不完全信息下的F \“ollmer-Schweizer分解

我们说一个平方可积（F，P）-鞅O={Ot，t∈ [0，T]}是H-弱正交于平方可积（F，P）-鞅M={Mt，T∈ [0，T]}如果下列条件成立OTZT~ntdMt= 0，（3.1）对于所有R值、H-可预测过程∈ [0，T]}令人满意ZT k udhMiu< ∞.不完全信息下的FS分解7备注3.3。因为对于任何H-可预测的过程，过程1（0，t）（s）~ns≤ T是H-可预测的，条件（3.1）意味着OTZt~nsdMs= 0, T∈ [0，T]，通过对Ft的调节，我们得到OtZt~nsdMs= EZt~nsdhM，Ois= 0, T∈ [0，T]。因此，如果O和M是强正交的（即hM，Oit=0p- a、 每一个t∈ [0，T]）那么它们也是H-弱正交的。此外，在完全信息的情况下，即H=F，或当O和M区域也是（H，P）-鞅时，H-弱正交性等价于强正交性条件（参见引理2和定理36，第四章，第180页，共[22]页，以获得严格证明）。下面给出了[7]中给出的给定平方可积随机变量部分信息下F"ollmer-Schweizer分解的定义。定义3.4。给定ξ∈ L（FT，P），我们说，如果存在一个随机变量U，ξ允许F"ollmer-Schweizer分解关于H和S的次部分信息∈ L（F，P），一个可预测的过程βH∈ Θ（F）与平方可积（F，P）-鞅a={At，t∈ [0，T]}A=0，H-弱正交于S的F-鞅部分M，使得ξ=U+ZTβHtdSt+ATP- a、 s。。（3.2）在续集中，我们做出以下假设。假设3.5。（i） 存在一个确定性函数ρ：R+→ R+，ρ（0+）=0，P-a.s.，hMit- hMis≤ ρ（t）- s） ,， 0≤ s≤ T≤ 这里存在一个常数k≥ 0使得|αFt |≤ kSt（P hM i）- a、 e。

在…上Ohm ×[0，T]。在[7]中，证明了分解（3.2）是存在的，并且在条件（2.2）和假设3.5或条件（3.3）和常数c的存在下分解是唯一的≥ 0使得|αFt |≤ c、 （P hMi）- a、 e.onOhm ×[0，T]。让ξ∈ L（英尺，P）。现在的问题是如何在分解（3.2）中计算被积函数。如果过程S有连续的轨迹，则可通过切换到特定的马尔可夫测度P来计算被积函数*, 所谓的最小鞅测度，并计算P下ξ关于S的Galtchouk KunitaWatanabe分解*. 关于更一般的情况，即当S仅为cádlág时，文献中几乎没有结果，例如，当ξ是HT可测量时，完整信息情况见[10]，不完整信息设置见[6]。这里的想法是处理ξ相对于HT的投影，即oξ：=e[ξ| HT]。（3.4）8 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola根据Jensen不等式，我们得到thatoξ∈ L（HT，P），由于S根据条件（2.2）进行H-适应，在适当的假设下（见下文备注3.6 b），oξ承认关于S和H的（经典）F"ollmer-Schweizer分解，即存在一个随机变量U∈ L（H，P），一个过程βH∈ Θ（H）anda平方可积（H，P）-鞅A={At，t∈ [0，T]}与＠A=0，这是H-强正交于S的H-鞅部分N，这样oξ=＠U+ZT＠βHtdSt+ATP- a、 s。。（3.5）备注3.6。分解（3.5）存在唯一的一个充分条件是均值-方差交换过程K的一致性：={Rt（αHu）dhNiu，t∈ [0，T]}在T和ω中（见[20，定理3.4]），或hN i和αHof假设在3.5上的完整性。在续集中，我们证明了分解（3.2）和（3.5）中的被积函数是一致的，也就是说，对于每个t∈ [0，T]。

因此，我们可以在最小鞅测度P下计算oξ关于S和H的Galtchouk KunitaWatanabe分解的βHin项*（如果存在），请参见下面的定义3.8和命题3.10。定理3.7。让ξ∈ L（英尺，P）。在条件（2.2）和假设3.5下，根据（3.2）中给出的部分信息，随机变量ξ允许F"ollmer-Schweizer分解，andoξ允许F"ollmer-Schweizer分解（3.5），其中)U=E[U | H]，βHt=βHt)At=E[At | Ht]+E[U | Ht]-~U，t∈ [0，T]。证据回想一下，在条件（2.2）和假设3.5下，由于[7]的结果，随机变量ξ在（3.2）中给出的部分信息下允许F"ollmerSchweizer分解。通过（3.4）和关于HT的条件方程（3.2），我们得到oξ=E[U | HT]+ZTβHtdSt+E[AT | HT]P- a、 s。。设置在：=E[At | Ht]+E[U | Ht]- E[U | H]，每t∈ [0，T]。Thenoξ=E[U | H]+ZTβHtdSt+^ATP- a、 s。。很容易验证^A={^At，t∈ [0，T]}是一个（H，P）-鞅，使得^A=0。如果我们证明βH∈ Θ（H）和^A与N是强正交的，我们得到了选择ΘU=E[U|H]，ΘβH=βHand^A=^A的命题。第一部分，我们证明了Θ（F）中的每个H-可预测过程也属于Θ（H）。设θ为Θ（F）中的一个可预测过程。然后，关系hN i=hMip，HimpliesEZTθsdhNis= EZTθsdhMis.另一方面，我们得到了ZT（θsαHs）dhNis≤ EZT（θsαFs）dhMis.不完全信息下的FS分解9然后，由于注释2.4，选择了φs=θsαhs和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了ZT（θsαHs）dhNis= EZTθsαHsαFsdhMis≤EZT（θsαHs）dhNisEZT（θsαFs）dhMis.因此，θ∈ Θ（H）。

关于强正交性，考虑到备注3.3，我们证明了条件^ATZT~nsdNs= 0（3.6）适用于所有R值、H-可预测过程ZT k udhMiu< ∞.首先，我们明白了^ATZT~nsdNs= EATZT~nSDN+ EηZT~nsdNs= EATZT~nSDN,式中η：=E[U|HT]- E[U|H]和{Rt|sdNs，t∈ [0，T]}是T=0时的（H，P）-鞅空。最后，由于A与M是H-弱正交的，根据可预测投影的性质ATZT~nSDN= EATZT~nsdMs+ EATZT~ns（αFsdhMis）- αHsdhNis）= E中兴通讯-~ns（αFsdhMis）- αHsdhNis）= 0，其中最后一个等式由备注2.4表示，由此得出（3.6）。回顾一下关于过滤F定义3的最小鞅测度的定义是很有帮助的。8.等价鞅测度P*对于具有平方可积密度Dp的S*如果P为，则称为最小鞅测度*= 如果可积（F，P）-鞅中与S的F-鞅部分M强正交的每一个平方也是（F，P）*)-鞅。我们认为- αFtMt>0 P- a、 美国。 T∈ [0，T]，（3.7）安第斯山脉经验ZTαFtdhMcit+ZTαFtdhMdit< ∞, （3.8）其中md表示（F，P）-鞅M的不连续部分，并定义过程L={Lt，t∈[0，T]}通过设置lt:=E-ZαFudMut、 t∈ [0，T]，其中符号E（Y）指的是（F，P）-半鞅Y的Doléans-Dade指数。假设在条件（3.7）和（3.8）下，Ansel-Stricker定理（见[1]）假设最小鞅测度P是平方可积的*对于S，定义为t=dP*数据处理Ftt∈ [0，T].10 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola在本文的其余部分中，我们也做了以下假设。假设3.9。

假设oξ∈ L（HT，P*) 圣∈ L（Ht，P*), 每个t∈ [0，T]。因为S是（H，P*)-鞅，随机变量oξ允许P下关于S和H的Galtchouk Kunita Watanabe分解*, i、 e.oξ=bU+ZTHHudSu+GTP*- a、 （3.9）其中∈ L（H，P）*), HH={HHt，t∈ [0，T]}是一个满足EP的R值H-可预测过程*hRT（HHu）dhSiui<∞, G={Gt，t∈ [0，T]}是s平方可积（H，P*)-G=0的鞅，在P下与S强正交*.定义过程VH={VHt，t∈ [0，T]}通过设置vht:=EP*[oξ| Ht]，t∈ [0，T]。（3.10）通过分解（3.9），我们得到vht=bU+ZtHHudSu+GtP*- a、 s。；（3.11）因此，我们可以计算hhasht=d*,HhVH，Sitd*,HhSit∈ [0，T]，（3.12）其中*,Hh·i表示相对于H和P计算的尖括号*.以下结果是βH命题3.10过程的特征。让ξ∈ L（英尺，P）。在假设3.5和3.9下，部分信息（3.2）下F"ollmerSchweizer分解的总β由βHt=HHt+φHt，P给出- a、 科技部∈ [0，T]，（3.13），其中hh是P下oξ关于S和h的Galtchouk Kunita Watanabe分解中的被积函数*, 见（3.9），见（3.12）和φHt=dHh[G，S]，R·αHrdNritdHhSit，P- a、 科技部∈ [0，T]，（3.14），其中尖括号shh·i是根据H和P.证明计算的。根据定理3.7，我们得到每t的βHt=eβHt∈ [0，T]。然后，通过[6，命题4.8]中的公式（4.6）我们得到（3.13），其中hh由（3.12）给出。最后，利用定理3对φh进行了刻画。2和[10]第860页的备注。半鞅S的F-可预测（分别为H-可预测）二次变差，用hSi（分别为HHSI）表示，是二次变差过程[S]的F-可预测（分别为H-可预测）补偿器。不完全信息下的FS分解11推论3.11。

在命题3.10的假设下，假设S只有（F，P）-完全不可接近的跳跃时间，那么βHt=HHt+φHt，P- a、 科技部∈ [0，T]。（3.15）其中hh由（3.12）给出，φHt=dHh[G，S]，R·αHrdNritdHhNit，P- a、 科技部∈ [0，T]，（3.16），其中尖括号根据P.证明计算。注意，S的H-可预测二次变化由hhsi=HhNi+Ps给出≤t(Rs）。然后，结果由命题3.10和观察得出，如果S有（F，P）-完全不可访问的循环次数，那么S的半鞅分解中关于F和H的有限变化部分是连续的。这意味着HHNI=HhSi，并且（3.14）的表达离子还原为（3.16）。请注意，表示法（3.15）显示了有关VH分解（3.11）的知识如何成为计算βH的基本工具。在下一节中，我们将讨论马尔可夫框架中的一个应用。4.部分可观测马尔可夫模型的应用我们考虑一个部分可观测马尔可夫模型，其中半鞅S的动力学受一个不可观测的外部因素的影响，由一个用X表示的马尔可夫过程建模，使得该对（X，S）变成一个（F，P）-马尔可夫过程。在这里，我们假设可用信息与半鞅的自然过滤一致，精确地说，H=FS。然后，我们考虑一个随机变量ξ∈ L（FT，P）的形式为ξ=H（T，XT，ST），（4.1），其中H（T，s，x）是给定的确定性函数。本节的目的是描述（4.1）中给出的随机变量ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数。

为了实现这一目标，前几节中提出的所有假设都被认为是充分的。为了应用命题3.10计算βH，有必要提供ξ相对于HT的投影表示，即oξ=e[H（T，ST，XT）|HT]。在假设Ht=FSt的情况下∈ [0，T]，投影oξ可以写成关于P的滤波π，π（f）={πT（f），T∈ [0，T]}，通过设置πT（f）：=E[f（T，Xt，St）|FSt]=ZRf（T，x，St）πT（dx）定义，T∈ [0，T]，（4.2）对于任何可测函数f（T，x，s），使得E|f（T，Xt，St）|∞, 每一个t∈ [0，T]。过滤器是一个概率度量值过程，它提供了

（4.5）证据。由于πT（H）=RRH（T，x，ST）πT（dx）依赖于ω到（ST（ω），πT（ω）），那么*)三重态（X，S，π）的马尔可夫性质，我们得到vht=EP*[oξ| Ht]=EP*【πT（H）| Ht】=EP*[EP*[πT（H）| Ft]| Ht]=EP*hg（t，Xt，St，πt）其中g（t，x，s，p）是其参数（t，x，s，p）的可测函数∈ [0，T]×R×P（R），使其充满。下一个引理给出了函数g的表示形式，作为最终条件问题的解。引理4.3。设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 以至于L*例如（t，x，s，p）=0，（t，x，s，p）∈ [0，T）×R×P（R）eg（T，x，s，P）=P（H）=ZRH（T，y，s）P（dy），（x，s，P）∈ R×P（R）。（4.6）那么，对于每一个t，eg（t，Xt，St，πt）=g（t，Xt，St，πt）P-a.s∈ [0，T]。证据设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 是（4.6）的解决方案。然后，通过（4.3），我们得到过程{eg（t，Xt，St，πt），t∈ [0，T]}是一个（F，P）*)-最终值为eg（T，XT，ST，πT）=πT（H）的鞅。As序列eg（t，Xt，St，πt）=EP*[πT（H）| Ft]，对于每T∈ [0，T]，这意味着论文。不完全信息下的FS分解通常，向量过程（X，S，π）取有限维空间R×P（R）中的值。然而，如果X组包含很多值，那么滤波器π也是有限的，这将有限维状态问题简化为有限维状态问题。确切地说，我们假设X取集D={X，…，xd}中的值，其中有xi∈ 每i=1，d、 然后，对于任何函数f（t，x，s），我们可以写出πt（f）=dXi=1E[f（t，Xt，St）1{Xt=i}| Ht]=dXi=1f（t，xi，St）πt（fi），（4.7），其中fi（x）=1{x=xi}和πt（fi）=P（Xt=i | Ht）。然后，滤波器完全由条件概率πt（fi），i=1，每一个t都是d∈ [0，T]。用π表示条件概率向量：={πt，t∈ [0，T]}与πT:=（πT（f）。

，πt（fd）），我们得到过程（X，S，π）在有限维空间R×[0，1]d中取值*)-带生成元L的马尔可夫过程*, Proposition 4.2中的关系（4.4）可以写成VHT=EP*hg（t，Xt，St，πt）嗯∈ [0，T]，其中，g（T，x，s，p）现在表示[0，T]×R×[0，1]上的一个可测函数，如g（T，Xt，St，πT）=EP*hπT（h）Fti=EP*“dXi=1H（T，xi，ST）πT（fi）英尺#，每t∈ [0，T]。与引理4.3类似，我们可以如下描述函数g（t，x，s，p）。引理4.4。设（t，x，s，p）∈ D（L）*) 以至于L*例如（t，x，s，p）=0，（t，x，s，p）∈ [0，T）×R×[0，1]deg（T，x，s，p）=dXi=1piH（T，xi，s），（x，s，p）∈ R×[0，1]d.（4.8）那么，对于每一个t，eg（t，Xt，St，πt）=g（t，Xt，St，πt）P-a.s∈ [0，T]。证据该证明与引理4.3和方程（4.7）的证明相同，它们描述了假设多个值的状态过程的过滤器。4.1. 一个部分可观测的jum p扩散模型。在本节中，我们讨论了一个部分可观测的模型，其中s由几何跳跃扩散过程描述，漂移和跳跃特性取决于不可观测的

其中N（dt，dζ）是可测可分空间（Z，Z）上具有有限强度η（dζ）dt的（F，P）-泊松随机测度，W:={Wt，t∈ [0，T]}是独立于N（dt，dζ）的（F，P）-布朗运动，系数u（T，x，s），σ（T，s）>0，K（ζ；T，x）和K（ζ；T，x，s）是其参数的R值可测函数，因此系统（4.9）存在唯一的强解，例如参见[21]。这里，K（ζ；t，x）取集合K中的值：={kij=xi- xj:i6=j，i，j=1。。。d} 。表示byeN（dt，dζ）给出的（F，P）补偿随机测度byeN（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η（dζ）dt。我们回顾了与m（dt，dz）=Xs给出的S的j umps相关的整值随机测度的定义：Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz）。每一个t∈ [0，T]，集Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）-, 圣-) 6=0}并假设EhRTη（Dt）dti<∞. 然后m（dt，dz）的（F，P）-可预测的对偶投影由νF（dt，dz）=νFt（dz）dt给出，其中νFt（A）=η（DAt），DAt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）- , 圣- ) ∈ A\\{0}，对于任何A∈ B（R）（更多详细信息参见示例[9,3]）。注意，νFt（dz）依赖于ω到（Xt）- （ω） ，圣- （ω） ，即νFt（dz）=νF（t，Xt）- , 圣- , dz）。此外，νFt（R）={νFt（R）=η（Dt），t∈ [0，T]}提供点过程{m（（0，T]×R），T的（F，P）-强度∈[0，T]}，其中m（（0，T]×R）给出了截至时间T的S的跳跃数。假设强度为严格正，即η（Dt）>0 P-a.S∈ [0，T]。此外，我们还认为ZT|u（t，Xt，St）|+σ（t，St）+η（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt，St）|η（dζ）dt< ∞, （4.10）EZTη（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η（dζ）Dt< ∞, （4.11）式中Dt:={ζ∈ Z:K（ζ；t，Xt）- ) 6=0}每t∈ [0，T]。提案4.5。