亚临界Heston模型的最小二乘估计

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英文标题：
《Least squares estimation for the subcritical Heston model based on
  continuous time observations》
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作者：
Matyas Barczy, Balazs Nyul, Gyula Pap
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We prove strong consistency and asymptotic normality of least squares estimators for the subcritical Heston model based on continuous time observations. We also present some numerical illustrations of our results.
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中文摘要：
我们证明了基于连续时间观测的次临界Heston模型的最小二乘估计的强相合性和渐近正态性。我们也给出了一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Least_squares_estimation_for_the_subcritical_Heston_model_based_on_continuous_ti.pdf (471.55 KB)

2022-5-9 12:31:25 上传

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关键词：最小二乘估计 最小二乘 sto Est observations

基于连续时间观测的次临界Heston模型的最小二乘估计*,, 巴尔阿兹纽**和Gyula Pap**** MTA-SZTE分析和随机研究小组，匈牙利Szeged H–6720 Szeged，英国特瑞1号阿拉迪夫·埃尔坦大学Bolyai研究所。**宾夕法尼亚州德布勒森大学信息学院。12，H–4010匈牙利德布勒森。***匈牙利塞格德H-6720塞格德阿拉迪v\'ertan\'uk tere 1，塞格德大学博莱研究所。电子邮件：barczy@math.u-塞格德。胡（M.Barczy），nyul。balazs@inf.unideb.hu（B.Nyul），papgy@math.u-塞格德。胡（G.帕普）。 通讯作者。摘要我们证明了基于连续时间观测的次临界Heston模型的最小二乘估计的强相合性和渐近正态性。我们还对我们的结果进行了一些数值分析。1简介随机微分方程（SDE）的解给出的随机过程经常被应用于金融数学中。因此，这类过程的随机分析和统计参考的理论和实践是重要的课题。在本文中，我们考虑这样一个模型，即theHeston模型（dYt=（a- bYt）dt+σ√YtdWt，dXt=（α- βYt）dt+σ√Yt% dWt+p1- %dBt,t>0，（1.1），其中a>0，b，α，β∈ R、 σ>0，σ>0，%∈ (-1,1）和（Wt，Bt）t>0是一种二维标准维纳过程，参见Heston[14]。关于金融数学中Y和X的解释，参见Hurn等人[20，第4节]，这里我们只注意到，X是每个t>0时资产价格和Yits波动率的对数。第一坐标过程Y称为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程（见Cox、Ingersoll和Ross[9]）、平方根过程或Feller过程。Heston模型（1.1）的参数估计有着悠久的历史，关于最新结果的简短调查，请参见Barczy和Pap[5]的介绍。

（a，b，α，β）和（a，b）的联合估计的重要性不仅源于Xt是资产价格的对数，在财务中具有高度重要性。事实上，在Barczy和Pap[5]中，我们研究了基于连续时间观测的（a，b，α，β）最大似然估计的渐近性质2010年数学学科分类：60H10，91G70，60F05，62F12。关键词和短语：Heston模型，最小二乘估计，强相合性，渐近正态性M\'aty\'as Barczy得到匈牙利科学院J\'anos Bolyai研究奖学金的支持。（Xt）t∈[0，T]，T>0。在Barczy等人[6]中，我们研究了（a，b，α，β）基于离散时间观测（Yi，Xi），i=1，n、 从某个已知的非随机初始值（y，x）开始处理∈ (0, ∞) 在本文中，我们研究了基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的最小二乘估计（LSE）∈[0，T]，T>0，从满足P（Y）的已知初始值（Y，X）开始过程（Y，X）∈ (0, ∞)) = 1.基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）LSE研究∈[0，T]，T>0的动机是，基于适当离散时间观测的（a，b，α，β）的LSE以概率收敛于基于连续时间观测（Xt）T的（a，b，α，β）的LSE∈[0，T]，T>0，见命题3.1。我们不认为这个过程（Yt）是∈[0，T]是观察到的，因为它可以使用观察值（Xt）T来确定∈[0，T]和初始值Y，随后对Barczy和Pap[5]中的备注2.5进行轻微修改（替换yby Y）。

我们不估计参数σ、σ和%，因为这些参数至少在原则上可以用观测值（Xt）t来确定（而不是估计）∈[0，T]和初始值Y，见Barczy和Pap[5，备注2.6]。我们只调查所谓的次临界情况，即当b>0时，参见定义2。3.在第2节中，我们回顾了Heston模型（1.1）的一些性质，例如SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，条件期望（Yt，Xt），t>0的形式，考虑到时间s之前的过程的过去∈ [0，t]，Heston模型的一种分类，以及DE（1.1）第一坐标过程存在唯一的平稳分布和遍历性。第3节致力于基于连续时间观测（Xt）t推导（a，b，α，β）的LSE∈[0，T]，T>0，见命题3.1。我们注意到，Overbeck和Ryd’en[27，定理3.5和3.6]已经证明了基于连续时间观测（Yt）t的（a，b）的LSE的强相合性和渐近正态性∈[0，T]，T>0，对于亚临界CIR过程Y，初始值的分布为模型的唯一平稳分布。Overbeck和Ryd\'en[27，第433页]还指出（在没有提供证据的情况下），他们的结果对于使用一些耦合参数的任意初始分布是有效的。在第4节中，我们证明了第3节中引入的（a，b，α，β）的LSE的强相合性和渐近正态性，因此我们在第3节中对Heston模型（1.1）的结果可以看作是Overbeck和Ryd’en[27，定理3.5和3.6]中相应结果的推广，其优点是我们的证明是针对满足P（Y）的任意初始值（Y，X）∈ (0, ∞)) = 1，不使用任何耦合参数。

所讨论的极限正态分布的协方差矩阵也取决于未知参数a和b，但令人惊讶的是，不取决于α和β。我们指出，我们推导所讨论的LSE渐近正态性的技术证明与Overbeck andRyd’en[27]完全不同。我们对连续鞅使用极限定理（见定理2.6），而Overbeckand Ryd\'en[27]对遍历过程使用极限定理，这是由于Jacod和Shiryaev[21，TheoremVIII.3.79]以及所谓的Delta方法（见Lehmann和Romano[24]中的定理11.2.14]）。我们还注意到，基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的LSE的概率近似∈命题3.1中给出的[0，T]，T>0，根本不用于证明所讨论的LSE作为T的同情行为→ ∞ 在定理4.1和4.2中。此外，我们提到Overbeck andRyd’en[27]中定理3.6中极限正态分布的协方差矩阵有点复杂，而作为我们定理4.2的特例，结果表明，通过对Verbeck和Ryd’en[27]中的SDE（1）进行简单的重新参数化，可以以更简单的形式写出它，从而估计-b而不是b（使用Overbeck和Ryd’en[27]的符号），即考虑SDE（1.1）和估算b（使用我们的符号），参见推论4.3。第5节将在第4.2节的预备课中给出我们结果的一些数值说明-和R--分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数和负实数的集合。对于x，y∈ R、 我们将使用符号x∧ y:=min（x，y）。通过kxk和kAk，我们表示向量x的欧几里德范数∈ RDA与矩阵a的诱导矩阵范数∈ 分别为Rd×d。

凭身份证∈ Rd×d，我们表示d维单位矩阵。允许Ohm, F、 P成为一个配备了增强过滤（Ft）t的概率空间∈R+对应于（Wt，Bt）t∈R+和给定的初始值（η，ζ）与（Wt，Bt）t无关∈R+这样的P（η）∈ R+=1，按照卡拉扎斯和什里夫[22，第5.2节]的规定建造。注意（Ft）t∈R+满足通常条件，即过滤（Ft）t∈R+是右连续的，fcc通过Cc（R+×R，R）和C包含F中的所有p空集∞c（R+×R，R），我们分别表示紧支撑下R+×R上的两次连续可微实值函数集和紧支撑下R+×R上的完全可微实值函数集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在唯一性，参见Barczy和Pap[5，命题2.1]。2.1命题。设（η，ζ）为独立于（Wt，Bt）t的随机向量∈R+P（η）∈R+=1。那么，尽管如此∈ R++，b，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++，和%∈ (-1，1），有一个路径唯一的强解（Yt，Xt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（（Y，X）=（η，ζ））=1和P（Yt）∈ R+代表所有t∈ R+=1。此外，对于所有s，t∈ R+和s 6T（Yt=e）-b（t）-s） Y+aRtse-b（t）-u） du+σRtse-b（t）-u）√YudWu，Xt=Xs+Rts（α- βYu）du+σRts√是的（%Wu+p1）- %Bu）。（2.1）接下来，我们给出（Yt，Xt）t的第一时刻和条件时刻的结果∈R+，seeBarczy等人[6，命题2.2]。2.2命题。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1和E（Y）<∞, E（|X |）<∞.

那么对于所有的s，t∈ R+有s6t，我们有e（Yt | Fs）=e-b（t）-s） Y+Azze-b（t）-u） du，（2.2）E（Xt | Fs）=Xs+Zts（α）- βE（Yu | Fs））du（2.3）=Xs+α（t- （s）- β-YsZtse-b（u）-s） 杜- aβZts祖泽-b（u）-v） dvdu，因此“E（Yt）E（Xt）#=”E-英国电信-βRte-布杜1#“E（Y）E（X）#+”Rte-布杜0-βRt后悔-bvdv因此，如果∈ R++，然后限制→∞E（Yt）=ab，limt→∞T-1E（Xt）=α-βab，如果b=0，则限制→∞T-1E（Yt）=a，极限→∞T-2E（Xt）=-βa，如果b∈ R--, 特林姆→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab，limt→∞ebtE（Xt）=βbE（Y）-βab.基于期望（E（Yt），E（Xt））作为t的渐近行为→ ∞, 我们回顾了SDE（1.1）给出的赫斯顿过程分类，见Barczy和Pap[5，定义2.3]。2.3定义。让（Yt，Xt）t∈R+是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈R+=1。我们称之为（Yt，Xt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地在续集中-→,L-→ 安达。s-→ 将分别表示概率收敛、分布收敛和几乎确定收敛。下面的结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的遍历性∈在亚临界情况下，由（1.1）中的第一个方程给出的R+，参见Cox等人[9，方程（20）]、Li和Ma[25，定理2.6]或定理3.1，其中α=2和定理4.1 inBarczy等人[4]。2.4定理。设a，b，σ∈ R++。让（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y）的第一个方程的唯一强解∈ R+=1。

然后（我）YtL-→ Y∞作为t→ ∞, 以及Y的分布∞再见-λY∞) =1+σ2bλ-2a/σ，λ∈ R+，（2.4）即Y∞具有参数为2a/σ和2b/σ的伽马分布，henceE（Y∞) =ab，E（Y）∞) =（2a+σ）a2b，E（Y）∞) =（2a+σ）（a+σ）a2b。（ii）假设随机初值yh与Y的分布相同∞, 过程（Yt）t∈R+是严格静止的。（iii）对于所有Borel可测函数f:R→ R使得E（| f（Y∞)|) < ∞, 我们有（2.5）TZTf（Ys）dsa。s-→ E（f（Y）∞)) 作为T→ ∞.下面我们回顾连续（局部）鞅的一些极限定理。我们稍后将使用这些极限定理来研究（a，b，α，β）的最小二乘估计的渐近行为。首先，我们回顾连续局部鞅的强大数定律。2.5定理。（Liptser和Shiryaev[26，引理17.4]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。设（ξt）t∈R+是一个渐进的可测量过程，因此PRtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ztξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（2.6）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（2.7）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被放松到可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近行为，参见van Zanten[28，定理4.1].2.6定理。（van Zanten[28，定理4.1]）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P成为满足通常条件的过滤概率空间。让（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。

假设存在一个函数Q:R+→ Rd×d证明Q（t）是allt的可逆（非随机）矩阵∈ R+，极限→∞kQ（t）k=0和q（t）hMitQ（t）>P-→ ηη>as t→ ∞,其中η是一个d×d随机矩阵。然后，对于定义在(Ohm, F、 我们有（Q（t）Mt，v）L-→ （ηZ，v）as t→ ∞,式中，Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。我们注意到，如果函数Q仅在区间[t]上定义，则定理2.6仍然成立，∞)用一些t∈ R++.3基于连续时间观测的LSE的存在首先，我们基于离散时间观测（阴，心）定义（a，b，α，β）的LSE∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（见（3.1）），指出LSE定义中出现的和可以被视为（a，b，α，β）基于离散时间观测（Yin，Xin）i的条件LSE的相应和的近似值∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（Barczy等人[6]对此进行了研究）。然后介绍了基于连续时间观测（Xt）t的（a，b，α，β）的LSE∈[0，T]，T∈ R++（见（3.4）和（3.5））作为基于离散时间观测（Yin，Xin）i的（a，b，α，β）的LSE概率极限∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++（见命题3.1）。基于离散时间观测（Yin，Xin）i的（A，b，α，β）LSE∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++，可以通过求解极值问题得到baLSE，DT，n，bbLSE，DT，n，bαLSE，DT，n，bβLSE，DT，n:= arg min（a，b，α，β）∈RbnT cXi=1“尹- 易-1n-NA.- 拜-1n+欣- xi-1n-Nα - β伊-1n#.（3.1）在符号中，字母D表示离散时间观测。

对于α稳定运动驱动的广义Dornstein-Uhlenbeck过程，LSE的这种定义可被视为Hu和Long[17，公式（1.2）]中给出的相应定义，另见Hu和Long[18，公式（3.1）]。关于基于离散观测的LSE（3.1）的启发式动机，请参见，例如，Hu和Long[16，第178页]（为朗之万方程制定），关于数学动机，请参见如下。以（2.2）为例∈ N、 尹- E（尹|菲）-1n）=Yin- E-bnYi-1n- 阿齐尼-1ne-b（在-u） du=阴- E-bnYi-1n- 阿兹内-bvdv=尹- 易-1n-anif b=0，Yin- E-bnYi-1n+ab（e）-bn- 1） 如果b6=0。使用e的一阶泰勒近似-b=0乘1-bn，和ab（e）的-bn- 1） at（a，b）=（0，0）乘以-安，随机变量尹- 易-1n-n（a）- 拜-1n）在（a，b，α，β）的定义（3.1）中，可以将（a，b，α，β）视为yin的一阶泰勒近似- E（Yin | Y，X，Yn，Xn，…，Yi）-1n，Xi-1n）=Yin- E（尹|菲）-1n），它出现在基于离散时间观测（Yin，Xin）的（a，b，α，β）的条件LSE定义中∈{0,1，…，bnT c}，n∈ N、 T∈ R++。同样地，通过（2.3），对于所有我∈ N、 欣- E（辛菲）-1n）=Xin- xi-1n-αn+βYi-1nZini-1ne-b（u）-我-1n）du+aβZini-1nZui-1ne-b（u）-v） dv！杜欣- xi-1n-αn+βYi-1nZne-budu+aβZn祖伊-bvdv杜=欣- xi-1n-αn+βnYi-1n+aβ2n如果b=0，Xin- xi-1n-αn+βb（1）- E-（b）易-1n+aβbN-1.-E-bnb如果b6=0。使用β2nat（a，β）=（0，0）乘以0的一阶泰勒近似，βb（1）的一阶泰勒近似- E-bn）at（b，β）=（0，0）乘以βn，以及aβbN-1.-E-bnb=aβnP∞k=0(-1） k（b/n）k（k+2）！在（a，b，β）=（0，0，0）乘以0时，随机变量Xin- xi-1n-n（α）- β伊-1n）在定义（3.1）中，（a，b，α，β）的LSE可被视为xin的一阶泰勒近似- E（Xin | Y，X，Yn，Xn。