不完全信息下的F \“ollmer-Schweizer分解

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英文标题：
《The F\\\"ollmer-Schweizer decomposition under incomplete information》
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作者：
Claudia Ceci, Katia Colaneri and Alessandra Cretarola
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study the F\\\"ollmer-Schweizer decomposition of a square integrable random variable $\\xi$ with respect to a given semimartingale $S$ under restricted information. Thanks to the relationship between this decomposition and that of the projection of $\\xi$ with respect to the given information flow, we characterize the integrand appearing in the F\\\"ollmer-Schweizer decomposition under partial information in the general case where $\\xi$ is not necessarily adapted to the available information level. For partially observable Markovian models where the dynamics of $S$ depends on an unobservable stochastic factor $X$, we show how to compute the decomposition by means of filtering problems involving functions defined on an infinite-dimensional space. Moreover, in the case of a partially observed jump-diffusion model where $X$ is described by a pure jump process taking values in a finite dimensional space, we compute explicitly the integrand in the F\\\"ollmer-Schweizer decomposition by working with finite dimensional filters.
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中文摘要：
本文研究了受限信息下平方可积随机变量$\\xi$对给定半鞅S$的F \\“ollmer-Schweizer分解。由于这种分解与$\\xi$对给定信息流的投影之间的关系，我们刻画了F \\“ollmer-Schweizer分解下出现的被积函数在一般情况下，$\\xi$不一定适合可用信息级别的部分信息。对于部分可观测的马尔可夫模型，$S$的动力学依赖于不可观测的随机因子$X$，我们展示了如何通过涉及无限维空间上定义的函数的过滤问题来计算分解。此外，在部分观测的跳跃扩散模型中，$X$由在有限维空间中取值的纯跳跃过程描述，我们通过使用有限维滤波器，显式地计算F \\“ollmer-Schweizer分解中的被积函数。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-9 12:27:47 上传

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关键词：llmer 不完全信息 完全信息 lmer wei

不完全信息下的F"OLLMER-SCHWEIZER分解Claudia CECI、KATIA COLANERI和ALESSANDRA Cretarola摘要。本文研究了在有限信息下，平方可积随机变量ξ关于给定半鞅S的F"ollmer-Schweizer分解。由于这种分解与ξ相对于给定信息流的投影之间的关系，我们在ξ不一定适应可用信息水平的一般情况下，刻画了F"ollmer-Schweizer分解中出现的被积函数的次部分信息。对于S的动力学依赖于不可观测的

此外，我们还讨论了部分可观测马尔可夫模型的应用，在该模型中，我们通过过滤问题明确计算这种分解。值得一提的是，F"ollmer-Schweizer分解在金融领域有着相关的应用。更准确地说，在适当的假设下，被积函数β是平方可积随机变量的分解，代表给定的欧洲型或有权益的贴现支付，Providescaudia Ceci，意大利比斯卡拉Viale Pindaro Chieti Pescara的G.D\'Annunzio大学经济系，I-65127 Pescara，42。电话号码+39 085 453 7579Katia Colaneri，佩鲁贾大学经济系，Via A.Pascoli，20，I-06123佩鲁贾，意大利。电话号码+39 075 585 5218亚历山德拉·克雷塔罗拉，佩鲁贾大学数学和计算机科学系，西亚尔。Vanvitelli，意大利佩鲁贾，I-06123，1号。电话号码+39 075 585 5021E邮件地址：c。ceci@unich.it凯蒂亚。colaneri@unipg.it，亚历山德拉。cretarola@unipg.it.2C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola在由半鞅驱动的不完全金融市场中的局部风险最小化套期保值策略，更多细节请参见示例[12,24]。有几篇论文讨论了完整信息案例，例如[23,20,24,10]。部分信息设置的结果见[7,6]。在我们的设置中，完整的信息流由过滤F描述：={Ft，t∈ [0，T]}，其中T表示固定和有限的时间范围，而可用的信息水平由较小的过滤H给出：={Ht，T∈ [0，T]}。在给定的概率空间上(Ohm, F、 P），我们考虑满足关于全信息流F的结构条件的（F，P）-半鞅S和平方可积FT可测随机变量ξ。

其目的是在H给出的受限信息下，即ξ=U+ZTβHtdSt+AT，P-a.S.，当以下过滤条件保持不变时，推导并表征ξ相对于S的F"ollmer-Schweizer分解 Ht Ft其中fst将Stup生成的σ-代数表示为时间t∈ [0，T]。这里是平方可积F可测随机变量，βHis是H-可预测S-可积过程，a是平方可积（F，P）-鞅，在弱意义上与S的鞅部分正交，详见[7]。值得一提的是，在这种分解中，（F，P）鞅之间正交性的类别定义被H-弱正交性的概念所取代，参见[8，7]。在[8]中，作者研究了实词概率测度下S是局部鞅的情况，并导出了平方可积FT可测随机变量在受限信息下的Galtchouk Kunita Watanabe分解。半鞅情形已经在[5]的基准方法下进行了研究，该方法允许简化为局部鞅情形，并且在[7]中，其中，作者提供了部分信息下工作的F"ollmer-Schweizer分解的一个版本，这得益于部分信息框架下由cádlág F-鞅驱动的倒向随机微分方程解的存在性和唯一性结果。然而，如何明确地刻画这种分解中出现的被积函数仍然是一个悬而未决的问题。在[6]中研究了随机变量ξ相对于较小的σ-代数可测的情况，作者在假设S是拟左连续过程的情况下，刻画了分解中的项。

在这里，我们从两个方向扩展这些结果；准确地说，我们考虑了一个不一定是HT可测的随机变量，并且我们还消除了S上的拟左连续性假设。我们的第一个成果是由定理3.7给出的，它显示了平方可积FT可测随机变量ξ在部分信息下的Off"ollmer-Schweizer分解与其相对于HT的投影之间的关系，即e[ξ| HT]。因此，我们可以提供一种计算上述分解中被积函数β的操作方法，见命题3.10。最后，我们讨论了这些表示结果在马尔可夫框架中的应用，其中我们假设潜在的半鞅动力学受不可观测的

在第3节中，我们给出了F"ollmer-Schweizer分解中被积函数在FT可测平方可积随机变量ξ的部分信息下的一个特征。在第4节中，我们将讨论马尔可夫框架中的一个应用程序，并应用过滤参数来显式计算分解。2.不完全信息模型我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），赋予过滤F:={Ft，t∈ [0，T]}满足权利连续性和完整性的通常条件，其中T>0是一个固定且有限的时间范围；此外，我们假设F=FT。在这个概率空间上，我们考虑了一个R值平方可积的cádlág（F，P）-半鞅S={St，t∈ [0，T]}满足T=S+Mt+ZtαFudhMiu，T给出的结构条件（详见[24]）∈ [0，T]，（2.1）其中S∈ L（F，P），M={Mt，t∈ [0，T]}是一个R值的平方可积（cádlág）（F，P）-鞅，从null开始，hmi={hM，M it，T∈ [0，T]}表示其F-可预测的二次变异过程，αF={αFt，T∈ [0，T]}是一个R值的、F-可预测的过程，比如rtαFsdhMis<∞ P-a.s。。在该设置中，受限信息框架由另一个较小的过滤H:={Ht，t描述∈ [0，T]}，即Ht Ft，t∈ [0，T]。用FS表示：={FSt，t∈ [0，T]}过程S的自然过滤，即FSt=σ{Su，0≤ U≤ T≤ T}。我们注意到，所有过滤都应该满足完整性和连续性的通常假设。现在，我们做以下假设 Ht，t∈ [0，T]。

（2.2）这是在给定平方可积FT可测随机变量部分信息下提供F"ollmer-Schweizer分解存在性的有效要求，参见[7，命题3.3]。根据过滤条件（2.2），过程S也是（H，P）-半鞅，因此它对H进行半鞅分解，即St=S+Nt+Rt，t∈ [0，T]，（2.3）式中N={Nt，T∈ [0，T]}是一个R值的平方可积（H，P）-鞅，N=0，R={Rt，T∈ [0，T]}是一个R值、H可预测的有限变化过程，R=0。特别是，sinceR是H-可预测的，即使这种分解是唯一的（参见[22，第三章，定理34]）。给定一个σ-代数G和一个概率测度Q，空间L（G，Q）表示所有G-可测随机变量H的集合，使得|H|=ROhm|H|dQ<∞.4 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe将使用符号px表示给定过程X={Xt，t的P下H的可预测投影∈ [0，T]}satisf-ying E[|Xt|]∞ 每一个t∈ [0，T]，定义为唯一的可预测过程，即pxτ=E[Xτ| Hτ- ] 关于{τ<∞} 对于每个H-可预测的停止时间τ。在[6]中，作者证明了当半鞅S是拟左连续的时，半鞅S关于filtrationh的结构条件。这里我们证明了这个结果适用于任何特殊的半鞅。为此，我们引入了与SM（dt，dz）=Xs的跳跃相关的整值随机测度：Ss6=0δ（s，Ss）（dt，dz），其中δ表示a点的狄拉克量度。然后，我们分别定义了S（参见[16，第二章，第2节]）（BF，CF，νF）相对于toF和（BH，CH，νH）相对于H的特征。

这里BF={RtαFrdhMir，t∈ [0，T]}和BH=rd分别注意分解（2.1）和（2.3）中的F-可预测和H-可预测有限变化过程。此外，CF=CH=hMci=hNci（更多细节参见[18]或[19]）和νF（dt，dz）和νH（dt，dz）分别是P下m（dt，dz）相对于F和H的可预测双重投影。根据[16，第二章，命题2.9]，我们可以找到满足bft=ZtbFsdUFs，CF=ZtcFsdUFs，νF（dt，dz）=νFt（dz）dUFt，t∈ [0，T]，BHt=ZtbHsdUHs，CH=ZtcHsdUHs，νH（dt，dz）=νHt（dz）dUHtt∈ [0，T]，其中uf和uh分别增加，F-可预测和H-可预测过程。此外，Uf和Uh是连续的当且仅当S是拟左连续的。最后，bF、Cf和bH、cHare F-可预测和H-可预测过程分别是F-可预测核和H-可预测核。注意，特性（BF，CF，νF）和（BH，CH，νH）满足νFt（{0}）=0，νHt（{0}）=0，BFt=ZzνF（{t}，dz），BHt=ZzνH（{t}，dz），cF=0开{UF6=0}，cH=0开{UH6=0}，请参见[10]f或更多详细信息。引理2.1。鞅M和N有以下表示mt=Mct+ZtZRz（M（ds，dz）- νF（ds，dz）），t∈ [0，T]，（2.4）Nt=Nct+ZtZRz（m（ds，dz）- νH（ds，dz）），t∈ [0，T]，（2.5），其中mca和nc分别表示M和N的连续部分。不完全信息下的FS分解。通过[16，第二章，推论2.38]以及S是一个特殊的半鞅这一事实，我们得到如下（f，P）-半鞅表示St=S+Sc，Ft+ZtZRz（m（ds，dz）- νF（ds，dz））+PFt，t∈ [0，T]，其中PF={PFt，T∈ [0，T]}是有限变化的F-可预测过程，Sc，Fis是S的连续F鞅部分。

通过（F，P）-半鞅分解的唯一性，我们得到了（2.4），特别是对于每个t∈ [0，T]，借助于S的结构条件（2.1）。类似地，我们得到S的（H，P）-半鞅分解由T=S+Sc，Ht+ZtZRz（m（ds，dz）给出- νH（ds，dz））+PHt，t∈ [0，T]，对于合适的H-可预测过程PH={PHt，T∈ [0，T]}有限变分，其中Sc，His是S的连续鞅部分。同样，通过（H，P）-半鞅分解的唯一性，我们得到（2.5）。备注2.2。从引理2.1可以清楚地看出，S、M和N没有相同的跳跃。然而，由于M和N的跳跃集是s的跳跃集的子集，因此它们是FS自适应的。M和N的可预测q值变化过程分别由hmit=hMcit+ZtZRzνF（ds，dz），t给出∈ [0，T]，hNit=hMcit+ZtZRzνH（ds，dz），T∈ [0，T]。注意，M和N的可预测二次变化分别取决于过滤F和H。然而，如果不产生歧义，我们将始终编写hM i=FhMi和HNI=HhNi来简化符号。在续集中，我们用vp，Hthe（H，P）-R值，cádlág，F-适应过程v={vt，t的可预测对偶投影表示∈ [0，T]}的可积变分，定义为可积变分的唯一R值、H-可预测过程，例如ZT k tdvp，Ht= EZT~ntdvt,对于每一个R-值、H-可预测（有界）过程∈ [0，T]}，详见[8]第4.1节。然后，S也满足了过滤H的结构条件。更准确地说，我们得到了以下结果。提议2.3。假设是这样ZTαFsdhMis< ∞. （2.6）然后，在条件（2.2）下，（F，P）-半鞅满足关于h的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，6 C.塞西，K.科拉内里和A。

其中hNi与hMi的（H，P）-可预测双重投影相一致，即hNi=hMip，手值，H-可预测过程αH={αHt，t∈ [0，T]}由αHt:=d给出RtαFsdhMisp、 HdhMip，Hs，t∈ [0，T]满足类似于（2.6）的可积条件。证据该证明的论点与[6，命题3.2]的论点相同。注意，多亏了toLemma 2.1，这里我们不需要要求S只有（F，P）-完全不可访问的跳转时间。备注2.4。命题2.3的结果表明，对于任何R值、H-可预测的过程，都是令人满意的ZT k udhMiu< ∞,以下等式成立Zt~nsαFsdhMis= EZt~nsαHsdhNis= EZt~nsαHsdhMis, T∈ [0，T].3。不完全信息下的F"ollmer-Schweizer分解在本节中，我们研究了可测平方可积随机变量部分信息下的F"ollmer-Schweizer分解，定义如下3.4。为此，我们介绍了以下几类可容许被积函数。定义3.1。空间Θ（H）（分别为Θ（F））由所有R值、H可预测（分别为F可预测）过程θ={θt，t组成∈ [0，T]}满足以下可积条件“ZTθudhNiu”+ZT |θu |αHu | dhNiu#< ∞,分别是“ZTθudhMiu”+ZT |θu |αFu | dhMiu#< ∞!.注意，如果θ∈ Θ（H）（分别为θ）∈ Θ（F）），θ关于S的随机积分，即{RtθrdSrt∈ [0，T]}是一个定义良好的平方可积（H，P）-半鞅（分别是（F，P）-半鞅）。为方便读者阅读，我们回顾了[8]中引入的平方可积（F，P）鞅之间的H-弱正交性的概念。定义3.2。