不完全信息下的F \“ollmer-Schweizer分解

在（4.10）和（4.11）中，对（X，S）是一个（F，P）-马尔可夫过程，其生成函数X，Sde定义为byLX，Sf（t，X，S）=Ft+u（t，x，s）sFs+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η（dζ），（4.12）式中f（ζ；t，x，s）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s））- f（t，x，s），对于每个函数f（t，x，s），关于x有界且可测，对于（t，s）C1，2。此外，followi-ng半马丁盖尔分解保持Sf（t，Xt，St）=f（0，x，s）+ZtLX，Sf（u，Xu，Su）du+Mft，其中Mf={Mft，t∈ [0，T]}i是不完全信息下的（F，P）-鞅的byFS分解=FsStσ（t，St）dWt+ZZf（ζ；t，Xt）-, 圣-) （N（dt，dζ）- η（dζ）dt）。（4.13）证明被推迟到附录A。为了简单起见，在续集中，我们假设每（t，x，s）一个都是u（t，x，s）<c，0<c<σ（t，s）<cand K（ζ；t，x，s）<c，（4.14）∈ [0，T]×R×R+，ζ∈ 对于一些常数c，c，c，c，我们定义了过程I={It，t∈ [0，T]}通过设置它：=Wt+Ztu（u，Xu，Su）- πu（u）σ（u，Su）du，t∈ [0，T]，（4.15），其中滤波器π在（4.2）中定义。过程I是一个（H，P）-布朗运动，称为创新过程（参见。

[14] [17]了解更多细节）。此外，假设Ht=FSt，对于每一个t∈ [0，T]，整值随机测度m（dt，dz）的（H，P）-可预测对偶投影由νHt（dz）dt给出，并且下面的关系式保持νHt（dz）dt=πT- （νF（dz））dt，多亏了[2，命题2.2]。根据[3，定理3.1]的相同论点，我们得到跳跃扩散模型中关于P的过滤方程由以下Kushner-Stratonovich方程给出，πt（f）=f（0，x，s）+Ztπs（LX，Sf）ds+Zths（f）dIs+ZtZRwf（s，z）（m（ds，dz）- νHs（dz）ds），t∈ [0，T]，对于每个函数f（T，x，s），关于x有界且可测，对于C1，2关于（T，s），其中ht（f）：=πT（uf）- πt（u）πt（f）σ（t，St）+Stσ（t，St）πtFs,wf（t，z）：=dπt-（fνf）dνHt（z）- πt- （f）+dπt-（Lf）dνHt（z），（4.16）在（4.12）和Lf（t，x，s，A）中给出的发生器LX，Sis:=RdA（t，x，s）f（ζ；t，x，s）η（dζ），A∈ B（R）和da（t，x，s）：={ζ∈ Z:K（ζ；t，x，s）∈ A\\{0}。由于X取有限集D中的值，根据（4.7），我们只需要计算指示函数fi（X）=1{X=xi}，i=1，d、 然后，我们得到dπt（fi）=bi（t，St，πt）dt+γi（t，St，πt）dIt+ZRwfi（t，z）（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），（4.17）16 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，对于每一个i=1，d、 这里，bi（t，s，p）和γi（t，s，p）是[0，t]×R+×[0，1]dgivenbybi（t，St，πt）=πt（LX，Sfi）=ZZ上的可测函数dXj=1πt（fj）1{K（ζ；t，xj）=xi-xj}- πt-（fi）η（dζ），γi（t，St，πt）=ht（fi）=πt（fi）u（t，xi，St）- πt（fi）Pdj=1πt（fj）u（t，xj，St）σ（t，St）对于每个i=1。。。，d、 和t∈ [0，T]。备注4.6。值得强调的是，在这个框架中，滤波器可以递归计算，并转化为d方程和d未知数线性系统的唯一解，参见，例如。

[4].现在，我们计算（4.1）中随机变量ξ关于S的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数，其行为在（4.9）中描述，以及过滤FS。请注意，这里的进程只有完全不可访问的跳转时间，那么我们可以应用推论3.11。首先，这需要构造最小鞅测度P*对于这个型号。为了使用Ansel Stricker定理（见[1]），过程必须满足关于F的结构条件。通过动力学（4.9），我们得到S关于F的正则分解由t=S+Mt+BFt，t给出∈ [0，T]，其中M是满足dmt=Stσ（T，St）dWt+St的平方可积（F，P）-鞅-ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)eN（dt，dζ）=Stσ（t，St）dWt+ZRz（m（dt，dz）-νFt（dz）dt）和BF={BF，t∈ [0，T]}是由dbft=St给出的R值F-可预测的有限变化过程-u（t，Xt）- , 圣- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）dt=圣- u（t，Xt）- , 圣- ) +ZRzνFt（dz）dt。这里，M的F-可预测二次变化相对于Lebesguemeasure是绝对连续的，也就是说，d hM it=atdt，其中T=St-σ（t，St）- ) +ZZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）= 圣-σ（t，St）- ) +ZRzνFt（dz），t∈ [0，T]。然后，半鞅S满足关于F，St=S+Mt+ZtαFsdhMis，t的结构条件∈ [0，T]αFt=u（T，Xt-, 圣-) +RZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)η（dζ）St-σ（t，St）- ) +RZK（ζ；t，Xt）- , 圣- )η（dζ）=圣-u（t，Xt）-, 圣-) +RRzνFt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνFt（dz），（4.18）每t∈ [0，T]。注意，在条件（4.14）下，αFis定义良好，且条件hRT（αFt）dhMiti<∞ 已满。

然后，我们可以应用命题2.3，它为S提供了关于H的结构条件，即St=S+Nt+ZtαHsdhNis，t∈ [0，T]，不完全信息下的FS分解，其中dnt=Stσ（T，St）dIt+ZRz（m（dt，dz）- νHt（dz）dt），αHt=St-πt-（u）+RRzνHt（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνHt（dz），每t∈ [0，T]。引入最小鞅测度P*, 我们假设αFtMt<1， T∈ [0，T]，E经验ZT（αFt）dhMcit+ZT（αFt）dhMdit< ∞. （4.19）E给出了（4.19）的充分条件经验ZTη（Dt）Dt< ∞, （见[6]中的备注5.6）。然后，我们可以应用Ansel Stricker定理，定义概率测量P的等效变化*数据处理FT=LT，其中过程L由LT=E给出-ZαFrdMrt每t∈ [0，T]是严格正（F，P）-鞅，这要归功于（4.19）。假设L也是平方可积的。在P之下*, 这对（X，S）的动力学可以写成dXt=ZZK（ζ；t，Xt）- )N（dt，dζ），X=X∈ D、 dSt=St-σ（t，St）dW*t+ZZK（ζ；t，Xt）-, 圣-)EN*（dt，dζ）, S=S>0，其中W*= {W*t、 t∈ [0，T]}是（F，P）*)-满足布朗运动*t=Wt+ZtSuαFuσ（u，Su）du，t∈ [0，T]（4.20）安第斯山脉*（dt，dζ）是P下的补偿泊松测度*吉文·拜恩*（dt，dζ）=N（dt，dζ）- η*t（dζ）dt，带η*t（dζ）=（1-αFtSt-K（t，Xt）-, 圣-))η（dζ）每t∈ [0，T]和αf存在于（4.18）。我们会假设*ZTη*t（Dt）+η*t（Dt）+ZZ | K（ζ；t，Xt）|η*t（dζ）dt< ∞. （4.21）由于概率测度的变化是马尔可夫的，即αFt=αF（t，Xt）- , 圣- ), 过程（X，S）仍然是an（F，P）*)-马尔可夫过程和下面的结果提供了它的P*-发电机提案4.7。在条件（4.21）下，过程（X，S）是an（F，P*)-带生成元的马尔可夫过程*十、 Sf（t，X，s）=Ft+σ（t，s）sFs+ZZf（ζ；t，x，s）η*t（dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*t（dζ），（4.22）和对于每个函数f（t，x，s），关于x有界且可测量，对于（t，s）C1，2。证据

结果如下[6，命题5.7]。18 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe用νF表示，*t（dz）dt the（F，P*)-整值随机测度m（dt，dz）和由νH的可预测对偶投影，*t（dz）dt-its（H，P*)-可预测的双重投影。然后，νF之间的关系，*t（dz）dt和νH，*t（dz）dt可以表示为关于P的滤波器*, π*（f） ={π*t（f），t∈ [0，T]}，由π定义*t（f）：=EP*[f（t，Xt，St）|FSt]=ZRf（t，x，St）π*t（dx），对于任何可测函数f（t，x，s），使得*|f（t，Xt，St）|∞, 每一个t∈ [0，T]。π，偶π*是一个概率测度值过程，它提供了给定信息流的

, π*t（fd）），我们得到π*t（fi）=fi（0，x，s）+Ztb*i（s，Ss，π）*s） ds+ZtZRwfi，*（s，z）（m（ds，dz）- νH，*s（dz）ds），其中b*i（t，s，p）是[0，t]×R+×[0，1]dsatisfyingb上的可测函数*i（t，St，π）*t） =ZZdXj=1π*t（fi）1{K（ζ；t，xj）=xi-xj}- π*t（fi）η*t（dζ）i=1。。。，d、 下面的结果表明向量（X，S，π）是an（F，P）*)-马尔可夫过程及其P*发电机不完全信息下的FS分解。假设条件（4.21）成立。那么，向量（X，S，π）是an（F，P）*)-带发电机L的马尔科夫过程*鉴于拜尔*f（t，x，s，p）=Ft+l（t，x，s，p）dXi=1γi（t，s，p）Fpi+dXi=1bi（t，s，p）F圆周率-dXi=1ZRFpiwi（t，x，s，p，z）νH（t，x，s，p，dz）+σ（t，s）sFs+dXi=1σ（t，s）sγi（t，s，p）Fspi+dXi，j=1γi（t，s，p）γj（t，s，p）F圆周率pj+ZZf（ζ；t，x，s，p）η*（t，x，s，dζ）-FssZZK（ζ；t，x，s）η*（t，x，s，dζ），（4.24）对于每个函数f（t，x，s，p）关于x有界且可测，对于（t，s，p）C1，2,2关于wi（t，s，p），其中wi（t，x，s，p，z）是可测函数，使得wi（t，Xt- , 圣- , πt- , z） =wfi（t，z），wfi（t，z）给定in（4.16），选择f（t，x，s）=fi（x）=1{x=xi}，l（t，x，s，p）：=u（t，x，s）-Pdi=1u（t，xi，s）piσ（t，s）- sσ（t，s）αF（t，x，s），η*（t，x，s，dζ）：=[1- αF（t，x，s）s K（t，x，s）]η（dζ），νH（t，x，s，p，dz）：=kXi=1νF（t，xi，s，dz）pi，f（ζ；t，x，s，p）：=ft、 x+K（ζ；t，x），s（1+K（ζ；t，x，s）），p+p（ζ；t，x，s）- f（t，x，s，p），p（ζ；t，x，s）：=(P以及pi:=wfi（t，sk（ζ；t，x，s））1{K（ζ；t，x，s）6=0}（ζ），i=1。。。，d、 最后，以下定理提供了（4.1）中给出的F"ollmer-Schweizer分解中被积函数在ξ部分信息下的显式表达式，关于本节中描述的马尔可夫模型的S和Fs。

在续集中，我们使用以下符号：git=g（t，xi，St，πt），git-= g（t，xi，St-, πt-)吉特（z）=g（z；t，xi，St，πt）=gt、 xi街- + z、 （π）-+ wfi（t，z））i=1，。。。，D- g（t，xi，St- , πt-)定理4.10。设g（t，x，s，p）是[0，t]×R×R+×[0，1]数据上的一个可测函数，它解决了问题（4.8）。当ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的积分egrand，参见（4.1），关于fss，由βHt=HHt+φHt，T给出∈ [0，T]，其中20 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLAHHt=Pdi=1-σ（t，St）-)π*T-（fi）吉特-sSt-σ（t，St）-) +Pdj=1吉特-pjγj（t，St-, πt-)圣-σ（t，St）-) +RRzνH，*t（dz）+Pdi=1RRgit（z）（π）*T-（fi）+wfi，*（t，z））+git-wfi，*（t，z）zνH，*t（dz）St-σ（t，St）- ) +RRzνH，*t（dz），（4.25）φHt=RRnPdi=1RRgit（z）（π）*T-（fi）+wfi，*（t，z））+git-wfi，*（t，z）Z- HHtzozαHtνHt（dz）St-σ（t，St）-) +每t的RRzνHt（dz），（4.26）∈ [0，T]。证据注意（H，P*)-S的半鞅分解由dst=Stσ（t，St）dI给出*t+ZRz（m（dt，dz）- νH，*t（dz）dt）。现在，我们回忆起VHT=EP*hg（t，Xt，St，πt）Hti=dXi=1gitπ*t（fi）t∈ [0，T]。为了计算VHwe的动力学，首先将It^o公式应用于g（t，xi，St，πt）。考虑π的动力学（见（4.17））和公式（4.15）、（4.20）和（4.23），我们得到dgit=hitdt+吉特sStσ（t，St）+dXj=1吉特pjγj（t，St，πt）dI*t+ZR吉特（z）（m（dt，dz）- νH，*（dz）dt）对于合适的H-可预测过程hi={hit，t∈ [0，T]}。特别是，由于函数g是问题（4.8）的解，VHHT的动力学由DVHT=dXi=1π给出*t（fi）吉特sStσ（t，St）+dXj=1吉特pjγj（t，St，πt）dI*t+dXi=1ZZn吉特（z）π*T-（fi）+wfi，*（t，z）+ 吉特-wfi，*（t，z）o（m（dt，dz）- νH，*t（dz）dt）。然后，在P*是由hht=d给出的*,HhVH，Sitd*,HhSit∈ [0，T]得到（4.25）。

为了计算ξ的F"ollmer-Schweizer分解中的被积函数β，我们观察到dgt=dVHt- 不完全信息下的HHtdStFS分解[G，S]，Z·αHsdNst=H*Xr≤TGrSr，ZtαHsZRz（m（dr，dz）- νHr（dz）dr）+。最后，通过推论3.11我们得到βHt=HHt+φHt，其中φHt=dHh[G，S]，R·αHsdNsitdHhNitis由（4.26）给出。备注4.11。注意，如果过程S有连续的轨迹，那么根据定理4.10我们得到βHt=HHt=dXi=1π*T-（fi）吉特-s+Pdi=1Pdj=1π*T-（fi）吉特-pjγj（t，St-, πt-)圣- σ（t，St）- ).事实上，在这种情况下，给定随机变量在P下的F"ollmer-Schweizer分解与P下的相应ding Galtchouk Kunita Watanabe分解一致*, 参见[24，定理3.5]。另外，如果随机变量ξ是可测的，那么βHT=HHt=dXi=1π*T-（fi）吉特-s=p，*βFt，（4.27），其中p，*βf对应于（H，P*)-过程βF={βFt，t的可预测投影∈ [0，T]}，其中βFt=g（t，Xt）-,圣-)s、 [6，引理5.1]对g（t，x，s）进行了表征。在完全信息下，βfre表示ξ的F"ollmer-Schweizer分解的积分，这与极小鞅测度P下ξ关于F和S的Galtchouk-Kunita-Watanabe分解一致*. 我们注意到，关系式（4.27）也适用于[6，命题4.6]。参考文献[1]J.P.安塞尔和C.斯特里克。最小限度的存在。在J.Azéma、P.A.Meyer和M.Yor《概率论》第二十七卷第1557卷《数学课堂讲稿》的编辑中。，第22-29页。Sp ringer Berlin H eidelberg，1993年。[2] C.塞西。部分观测高频数据模型的风险最小化套期保值。随机，78（1）：13-31，2006年。[3] C.塞西和K.科拉内里。跳跃扩散观测的非线性滤波。Adv.应用。Probab。，44(3):678–701, 2012.[4] C.塞西和K.科拉内里。

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