亚临界Heston模型的最小二乘估计

为此，我们需要在很大一段时间内模拟T∈ R++，随机变量syt，XT，I1，T:=ZTYsds，I2，T:=ZTYsds，I3，T:=ZTYsdYs，I4，T:=ztysdx。我们可以很容易地近似计算Ii，T，i∈ 分别为{1,2,3,4}，byIN1，T:=NXk=1Y（N）tk-1（tk- tk-1） =TNNXk=1Y（N）tk-1，IN2，T:=NXk=1（Y（N）tk-1） （tk）- tk-1） =TNNXk=1（Y（N）tk-1） ，IN3，T：=NXk=1Y（N）tk-1（Y（N）tk- Y（N）tk-1） ，IN4，T:=NXk=1Y（N）tk-1（X（N）tk- X（N）tk-1).因此，我们可以近似baLSET、bbLSET、bαLSET和bβLSETbyba（N）T:=（Y（N）T- y） IN2，T- IN1，TIN3，TT IN2，T- （IN1，T），bb（N）T:=（Y（N）T- y） IN1，T- T IN3，TT IN2，T- （IN1，T），bα（N）T:=（X（N）T- x） IN2，T- IN1，TIN4，TT IN2，T- （IN1，T），bβ（N）T:=（X（N）T- x） IN1，T- T IN4，TT IN2，T- （IN1，T）。我们指出，ba（N）T、bb（N）T、bα（N）和bβ（N）皮重定义良好，因为- （IN1，T）=TNNXk=1Y（N）tk-NNXk=1Y（N）tk-1!> 0，和T IN2，T- （IN1，T）=0<==> Y（N）tk=NNX`=1Y（N）t`-1，k∈ {1，…，N}<==> Y（N）=Y（N）t=····=Y（N）tN-因此，利用Y（N）是绝对连续的，再加上全概率定律，我们得到了P（T IN2，T）- （1，T）∈ R++=1。对于数值实现，我们取y=0.2，x=0.1，a=0.4，b=0.3，α=0.1，β=0.15，σ=0.4，σ=0.3，ρ=0.2，T=3000，N=30000（因此，tk- tk-1=0.1，k∈ {1，…，N}）。注意，a>σ与此参数选择有关。我们模拟了（YT，XT）的10000条独立轨迹和归一化误差T巴尔塞特-a、 bbLSET-b、 bαLSET-α、 bβLSET-β.

表1包含Y（N）TandTX（N）T的经验平均值，基于（YT，XT）的10000条独立轨迹，以及（理论）极限极限→∞E（Yt）=绝对极限→∞T-1E（Xt）=α-βab（根据命题2.2），使用方案SE、DESRE和DISRE模拟CIRE过程。Y（N）TandTX（N）TSE DESRE DISRElimt的经验平均值→∞E（Yt）=ab=1.3333 1.321025 1.325539 1.331852limt→∞T-1E（Xt）=α-βab=-0.1-0.09978663-0.100054-0.09941841表1：Y（N）T（第一行）和Tx（N）T（第二行）的经验平均值。从今往后，我们将使用上述参数选择，除了T=5000和N=50000（tk）- tk-1=0.1，k∈ {1，…，N}）。在表2中，我们计算了预期偏差（E（bθLSET- θ） ，误差的L范数（E | bθLSET- θ|）与误差的L范数E（bθLSET）-θ)1/2, θ在哪里∈ {a，b，α，β}，使用DISRE方案模拟CIR过程。误差预期偏差L-误差范数L-误差范数A-0.01089369 0.0153848 0.0190123b-0.007639168 0.01189344 0.01474495α0.0001779072 0.00957648 0.0120646β0.0001402452 0.007776999 0.009771835表2：使用DISRE方案的预期偏差、L-和L-误差范数。在表3中，我们给出了相对误差（bθ（N）T）- θ） /θ，其中θ∈ {a，b，α，β}，对于T=5000，使用方案DISRE模拟CIR过程。在图1中，我们展示了LSE每个坐标的极限定律baLSET，bbLSET，bαLSET，bβLSET如（4.1）所示。为此，我们基于10000条独立生成的轨迹，使用模拟CIR过程的方案DISRE绘制每个坐标的密度直方图。我们还以红色绘制了相应正态极限分布的密度函数。

相对误差T=5000（ba（N）T- a） /a-0.02723421（bb（N）T）- b） /b-0.02546389（bα（N）T- α） /α0.001779072（bβ（N）T- β） /β0.0009349683表3：使用DISRE方案的相对误差。“a”归一化误差的密度直方图“a”密度的归一化误差-4.-2 20.0 0.1 0.2 0.3“b”归一化误差的密度直方图“b”密度的归一化误差-4.-2 20.0 0.1 0.2 0.3 0.4“α”归一化误差的密度直方图“α”密度的归一化误差-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4“β”归一化误差的密度直方图“β”密度的归一化误差-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5图1：在从左到右的第一行中，1/2（ba（N）T）归一化误差的密度直方图- a） 和T1/2（bb（N）T- b） ，在从左到右的第二行中，T1/2（bα（N）T）归一化误差的密度直方图- α） T1/2（bβ（N）T- β). 在每种情况下，红线表示相应正态极限分布的密度函数。以上参数的选择，作为（4.1）的结果，我们有（baLSET- a） L-→ N0，ab（2a+σ）= N（0，1.28）等于T→ ∞,T（bbLSET）- b） L-→ N0,2ba（a+σ）= N（0，0.84）等于T→ ∞,T（bαLSET）- α） L-→ N0，aσbσ（2a+σ）= N（0，0.72）等于T→ ∞,T（bβLSET）- β） L-→ N0,2bσaσ（a+σ）= N（0，0.4725）等于T→ ∞.在参数a和b的情况下，我们可以在图1中看到偏差，我们认为，这可能与（a，b）和（α，β）的LSE的弱收敛速度不同，以及Y的应用离散化方案的不良性能有关。表4包含T（bθ（N）T的偏度和多余峰度-θ） ，其中θ∈ {a，b，α，β}，使用方案DISRE模拟CIR过程。

这也证实了我们在（4.1）中的结果。偏度和超额峰度T（ba（N）T- a） T（bb（N）T- b） T（bα（N）T- α） T（bβ（N）T- β） 偏度0.04915124 0.04544189-0.02317407-0.01399869超额峰度0.07666643 0.05226811 0.09994108 0.07877347表4：使用scheme DISRE模拟CIR过程的偏度和超额峰度。使用Anderson-Darling和Jarque Bera测试，我们测试每个坐标是否巴尔塞特- a、 bbLSET- b、 bαLSET- α、 bβLSET- βT=5000时是否遵循正态分布。在表5中，我们给出了安德森-达林（Anderson-Darling）和贾奎贝拉（JarqueBera）测试的测试值和p值，使用DISRE方案模拟CIR过程（* p值之后表示所讨论的p值大于任何合理的显著水平）。事实证明，通过选择这些参数，在任何合理的显著水平上，安德森-达林测试都接受这一点（baLSET）-a） ，T（bbLSET）-b） ，T（bαLSET）-α） 和T（bβLSET）-β） 遵循正常规律。Jarque Beratest也接受T（bbLSET- b） ，T（bαLSET）- α） 和T（bβLSET）- β） 遵循正常规律，但拒绝接受T（baLSET- a） 遵循正常规律。正态性检验T（ba（N）T- a） T（bb（N）T- b） T（bα（N）T- α） T（bβ（N）T- β） 安德森·达林0.34486（0.4857*) 0.62481 (0.1037*) 0.34078 (0.4962*) 0.35232 (0.467*)Jarque Bera 6.5162（0.03846）4.6077（0.09987*) 5.1089 (0.07774*) 2.9528 (0.2285*)表5：在y=0.2、x=0.1、a=0.4、b=0.3、α=0.1、β=0.15、σ=0.4、σ=0.3、ρ=0.2、T=5000和N=50000情况下的正态性测试，使用模拟CIR过程的方案DISRE生成10000个独立样本路径。总之，我们的数值说明或多或少与（4.1）中的理论结果一致。最后，我们注意到我们使用了开源软件R来进行模拟。参考文献[1]阿方西，A.（2005）。

关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散格式。蒙特卡罗方法与应用11（4）355–384。[2] 阿方西，A.（2015）。功能差异和相关过程：模拟、理论和应用。查姆斯普林格，博科尼大学出版社，米兰。[3] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2013）。关于临界过程的参数估计。电子统计杂志7647–696。[4] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.和Pap，G.（2014）。网络因子模型的平稳性和遍历性。应用概率的进展46（3）878–898。[5] Barczy，M.和Pap，G.（2016）。基于连续时间观测的Heston模型极大似然估计的渐近性质。统计50（2）389–417。[6] Barczy，M.，Pap，G.和T.Szab\'o，T.（2016）。基于离散时间观测的次临界Heston模型参数估计。数学科学学报（Szeged）82 313–338。[7] Berkaoui，A.，Bossy，M.和Diop，A.（2008）。具有非Lipschitz扩散系数的SDE的Euler格式：强收敛。ESAIM：概率与统计12 1–11。[8] 布罗迪，M.和卡娅，¨O.（2006）。随机波动和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学54（2）217–231。[9] Cox，J.C.，Ingersoll，J.E.和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。计量经济学53（2）385–407。[10] Deelstra，G.和Delbaen，F.（1998年）。具有随机漂移项的离散随机（利率）过程的收敛性。应用随机模型和数据分析14（1）77–84。[11] Dereich，S.，Neuenkirch，A.和Szpruch，L.（2012年）。Cox-Ingersoll-Ross过程强近似的Euler型方法。伦敦皇家学会会刊。系列A.数学、物理和工程科学468（2140）1105–1115。[12] 迪奥普，A.（2003）。

在离散化和组件化的过程中，一个小的、多维度的系统不需要一个单独的系统。博士论文，法国因里亚。[13] 达德利，R.M.（1989）。真实分析和概率。Wadsworth&Brooks/Cole AdvancedBooks&Software，加利福尼亚州帕西克格罗夫。[14] 赫斯顿，S.（1993）。随机波动期权的闭式解，应用于债券和货币期权。金融研究回顾6327–343。[15] Higham D.和Mao，X.（2005）。包含均值回复平方根过程的蒙特卡罗模拟的收敛性。计算金融杂志8（3）35-61。[16] 胡耀和龙，H.（2007）。α稳定L′evy运动驱动的Ornstein–Uhlenbeck过程的参数估计。随机分析通讯1（2）175–192。[17] 胡永和龙，H.（2009）。由α稳定运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的最小二乘估计。随机过程及其应用119（8）2465–2480。[18] 胡永和龙，H.（2009）。关于均值回复α稳定运动的最小二乘估计的奇异性。数学科学学报29B（3）599-608。[19] Hutzenthaler，M.，Jentzen，A.和Kloeden，P.E.（2012）。非全局Lipschitz连续系数SDE显式数值方法的强收敛性。《应用概率年鉴》22（4）1611-1641。[20] Hurn，A.S.，Lindsay，K.A.和McClelland，A.J.（2013）。一种估计多元差异参数的准最大似然法。计量经济学杂志172106–126。[21]Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（2003）。随机过程的极限定理，第二版，Springer-Verlag，柏林。[22]Karatzas，I.和Shreve，S.E.（1991）。布朗运动与随机微积分，第二版，斯普林格-韦拉格。[23]Kloeden，P.E.和Platen，E.（1992）。随机微分方程的数值解。

数学应用（纽约）23。柏林斯普林格。[24]Lehmann，E.L.和Romano，J.P.（2009）。《检验统计假设》，第三版，柏林海德堡。[25]李振和马，C.（2015）。稳定Cox-Ingersoll-Ross模型中估计量的渐近性质。随机过程及其应用125（8）3196–3233。[26]Liptser，R.S.和Shiryaev，A.N.（2001）。随机过程统计2。申请，第二版。施普林格·维拉格，柏林，海德堡。[27]Overbeck，L.和Ryd\'en，T.（1997年）。Cox-Ingersoll-Ross模型中的估计。计量经济学理论13（3）430–461。[28]van Zanten，H.（2000年）。连续局部鞅的多元中心极限定理。统计与概率字母50（3）229–235。