风险和偏差度量之间的组合

（1999）如果它充满了单调性、平移不变性、次可加性和正同质性。（ii）ρ是F¨ollmer and Schied（2002）和Frittelli and Rosa z za Gianin（2002）意义上的凸风险度量，如果它满足单调性、平移不变性和凸性的公理。（iii）D是Rockafellar等人（2006）意义上的广义偏差度量，如果它完全符合非负性、翻译不敏感性、次加性和正同质性的公理。（iv）D是P flug（2006）意义上的凸偏差度量，如果它完全符合非负性、翻译不敏感性和凸性的公理。（v） 如果风险或偏差度量分别满足定律不变性、下限支配性、有限性、共单调性或Fatou连续性公理，则称其为定律不变性、下限支配性、有限性、共单调可加性或Fatou连续性公理。备注2.6。给定一致的风险度量ρ，可以将不具有正风险的头寸的可接受集合定义为ρ={X∈ Lp:ρ（X）≤ 0} . 设Lp+为Lp和Lp的非负元素之一-它的反面对应物。此接受集包含Lp+，与Lp没有交集-, 是一个凸锥。与该集合相关的风险度量是ρ（X）=inf{m:X+m∈ Aρ，即需要添加到X中以确保其可接受的最小资本。对于凸风险度量，ρ不必是圆锥体。一致性风险度量可以表示为概率度量Q生成的情景中可能出现的最坏预期∈ P、 被称为对偶集。Art zner等人（1999年）提出了这一结果∞空间。Delbaen（2002）对所有L∞空间，而井上（2003）考虑了空间Lp，1≤ P≤ ∞.

F¨ollmer and Schied（2002）、Frittelli and Rosazza Gianin（2002）、Kaina and R¨uschendorf（2009）对基于惩罚函数的凸风险度量给出了类似的结果。正如Rockafellar等人（2006年）和Grechuk等人（2009年）所证明的那样，也可以用类似的方法呈现广义偏差度量，并进行适当的调整。Ang等人（2018）对该框架进行了调整，以实现一致的风险度量。P flug（2006）证明了同样基于惩罚函数的凸偏差度量的类似结果。从这个意义上说，我们在本文中考虑的对偶表示由以下结果正式保证。定理2.7。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}. 然后：（i）ρ是一个Fatou连续一致风险度量，当且仅当它可以表示为ρ（X）=supQ∈PρEQ[-十] ，其中Pρ={Q∈ P:dQdP∈ Lq，ρ（X）≥ 情商[-十] ,，十、∈ Lp}是一个闭的凸对偶集。（ii）ρ是一个Fatou连续共凸风险度量，当且仅当它可以表示为ρ（X）=supQ∈P{EQ[-X]-γρ（Q）}，其中γρ：P→ R∪{∞} 下半连续凸惩罚函数是否符合γρ（Q）=supX∈ρEQ[-十] ，带γρ（Q）≥ -ρ(0).（iii）当且仅当D（X）=EP[X]可以表示为D（X）时，D是以较低范围为主的法图连续广义偏差度量- infQ∈PDEQ[X]，其中PD={Q∈ P:dQdP∈ Lq，D（X）≥ EP[X]- 等式[X]，十、∈ Lp}是一个闭的凸对偶集。（iv）D是一个较低的区间支配的Fatou连续共凸偏差测度if，并且只有当它可以表示为D（X）=EP[X]- infQ∈P{EQ[X]+γD（Q）}，其中γDis类似于γρ。3主要结果我们现在将重点转向我们的主要贡献，即风险和偏差度量组合的拟议方法。我们最初证明了一些有趣的结果，这些结果将单调性和下限优势公理与有限性联系起来。

基于这些结果和之前公开的结果，我们能够证明我们的主要定理。所得结果可推广到凸相干和共单相干情形。提议3.1。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}.n：（i）如果ρful满足次可加性（凸性）和有限性，则它具有单调性。（ii）如果ρfull fill Translation I nvariance and monotonity，则其具有s Limitedne s。（iii）如果ρ+D是相干（凸）风险度量，则D具有较低的范围优势。证据对于（i），请记住，因为LPE空间由随机变量的等价类组成，所以如果X=Y，则ρ（X）=ρ（Y）。我们首先假设ρ的次可加性。让X，Y∈ Lp，X≤ Y这里有Z∈ Lp，Z≥ 0，比如Y=X+Z。从有限性出发，我们必须有ρ（Z）≤ - inf Z≤ 因此，通过次可加性，我们得到ρ（Y）=ρ（X+Z）≤ ρ（X）+ρ（Z）≤ ρ（X），根据需要。按照同样的逻辑，让ρ具有凸性。因此，对于任何λ∈ （0，1）有一些Z∈ Lp，Z≥ 所以我们有Y=λX+（1）- λ） Z.这导致ρ（Y）=ρ（λX+（1）- λ） Z）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Z）≤ λρ（X）。由于λ是（0，1）中的任意值，我们可以使其尽可能接近1，并获得ρ（Y）≤ ρ（X），根据需要。对于（ii），注意这是因为X≥ inf X，单调性与平移插值ρ（X）≤ ρ（inf X）=- inf X，也就是有限性。对于（iii），请注意，对于相干（凸）风险度量ρ，由于其对偶表示，我们有EP[-X]≤ ρ（X）≤ 啜饮-X=- 在极端情况下，Pρ等于一个单态{P}或整个P。因此，如果ρ+D是相干的（凸的），因此是有限的，那么D是低范围占优的，因为D（X）≤ -ρ（X）- inf X≤ EP[X]- 证据到此结束。备注3.2。正如B¨auerle和M¨uller（2006）所证明的，在定律不变性的存在下，凸性和单调性等价于无原子空间的二阶随机优势。

由于有限性意味着单调性，在凸性和定律不变性的存在下，它也意味着二阶随机优势。定理3.3。设ρ：Lp→ R∪{∞} 成为cohe租金风险度量a和D:Lp→ R+∪{∞}广义偏差度量。然后：（i）ρ+D是一个一致的风险度量，当且仅当它完全满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈Pρ+DEQ[-十] ，其中Pρ+D={Q∈ P:dQdP=dQρdP+dQDdP- 1，Qρ∈ Pρ，QD∈ PD}。（iii）ρ和D是定律不变的，ρ+D是有限的，当且仅当ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=supm∈MRρα（X）md（α），其中ρα（X）=-αRαF-1X（u）du and m={m∈ P（0,1）：R（0,1]αdm（α）=dQdP，Q∈ Pρ+D}。证据我们从（i）开始。根据命题3.1，如果ρ+D是一个一致的风险度量，那么它就充满了有限性。反之，ρ+D的平移不变性、次可加性和正同质性是ρ和D分别定义的独立公理的结果。由于存在假设的局限性，ρ+D由于3.1的假设而尊重一元性。因此，这是一个连贯的风险度量。对于（ii），ρ+D受限意味着，根据之前的结果，它是一个一致的风险度量。由于ρ和D是法头连续的，根据定理2.7，它们用对偶集Pρ和PD表示。因此，ρ+D也是法头连续的，并且具有对偶表示。然后我们得到：ρ（X）+D（X）=supQρ∈PρEQρ[-十] +EP[X]- infQD∈PDEQD[X]=supQρ∈Pρ，QD∈PD{EQρ[-X]- EP[-十] +EQD[-十] }=supQρ∈Pρ，QD∈警察局EP-十、dQρdP+dQDdP- 1.= supQ∈Pρ+DEQ[-十] ，其中Pρ+D={Q∈ P:dQdP=dQρdP+dQDdP- 1，Qρ∈ Pρ，QD∈ PD}。为了证明pρ+Dis由va lid概率测度组成，我们验证了对于Q∈ Pρ+D，EPdQdP=EPhdQρdPi+EPdQDdP- EP[1]=1。

此外，ρ+D的单调性意味着dqdp≥ 0，因为对于X，Y∈ LPX≤ 我们有双重代表权∈Pρ+DEP[-XdQdP]≥ supQ∈Pρ+DEP[-YdQdP]。如果dqdpassume为负值，就不能保证这个不等式。现在，我们假设ρ+D有这样的对偶表示。那么ρ+D是一个尊重有限性的法图连续一致风险度量。颠倒推导步骤，恢复ρ和D的对偶表示。根据定理2.7，这两个度量具有法头连续性。关于（iii），Kusuoka（2001）表明，完整的法律不变性和法图连续性公理的一致风险度量可以表示为supm∈一些M的ρα（X）md（α）MR P（0,1）。此外，Jouini等人（2006）和Svindland（2010）证明了定义在无原子空间中的定律不变凸风险测度是Fatou连续的。由于我们考虑的是一个最小的概率空间，我们得到ρ+D可以有这种表示，因为它是有限的，然后是相干的。我们可以定义一个连续变量u~ U（0，1）均匀分布在0和1之间，使得F-1X（u）=X代表Q∈ Pρ+D，我们可以得到dqdp=H（u）=R（u，1]αdm（α），其中H是单调递增函数，m∈ P（0,1）。由于H相对于X是反单调的，因此在对偶表示中可以达到上确界。然后我们得到ρ（X）+D（X）=supQ∈Pρ+DEQ[-十] =supQ∈Pρ+DEP-XdQdP= 卸荷点法∈MZ-F-1X（u）Z（u，1]αdm（α）杜= 卸荷点法∈MZ（0,1]αZα-F-1X（u）dudm（α）= 卸荷点法∈MZ（0,1]ραdm（α）,其中M=nm∈ P（0,1）：R（u，1]αdm（α）=dQdP，Q∈ Pρ+Do。现在我们假设ρ+dha是这样的表示。然后，它是一个具有法律不变性的一致性风险度量。这只有在ρ和D都是定律不变的情况下才有可能。根据（i），它也是有限的。这就是屋顶。定理3.3的断言可以推广到ρ是凸r isk测度和凸偏差测度的情况。

对于法律不变性案例，Frittelli和Rosazza Gianin（2005年）以及Noyan和Rudolf（2015年）证明了与Kusuoka（2001年）关于凸风险度量的陈述类似的陈述。定理3.3的结果也可以推广到ρ和D是共单调的情况。在这种情况下，M变成了单例，Acerbi（2002）提出的谱风险度量和凹面扭曲函数也是如此，它们在保险业中被广泛使用。Grechuk et al.（2009年）、Wang et al.（2017年）和Furman et al.（2017年）证明了将这些类与广义偏差度量公理联系起来的结果。我们在没有证据的情况下陈述这两个扩展，因为演绎与连贯的情况非常相似。定理3.4。设ρ：Lp→ R∪ {∞ } 是凸风险度量和D:Lp→ R+∪ {∞}凸偏差度量。然后：（i）ρ+D是凸风险度量，当且仅当它完全满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈P{EQ[-X]- γρ+D（Q）}，其中γρ+D=γρ+γD.（iii）ρ和D是定律不变的，且ρ+D是有限的，当且只有if，ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=supm∈P（0,1]nRρα（X）dm（α）- γρ+D（m）o.定理3.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一个协单调一致风险测度，d:Lp→ R+∪ {∞} 共单调广义偏差是肯定的。

然后：（i）ρ+D是一个协单调一致风险测度，当且仅当它满足有限性。（ii）当且仅当ρ+d可以表示为ρ（X）+d（X）=supQ时，ρ和d是Fatou连续的，且ρ+d是有限的∈Pρ+DEQ[-十] 。（iii）ρ和D是定律不变的，ρ+D是有限的，当且只有if，ρ+D可以表示为ρ（X）+D（X）=Rρα（X）dm（α），其中m∈ P（0,1）.4示例在本节中，我们提供了由风险和偏差度量组成的泛函的示例，以说明有限性的重要性，因为它是我们结果的核心。在实际情况中，通常的想法是考虑ρ+βD，其中β假设一些惩罚系数的作用，表明必须包含的偏差比例。因此，它是有效的这类似于厌恶术语。请注意，如果D是广义的偏差度量，那么对于β>0，βD也是。如果D是凸的或是广义的共单调的，则情况也是如此。可以指出，在这种情况下，验收集定义为ρ+βD:={X:ρ（X）+βD（X）≤ 0}={X:-ρ（X）D（X）≥ β} ，这与类似于夏普比率的性能标准有关。负的出现是由于ρrepresentloss。当β=0时，D缺乏非负性公理。尽管如此，在这种情况下，我们的构成只是微不足道的初始风险度量ρ。我们主要关注相干风险度量的类，特别是双r表示，来探索结果。关于凸性、定律不变性和共模可加性的表示可以用与前面定理相同的精神得到。我们的第一个例子是直观的均值加（p-范数）标准差，它与方差溢价和均值-方差马科维茨-波尔图-利奥理论直接相关。均值和标准差的负值分别是一致风险和广义偏差度量的典型例子。我们现在定义了这一风险度量。定义4.1。

平均值加标准偏差是一个函数al-MSDβ：Lp→ R∪{∞}定义符合：MSDβ（X）=-EP[X]+βkX- EP[X]kp，0≤ β ≤ 1.该风险度量充分体现了平移不变性、凸性、正同质性和定律不变性。然而，它并不具有单调性。这是由于缺乏限制性，因为很容易获得βkX- EP[X]kp>EP[X]- inf X表示某个随机变量的偏移值。事实上，通过考虑X的整体分布，这种风险度量在财务意义上受到了质疑，因为它以同样的方式惩罚利润和损失。它的尾部对应物，当X被限制为低于其α-量子位的值时-1X（α），由Furman和Landsman（2006）提出和研究，并继承了其主要特性。为了避免这些缺点，有必要考虑平均加（p-范数）半偏差。我们给出了一个正式的定义。定义4.2。平均值加上se mi偏差是al MSDβ的函数-: Lp→ R∪ {∞}定义符合：MSDβ-（十） =-EP[X]+βk（X- EP[X]）-kp，0≤ β ≤ 1.很明显，半偏差是一种较低范围的广义偏差度量。Ogryczak和Ruszczy\'nski（1999）和Fischer（20 03）详细研究了这种风险度量。众所周知，该泛函是一个规律不变的一致风险测度。我们现在根据我们的设置提供另一种证明，以明确有限性公理的作用。提案4.3。平均pl us半维偏差是一个具有对偶集PMSDβ的定律不变的相干风险度量-=Q∈ P:dQdP=1+β（W- EP[W]），W≤ 0千瓦kq≤ 1..证据从这两个分量的性质（分别是定律不变的相干风险测度和广义偏差测度）可以看出，定理3.3中的组合是一个相干风险测度，当且仅当它是有限的。这是因为（X- EP[X]）-≤ EP[X]- inf X，十、∈ Lp。

因此，我们有EP[X]- inf X≥ k（X）-EP[X]）-K∞≥ k（X）- EP[X]）-金伯利进程≥ βk（X）- EP[X]）-金伯利进程。因此，MSDβ-≤ - 关于PMSDβ的结构，我们不能认为-EP[X]是一个单态，而对于半偏差乘以β，它由表Dqdp=β（1+EP[W]的相对密度组成，如Rockafellar等人（2006年）- W）+（1- β） ，W≤ 0千伏kq≤ 1.根据定理3.3，我们得到了PMSDβ的表示-=Q∈ P:dQdP=1+β（EP[W]- W），W≤ 0千瓦kq≤ 1.. 这就是屋顶。从前面的命题中，我们可以看出有限性对于均值加半偏差r isk测度单调性的重要性。当负预期被替代风险度量所取代时，通过结果偏差（最差于该值）对风险度量进行惩罚的概念可以扩展。这种方法的一个优点是，代理选择一个风险度量，偏差直接从中产生。里吉和塞雷塔（2016）在ρ为ES时探讨了这一点。此外，Righi和Borenstein（2017）探讨了ES之外的其他风险度量，如期望值和熵，称该方法为投资组合优化的损失偏差。他们的结果指出了这些风险措施的优点，但没有给出任何理论结果。因此，我们提出了一个正式的定义，并探讨了理论性质。为了简化符号，我们定义了ρ*（十） =-ρ（X）。减号只是为了简化符号而进行的调整。定义4.4。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 做一个冒险的人。那么它的损耗偏差是函数LDβρ：Lp→ R∪ {∞} 定义的一致性：LDβρ（X）=ρ（X）+βk（X- ρ*（十） )-kp，0≤ β ≤ 1.尽管有这个非常有趣的直观含义，惩罚术语k（X-ρ*（十） )-对于任何凸风险度量，KPI都不是可加的，负期望除外。

要了解这个事实，请注意（X+Y- ρ*（十）- ρ*（Y）-≤ （X+Y）- ρ*（X+Y））-,当且仅当ρ（X）=-EP[X]。因此，它不是一个广义的、甚至凸的偏差度量。尽管如此，由一致（凸）风险度量ρ构成的惩罚项会导致亚a加性（凸）损失偏差。我们现在揭露这些事实的形式化。提案4.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一致（凸）风险度量，ldβρ：Lp→ R∪ {∞} 它的损耗偏差。然后：（i）LDβρ是一个cohe-rent（凸）风险度量。如果ρ是定律不变的，那么LDβρ也是。此外，如果ρ是共单调的，那么LDβρ是任何共单调对的次加性，Y∈ Lp。（ii）如果ρ是法图连续相干的，那么LDβρ有，对于W={W:W≤ 0千瓦kq≤ 1} ，双设定PLDβρ=nQ∈ P:dQdP=dQρdP（1+βEP[W]）- βW，dQρdP∈ Pρ，W∈ 喔。证据当β=0时，从ρ的假设来看，所有主张都是显而易见的。因此，我们将重点放在情况0<β上≤ 1.关于（i），平移不变性和正均匀性很容易获得，因为ρful满足这些性质。允许X+Y=k（X+Y）-ρ*（X+Y））-金伯利进程- （k（X）- ρ*（十） )-kp+k（Y）- ρ*（Y）-kp）。从ρ的次可加性，我们可以得到任意X，Y∈ 请注意：X+Y≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-金伯利进程- k（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-- （X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ k（X+Y）- ρ*（X+Y））-- （X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-K∞= ρ（X）+ρ（Y）- ρ（X+Y）≤β（ρ（X）+ρ（Y）- ρ（X+Y））。因此，我们得到了LDβρ（X+Y）=ρ（X+Y）+βk（X+Y）-ρ*（X+Y））-金伯利进程≤ ρ（X）+βk（X）-ρ*（十） )-kp+ρ（Y）+βk（Y）- ρ*（Y）-kp=LDβρ（X）+LDβρ（Y），根据需要。第一个和第二个不等式是由于满足次可加性的p-范数和负部分，而第一个不等式是因为ρful满足次可加性和β≤ 1.