风险和偏差度量之间的组合

此外，由于ρ*（X+Y）≥ ρ*（十） +ρ*（Y），我们有：（X+Y）-ρ*（X+Y））--（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）-如果X+Y，则假定值为0≥ ρ*（X+Y），ρ*（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）如果X+Y≤ ρ*（十） +ρ*（Y）和一些标量C≤ ρ*（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）否则。这就解释了等式k（X+Y）-ρ*（X+Y））--（X+Y）-ρ*（十）-ρ*（Y）-K∞= ρ（X）+ρ（Y）-ρ（X+Y）。当ρ是凸风险度量时，推导结果非常相似，从X+Yλ=k（λX+（1-λ） Y-ρ*（λX+（1）-λ） Y）-金伯利进程-（λk（X）-ρ*（十） )-kp+（1）-λ） （k（Y）-ρ*（Y）-kp），0≤ λ ≤ 1.因此，当ρ不存在时，LDβρful将填充次可加性（凸性）。这一事实，连同有限性公理，从命题3.1中可以看出，LDβρ满足单调性。有限性来自于（X- ρ*（十） )-≤ ρ*（十）- inf X，十、∈ Lp。因此，我们有ρ*（十）- inf X≥ k（X）- ρ*（十） )-K∞≥ k（X）- ρ*（十） )-金伯利进程≥ βk（X）- ρ*（十） )-金伯利进程。因此，LDβρ（X）≤ - 因此，当ρ位于同一类中时，LDβρ是一个相干或凸风险度量。此外，由于p-范数是基于期望的，因此ρ的定律不变性直接意味着LDβρ的公理相同。此外，如果ρisco单调，我们对共单调X，Y∈ Lpthat:LDβρ（X+Y）=ρ（X+Y）+βk（X+Y）- ρ*（X+Y））-kp=ρ（X）+ρ（Y）+βk（X+Y）- ρ*（十）- ρ*（Y）-金伯利进程≤ ρ（X）+ρ（Y）+β（k（X- ρ*（十） )-kp+k（Y）- ρ*（Y）-kp）=LDβρ（X）+LDβρ（Y），如权利要求所述，这是这种情况下的次可加性。关于（ii），设W={W:W≤ 0千瓦kq≤ 1}. 众所周知，见P fl ug（2006），kX-kp=supW∈WEP[XW]。

由此，我们可以得到任意X∈ Lpthat:LDβρ（X）=ρ（X）+βsupW∈WEP[（X）- ρ*（十） ）W]=βsupW∈WEP[XW]+ρ（X）β+EP[W]= β-supW∈W（EP[XW]+supQ∈PρEQ[-十] !！β+EP[W])= supQ∈Pρ，W∈W{EQ[-十] （1+βEP[W]）+βEP[XW]}=supQ∈Pρ，W∈WEP-十、dQρdP（1+βEP[W]）- βW,dQρdP∈ Pρ= supQ∈PLDβρEQ[-十] ，其中pldβρ=Q∈ P:dQdP=dQρdP（1+βEP[W]）- βW，dQρdP∈ Pρ，W∈ W.在第三个等式中，我们假设ρ是法图连续的，根据定理2。7.具有双重代表性。在同样的等式中，β是无效的-1> 1和EP[W]≥ -1，这意味着β-1+EP[W]≥ 0.仍需证明PLDβρ由有效的概率测度构成，即。 Q∈ PLDβρdqdp是真的≥ 0，EPdQdP= 1.和DQDP∈ Lq。从这个意义上说，由于βEP[W]≥ EP[W]≥ -我们得到了dqdp=dQρdP（1+βEP[W]）- βW≥ 0,  Q∈ PLDβρ。此外，我们还有那个EPdQdP=EPhdQρdP（1+βEP[W]）- βWi=EPhdQρdPi（1+βEP[W]）- βEP[W]=1， Q∈ PLDβρ。最后，我们还有dQdPq=dQρdP（1+βEP[W]）- βWQ≤ （1+βEP[W]）dQρdPq+βkW kq<∞ . 证据到此结束。备注4.6。当ρ（X）=-E[X]，作为一种特殊情况，我们得到了平均值加半偏差，其中相对密度的形式为dqdp=dQρdP（1+βEP[W]）- βW=1+β（EP[W]- W），W∈ W、 与命题4.3相同。尽管我们的主要定理3.3、3.4和3.5没有考虑这种风险度量，但命题3.1保证了它的一致性（凸性）。当一个人结合风险和偏差度量时，这加强了有限性的作用。如果ρful fill fill Law不变性和Co-mo-notonic Additivity，那么LDβρ位于Kou等人（2013）提出的更灵活的自然风险度量类别中，它必须满足单调性、平移不变性、正同质性、规律不变性和共单调次可加性。

文献中还有由相干风险测度和非凸偏差构成的泛函的其他例子，非凸偏差又是相干风险测度。这正是Furman等人（2017年）提出的尾部基尼缺口，以及Berkhouch等人（2017年）提出的延伸。这种风险度量的思想是，在ES和一个仅限于分布尾部的基尼函数之间有一个ρ+βD形式的组合。在这两种情况下，对β值的范围进行必要的限制。一般来说，尽管有D的性质，但在β的范围受到一定限制的情况下，可以通过用D代替βD来“强制”ρ+Db上的有限性。我们现在以一种正式的方式提供这样的结果。提案4.7。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 有限责任公司→ R+∪ {∞ } . 那么，ρ+βD完全有限当且仅当β≤ infnρ*（十）-inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0o。证据当D（X）=0时，通过ρ的假设可以直接实现有限性。因此，我们关注的是当D（X）>0由那些没有n-常数的组成时的情况。设K=infnρ*（十）-inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0o。对于β≤ K、 因此我们得到如下结果：ρ（X）+βD（X）≤ ρ（X）+KD（X）≤ ρ（X）+ρ*（十）- inf XD（X）D（X）=- 对于逆关系，我们现在假设ρ（X）+βD（X）≤ - inf X， 十、∈ Lp。在这种情况下，我们得到：β≤ infρ*（十）- inf XD（X）：X∈ Lp≤ infρ*（十）- inf XD（X）：X∈ Lp，D（X）>0.证据到此结束。备注4.8。在赞成的立场上，我们没有使用典型的实际约束β≥ 因为，在这种情况下，我们直接得到了ρ+βD之后的结果≤ ρ. 根据第3.1条的建议，对于定理3.3、3.4和3的所有框架，ρ都是有限的。5.因此，这最后一个结果不受限制。关于实际解释，如果ρ*如果是一个与inf X相去甚远的简约风险度量，那么β可以假设更大的值，即。

在不失去限制的情况下，可以添加更多来自D的保护。相反的推理也是有效的。即使对β的值有这种限制，也不一定能实现单调性，因为在有限性条件下，命题3要求次可加性或凸性。1.同时，在我们的组合中，最好直接从我们选择的风险度量中获得偏差项，如损失偏差法。在所有这些观点下，作为下一个例子，我们考虑将偏差定义为适用于已降级财务状况的风险度量。我们现在定义了此类偏差。定义4.9。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 这是一个风险衡量标准。那么由ρ引起的偏差是一个函数Dρ：Lp→ R∪ {∞} 定义一致性：Dρ（X）=ρ（X）- EP[X]）。Rockafellar et al.（2006）和Rockafellar and Uryasev（2013）对这一特征进行了探讨，证明了当ρ是相干（凸）风险度量时，Dρ确实是一个较低的范围主导的广义（凸）偏差。对于相干ρ的情况，不难发现PDρ=Pρ。考虑严格大于负预期的风险度量，以便有一个明确的情况，这很有趣[X]- EP[X]]=0， 十、∈ Lp。现在我们研究由ρ+βDρ给出的复合物的性质。提案4.10。设ρ：Lp→ R∪ {∞} 是一个同调（conv x）风险度量，例如ρ（x）>-EP[X]， 十、∈ Lp。然后：（i）组合ρ+βDρ是一个共有（凸）风险度量，如果且在l y上如果0≤ β ≤infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十） ：X∈ Lpo。此外，如果ρful满足定律不变性（共单调可加性），那么ρ+βDρ就是定律不变性（共单调性）。（ii）如果ρ是法头连续相干且0≤ β ≤ infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十） ：X∈ Lpo，那么组合ρ+βDρ具有对偶集Pρ+βDρ=Q∈ P:dQdP=（1+β）dQρdP- β、 Qρ∈ Pρ.证据

对于（i），当ρ具有这些性质和β时，平移不变性、次可加性、凸性、正齐性、定律不变性和共单调可加性是直接的≥ 关于单调性，从Pro位置3.1我们只需要限制，因为存在次可加性（凸性）。此外，通过命题4.7，我们得到ρ+βDρ是有限的当且仅当β≤ infnρ*（十）-inf Xρ（X）-EP[X]）：X∈ Lp，ρ（X）- EP[X]）>0o=nρ*（十）-inf XEP[X]-ρ*（十） ：X∈ 如前所述，Lpo。关于（ii），由于ρ是连续相干的，所以它在对偶集Pρ下有一个表示。相对密度βdQρdP下的βDρ也是如此- (1 - β). Rockafellar等人（20 06）认为β的作用。此外，从（i）中，ρ+βDρ对于0也是相干的≤ β ≤ infnρ*（十）-inf XEP（X）-ρ*（十） ：X∈ Lpo。它的法头连续性与ρ的法头连续性直接相关。根据定理3.3，它的对偶集是Pρ+βDρ=nQ∈ P:dQdP=dQρdP+βdQρdP- (1 - β) - 1，Qρ∈ Pρo.经过一些简单的操作，这个结论就实现了。证据到此结束。5结论在本文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，其中考虑了损失和可变性的概念，以保持理想的理论性质。到目前为止，大多数研究只关注特定的例子，而我们给出了一种通用的方法。我们的结果基于所提出的有限性公理，这表明组成值不能超过某个极限——可能损失的上限。在这种情况下，我们证明了这个组合是一个相干的、凸的或共单调的度量，符合两个分量的性质。在第二篇文章中，我们提供了在该框架下构建的已知和新风险度量的具体示例的结果。在这样的结果中，我们的方法的重要性变得显而易见，尤其是有限性公理的作用。参考Acerbi，C.，2002年。

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