1)Ux（τ，x）k（y）dy+ZRu（τ，x+ye）-u（τ，x）- （哎- 1)Ux（τ，x）k（y）dy，e=（1,0），e=（0,1），κ=（κi，j）2×2=σρσσρσσσ, α=（α，α）t=（r-σ、 r-σ） 坦然u=(U十、Ux） t.2.2。初始和边界条件。为了得到定价方程的解u（τ，x），需要初始条件和边界条件。当τ=0或x时，期权的特定结构可以为u提供此类信息→ ±∞, 十、→ ±∞. 从贴现原理的观点来看，u（τ，x）可以设置为Ex和exas x的合理线性函数→ ±∞ 或者x→ ±∞, 在没有边界的地方跳跃。因此，我们可以考虑基于满足方程（2.3）的形式g（τ，x）=c（τ）ex+c（τ）ex+c（τ）>0的函数的初始和边界条件。将其代入（2.3），我们得到所有x的cex+cex+c=rcex+rcexf。因此c（τ）=erτc（0），c（τ）=erτc（0）和cis常数。现在我们只考虑一个看跌期权作为编写初始和边界条件的例子。认购期权的条件可以相应地写下来。对于欧洲篮筐，Payoff max（K- （wS+wS），0），我们可以选择C（0）=-w、 c（0）=-魔杖c（0）=K。

然后我们可以写出（τ，x）=K-wex+rτ- wex+rτ+（2.5）在FEM 5和定价方程（2.3）的初始和边界条件下，双资产期权的定价可给出如下公式：-wex- wex）+，x∈ Ohm,g（τ，x）=（K）- wex+rτ- wex+rτ）+，（τ，x）∈ [0，T]×Ohm,（2.6）式中z+=max（0，z），Ohm = 兰德Ohm = {（x）∈ R | x→ ±∞ 或者x→ ±∞}. 根据初始和边界条件的表达式，我们得到了g（0，x）=h（x）。结合初始条件和边界条件（2.6），指数L’evy模型下篮子看跌期权的定价PIDE（2.3）可以写成如下uτ=D[u]+J[u]，u |τ=0=h，x∈ Ohm,u|Ohm= g、 τ∈ （0，T]。（2.7）用于确定初始和边界条件的函数g（τ，x）将在后面的章节中在时间和空间上分别进行一次和两次微分。对于相容性，假设h（x）=g（0，x）。所以我们需要用一个更平滑的函数来近似g（τ，x）。然后，我们将用以下内容替换原来的PIDE~uτ=D[~u]+J[~u]，~u |τ=0=~h，x∈ Ohm,~u|Ohm= ~g，τ∈ [0，T]，（2.8）式中，h（x），~g（0，x）。为了构造一个更平滑的函数g，我们定义了一条曲线C和一个带状区域Ohm沿C.C.方向的δ=十、∈ 雷克-rτ- 前任- ex=0,Ohmδ={x∈ Ohm | 距离（x，C）<δ，δ>0}。对于任何x∈ Ohmδ\\C我们可以找到一个点xo=（xo，xo）∈ 这样，在xo处，片段xxois与C垂直。也就是说，xOsaties exo+rτ+exo+rτ=K和（x-xo）exo+（x-xo）exo=0。现在我们可以通过在中重新定义g来引入一个更平滑的函数Ohm沿法线方向的δ~n=exp（xo）√exp（2xo）+exp（2xo），exp（xo）√exp（2xo）+exp（2xo）C的系数：~g（τ，x）=p（n），x∈ Ohmδg（τ，x），否则，（2.9），其中n=sgn（x- xo）·p（x- xo）+（x- xo）（注意n=±δ对应于原始坐标中的点xo±δ~n），p（n）是一个多项式，定义如下。我们将再次以看跌期权为例。看涨期权的情况也可以这样做。

按照[27]中一维情形的思想，多项式alp（n）沿法向n构造，满足p（δ）=0，p（δ）=0，p（δ）=0，p（δ）=0，p(-δ） =g | n=-δ、 p(-δ) =G~n | n=-δ、 p(-δ) =G~n | n=-δ.我们可以显式地把它写成asp（n）=（n）-δ)a+b（n+δ）+c（n+δ）,6李克强、林炳、戴克强和周俊晖=-8δg | n=-δ、 b=-8δ2δg | n=-δ-G~n | n=-δ,c=-16δG~n | n=-δ+δG~n | n=-δ+δg | n=-δ.很容易验证，p（n）沿曲线C的法向NON单调递减，τ中的g的一阶导数和x中的g的二阶导数是连续的。此外，我们有以下关于g和g之间误差的命题。命题2.1。在任意固定τ∈ [0，T]，|g- g|≤ Mδ，十、∈ Ohm,其中M是一个与δ无关的通用常数。此外，p（n）=O（δ），p（n）=O（1），p（n）=O（δ）。。图2.1。非光滑payoff函数max（K）的光滑化- （ex+ex），0）在初始时间。在时间τ=0时，我们可以在图2.1中看到平滑后的函数。我们可以直接将类似的平滑技术应用于原始支付函数h（S）=max（K- （S+S），0）。其平滑版本如图2.2所示。现在，我们使用[17]中给出的最大值原理，估计（2.7）的解（表示为u）和（2.8）的解（表示为u）之间的误差。为此，我们将我们的PIDE运算符表示为[u]=uτ- D[u]- J[u]。FEM 7Fig下的双资产期权定价。2.2. 非光滑payoff函数max（K）的光滑化- （S+S），0）在原始坐标（S，S）中。然后误差e=u-| u满意度A[e]=0，e |τ=0=h-~h和e|Ohm= G-g.算子a是[17]中考虑的算子的特例（对应于a=0和f=0），并且[17]中假设的所有条件都满足我们所考虑的指数L’evy模型。

简单应用[17]中定理4.1给出的e和-e（注意±e |τ=0≤ |H-~h |和±e|Ohm≤ |G- 和命题2.1，我们得到以下误差估计。提议2.2。对于（2.7）的解u和（2.8）的解u，我们有| u- ~u|≤ 所有τ的Mδ∈ [0，T]和x∈ Ohm,其中M是一个与δ3无关的通用常数。PIDE的有限元方法。在本节中，我们将对无界域的局部化进行误差分析Ohm 到有界域，并在加权Sobolev设置下对PIDE进行时间和空间离散化。3.1. 变化设置。由于初始条件和边界条件在边界处呈指数增长Ohm, 加权Sobolev空间Hη(Ohm) 应该引入新方法来解释这种影响。给定函数η（x）=-（η| x |+η| x |），我们定义了加权Sobolev空间：Lη(Ohm) ,怒族∈ 洛克(Ohm)ueη（x）∈ L(Ohm)o、 Hη(Ohm) ,怒族∈ 洛克(Ohm)ueη（x）∈ L(Ohm), ueη（x）∈L(Ohm)o、 我们注意到函数g，h，~g，~h∈ Hη(Ohm) 对于满足ηi>1的η=（η，η），i=1，2。稍后我们将交替使用η和η（x）。对于任何向量和矩阵B，B是B的转置。通过选取一个测试函数v∈ C∞(Ohm) 回顾格林公式，我们考虑（2.8）的变分公式，即to8 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.Zhofind＠u∈ L[0，T]；Hη(Ohm)真实航向[0，T]；Hη(Ohm)*对于任何τ∈ [0，T]，( ~uτ、 v）Lη(Ohm)+ aη（~u，v）=a[~g]， 五、∈ Hη(Ohm),~u（0，x）=0， 十、∈ Ohm,~u（τ，x）=0， （τ，x）∈ [0，T]×Ohm.（3.1）其中对于任何功能空间V，V*是V和[g]的对偶-~gτ、 五Hη(Ohm)- aη（~g，v），~uτ、 五Lη(Ohm)=ZOhm~uτve2η（x）dx，aη（~u，v）=ZOhm(~u）tκ五、- α（x）t~u ve2η（x）dx-ZOhmJ[~u]ve2η（x）dx，α（x）=α+κη、 α=（α，α）t=（r-σ、 r-σ） t.备注3.1。