风险和偏差度量之间的组合

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英文标题：
《A composition between risk and deviation measures》
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作者：
Marcelo Brutti Righi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The intuition of risk is based on two main concepts: loss and variability. In this paper, we present a composition of risk and deviation measures, which contemplate these two concepts. Based on the proposed Limitedness axiom, we prove that this resulting composition, based on properties of the two components, is a coherent risk measure. Similar results for the cases of convex and co-monotone risk measures are exposed. We also provide examples of known and new risk measures constructed under this framework in order to highlight the importance of our approach, especially the role of the Limitedness axiom.
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中文摘要：
风险直觉基于两个主要概念：损失和可变性。在本文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，考虑了这两个概念。基于所提出的有限性公理，我们证明了基于这两个组成部分的性质得到的组合是一个一致的风险度量。对于凸风险测度和共单调风险测度的情况，也给出了类似的结果。我们还提供了在此框架下构建的已知和新风险度量的示例，以强调我们方法的重要性，尤其是有限性公理的作用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：Applications Quantitative composition variability Measurement

风险和偏差度量之间的组合Marcelo Brutti Righi*里奥格兰德苏尔马塞洛联邦大学。righi@ufrgs.brAbstractThe风险直觉基于两个主要概念：损失和可变性。在这篇论文中，我们提出了风险和偏差度量的组合，其中考虑了这两个概念。基于所提出的有限性公理，我们证明了基于这两个组成部分的性质得到的组合是一个一致的风险度量。对于凸测度和共单调测度的情形，也给出了类似的结果。我们还提供了在此框架下构建的已知和新风险度量的示例，以强调我们方法的重要性，尤其是有限性公理的作用。关键词：一致风险测度，广义偏差测度，凸风险测度，共单调一致风险测度，有限性。1引言风险直觉基于两个主要概念：负面结果的可能性，即损失；以及预期结果的可变性，即偏差。自从现代金融理论被接受以来，风险度量的作用就备受关注。最初，它主要被用作一种离散度量，比如s方差，它考虑了直觉的第二个支柱。最近，关键事件的发生将人们的注意力转向了尾部风险度量，例如著名的风险价值（VaR）和预期缺口（ES）度量，它们考虑了第一个支柱。理论和数学讨论在文献中得到了关注，强调了风险度量类别的不同公理结构及其性质。

最近的一篇评论见F¨ollmer和Weber（201 5）。尽管这些课程非常重要，但它们提供了一个非常广泛的范围，可以理解为有效或有用的风险度量。因此，可以将其视为第一步，放弃理论性能较差的度量。下一步是在一个类中考虑那些更适合实际使用的度量。因此，为了确保更完整的测量，考虑风险直觉的两个支柱是合理的。这些支柱包括负结果的可能性和预期结果的可变性，作为单一衡量标准。*我们要感谢两位匿名审稿人的评论，这有助于改进手稿。我们还感谢CNPq（巴西研究委员会）和FAPERGS（南里奥格兰德州研究委员会）的财政支持。一些专家提出并研究了此类风险度量的具体示例。Ogryczak和Ruszczy\'nski（1999）分析了平均值加半偏差的性质。Fischer（2003）和Chen and Wang（2008）考虑将不同幂次的均值和半方差结合起来，形成一致的风险度量。Furman和Landsman（2006年）提出了一种衡量截尾平均值和标准偏差的方法，VaR.Krokhmal（2007年）和Dentcheva等人（2010年）扩展了ES概念，将其作为优化问题的解决方案，用于更高动量的情况，并建立了与偏差度量的关系。Righi和Ceretta（2016）考虑通过分散结果来实现ES，结果表明损失超过ES。Furman et al.（2017）和Berkhouch et al.（2017）通过分散基于尾巴的基尼度量来惩罚ES。这些风险度量是一个单独的例子，而不是一般的方法。

将这两个概念结合起来的困难是由于失去了单独的理论性质，尤其是基本的单调性公理。该属性保证了结果最差的头寸具有更大的风险度量值。例如，这条公理不被非常直观的平均值加标准偏差度量所遵循，尽管平均值和标准偏差都具有非常好的特性和直观的分离意义。为了解决这一问题，我们在本文中的目标是将风险和偏差度量与公式ρ+D结合起来，以保持所需的理论特性，这是风险度量理论的核心。在我们的主要背景下，ρ是Artzner等人（1999）意义上的一致风险度量，而SD是Rocka fellar等人（2006）提出的广义偏差度量。ρ+D的财务解释与任何一致的风险度量相同，但一旦因分散而产生更高的惩罚值，同时保持所需的属性，它将作为一种更保守的保护。尽管如此，我们的方法并没有将这种保护任意化，而是考虑了一个偏差项，并得出了期望的理论性质。我们证明了一个与有限性有关的有用结果；我们提出的一个形式为ρ（X）的公理≤ - inf（X），具有单调性和低范围优势。里程碑是，在这些情况下，我们总是得到D（X）≤ -ρ（X）- inf X，即离散项考虑了ρ表示的损失与最大损失之间的间隔中的“财务信息”- inf X=sup-十、 因此，我们可以说，这种组合是一种连贯的风险度量。在平移不变性下，我们可以把ρ（X）+D（X）看作ρ（X′），其中X′=X- D（X），即初始位置X上的实值惩罚。

此外，这可以扩展到验收集，验收集由具有非正风险的位置X组成，形式为Aρ+D:={X:ρ（X）+D（X）≤ 0}={X:ρ（X）≤-D（X）}。从这个意义上说，可以明确地观察偏差项的处罚。就损失度量ρ而言，头寸必须有风险，最多为-D（X）≤ 0，这是一个更严格的标准。然而，值得注意的是，尽管X′=X- D（X）作为一种惩罚，ρ+不是ρ+D的无限制接受集，因为单调性起着关键作用。此外，我们还讨论了Kusuoka（2001）提出的关于法律不变性和代表性的问题。我们的结果可以推广到F¨ollmer and Schied（2002）、Frittelli and Rosazza Gianin（2002）和P flug（2006）意义上的凸测量，或是Acerbi（2002）和Grechuk等人（2009）提出的光谱或畸变类的共单体相干测量。我们还提供了一些由风险和偏差度量组成的fknown和新提出的泛函的例子，以说明我们的结果，特别是我们的有限性公理。在这些例子中，可以从所选的风险度量中生成偏差术语，这简化了财务含义。可以指出的是，对于实际问题，ρ和D都将使用相同的货币单位，但即使不是这样，我们的结果也是有效的。此外，我们关心的是如何在风险和偏差度量之间进行组合，而不是将其称为新的风险度量类别。我们强调，除了我们展示的具体例子之外，在本文给出的结果中，可以考虑导致有限性的任何风险和偏差度量组合。

此外，我们的方法是静态和单变量的，这在风险度量理论中是标准的。对动态和多变量情况的扩展超出了我们的范围。此外，在目前的范围内，还遵循了由模型不确定性引起的稳健框架的扩展，如Righi和Ceretta（2015）中的风险预测，以及与概率测度相关的框架。我们对现有文献有所贡献，因为据我们所知，之前的研究中没有考虑过我们提出的结果。Rockafellar等人（2006年）提出了一致风险度量和广义偏差度量之间的相互作用，Rockafellar和Ur yasev（2013年）提出了一个风险四分域，通过在生成器统计下添加错误和遗憾概念的交点，扩展了这种关系。事实上，这些作者证明了任何给定的广义偏差D与D≤ E[X]- inf X，可以得到一致的风险度量E[-十] +D（X）。然而，这些研究集中在概念的相互作用上，而不是结合风险直觉的两个支柱，因为在我们的表述中，它们的表述仅适用于ρ（X）=E的情况[-十] 。F ilipovi′c和Kupper（2007）给出了凸函数具有单调性和平移不变性的结果，这两种结果都是凸风险测度。尽管如此，他们的结果是基于向量空间中函数的上确界，而不是基于风险度量的公理关系，比如我们的方法。

此外，我们还提出并证明了一些依赖于我们的方法的风险度量的新例子的结果。读者应该注意到，我们的目标是根据风险和偏差项组合一个新的函数，而不是将给定的函数分解为这两个组件。关键是在单一泛函中同时考虑基本概念（风险和偏差），并保证理论性质的存在。精算学的方法，即期望值加上风险负荷的总和，不一定能保证理论性质，例如均值加标准差的情况。除了风险和偏差的线性和之外的其他可能性，例如风险度量具有更大的风险厌恶意味着保持利差，可以理解为对风险项的另一种度量，不明确分散项，也不保证理论属性。它更像是一种优势随机方法，与概率分布有关。本文其余部分的结构如下：第2节介绍了文献中的符号、定义和序言；第3节包含了我们关于有限性公理下风险和偏差度量的建议组合的主要结果；第4节展示了已知和新提出的组合的例子和结果，以说明我们的方法，尤其是有限性公理的作用；第五部分对全文进行了总结和总结。2准备工作除非另有说明，否则内容基于以下符号。考虑任意资产的随机结果X（X≥ 0为增益，X<0为损耗），在无原子概率空间中定义(Ohm, F、 P）。在加法中，P={Q:Q<< P} 是否定义了非空的概率度量集(Ohm, F） ，与P绝对连续。

我们有dqdpis，就是Q相对于P的密度，也就是我们所知的theRadon-Nikodym导数。P（0,1）是（0,1）中定义的一组概率测度。P中几乎肯定存在所有性质和不等式。EP[X]是P下X的期望值。fx是X的概率函数，其逆是F-1X，定义asF-1X（α）=inf{x:FX（x）≥ α}. 我们定义X+=最大值（X，0）和X-= 麦克斯(-十、 0）。LetLp=Lp(Ohm, F、 P）和1≤ P≤ ∞, 由范数kXkp=（EP[|X | p]）与有限p和kXk定义的随机变量等价类的空间∞= inf{k:|X |≤ k} 。十、∈ lp表示kXkp<∞ . 我们知道Lq，p+q=1，是Lp的对偶空间。在本节中，我们将介绍一些文献中的定义和结果，作为我们主要结果的背景。从这个意义上讲，我们首先定义风险和偏差度量的公理。有很多可能的属性。我们关注的是文献中最突出的和本文中使用的。每一类风险度量都基于一组特定的公理。我们还定义了本文中具有代表性的风险度量类别。定义2.1。

函数ρ：Lp→ R∪ { ∞} 是一种风险度量，它可能具有以下特性：o单调性：如果X≤ Y，然后ρ（X）≥ ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人平移不变性：ρ（X+C）=ρ（X）- C十、∈ Lp，C∈ R.o次可加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人正同质性：ρ（λX）=λρ（X），十、∈ Lp，λ≥ 凸度：ρ（λX+（1）- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y），十、 Y∈ Lp，0≤ λ ≤ 1 .o 法头连续性：if | Xn |≤ Y、 {Xn}∞n=1，Y∈ Lp和Xn→ 十、 那么ρ（X）≤lim infρ（Xn）。o定律侵入：如果FX=FY，那么ρ（X）=ρ（Y），十、 Y∈ 有限合伙人共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），十、 Y∈ 含X，Y-科莫酮的LPX，Y-科莫酮，即。X（w）- X（w′）Y（w）- Y（w′）≥ 0, w、 w′∈ Ohm.o 有限n s:ρ（X）≤ - inf X=sup-十、十、∈ Lp。备注2.2。单调性要求，如果一个位置g对另一个位置产生更坏的结果，其风险将更大。翻译不变性确保，如果某个位置增加了一定的收益，其风险将减少相同的数量。同时满足单调性和平移不变性的风险度量称为货币度量，在L中是Lipschitzl连续的∞. 基于多元化原则的次可加性意味着组合头寸的风险小于单个风险之和。正均质性与仓位大小有关，即风险随仓位大小成比例增加。这两个公理统称为次线性。凸性是函数的一个众所周知的性质，可以理解为次线性的放松版本。正齐性、次可加性和凸性之间的任何两个公理都意味着第三个公理。Fatou连续性是函数的一个公认的性质，它与下半连续性和上半连续性直接相关。定律不变性确保两个具有相同概率函数的位置具有相同的风险。

共单调可加性是一种极端情况，其中不存在差异，因为位置具有完美的位置关联。共单调可加性意味着正同质性。有限性确保持仓的风险永远不会超过最大损失。在本文中，我们一直在使用ρ（0）=0意义上的标准化风险度量，因为这很容易通过翻译得到。定义2.3。A功能性D:Lp→ R+∪ {∞ } 是一种偏差测量，它可能具有以下特性：o非负性：适用于所有X∈ Lp，对于常数X，D（X）=0，对于非常数X，D（X）>0。o翻译不敏感：D（X+C）=D（X），十、∈ Lp，C∈ R.o次可加性：D（X+Y）≤ D（X）+D（Y），十、 Y∈ 有限合伙人正同质性：D（λX）=λD（X），十、∈ Lp，λ≥ 0.o较低的区域优势：D（X）≤ EP[X]- inf X，十、∈ 有限合伙人法头连续性：if | Xn |≤ Y、 {Xn}∞n=1，Y∈ Lp和Xn→ 十、 然后D（X）≤lim inf D（Xn）。o法律入侵：如果FX=FY，那么D（X）=D（Y），十、 Y∈ 有限合伙人共单调可加性：D（X+Y）=D（X）+D（Y），十、 Y∈ LPX，Y-科莫诺通。备注2.4。非负性确保只有非恒定位置才有色散。翻译不敏感表示如果添加常量值，偏差不会改变。较低的随机优势将度量限制在低于期望值和最小值之间的范围内。这些公理与范数的概念有关，范数在Rig hi和Borenstein（2017）中进行了探讨。定义2.5。设ρ：Lp→ R∪ {∞} D:Lp→ R+∪ {∞}.（i） ρ是Artzner等人意义上的相干ris k度量。