Heston随机波动率模型的全面快速校准

它是通过操纵复力矩母函数得到的；除了更紧凑之外，它还用双曲函数代替指数函数中的指数函数，这使得导数更容易。因此，我们将使用这个表达式来获得解析梯度。然而，卡尔和阿克拉指出的同样的不连续性问题也出现在这里。它来自因子B2κv/σ，或更具体地来自B的分母，即A。图1a显示了γ（u）的轨迹：=（A（u）log log | A（u）|）/| A（u）|。半径的双对数标度补偿了A（u）螺旋轨道的快速向外运动[2,25]。对于曲线，我们采用相同的色调h∈ [0,1]正如Kahl和J¨ackel[25]，h:=log（u+1）mod 1，wh ich的意思是缓慢变化的颜色段代表A（u）的快速运动，作为u.-4-2 2 4-4-2Reγ（u）Imγ（u）（A）γ（u），u的函数∈ [0, 500].重新记录A（u）23.52424.525-4-2loga=dt+logd+ξ+d-ξe-dtlog A=log（d coshdt+ξsinhdt）（b）log A（u），u∈ [0, 4].图1：γ（u）和两种等效形式的对数A（u）在复杂平面中的轨迹。使用表1中的参数生成曲线，成熟度T=15。表1：参数规格。模型参数市场参数κ3.00 S1。0.10K 1.10σ0.25r 0.02ρ-0.80v0。08因此，我们通过重新排列log Atolog A=log来修改表示d coshdt+ξsinhdt（16a）=logdedt/2+e-dt/2+ξ-edt/2- E-dt/2！（16b）=对数d+ξedt/2+d- ξe-dt/2（16c）=对数edt/2d+ξ+d- ξe-dt（16d）=dt+logd+ξ+d-ξe-dt. （16e）图1b显示了对数A的两个等效公式的轨迹。重排（16e）以等式（15c）为参数解决了对数产生的不连续性。然后我们将等式（16e）插入对数带，表示最终表达式为D:logb=logd+κt- 对数A（17a）=对数d+（κ）- d） t- 日志d+ξ+d- ξe-dt=: D

（17b）因此，我们提出了特征函数的一个新表示，它在代数上等价于前面的所有表达式，并且不显示等式的不连续性。（10） 和（14）对于大型材料：φ（θ；u，t）=expiu（对数S+rt）-tκvρiuσ- vA+2κvσD. （18） 我们讨论了赫斯顿特征函数的四种等价表示，三种来自以前的研究，另一种是我们新提出的。我们在图2中比较了它们：我们表达式的曲线图是连续的，与Schoutens等人的曲线图重叠，而另外两个曲线图由于多值复f函数而呈现不连续性。此外，我们的表达式，如del Bano Rollin等人的theone所示，具有易于推导的优点，如下一节所示。表2.3.3总结了这些特性。分析梯度 = /关于参数向量θ的梯度算子θ和对于黑森操作员。为了方便起见，我们省略了剩余向量r对θ的依赖关系。u0 1 2 3 4-0.50.5Heston，公式（10）Schoutens等人，公式（12）del Bano Rollin等人，公式（14）Cui等人，公式（18）图2：Heston特征函数的四种等效表示。使用表1中的参数生成曲线，成熟度T=15。等式（10）在u=1时跳跃，等式（14）在u=2时跳跃，而等式。（12） 和（18）是连续的。表2：赫斯顿特征函数的四种表示形式的性质。数值连续易导赫斯顿 Schoutens等人。 德尔巴诺·罗林等人。 崔等人。 3.3.1. 解析梯度集J=R∈ Rm×nbe元素为Sjji的剩余向量rw的J acobian矩阵=里θj=C（θ；Ki，Ti）θj, （19） 和H（ri）：=里∈ Rm×mbe每个剩余ri与元素Shjk（ri）的Hessian矩阵=里θjθk.

（20） 遵循非线性最小二乘公式（4）-（5），可以很容易地将目标函数f的梯度和Hessian写成f=Jr（21a）f=J+nXi=1riH（ri）。（21b）定理1。假设基础资产遵循H eston流程（1）。设θ：=[v，v，ρ，κ，σ]作为赫斯顿模型中的参数，C（θ；K，T）是具有行使K和到期T的S上的普通看涨期权的价格。那么C（θ；K，T）相对于θ的g半径是C（θ；K，T）=e-rTπZ∞重新K-IUφ（θ；u）- i、 （T）杜- KZ∞重新K-IUφ（θ；u，T）杜, （22）在哪里φ（θ；u，T）=φ（θ；u，T）h（u），h（u）：=[h（u），h（u），…，h（u）]withelementsh（u）=-A、 （23a）h（u）=2κσD-tκρiuσ，（23b）h（u）=-五、A.ρ+2κvσdDρ-爸爸A.ρ-tκviuσ，（23c）h（u）=vσiuA.ρ+2′vσD+2κ′vσBBκ-t’vρiuσ，（23d）h（u）=-五、A.σ-4κvσD+2κvσDDσ-爸爸A.σ+tκvρiuσ；（23e）ξ、d、A、A、B、d、φ（θ；u，T）在等式中定义。分别为（11a）、（11b）、（15）、（17b）和（18）。证据公式（22）是普通期权定价公式（9）的直接结果。然后问题归结为特征函数φ（θ；u，T）梯度的推导。从等式（14）开始，遵循链规则，可以得到φ（θ；u，T）如下所述。由于vand v只在指数中，与A或B的定义无关，我们直接得到φ（θ；u，T）v=-Aφ（θ；u，T），（24）φ（θ；u，T）v=2κlogbφ（θ；u，T）σ。（25）接下来我们推导关于ρ的偏导数，因为它提供了一些可以在剩余部分重复使用的项。我们有φ（θ；u，T）ρ=φ（θ；u，T）-tκ\'viuσ-五、A.ρ+ φ（θ；u，T）2κvσBBρ（26a）=φ（θ；u，T）-tκ\'viuσ- 五、A.ρ+2κvσdDρ-爸爸A.ρ（26b）=φ（θ；u，T）-五、A.ρ+2κvσdDρ-爸爸A.ρ-tκ\'viuσ,（26c）在哪里Dρ= -宫内节育器（27a）A.ρ= -σiu（2+tξ）2dξcoshdt+d sinhdt, （27b）Bρ=eκt/2A.Dρ-爸爸A.ρ, （27c）A.ρ= -iu（u+iu）tξσ2dcoshdt（27d）A.ρ=AA.ρ-AAA.ρ.

（27e）通过合并和重新排列条款，我们发现A.κ=重症监护病房A.ρ、 （28a）Bκ=iσuBρ+tB，（28b）插入φ（θ；u，T）κ=φ（θ；u，T）-五、A.κ+2′vσlog B+2κ′vσBBκ-t’vρiuσ（29）达到表达式（23d）。类似地，可以通过将链式规则应用于等式（14）来获得等式（23e），以及φ（θ；u，T）/σ可以用φ（θ；u，T）/ρ、 就是Dσ=ρσ-ξDρ+σud（30a）A.σ=（u+iu）tDσcoshdt（30b）A.σ=ρσA.ρ-2+tξiutξA.ρ+σtA（30c）A.σ=AA.σ-AAA.σ. （30d）最后，我们替换了等式中出现的日志B。（25）和（29）采用D，定义在等式（17b）中，以确保实施的数值连续性。接下来我们讨论等式（22）中被积函数的计算和收敛性。3.3.2. 被积函数的有效计算和收敛所有被积函数的形式都是Reφ（θ；u，t）hj（u）K-iu/（iu）hj（u）是基本函数的乘积，取决于哪个参数是欠考虑的。赫斯顿[21]在最初的论文中指出φ（θ；u，t）K-iu/（iu）是一个平滑函数，衰减迅速且不存在困难；它的初级功能产品也迅速减少。图3显示了一个可视示例，表1给出了参数。在我们的时间单位中，t=1是一个由252天组成的交易年。U010 20 30 40 50 60 70-0.4-0.3-0.2-0.10.20.3f（u）=1f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=。U010 20 30 40 50 60 70-0.4-0.3-0.2-0.10.20.3f（u）=1f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=。U010 20 30 40 50 60 70-0.4-0.3-0.2-0.10.20.3f（u）=1f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h。U010 20 30 40 50 60 70-0.4-0.3-0.2-0.10.20.3f（u）=1f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=h（u）f（u）=。无花果

3：被积函数的收敛性：Reφ（θ；u，t）K-iu/（iu）在C（θ；K，T）（深蓝色）和d Re的Heston Pricing公式中φ（θ；u，t）h（u）K-iu/（iu）在梯度分量中C/θ（其他颜色）；hj（u），j=1，5分别与C/θj.黑色圆圈表示所有被积函数都小于10的值\'u-8.表示为“u”所有被积函数的u值均不大于-8.对于OUR测试参数集，我们在图中观察到。3和4随着T的增加而增加。这是因为函数越分散，它的傅里叶变换就越局部化（参见物理学中的不确定性原理）：随着时间的增加，它的概率密度会被拉伸，而它的傅里叶变换φ（θ；u，T）会被压缩。更具体地说，如果X和U是随机变量，其概率密度函数是常数的傅里叶对，则其方差的乘积是常数，即Var（X）Var（U）≥ 1.基于这一观察，我们可以根据期权的到期日调整截断，并对到期日较长的期权进行较少的被积函数评估。日志T3 3.5 4.5 5.5 63.23.43.63.84.24.44.6图。4：随着成熟度T的增加，所有被积函数计算的值“u”为10-8或更少的减少。为了得到等式（22）中的被积函数，只需计算φ（θ；u，t）和h（u）。在重新计算和合并项后，我们发现计算h（u）可以归结为获得中间项（27）、（28）和（30）。这是一个有利的结果，h（u）的组成部分共享这些公共项，因为梯度C（θ；K，T）可以通过矢量化所有被积函数的求积来获得，如算法3所示。1.由于h（u）各组成部分之间的相互依赖性，该模式算法为3.1。

赫斯顿梯度中的矢量积分。1指定N个网格节点{uk}Nk=1和N个对应的g权重{wk}Nk=1.2表示k=1，2，N do3计算h（英国）。4 end5表示j=1，2，5-6计算机∞K-iuφ（θ；uk，t）hj（u）du≈PNk=1K-iukiukφ（θ；uk，t）hj（uk）wk。End7比单独计算和集成每个组件hj（u）更快。接下来，我们讨论了数值积分方法和关键参数N、uk和wk的选择，但我们指出，这种矢量求积与任何数值积分方法都是兼容的。3.3.3. 积分方案定价函数（9）和梯度函数（22）中积分的计算决定了校准的成本。因此，我们讨论了数值积分格式的正确选择。具体来说，我们比较了梯形规则（TR）和高斯-勒让德规则（GL）。无花果。5a和5b，我们分别在Pricing公式及其梯度中绘制积分求值的误差。横轴是定价函数的正交数20 40 60 80 100-16-14-12-10-8-6-4-2TR max&minTR meanGL max&minGL mean（a）对于梯度函数的正交数20 40 60 80 100-16-14-12-10-8-6-4-2TR max&minTR meanGL max&minGL mean（b）。5：比较TR（平均值为蓝色，最大值和最小值为紫色虚线）和GL（平均值为红色，最大值和最小值为粉红色虚线）在赫斯顿模型下的积分评估误差。节点N和纵轴是积分绝对误差的对数标度，定义为ε积分：=|Φ（N）- Φ（Nmax）|，（31）其中Φ（N）是与N个节点的积分值，N是在[10100]范围内连续选择的，Nmax应为∞ 在我们的案例中被选为1000。对于这些地块，我们使用了40种不同罢工和到期日的期权。

有关这些选项的更多详细信息，请参见第5节。对于GL，误差收敛速度比TR快，并且当涉及更多选项时，误差始终较小。为了达到10的平均精度-8，GL需要40个节点，TR需要70个节点。为了使所有选项的综合精度达到10-8、GL需要60个节点，TR需要100多个节点。除了积分误差的快速收敛外，GL在节点选择上也有优势。德国劳埃德船级社将集成领域重新销售给[-1、+1]选择围绕原点对称的节点，并为每对对称节点分配相同的视图。因此，可以通过使用节点及其相反节点的公共项来进一步减少计算量。基于这些优点，我们选择了约60个节点的GL集成方案来校准Heston模型。3.3.4. 与数值梯度相比，以前的校准方法通过有限差分格式近似梯度。中心差分格式是近似值C（θ；K，T）≈C（θ+；K，T）- C（θ）- ; K、 T）2，（32）其中：=e和很小。可以为每个分量θj选择不同的增量值；为了简单起见，我们把它设为常数。差异的大小对近似值有着不可忽视的影响。的值太小，无法反映该点的整体功能行为，并可能导致移动方向上的wr。此外，数值梯度自然存在误差，人们无法期望得到比梯度精度更好的解。在大多数情况下，当目标函数的误差与误差或梯度的误差相同时，迭代会停滞。除了选择的不当导致的不稳定性外，数值梯度比解析梯度的计算成本更高。

再次说明，评估一个期权价格C（θ；K，T）需要评估公式（9）中的两个积分。n是要校准的选项数。在每次迭代中，如果使用有限差分格式，则需要计算20n个积分，而如果使用矢量积分格式的分析形式，则只需要计算2n个积分。为了更直观地比较这两种方法，我们用=10进行了初步实验-4andn=40，使用MATLAB函数qu adv和自适应辛普森规则进行数值积分。在表3中，我们报告了平均500次运行的CPU时间，以及每种方法的积分函数调用次数。为了给人一种独立于机器的相对速度感，分析梯度的CPU时间f被缩放为单位，而数值梯度的CPU时间d大约要长16倍。表3：n=40选项的数值和分析梯度之间的比较。计算成本数值梯度分析梯度CPU时间（任意单位）15.8 1.0积分计算次数800 80考虑到节省94%的计算时间和免除决定，我们建议在基于梯度的优化算法中使用分析赫斯顿梯度和矢量化求积来校准模型。4.使用Levenberg-Marquardt方法校准在本节中，我们介绍了使用LM方法对Heston模型进行完整快速校准的算法[30]。LM方法是求解非线性最小二乘问题的典型工具，如等式（4）。搜索步骤如下所示：θ=（JJ）+ uI）-1.f、 （33）其中I是id实体矩阵，u是阻尼因子。

通过自适应调整u，该方法在最速下降法和高斯-牛顿法之间切换：当迭代远离最佳值时，给u一个较大的值，使Hessian矩阵由标度一致性矩阵控制F≈ uI；（34）当迭代接近最佳值时，为u分配一个小值，以便Hessian矩阵由高斯-牛顿近似控制F≈ J J, （35）省略等式（21b）中的第二项pni=1riH（ri）。当rior H（ri）较小时，近似值（35）是可靠的。前者发生在所谓的小残差问题时，后者发生在f接近线性时。他们的观点是，该模型应该在最优值附近留有小的残差，否则它就是一个不合适的模型。众所周知，赫斯顿模型能够解释波动率表面的波动和倾斜。因此，我们假设它是一个小残差问题，并采用Hessian inEq的近似。（35）收敛到最佳状态。LM方法有多种实现，如MINPACK[11]、LEVMAR[26]、sparseLM[27]等。我们采用了LEVMAR包，它是GNU下分布的C/C++中一个健壮而稳定的实现。尽管LEVMAR的文档并未报告其在计算金融中的应用，但它已被集成到许多开源和商业产品中，用于其他应用，如测光校准和图像处理。见算法4.1。在算法4.1的第1行和第5行中，必须评估期权定价函数。在第1行和第8行中，需要计算梯度函数。

内联4，需要求解5×5线性系统；在LEVMAR中，这是通过LDLT因式分解完成的，采用Bunch和Kaufman[8]的旋转策略，使用LAPACK[4]例程。LM算法的停止标准是满足以下条件之一：kr（θk）k≤ ε、 （36a）kJkek∞≤ ε、 （36b）算法4.1。Levenberg-Marquardt算法用于校准Heston模型。1给出初始猜测θ，计算kr（θ）k和J.2选择初始阻尼因子为u=τmax{diag（J）}，对于k=0，1，2。do4求解正常方程组（33）θk.5计算θk+1=θk+θk和kr（θk+1）k.6计算δL=θk(uθk+Jkr（θk））和δF=kr（θk）k- kr（θk+1）k.7如果δL>0和δF>0，则接受该步骤：计算Jk+1，uk+1=uk，νk+1=νk.9 else10重新计算该步骤：设置uk=ukνk，νk=2ν，并在满足停止标准（36）时重复4.11结束12。14完15完θkkkθkk≤ ε、 （36c）式中ε、ε和ε为公差水平。第一个条件（36a）表示迭代被目标函数（4）-（5）的期望值停止。第二个条件（36b）表明迭代被一个小梯度停止。第三个条件（36c）表示迭代被停滞的更新停止。5.数值结果在本节中，我们展示了我们对Heston模型进行校准的实验结果。我们首先描述数据，然后报告我们的校准方法与之前最快的方法相比的性能。我们研究了最优解的Hessian矩阵，揭示了以前研究中观察到的多重最优的原因。最后，我们测试了某些选项的典型参数。结果证明了我们的方法对实际问题的计算效率和鲁棒性。5.1.