指数Léevy模型下两种资产期权的有限元定价

如果η（x）定义如下：η（x）=η（|x |+|x |）如果x<0，x<0，η| x |+η| x |如果x<0，x>0，η| x |+η| x |如果x>0，η（| x |+| x |）如果x>0，x>0，（3.2）其中η>1和η>1，则η =η（x）十、η（x）x=(-η, -η） t如果x<0，x<0(-η、 η）tif x<0，x>0，（η，-η） 如果x>0，x<0，（η，η）如果x>0，x>0。（3.3）附录A提供了以下特性η（x）满足η的证明∈ Lloc（R），η ∈ （L）∞（R） ）及θη=η（x+θy）- η（x）≤ η（y），x、 y∈ R、 | |θ| |≤ 1.（3.4）备注3.2。注意，η（~u，v）是一个非对称双线性变分公式。当|ρ|<1，κ=σρσσρσσσ是对称正定义，即存在两个正数0<κ≤ κ使得κ|ξ|≤ ξtκξ≤ κ|ξ|, ξ ∈ R.α（x）也是一致有界的，即，给定α（x）=（α（x），α（x））t，存在α>0使得|αi（x）|≤ α,  十、∈ Ohm, i=1,2。为了考虑非对称双线性形式η（·，·）在处理变分公式（3.1）数值解的唯一性和存在性时的连续性和矫顽力，我们引入以下Garding不等式。为了方便起见，我们表示ηu=■u eη（x）和ηv=veη（x）。提议3.3。让η∈ R+可以任意固定。如果|ρ|<1，则根据FEM 91对双资产期权进行定价。双线性形式aη（·，·）：Hη(Ohm) ×Hη(Ohm) → R是连续的，即存在c>0，使得| aη（u，v）|≤ c | | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm),  u、 五∈ Hη(Ohm);2.存在依赖于η和ρ的β>0，因此新的双线性形式η（u，u）+β·（u，u）Lη(Ohm)是强制性的，即存在0≤ C≤ c取决于η和ρ，使得（Garding不等式）aη（u，u）≥ c | | u | | Hη(Ohm)- β| | u | | Lη(Ohm),  U∈ Hη(Ohm).证据从a（u，v）的定义，我们知道| aη（u，v）|≤ZOhmu eη（x）tκveη（x）dx+ZOhmα（x）tu eη（x）·veη（x）dx+| aη跳跃（u，v）|，（3.5），其中aη跳跃（u，v）=ROhmJ[u]ve2η（x）dx。对于任何向量ηu，ηv与实数λ，ROhm(ηu+ληv）tκ(ηu+ληv）dx>0。

（3.5）中RHS的第一个术语可以写为Ohm(ηu）tκηvdx≤ZOhm(ηu）tκηudx·ZOhm(ηv）tκηvdx≤ κZOhm(ηu）tηudx·ZOhm(ηv）tηvdx= κ ||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ κ| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm).同样，将（3.5）中RHS的第二项改写为：Ohmα（x）tηu·veη（x）dx≤ αU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!||v | | Lη(Ohm)≤ α ||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ α| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm).（3.6）为了考虑（3.5）中RHS的最后期限，我们需要添加exp(-η| x+θy |-η| x |）和exp(-η| x |- η| x+θy |）至Ux（τ，x+θy，x）和U分别为x（τ，x+θy）。因此会有额外的项exp（ηi（|xi+θiy）|- |满足：exp（ηi（|xi+θiy|- |xi |）≤ exp（ηi | y |）为0≤ θi≤ 1，i=1，2。因此，（3.5）中RHS的最后一项也可以重写为| aη跳跃（u，v）|≤ZOhmZRZUx（τ，x+θy，x）eη（x）veη（x）|y | k（y）dθdydx+ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）veη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx+ZOhmZRZUx（τ，x+θy）eη（x）veη（x）|y | k（y）dθdydx+ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）veη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx10 X.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H.ZHOU≤ CU十、Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)+ CU十、Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ 麦克斯（c，c）·||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ max（c，c）| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm),式中ci=ZReηi | y | y |+ey- 1|ki（y）dy，i=1,2。对于Gaussian ki（y），c，care positive and fine。因此我们得到了aη（u，v）|aη（u，v）|的连续性条件≤ c | | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm),其中c=κ+α+最大值（c，c）。现在aη（u，u）的矫顽力还有待证明。

Sinceaη（u，u）=ZOhmu eη（x）tκu eη（x）dx-ZOhmα（x）tu eη（x）·u eη（x）dx-aη跳跃（u，u），然后aη（u，u）≥ZOhmu eη（x）tκu eη（x）dx-ZOhmα（x）tu eη（x）·u eη（x）dx-|η跳跃（u，u）|。（3.7）由于κ在|ρ|<1时为正定义，因此（3.7）的第一项可以简化为Ohm(ηu）tκηudx≥ κZOhm(ηu）tηudx=κU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!.（3.8）在（3.6）中，（3.7）中RHS的第二项也可以改写为-ZOhmα（x）tηu·u eη（x）dx≥ -αU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!||v | | Lη(Ohm).（3.9）最后，我们分析（3.7）的RHS的最后一个积分项，如下表所示- |aη跳跃（u，u）|≥ZOhmZRZUx（τ，x+θy，x）eη（x）ueη（x）|y | k（y）dθdydx-ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）ueη（x）· |嗯- 1 | k（y）DYDX在FEM下的双资产期权定价11-ZOhmZRZUx（τ，x+θy）eη（x）ueη（x）|y | k（y）dθdydx-ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）ueη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx≥ -CU十、Lη(Ohm)||u | | Lη(Ohm)- CU十、Lη(Ohm)||u | | Lη(Ohm).（3.10）然后从（3.7-3.10）得到η（u，u）≥ κU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!-Xi=1（α+ci）UxiLη(Ohm)||u | | Lη(Ohm).对于任何ε>0，我们都有UxiLη(Ohm)||u | | Lη(Ohm)≤ εUxiLη(Ohm)+4ε| | u | | Lη(Ohm).通过选择ε满足κ-ε（α+ci）>0且定义c=κ- εα - εmax（c，c）>0，β=c+4ε（2α+c+c）>0，我们有矫顽力性质：aη（u，u）≥ c | | u | | Hη(Ohm)- β| | u | | Lη(Ohm).提议3.4。对于所有τ，变分公式（3.1）有一个唯一的解u和以下估计∈ [0，T]e-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds≤1+ccZτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds，其中c和c是命题3.3中的常数。证据

自h（x）∈ Lη(Ohm), 可以得到变分公式（3.1）的存在性和唯一性（见[26]）。取v（s，x）=u（s，x）e-2βsin（3.1）并在时间s内积分在0和τ之间，我们得出：-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+Zτe-2βsaη（~u，~u）+β·（~u，~u）Lη(Ohm)ds=-Zτe-2βs~gs、 ~uLη(Ohm)ds-Zτe-2βsaη（~g，~u）ds。利用命题3.3中的Garding不等式，我们得到-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds12李克强、林炳、戴克强和周俊华≤ -Zτe-2βs~gs、 ~uLη(Ohm)ds-Zτe-2βsaη（~g，~u）ds≤2.Zτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds+Zτe-2βs||~u | | Lη(Ohm)+ c | | | u | | Hη(Ohm)ds。因此，我们得到以下估计-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ （2c）-（1+c））Zτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds≤Zτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds。允许 =c1+c>0，得到先验估计（3.11）。3.2. 有界域的局部化及其误差估计。因为在无界区域中导出数值解是不可行的Ohm 对于对应于定价方程（2.7）的变量公式（3.1），我们需要截断Ohm 到有界计算域OhmM=[-M、 M]×[-M、 M]。

对于一些特殊的选项，例如双屏障选项，域绘制技术是不必要的，它直接导致在自然有界域上的PIDE。而不是在无界域中用平滑的边界条件g求解（2.8）Ohm ×[0，T]，我们将在OhmM×[0，T]：（~uM）τ= ·(κ~uM）+ · （α~uM）+J[~uM]，~uM |τ=0=~h（x），x∈ OhmM、 嗯|Ohm= ~g（τ，x），（τ，x）∈ （0，T）×OhmM.（3.11）上述截短PIDE（3.11）的变分公式是∈ L[0，T]；Hη(OhmM）真实航向[0，T]；Hη(OhmM）*对于任何τ∈[0，T]，( 嗯τ、 v）Lη(OhmM） +aηM（~uM，v）=a[~g]， 五、∈ Hη(OhmM） ~uM（0，x）=0， 十、∈ OhmM~uM（τ，x）=0， （τ，x）∈ [0，T]×OhmM.（3.12），其中ηM（~uM，v）是η（~uM，v）对OhmM、 即aηM（u，v）=ZOhmM(u） tκ五、- α（x）tu v型e2η（x）dx-ZOhmMJ[u]ve2η（x）dx。为了方便起见，我们仍然用0表示所有Ohm. （3.1）的近似解u的限制Ohm 到OhmMint产生定位错误eM=~uM- 我们现在估计的u。我们有以下定位误差估计：命题3.5。认为OhmM/2，{x∈ R||x | |≤ M/2}。然后，存在只依赖于T和γ>0的正常数C，这与M无关，因此定位误差eM（τ）满足：|eM（τ，·）|L(OhmM/2）+Zτ| | eM（s，·）| | H(OhmM/2）ds≤ 总工程师-γM.（3.13）在FEM 13Proof下对双资产期权进行定价。命题（3.4）中的先验估计意味着| | u | | Lη(Ohm)被一个独立于M的常数C所限定。

同样，e-2βτ| | uM | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | uM | | Hη(Ohm)ds≤1+ccZτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds。（3.14）因此| | eM | | Lη(Ohm), ||eM | | Hη(Ohm)对于任何τ，都以C为界∈ [0，T]，v∈ H(OhmM） ，定位误差eM=~uM（τ，x）- ~u（τ，x）满足度：ddτeM（τ），vL（R）+a（eM（τ），v）=0，（3.15），其中a（·，·），a（·，·）=aη（·，·）|η=0。定义一个具有以下性质的截断函数φ：φ∈ C∞(OhmM） ，φ=1OhmM/2和||φ| | L∞(OhmM）≤ C、 其中C独立于M。插入v=φ（x）eM（τ，x）∈ Hη(OhmM） 在（3.15）中，我们有dτ| |φeM（τ）|L(OhmM） +aφeM（τ），φeM（τ）= ρM（τ），（3.16），其中残余ρM（τ）=aMφeM（τ），φeM（τ）-A.eM（τ），φeM（τ）. 残差ρM（τ）可以改写为ρM（τ）=Xi=1σiZOhm|φxi | | eM | dxdx（3.17）-Xi=1αiZOhmφxiφ| eM | dxdx+ρM（τ），其中ρM（τ）=-ROhmJ[φeM]φeMdx+ROhmJ[eM]φeMdx。（3.2）中定义的加权函数η（x）满足η∈ Lloc（R），η ∈ L∞（R） 和满足感θη=η（x+θy）- η（x）≤ η（y），x、 y∈ R、 | |θ| |≤ 1、（3.18）表达式（3.17）中的前两个积分项可以通过Xi=1σiZOhm|φxi | | eM | dxdx-Xi=1αiZOhmφxiφ| eM | dxdx≤ CZOhmM\\OhmM/2 | eM | eη（x）e-η（x）dx≤ 总工程师-γM | | eM | Lη(Ohm),对于正常数C和γ，其中γ与M无关。现在ρM（τ）仍有待估计。表示Ki（z）是L’evy测度Ki的第一个反导数，即Ki（z）=R∞zki（y）dy，如果z>0，-Rz-∞ki（y）dy，如果z<0，（3.19）14x.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H。

ZHOUthenJ[u]=ZRUx（x+ze）-Ux（x）K（z）dz+ZRUx（x+ze）-Ux（x）K（z）dz+χu、 其中e=（1,0），e=（0,1），χ=（χ，χ）和χi=ZR[y- （哎- 1） 我们可以将ρM（τ）分解为ρM（τ）=I+I+I+I+I，其中I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）φ（x+ze）+eM（τ，x+ze）φx（x+Z）-相对长度单位x（τ，x）φ（x）- eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）φ（x+ze）+eM（τ，x+ze）φx（x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φ（x）- eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz，I=ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φeMK（z）dxdz，I=ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φeMK（z）dxdz，I=-ZOhmχ（φeM）φeMdx+ZOhmχ（eM）φeMdx。在我们分别估计ρM（τ）之前，我们需要重新排列I，I，I，Ias跟随ρM（τ）=I+I+I+I+I，其中I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz，I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz，I=-ZRZOhmeM（τ，x+ze）-eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz-ZRZOhmeM（τ，x+ze）φx（x+ze）-φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZRZOhmeM（τ，x+ze）-eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz-ZRZOhmeM（τ，x+ze）φx（x+ze）-φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZOhmeMφ·χφdx。在FEM 15We表示为D={x的情况下，双资产期权的定价∈ Ohm|p（x+z）+x≥ M/2}和D={x∈ Ohm|px+x≥M/2}并观察到如果x/∈ D

因此|我|=-ZDeMφ·χφdx=ZD | eMeη（x）| |φ| |χφ| e-2η（x）dx≤ 总工程师-γM | | eM | Lη(OhmM） 。（3.20）注意到如果x/∈ DSDwe haveI=-ZRZDSD相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz。这意味着|我|≤ZR | z | K（z）dzZD相对长度单位x（τ，x+ze）eη（x+ze）· |eM | e-η（x+ze）φdx+ZR | z | K（z）dzZD相对长度单位x（τ，x+ze）·eMeη（x）· E-η（x）dx（3.21）≤ 总工程师-γM相对长度单位xeη（x）L(Ohm)· ||eM | | L(Ohm)+相对长度单位十、L(Ohm)·eMeη（x）L(Ohm)!.同样，上述不等式适用于I，即| I |≤ 总工程师-γM相对长度单位十、Lη(Ohm)· ||eM | | L(Ohm)+相对长度单位十、L(Ohm)· ||eM | | Lη(Ohm)!.（3.22）因为在i中的两个被积函数为零，如果x∈ OhmM/2，我的估算如下|I |≤ZRK（z）dzZD | eM（τ，x+ze）-eM（τ，x）|·φxφ·eMeη（x）· E-η（x）dx+ZRK（z）dzZD | eM（τ，x+ze）|φx（x+ze）-φx（x）φeMeη（x）· E-η（x）dx，≤ 总工程师-γM||eM | | H(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM） +| | eM | L(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM）.（3.23）同样地，|I|≤ 总工程师-γM||eM | | H(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM） +| | eM | L(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM）.（3.24）将（3.16）从0积分到τ，并将其与估计（3.20）、（3.21）、（3.22）、（3.23）、（3.24）相结合，然后使用先验估计（3.11）、（3.14），我们得到（3.13）。时间离散化方案的误差估计。我们将时间区间[0，T]的一部分引入子区间[τn]-1，τn]，n=1，2，···，n，such16 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.zhou认为0=τ<τ<··<τn=T。我们定义了τn+1和τnas之间的长度τ，τn+1- τ并将定价方程（2.8）考虑为有界域中的uτ=L[u]=D[u]+J[u]（3.25）（例如，OhmM） 满足齐次边界条件。通过变量变换u=u（τ，x），该方程离散化得到的任何误差估计都可以很容易地应用于局部问题（3.11）的估计-~g（τ，x）。为了简单起见τ被假定为常数。

让un+1作为Crank-Nicolson schemeun+1产生的以下系统的解决方案- un4τ=Lun+1+un.（3.26）定义误差函数en=un- u（τn）和从τn+处的方程（3.25）中减去方程（3.26），我们得到以下误差方程，en+1- en4τ- Len+1+en= -rn++Lhrn+i，（3.27），其中rn+=u（τn+1）-u（τn）4τ- uτ（τn+），rn+=u（τn+1）+u（τn）- u（τn+）。我们可以通过τn+及其积分形式余数的泰勒展开来估计rn+和rn+：rn+=24τZτn+τnuτ（ξ）（ξ）- τn）dξ+Zτn+1τn+uτ（ξ）（τn+1）- ξ） dξ注册护士+=Zτn+τnuτ（ξ）（ξ）- τn）dξ+Zτn+1τn+uττ（ξ）（τn+1）- ξ） dξ.然后，Cauchy-Schwarz不等式给出了rn+和rn+的估计，如下所示：注册护士+L(OhmM）≤ C（4τ）Zτn+1τn | | uττ（ξ）|L(OhmM） dξ，注册护士+H(OhmM）≤ C（4τ）Zτn+1τn | | uττ（ξ）| H(OhmM） dξ。然后我们有4τXn注册护士+L(OhmM）≤ C（4τ）ZT | | uττ（ξ）|L(OhmM） dξ，（3.28）4τXn注册护士+H(OhmM）≤ C（4τ）ZT | | uττ（ξ）| H(OhmM） dξ。（3.29）FEM 17下的双资产期权定价误差方程（3.27）的变分公式如下：∈ H(OhmM） n=0，1，N、 使得u=h（x），对于所有N=1，2。

，N，，代表所有∈ H(OhmM） ,，en+1- en4τ，v+ A.n+1+n，v= -rn+，v- A.rn+，v,（3.30）其中（u，v）=ZOhmM(u） tκ五、- αtu v型dx-ZOhmMJ[u]vdx。定义en=en+1+e，并用e代替v-在变分形式（3.30）中，我们有（见第3.1节中的Garding不等式）an+1+n，e-2βτn+-en≥ E-2βτn+c||en|H(OhmM）- β| | | en | L(OhmM）和en+1- en4τ，e-2βτn+-en=24τE-2βτn+1en+1L- E-2βτn | | en | L+ J、 其中（使用1-E-β4τ≥ β4τ -β（4τ）和eβ4τ- 1.≥ β4τ+β（4τ））J=24τ（en+1，en+1e-2βτn+（1）-E-β4τ) -24τ（en，ene）-2βτn+（1）-eβ4τ=24τe-2βτn+（en+1，en+1）（1）-E-β4τ）+（en，en）（eβ4τ）- 1)≥ βe-2βτn+en+1L+| | en | L+β4τ||恩| | L-en+1L≥ βe-2βτn+| | en | L+β4τ||恩| | L-en+1L.因此en+1- en4τ，e-2βτn+-en+ A.n+1+n，e-2βτn+-en≥24τe-2βτn+1en+1L-24τe-2βτn | | en | | L+ce-2βτn+| | | en | H+β4τ||恩| | L-en+1L.我们也可以通过杨氏不等式来估计（3.30）的右边。-rn+，e-2βτn+-en- A.rn+，e-2βτn+-en≤ E-2βτn+注册护士+L||en|L+ce-2βτn+注册护士+H | | | en | H≤ E-2βτn+4ε注册护士+L+ε| | | en | L+ 总工程师-2βτn+4ε注册护士+H+ε| | | en | H=4εe-2βτn+注册护士+L+c注册护士+H+ ε（1+c）e-2βτn+| | | | en | H.18 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.Zhou因此得到以下不等式-2βτn+1en+1L- E-2βτn | | en | L+β（4τ）||恩| | L-en+1L+ C4τe-2βτn+| | en | H≤2εe-2βτn+4τ注册护士+L+c4τ注册护士+H≤2ε4τ注册护士+L+c4τ注册护士+H,式中C=2（C- ε（1+c））。这里我们可以选择ε<c1+cto使C>0。将上述不等式从n=0到n=m求和，并结合n+和rn+的估计，我们得到-2βτm+1em+1L- E-2βτEL+β4τEL-em+1L+CmXn=0e-2βτn+en+1+enH≤2ε4τmXn=0注册护士+L+c4τmXn=0注册护士+H≤ C（4τ）ZT（||uττ（ξ）|L）(OhmM） +| | uττ（ξ）|H(OhmM） ）dξ。这里我们注意到初始误差e=0。上述估算可简化如下。