Heston随机波动率模型的全面快速校准

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英文标题：
《Full and fast calibration of the Heston stochastic volatility model》
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作者：
Yiran Cui, Sebastian del Ba\\~no Rollin, Guido Germano
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper presents an algorithm for a complete and efficient calibration of the Heston stochastic volatility model. We express the calibration as a nonlinear least squares problem. We exploit a suitable representation of the Heston characteristic function and modify it to avoid discontinuities caused by branch switchings of complex functions. Using this representation, we obtain the analytical gradient of the price of a vanilla option with respect to the model parameters, which is the key element of all variants of the objective function. The interdependency between the components of the gradient enables an efficient implementation which is around ten times faster than a numerical gradient. We choose the Levenberg-Marquardt method to calibrate the model and do not observe multiple local minima reported in previous research. Two-dimensional sections show that the objective function is shaped as a narrow valley with a flat bottom. Our method is the fastest calibration of the Heston model developed so far and meets the speed requirement of practical trading.
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中文摘要：
本文提出了一种对赫斯顿随机波动率模型进行完整而有效校准的算法。我们将校准表示为一个非线性最小二乘问题。我们开发了赫斯顿特征函数的一种合适的表示形式，并对其进行了修改，以避免复杂函数的分支切换造成的不连续性。利用这种表示，我们得到了普通期权价格相对于模型参数的解析梯度，这是目标函数所有变量的关键元素。梯度各组成部分之间的相互依赖性使高效实现成为可能，其速度大约是数值梯度的十倍。我们选择Levenberg-Marquardt方法来校准模型，并且没有观察到之前研究中报道的多个局部极小值。二维剖面图显示，目标函数的形状是一个平底窄谷。我们的方法是迄今为止开发的赫斯顿模型的最快校准，满足实际交易的速度要求。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Full_and_fast_calibration_of_the_Heston_stochastic_volatility_model.pdf (536.16 KB)

2022-5-9 14:06:42 上传

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关键词：波动率模型 波动率 sto Est Presentation

Heston随机波动率模型的全面快速校准，*, 塞巴斯蒂安·德尔·巴诺·罗林布、吉多·杰曼诺、伦敦大学学院计算机科学系金融计算与分析集团、伦敦玛丽皇后大学数学科学联合王国商学院、伦敦经济与政治学院联合王国系统风险中心、，本文提出了一种对Heston随机波动率模型进行完整有效标定的算法。我们将校准表示为非线性最小二乘问题。我们开发了赫斯顿特征函数的一种合适的表示形式，并对其进行了修改，以避免复杂函数的分支切换造成的不连续性。利用这种表示，我们得到了普通期权价格相对于模型参数的解析梯度，这是目标函数所有变量的关键元素。梯度成分之间的相互依赖性使得高效的实现速度大约是数值梯度的十倍。我们选择Levenberg-Marquardt方法来校准模型，并且没有观察到先前研究中报道的多个局部极小值。二维剖面图显示，目标函数的形状为底部有一层的狭窄山谷。我们的方法是迄今为止开发的赫斯顿模型的最快速校准，满足实际交易的速度要求。关键词：定价，赫斯顿模型，模型校准，优化，莱文伯格-马夸特方法。1.引言金融衍生品定价是运筹学文献中的一个既定问题；例如，见Fusai等人[14]及其参考文献。在这里，我们处理赫斯顿随机波动率模型的校准，这是重要的和流行的衍生品定价。

标准杆*通讯作者。电话：+442031087105。电子邮件地址：y.cui。12@ucl.ac.uk（崔怡然），s。delbanorollin@qmul.ac.uk（塞巴斯蒂安·德尔巴·诺罗林），g。germano@ucl.ac.ukGgermano@lse.ac.uk（GuidoGermano）预印本2016年5月27日模型校准的专题还涉及数值优化，这是运筹学的核心主题。一个复杂的模型可能比一个简单的模型更好地反映现实，但通常更难实现d校准。这一点尤其适用于衍生产品定价和风险估计的数学模型。Black and Scholes（BS）[7]提出的最基本模型假设，基础价格遵循几何布朗运动，具有恒定的漂移和波动性。一个普通期权的价格是作为一个p参数，即波动率的函数给出的。然而，BS模型并没有充分考虑市场动态的基本特征，如厚尾、偏斜以及标的资产价值与其波动性之间的相关性。还观察到，当市场对新信息做出反应时，波动性开始发生变化。因此，随后提出了BS模型的几个扩展，包括随机波动性（SV）模型族，该模型引入了第二个布朗运动来描述波动性的波动。

研究最重要的SV模型之一；它由Heston[21]提出，并由随机微分方程系统St=uStdt定义+√vtStdW（1）t，（1a）dvt=κ- vt）dt+σ√vtdW（2）t，（1b）与dw（1）tdW（2）t=ρdt，（1c）其中Sti是基础价格及其方差；参数κ、v、σ、ρ分别称为平均回归率、长期方差、波动性的波动性，以及驱动基础及其方差的布朗运动SW（1）和W（2）之间的相关性；此外，还有第五个参数v，即方差的初始值。模型校准和模型本身一样重要。校准包括确定参数值，以便模型尽可能准确地再现市场价格。校准的准确性和速度都很重要，因为从业人员使用校准的参数为大量复杂的衍生工具合约定价，并制定高频率的交易策略。在本文中，我们建议使用解析梯度和数值优化有效地校准Heston模型。在第2节中，我们简要回顾了现有的研究。在第三节中，我们建立了目标函数并推导了其解析梯度。在第4节中，我们提出了一种使用Levenberg-Marquardt（LM）方法校准Heston模型的完整算法。我们还讨论了一些问题，在这里，精心设计的数值格式可以提高性能。在第5节中，我们给出了数值结果。自始至终，我们对矩阵使用粗体大写字母，例如J，对列向量使用粗体小写字母，例如θ；超级剧本对于矩阵或向量的传输；e表示所有1的向量[1。

, 1];E[·]表示期望；A（·）用于集合A的指示器功能；Re（·）表示复数的实部，Im（·）表示复数的虚部；k·k表示该范数；k·k∞为了l∞-标准对数表示自然对数。2.关于Heston模型校准的先前工作在文献中，校准Heston模型的主要方法有两种：历史方法和隐含方法。具有固定行使权和到期日的期权价格的首次历史时间序列，通常采用最大似然法或有效矩法[1,12,22]。第二种方法是在固定时间，即具有多个冲击和成熟度的期权，对非衍生产品的波动面进行拟合，以获得隐含参数集。我们的工作遵循第二种方法，因为这是用于实时定价和风险管理的方法。在下文中，我们将调查与第二种方法相关的赫斯顿模型校准的障碍和现有方法。2.1. 公认的困难首先，校准是在五维空间中进行的。对于目标函数f或Heston模型校准是凸的还是不规则的，研究人员之间没有共识。一些建议方法[9,18,28]的结果取决于初始点，该初始点归因于非凸目标函数，但可能只是反映了方法s的不足。为了找到初始猜测中的合理结果，使用短期或长期渐近规则；详细评论请参见Jacquier和Martini[23]。然而，最近Gerlich等人[17]声称收敛到独立于初始猜测的唯一解，并提出Heston校准问题可能具有导致单一驻点的某种固有结构。另一方面，参数之间存在依赖关系。

例如，我们知道σ和κ相互作用：一个具有σ和κ的特定值的参数集可能会给出一个与具有不同σ和κ值的参数集相当的结果。直观地说，不同的参数组合产生的目标函数值相似，这一事实可能与目标函数接近最佳值的情况有关；参见本文第5节。其次，Heston校准问题的分析梯度很难找到，到目前为止还没有，因为人们认为Heston特征函数的表达式过于复杂，无法提供深刻的分析梯度：当然，可以通过符号代数包获得梯度，但得到的表达式是可处理的。相反，通过有限差分法获得的数值梯度被用于基于梯度的优化方法；然而，数值梯度的计算量较大，精度较低。2.2. E xi sting方法我们回顾了一些启发式方法，以减少校准的维度，然后是迄今为止应用的优化方法。2.2.1. 由于Heston参数与隐含波动率表面的形状密切相关[10,16,18,24]（v控制波动率微笑的位置，ρ的偏度，κ和σ的凸度，以及κ乘以隐含波动率的项结构之间的差异），因此他提出了降维方法，通过基于特定挥发性表面的可用知识假设一些参数值，可以简化校准到较低维度。初始方差vis通常设置为短期现金（ATM）BS隐含方差，这是基于赫斯顿模型中BSV隐含波动率的期限结构[16，第34-35页]。一个实用的校准实验[9，p。

29-30]验证1至2个月期限内的初始方差和BS隐含方差之间的线性关系。克拉克[10，等式（7.3）]提出了启发式假设κ=2.75/T和¨v=σATM（T），其中σATM（T）是到期日为T的ATM-BS隐含波动率。Chen[9]提出了一个快速的盘中重新校准方法，将κ调整到与昨天相同的水平，并将其调整到2个月的ATM隐含波动率，这是业界实际采用的启发式方法。这些假设有助于完成校准，但可能会误导迭代到有限的域，从而导致错误的收敛点。2.2.2. 随机优化方法认为下降方向不可用的研究人员将注意力集中在随机优化方法上，包括WangLandau[9]、差分进化和粒子群[19]、模拟退火[29]等，以增强鲁棒性，使用MAT-LAB函数fminsearch的Nelder和Mead等确定性搜索通常与这些随机优化算法相结合。几乎所有使用随机技术的研究都报告了性能问题。GPU技术已与模拟退火技术一起应用，以加快校准速度[13]，但一个GPU的9.7小时速度仍然太慢，无法实时使用。2.2.3. 确定性优化方法商用软件包提供的确定性优化解算器已被证明是不稳定的，因为性能在很大程度上取决于初始猜测的质量：这适用于Excel内置解算器[28]和MATLAB解算器lsqnonlin[6,15,29]。Gerlich等人[17]采用了高斯-牛顿框架，并通过投影到由约束确定的圆锥体来保持迭代的可行性。

目标函数的梯度是通过有限的差异来计算的，因此需要进行大量的函数评估。综上所述，现有的校准算法要么基于随机假设，要么不够快速或稳定，不适合实际使用。在这项工作中，我们将专注于在不假定参数值的情况下进行永久优化的方法。3.问题公式和梯度计算校准波动率模型的想法是最大限度地减少使用该模型计算的普通期权价格与市场观察到的价格之间的差异。在本节中，我们首先以最小二乘法形式描述校准问题。然后，我们在Heston模型下给出了一个普通期权的定价公式，并给出了特征函数的代数等价表示，讨论了它们的数值稳定性和分析推导的适用性。我们计算目标函数的解析半径，该函数可用于任何基于梯度的优化算法。3.1. 用C语言表示的反问题*（Ki，Ti）通过Heston分析公式（9）计算的价格，参数向量θ：=[v，\'\'v，ρ，κ，σ]. 我们将n个待校准选项的残差集合为i（θ）：=C（θ；Ki，Ti）- C*（Ki，Ti），i=1，剩余向量r（θ）中的n（2）∈ Rn，即r（θ）：=[r（θ），r（θ），…，Rn（θ）]. （3） 我们将Heston模型的校准视为非线性最小二乘形式minθ中的反问题∈其中m=5表示尺寸，f（θ）：=kr（θ）k=r（θ） r（θ）。

（5） 因为要找到的市场观察比参数多得多，即n>> m、 校准问题过于确定。在应用任何技术来解决问题（4）-（5）之前，需要记住，C（θ；Ki，Ti）的评估对于校准来说是昂贵的；因此，在设计算法时，我们希望尽量减少公式（9）的计算量。此外，文献中没有关于θ的显式梯度（θ；Ki，Ti），因为它被认为过于复杂。如果从Heston[21，等式（17）]orSchoutens等人[31，等式（17）]的常用特征函数表达式开始，这确实是正确的。然而，如下一节所示，del Bano Rollin等人[5，等式（6）]对特征函数函数形式的更方便选择简化了其分析梯度的推导。3.2. 普通期权的定价公式和特征函数的表示对于s点价格和利率r，行使K和到期T isC（θ；K，T）=e的普通看涨期权的价格-rTE[（圣- K） {ST≥K} （ST）]（6）=e-rTE[ST{ST≥K} （ST）]- 克{ST≥K} （ST）]= 服务提供商- E-rTKP。在Heston模型中，对某些定价偏微分方程[21，等式（12）]和给定的asP=+πZ进行了泛Pare解∞重新E-iu log KiuFφ（θ；u）- i、 （T）du，（7）P=+πZ∞重新E-iu log Kiuφ（θ；u，T）du，（8）其中i是虚单位，F:=SerTis是远期价格，φ（θ；u，t）是股价过程对数的特征函数。因此，普通看涨期权的定价公式为c（θ；K，T）=（S-E-rTK）+e-rTπZ∞重新E-iu log Kiuφ（θ；u）- i、 （T）杜-KZ∞重新E-iu log Kiuφ（θ；u，T）杜. （9） 特征函数最初由Heston给出为[21，Eq。

（17） ]φ（θ；u，t）=expiu（对数S+rt）+κvσ（ξ+d）t- 2 log1- gedt1- G+vσ（ξ+d）1- edt1- 格特, （10） 式中ξ：=κ- σρiu，（11a）d:=pξ+σ（u+iu），（11b）g:=ξ+dξ- d、 （11c）Kahl和J¨ackel[25]指出，当评估这种形式作为u的函数以适应长期到期时，由于复幂函数Gα（u）=exp（αlog G（u））与G（u）：=（1）的分支切换，会出现不连续性-gedt）/（1-g） 和α：=κv/σ，其在等式（10）中显示为多值复对数。这取决于这样一个事实，即G（u）随着u的增加呈螺旋形，当它重复穿过负实轴时，G（u）的相位从-π到π。然后Gα（u）的相位从-απ到απ，当α不是自然数时导致不连续。Albrecher等人[2]发现，与这些函数的大多数数值实现一样，当选择复数平方根d的主值时会发生这种情况，但如果使用第二个值，则可以避免这种情况。他们证明了Choutens等人[31，等式（17）]最初提出的这种替代表示是连续的，并给出了全维和无限制参数空间中的数值稳定值：φ（θ；u，t）=expiu（对数S+rt）+κvσ(ξ - d） t- 2 log1- 通用电气-dt1- G+vσ（ξ）- d） 一,- E-dt1- 通用电气-dt, （12） 式中g:=ξ- dξ+d=g.（13）德尔巴诺·罗林等人[5，等式（6）]后来提出了特征函数的另一种等价形式。我们在那张纸上加上这个词来纠正这个表达-tκvρiu/σ乘以指数，得出φ（θ；u，t）=expiu（对数S+rt）-tκvρiuσ- 弗吉尼亚州B2κv/σ，（14）式中：=AA，（15a）A:=（u+iu）sinhdt，（15b）A:=d coshdt+ξsinhdt，（15c）B:=deκt/2A。（15d）Del Bano Rollin等人引入了他们的表达式来分析测井点密度，自那时起，它就没有被用于任何其他目的。